GUIA 1 SISTEMAS NUMERICOS (2)

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 1: SISTEMAS NUMÉRICOS 
 
LOS NÚMEROS REALES 
 
Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales 
e irracionales. Se representa con la letra ℜ. 
 
 
 
 
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Usaremos la siguiente notación para referirnos a los distintos sistemas numéricos: 
 
N Naturales Q’ Irracionales 
Z Enteros R Reales 
F Fracciones I Imaginarios 
Q Racionales C Complejos 
 
En este curso, trabajaremos con estos conjuntos numéricos. 
 
Números naturales 
De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números 
con los que estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... hasta el infinito. El conjunto de los 
números naturales se designa con la letra mayúscula N. 
Todo número natural se puede escribir usando los diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, y 9, 
que reciben el nombre de dígitos. 
Ejemplo 
Los números naturales nos sirven para decir cuántos compañeros tenemos en clases, la 
cantidad de flores que hay en un ramo y el número de libros que hay en una biblioteca. 
 
𝑵 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, … } 
 
Números enteros 
El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números 
simétricos. Esto incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los números 
negativos se denotan con un signo "menos" (─). Se designa por la letra mayúscula Z y se 
representa como: 
𝒁 = {… , −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, … } 
 
Los enteros positivos son números mayores que cero, mientras que los números menores 
que cero son los enteros negativos. 
Los números enteros nos sirven para: 
 representar números positivos: ganancias, grados sobre cero, distancias a la derecha; 
 representar números negativos: deudas, pérdidas, grados bajo cero y distancias a la 
izquierda. 
La necesidad de los números enteros negativos se pone de manifiesto cuando se resuelven 
ecuaciones lineales como 𝒙 + 𝟒 = 𝟎, de donde 𝒙 = −𝟒. Antes se decía que estas 
ecuaciones no tenían solución. 
 
Números racionales 
Los números fraccionarios surgen por la necesidad de medir cantidades no enteras y las 
divisiones inexactas. Medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen y el 
peso, llevó al hombre a introducir las fracciones. El conjunto de números racionales se 
designa con la letra Q: 
 
 
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𝑸 = {… , −
𝟑
𝟓
, −
𝟐
𝟗
, −𝟏, 𝟎,
𝟏
𝟐
, 𝟐,
𝟕
𝟑
,
𝟗
𝟐
, 𝟓, … } 
 
Un pastel dividido entre tres personas se representa como 1/3 (un tercio) para cada 
persona; una décima parte de un metro es 1/10 m = 0,1m, son ejemplos de usos de 
racionales. 
La necesidad de los números racionales Q, se manifiesta cuando se resuelven ecuaciones 
lineales como 𝟓𝒙 + 𝟑 = 𝟎, de donde 𝒙 = − 𝟑 𝟓.⁄ 
 
Números irracionales 
Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse como la 
división de enteros en el que el denominador es distinto de cero. Se representa por la letra 
mayúscula Q’. 
Aquellas magnitudes que no pueden expresarse en forma entera o como fracción que son 
inconmensurables son también irracionales. Por ejemplo, la relación de la circunferencia al 
diámetro el número π = 3,141592… 
Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni 
fraccionario, son números irracionales: 
 
𝑸′ = {… , −√𝟑, √𝟐, 𝒆, 𝝅, √𝟏𝟓, … } 
 
Los números irracionales Q’ aparecen cuando se resuelven ecuaciones cuadráticas como 
𝒙𝟐 − 𝟓 = 𝟎, de donde 𝒙 = ±√𝟓. 
 
Números imaginarios 
Son los números basados en la unidad imaginaria: la raíz cuadrada de menos uno: 
𝒊 = √−𝟏 
Surgieron de la necesidad de resolver ecuaciones cuadráticas, como veremos más adelante. 
 
𝑰 = {… , −𝟑𝒊, −𝟐𝒊, 𝟎, 𝒊, 𝟐𝒊, 𝟑𝒊, 𝟒𝒊, … } 
 
Antes de la introducción de los números imaginarios I y de los complejos C, se afirmaba que 
algunas ecuaciones de segundo grado no tenían solución. Por ejemplo, una ecuación como 
𝒙𝟐 + 𝟒 = 𝟎 “no tenía solución”, pero hoy sabemos que 𝒙 = ±√−𝟒 = ±√𝟒(−𝟏) =
±𝟐√−𝟏 = ±𝟐𝒊. 
 
Números complejos 
Es el mayor conjunto numérico, pues los comprende a todos. Los complejos están formados 
de dos partes: una real y una imaginaria: 
 
𝑪 = {… , −𝟑 + 𝟒𝒊, −𝟐 + 𝒊, −𝟏, 𝟎, 𝟏 + 𝒊, 𝟐 + 𝟓𝒊, … } 
 
 
 
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EJEMPLO 1. Operaciones entre conjuntos numéricos 
Observando detenidamente las dos gráficas iniciales y recordando las operaciones entre 
conjuntos, la unión (U) y la intersección (∩), vemos que: 
 
𝒂) 𝑸 ∪ 𝑸´ = 𝑹 𝒃) 𝒁 ∩ 𝑵 = 𝑵 
𝒄) 𝑵 ∪ {𝟎} = 𝒁+ 𝒅) 𝒁− ∩ 𝑵 = ∅ 
 
Si S es un conjunto no vacío, en el cual se han definido una o más operaciones, entonces el 
conjunto S junto con la operación u operaciones definidas en él se llama un sistema 
numérico. Un sistema de tal tipo definido con una operación, se simboliza como 〈𝑆; 𝑜〉. 
Un sistema compuesto de un conjunto S y dos operaciones, se simboliza como 〈𝑆; 𝑜1, 𝑜2〉. 
 
EJEMPLO 2. El sistema de los números naturales N 
〈𝑁; +〉 es el sistema compuesto del conjunto de los naturales y la operación adición o suma. 
〈𝑍; +,×〉 es el sistema compuesto del conjunto de los números enteros Z y las dos 
operaciones suma y multiplicación, definidas en Z. 
 
Damos a continuación una lista de las propiedades de los números reales que utilizaremos 
a lo largo del curso. 
 
Propiedades de los números reales 
1. La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a + b ∈ ℜ. 
2. La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a + b = b + a. 
3. La suma de números reales es asociativa, es decir, (a + b) + c = a + (b + c). 
4. La suma de un número real y cero es el mismo número; a + 0 = a. 
5. Para cada número real existe otro número real opuesto, tal que su suma es igual a 0: a 
+ (-a) = 0 
6. La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈ ℜ. 
7. La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b = b. a. 
8. El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c) 
9. En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1 = a. 
10. Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso 
multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1. 
11. La multiplicación es distributiva con respecto a la suma: Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a (b + 
c) = (a . b) + (a . c) 
12. a + c = b + c ↔ a = b 
13. Si c es diferente de cero, entonces a.c = b.c ↔ a = b 
14. Dados dos números reales a y b, una y sólo una de las siguientes proposiciones es 
verdadera: a < b, a = b, a > b 
15. Si a < b y b < c  a < c 
16. a + c < b + c ↔ a < b 
17. Si c > 0, entonces a.c < b.c ↔ a < b 
18. Si c < 0, entonces a.c < b.c ↔ a > b 
 
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EJERCICIOS 
 
1. Dados x para designar la operación multiplicación en N y A el subconjunto de N formado 
por los números impares, ¿es dicha operación cerrada en A? 
2. Dados + para designar la operación adición en N y A el subconjunto de N formado por 
los números impares, ¿es dicha operación cerrada en A? 
3. Dé un contraejemplo que demuestre que la operación sustracción NO es asociativa en 
N. 
4. Hallar los inversos de los siguientes números del conjunto Q de los racionales: 4, 1/8, 
3/2, -6, 1/3. 
5. Realice las siguientes operaciones entre los conjuntos numéricos dados: 
𝒂) 𝑸 ∩ 𝑸´ 𝒃) 𝑸 ∩ 𝑵 
𝒄) 𝑪 ∪ 𝑹 𝒅) 𝒁− ∪ 𝒁 
6. Dado el conjunto S = {a, b} y la operación arbitraria  definida por la siguiente tabla, 
demuestre que dicha operación es conmutativa en S, verificando las 4 diferentes 
proposiciones que se forman: 
 
 a b 
a a b 
b b a