teorc3ada-tema-2-geometrc3ada-analc3adtica

Vista previa del material en texto

[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
1 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
TEMA 2: GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
ÍNDICE: 
 
 
1. Introducción 
2. Ecuaciones de una recta 
3. Haz de rectas 
4. Posiciones relativas de dos rectas 
5. Ángulo de dos rectas 
6. Cálculo de distancias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
2 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
1. INTRODUCCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
3 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
2. ECUACIONES DE UNA RECTA 
 
a) Ecuación Vectorial 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 Escribe la ecuación vectorial de la recta r que pasa por el punto )1,3(A y tiene como vector 
director ).5,2(d

 
 
 
 
 
 
 Obtén ahora otros cinco puntos de la recta r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
4 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
b) Ecuaciones paramétricas 
 
 
 
Ejemplos: 
 
 Escribe la ecuación paramétrica de la recta r que pasa por el punto )1,3(A y tiene como 
vector director ).5,2(d

 
 
 
 
 
 
 Dada la recta 






ty
tx
s
42
31
 
a) Obtén director de s. 
 
 
 
b) Obtén tres puntos de s. 
 
 
 
 
 
c) ¿El punto ?)6,2( sP  ¿Y el punto ?)3,1( sQ  
 
 
 
 
 
d) Hallar k para que .),5( skR  
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
5 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
c) Ecuación continua 
 
 
 
Ejemplos: 
 Escribe la ecuación continua de la recta r que pasa por el punto )1,3(A y tiene como vector 
director ).5,2(d

 
 
 
 
 Dada la ecuación de la recta 
3
3
4
1





yx
s 
a) Escribe el vector director de s. 
 
 
b) Obtén ahora tres puntos que pertenezcan a s. 
 
 
 
 
c) Escribe la ecuación paramétrica de la recta s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
6 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
d) Ecuación general o implícita 
 
Operando y simplificando en la ecuación continua se obtiene: 
 
 
2
2
1
1
d
py
d
px 


  211122 pdydpdxd   0211212  pdpdydxd 
 
 
 0 CByAx 
 
 
 
 
Además, el vector ),( AB y su opuesto son vectores directores de la recta 
 
Ejemplos: 
 Sea 0432  yxr . Escribe: 
a) Vector director de r. 
 
 
b) Vector perpendicular a r. 
 
 
c) Tres puntos de r. 
 
 
 
 Ecuación general de la recta que pasa por )1,3( A y es paralela a la recta 
)2,1()5,2(),(  tyxs . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
7 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
e) Ecuación explícita 
 
Se obtiene despejando la “y” en la ecuación general de la recta. 
 
0 CByAx  CAxBy   
B
C
x
B
A
y   nmxy  
 
 
 Teniendo en cuenta que 2dA  , 1dB  , se tiene 
1
2
1
2
d
d
d
d
B
A
m 




 
 La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma dicha recta con el eje de 
abscisas en sentido positivo. 
 
 Si 0m  la recta es decreciente. 
Si 0m  la recta es creciente. 
 
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
8 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
 
 
f) Ecuación punto – pendiente 
 
Sea la recta r, sea ),( baP un punto de r y m su pendiente. 
 
La ecuación de la recta en forma punto – pendiente:  axmby  
 
 
 
Ejemplos: 
 
 Halla la ecuación punto – pendiente de la recta que pasa por )1,7( A y es paralela al 
vector )1,3(v

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ¿Rectas paralelas tienen la misma pendiente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
9 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
CASOS ESPECIALES 
 
 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. 
 
Si queremos determinar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos A y B, basta 
coger uno cualquiera de los puntos y tomar como vector director BAd

 . 
 
Ejemplo: Ecuación paramétrica de la recta que pasa por A(0,-2) y B(3, -1). 
 
 
 
 
 Rectas paralelas al eje X. 
 Tienen como vector director ).0,1(d

 
 La ecuación general ky  , .Rk 
 
 
 
 Caso particular: Eje X o Eje de abscisas y=0 
 
 
 Rectas paralelas al eje Y. 
 Tienen como vector director ).1,0(d

 
 La ecuación general kx  , .Rk 
 
 
 
 Caso particular: Eje Y o Eje de ordenadas x=0 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
10 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
 
 
 
Ejercicios 
 
1. 
 
2. 
 
3. 
 
4. 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
11 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
5. 
 
6. 
 
7. 
 
8. 
 
9. 
 
10. 
 
11. 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
12 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
12. 
 
13. 
 
14. 
 
15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
13 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
3. HAZ DE RECTAS 
 
a) Haz de rectas secantes 
 
 Se llama haz de rectas secantes con vértice ),( baP al conjunto de todas las rectas del 
plano que pasan por el punto .P 
 
 La ecuación de cualquier recta del haz o ecuación del haz será: 
 
 
 axmby  
 
 
 
 
 
 
m es un parámetro que puede tomar 
cualquier valor real y representa la 
pendiente de cada recta. 
 
 
Para cada valor que se asigne a m , se 
obtendrá una recta concreta del haz. 
 
 
 
 
 
 
 
 Para que el haz quede completo, se deberá añadir la recta ax  , paralela al eje OY y que 
no está incluida en la ecuación del haz. 
 
 Ejemplo: Haz de rectas cuyo vértice es el punto )1,3( P . 
 
 
 
 
 
 
 
b) Haz de rectas paralelas 
 
 Se llama haz de rectas paralelas a la recta 0 CByAxr , al conjunto de todas las 
rectas del plano que son paralelas a .r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
14 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
 La ecuación del haz será: 
 
0 kByAx 
 
 
k es un parámetro que puede tomar 
cualquier valor real. 
 
 Ejemplos: 
 
a) Haz de rectas paralelas a la recta 0432  yxr . 
 
 
 
 
b) Halla la recta del haz anterior que pasa por el punto )1,2( P . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
15 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS 
 
 Gráficamente 
 
Secantes 
Se cortan en un punto 
 
 
Paralelas 
Ningún punto en común 
 
 
Coincidentes 
Infinitos puntos en común 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Analíticamente 
 
 Existen varios criterios analíticos para determinar la posición relativa de dos rectas: 
 
 Comparando los vectores directores. 
 
- Secantes: vectores directores no son paralelos, es decir, tienen distinta dirección. 
 
- Paralelas o coincidentes: vectores directores paralelos. 
 
 Comparando las pendientes. 
 
- Secantes: tienen pendientes diferentes. 
 
- Paralelas o coincidentes: tienen pendientes iguales. 
 
 Estudio del sistema formado por las dos rectas. 
 
Sean 0 CByAxr , 0´´´  CyBxAs 
- Secantes: 
´´ B
B
A
A
 (Sistema Compatible determinado)  el punto de corte se obtiene 
resolviendo el sistema. 
- Paralelas: 
´´´ C
C
B
B
A
A
 (Sistema Incompatible). 
- Coincidentes: 
´´´ C
C
B
B
A
A
 (Sistema Compatible Indeterminado). 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
16 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 Ejemplos: 
 
 Estudia la posición relativa de las rectas: 
 
a) 





0232
0132
yxs
yxr
 b) 





0264
0132
yxs
yxr
 c) 





0425
0132
yxs
yxr
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Halla el valor de k para que las rectas 0321  ykxr y 0122  kyxr sean 
paralelas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
17 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
5. ÁNGULO DEDOS RECTAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
18 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
 
 
 Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
19 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
6. CÁLCULO DE DISTANCIAS 
 
a) Distancia entre dos puntos 
 
 
Ejemplo: Halla la distancia entre los puntos )4,2(A y )3,1( B . 
 
 
 
 
 
b) Distancia de un punto a una recta 
Dados un punto P y una recta r , se entiende por distancia del punto P a la recta r a la mínima 
distancia entre dicho punto y cualquier punto de la recta. 
 
 
 
 
Demostración: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
20 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: 
 
a) Halla la distancia del punto )4,2(P a la recta .053  yxr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Halla la distancia del punto )11,2(Q a la recta .053  yxr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
21 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
c) Distancia entre dos rectas 
Se entiende por distancia entre dos rectas a la menor distancia que se puede obtener al tomar un 
punto de cada una de ellas. Tenemos: 
 
- Si las rectas son secantes o coincidentes  0),( srd . 
 
- Si las rectas son paralelas, tenemos: 
 
 
22
´
,),(
BA
CC
sPdsrd


 
donde ,rP 0 CByAxr 
 
 0´ CByAxs 
 
 
 
 
 Demostración: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: Calcula la distancia entre las rectas 032  yxr y 0124  yxs . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
22 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
 
PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO 
 
 Mediatriz: recta perpendicular a un lado y que pasa por el punto medio de dicho lado. 
 
 Circuncentro: punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de 
la circunferencia circunscrita al triángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 Altura: recta perpendicular a un lado y que pasa por el vértice opuesto. 
 
 Ortocentro: punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto] 
23 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
 
 Mediana: recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto. 
 
 Baricentro: punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo. Es el centro de 
gravedad del triángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 Bisectriz: recta que divide al ángulo en dos partes iguales. 
 
 Incentro: punto donde se cortan las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de la 
circunferencia inscrita al triángulo.