GeoAnalitica_5aEd_07

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UNI DAD 7
ESPACIO TRIDIMENSIONAL: LA RECTA
Objetivos
Geometría analítica
299
Introducción
C
P(x, y, z
7.1. Definición de recta
x x2, x
 
líneas rectas
Definición de recta. Para cada par de ternas Po, A 
3, donde A es un vector 
distinto de cero, el segmento l que pasa por Po y es generado por el vector A se 
puede definir como el conjunto de puntos expresados por: 
Ejemplo 1 
P (xo, yo zo l
A = (a, b, c
Solución A
P (x
o
, y
o,
 z
o
A = (a, b, c
300
P = (x, y, z 
P P2 
P P
2
 
P(x y z
 
PP PP t
 
t
Ejemplo 2
P P
P t
Geometría analítica
301
Solución P P
 
d
d
P P
x
x x
y
y y
z
z z
P
P P t
 
P
7.2. Ecuaciones de la recta
l 
Ecuación vectorial de una recta. l 
l P(x, y, z P (x y z A = (a, b, c
vector dirección
302
A ecuación vectorial de la recta
 
ecuación vectorial de la recta que pasa por dos puntos P 
P2 P P2 P2 P
(A
P P P P
P P
conjunto de puntos
P P
2
Ejemplo 3
P0 A 
P P2 
Solución A P(x, y, z
P P P P P(x, y, z
Ecuación paramétrica de una recta l
A 
Geometría analítica
303
x, y, z
l
paramétricas
Ejemplo 4 
 P A
 P A
Solución A
 representa el conjunto de puntos.
 representación vectorial.
P = (x, y, z
, representación paramétrica
 representa el conjunto de puntos.
representación vectorial.
, representación paramétrica.
304
Ejemplo 5
P
Solución 
P(x, y, z
P
P
P
 
Ecuación simétrica de una recta P(x, y, z P (xo, yo zo A=(a, b, c
a b, c 
ecuación vectorial
ecuaciones paramétricas
 
Geometría analítica
305
forma simétrica de la recta.
x
o
, y
o
, z
o
a, b, c
Ejemplo 6 
Solución 
306
Ejemplo 7
 0
Solución
z
x
y 
Ejemplo 8 
 
Solución: y
 
P
Geometría analítica
307
x 
P
A
A
P
A
Ecuación cartesiana de una recta
 a(y y0
ecuaciones cartesianas 
de una recta
Ejemplo 9 
Po
A
Solución
A P 
308
P0
A
Ejercicio 1
v
z
7.3. Distancia de una recta a un punto 
Geometría analítica
309
l
A
B P0 P1
l 
B A.
d
distancia de una recta a un punto
Ejemplo 10 
P
P A
Solución P P B
A d
d
310
d
menor distancia entre dos rectas
A B S T
ST
l l2 A l P
B P C
P0
l1
d
l2
0
C
0
Geometría analítica
311
A B
0
l l2
V A
 
distancia entre dos rectas d
Ejemplo 11
Solución 
l A P l2 
B P C P P C
d
C
A
312
d
d 
7.4. Rectas paralelas y perpendiculares
Definición de rectas paralelas . Considerando dos rectas: 
A y B , 
se dice que l1 es paralela a l2 si los vectores A y B, que definen la dirección de las 
rectas, son paralelos entre ellos.
Análogamente, dos rectas l1 y l2 son perpendiculares si sus vectores de dirección 
A y B lo son.
Geometría analítica
313
Ejemplo 12 
 
Solución
Definición de ángulo entre dos rectas 
Ángulo entre dos rectas es el ángulo entre los vectores a los que cada una de 
ellas es paralela, esto es, si:
A y B
Entonces, el ángulo entre l1 y l2 es el ángulo formado entre los vectores A y 
B, que definen la dirección de las rectas, esto es: 
Ejemplo 13 
l l
2
l = { } 
l2 = {P P } 
Solución l l2 A B
314
l l2
A B
punto de intersección
 
 
x, y, z
x, y, z
 
x, y, z
Geometría analítica
315
Ejemplo 14 
P(x, y, z
Solución
x
y
z
x
y 
z 
P
316
Ejercicio 2
 
 
 
X
Ejercicios resueltos
 
Solución
l
 
Geometría analítica
317
=
NOTA en este problema es factible darse cuenta que las ecuaciones cartesianas 
pueden obtenerse así:
P1(a1, a2, a3 , P2(b1, b2, b3) 
x y y z = 0
P0
A
B
Solución P0
2 2 2
 
318
C B
C
C B x, y, z
C 
l
Solución
l
l
A B
 = 90
 Q
Solución
l Q d P0 A
2i + 2j +2k
Geometría analítica
319
P0
d
d
B
B
320
d d
 
B
A × B
A
d
 Determinar si la recta que pasa por los puntos (–1, 3, –2), (3, –1, –2) y la 
recta que pasa por ( –1, –1, –1), (0, 0, 0) se intersectan y, de ser así, cuál es su 
punto de intersección. 
Solución P P P P
P(x, y, z
Geometría analítica
321
x = y
 
x x x x
y y =
 
l l
l l 
Solución l l2
A
B
l
2
d
322
A B =A
 
A
d
l l4
l l
4
A
 
d
Geometría analítica
323
 l
Solución 
l
l
 
A B
Solución 
A B
v
 
 
t 
324
 
 
 
Solución
l v
l2 u 
2
 
Solución
Geometría analítica
325
 
 
Solución 3 
v 
a
 
c
 
v
 
326
t Q
s s s ?
s t
Solución 
 P Q
Q = P
t
t t t
t
t
 
s = Q
t
 
Geometría analítica
327
P = Q
t s
t s
s t
 
Solución 
M z
 
x x x x x x
x x x
y 
y y
y y y y
y
z
328
z
M
 
P = Q. 
)
Solución 
d
d
 
NOTA si una de las rectas ha sido orientada opuestamente, entonces 
sería 
P P
2
P P
4
P P
Solución 
d
d
Geometría analítica
329
 
P1 P2
P P
P1 P2 
P5 P6 
 
330
Autoevaluación
v i + j+2k
 
 
P u 
P
 
 
 
Geometría analítica
331
 
 
 
 
 
 
.
l
l
l
l
 l
 
 
332
P
Ejercicios opcionales
M
M
1
M
2
A , B C , 
C
u
a
i j k
Geometría analítica
333
Respuestas a los ejercicios
 
 
 
Respuestas a la autoevaluación
2
1