GUIA 4 OPERACIONES CON RACIONALES (1)

Vista previa del material en texto

1 
 
 
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 4: OPERACIONES CON RACIONALES 
 
POTENCIACIÓN 
 
Para elevar un racional a una potencia dada, se elevan tanto 
el numerador como el denominador a dicha potencia. 
 
EJEMPLO 1. La potenciación en los racionales 
 
(𝒂) (
𝟑
𝟓
)
𝟑
=
𝟑𝟑
𝟓𝟑
=
𝟐𝟕
𝟏𝟐𝟓
 
 
(𝒃) (−
𝟐
𝟑
)
𝟐
= (−
𝟐
𝟑
) (−
𝟐
𝟑
) =
𝟒
𝟗
 
 
(𝒄) (−
𝟏
𝟐
)
𝟓
= (−
𝟏
𝟐
) (−
𝟏
𝟐
) (−
𝟏
𝟐
) (−
𝟏
𝟐
) (−
𝟏
𝟐
) = −
𝟏
𝟑𝟐
 
 
 En algunos casos las operaciones pueden aparecer combinadas como vemos en 
los siguientes ejemplos. 
 
EJEMPLO 2. Potencia y otras operaciones 
 
(𝒂) (
𝟐
𝟓
)
𝟒
÷ (
𝟐
𝟓
)
𝟐
=
𝟏𝟔
𝟔𝟐𝟓
÷
𝟒
𝟐𝟓
=
𝟏𝟔
𝟔𝟐𝟓
×
𝟐𝟓
𝟒
=
𝟒
𝟐𝟓
 
 
(𝒃) (
𝟑
𝟖
)
𝟐
− (−
𝟏
𝟐
)
𝟐
=
𝟗
𝟔𝟒
−
𝟏
𝟒
=
𝟗 − 𝟏𝟔
𝟔𝟒
= −
𝟕
𝟔𝟒
 
 
PROPIEDADES DE LA POTENCIA 
Debemos recordar que la potenciación es un caso particular de la multiplicación, operación 
en la cual la base se multiplica por sí misma tantas veces como indica el exponente. 
 
2 
 
 
Si a es un número real y m, n son números enteros, la potencia cumple 
las siguientes propiedades. 
P1 𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 
 
P2 
𝒂𝒎
𝒂𝒏
= 𝒂𝒎−𝒏 
 
P3 𝒂𝟎 = 𝟏, 𝒂 ≠ 𝟎 
P4 𝒂
−𝒎 =
𝟏
𝒂𝒎
 𝒐 𝒂𝒎 =
𝟏
𝒂−𝒎
 
P5 (𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎∙𝒏 
 
P6 𝒂𝒎 𝒏⁄ = √𝒂𝒎
𝒏
 
EJEMPLO 3. Aplicación de las propiedades de la potencia 
(𝒂) (𝟒𝟑 × 𝟒𝟒) ÷ 𝟒𝟐 = 𝟒𝟑+𝟒 ÷ 𝟒𝟐 = 𝟒𝟕 ÷ 𝟒𝟐 = 𝟒𝟕−𝟐 = 𝟒𝟓 
(𝒃) (𝟐𝟖 ÷ 𝟐𝟒) × 𝟐𝟐 = 𝟐𝟖−𝟒 × 𝟐𝟐 = 𝟐𝟒 × 𝟐𝟐 = 𝟐𝟒+𝟐 = 𝟐𝟔 
(𝒄) (
𝟐𝟑 × 𝟓−𝟐 × 𝟑𝟒
𝟐−𝟑 × 𝟓𝟑 × 𝟑−𝟐
)
𝟐
= (
𝟐𝟑 × 𝟐𝟑 × 𝟑𝟒 × 𝟑𝟐
𝟓𝟑 × 𝟓𝟐
)
𝟐
= (
𝟐𝟔 × 𝟑𝟔
𝟓𝟓
)
𝟐
 
 =
𝟐𝟏𝟐 × 𝟑𝟏𝟐
𝟓𝟏𝟎
 
 
 
3 
 
EJERCICIOS 
Resuelva los ejercicios 1 a 8, aplicando la potenciación en Q. Simplifique el resultado. 
 
(𝟏) (
𝟑
𝟒
)
𝟑
+ (
𝟏
𝟐
)
𝟒
 
 
(𝟓) (
𝟑
𝟒
)
𝟐
× (
𝟏
𝟐
)
𝟒
 
 
(𝟐) (
𝟐
𝟕
)
𝟐
− (
𝟏
𝟐
)
𝟑
 
 
(𝟔) [(
𝟏
𝟐
)
𝟑
+ (
𝟏
𝟐
)
𝟒
] ÷
𝟏
𝟐
 
 
(𝟑) (
𝟑
𝟒
)
𝟑
÷ (
𝟏
𝟐
)
𝟒
 
 
(𝟕) [(
𝟐
𝟓
)
𝟒
÷ (
𝟒
𝟓
)
𝟐
] ×
𝟑
𝟒
 
 
(𝟒) [(
𝟑
𝟐
)
𝟑
+ (
𝟏
𝟐
)
𝟒
 ] ×
𝟏
𝟐
 
 
(𝟖) [(
𝟏
𝟓
)
𝟑
+ (
𝟏
𝟓
)
𝟐
 ] ×
𝟓
𝟑
 
 
Resuelva los ejercicios 9 a 14, aplicando las propiedades de la potenciación en Q. Simplifique 
el resultado. 
 
(𝟗) 𝟑𝟑 × 𝟑𝟐 × 𝟑−𝟓 
(𝟏𝟐) (
𝟒𝟑 × 𝟓−𝟐 × 𝟒𝟐
𝟒𝟓 × 𝟓𝟑 × 𝟓−𝟐
)
𝟐
 
(𝟏𝟎) (𝟑𝟑 × 𝟑𝟐) ÷ 𝟑−𝟓 
(𝟏𝟑) (
𝒙𝟐 × 𝒚−𝟐 × 𝒛𝟐
𝒙−𝟒 × 𝒚𝟑 × 𝒛−𝟑
)
−𝟐
 
(𝟏𝟏) 
𝟏
𝟐−𝟓
×
𝟏
𝟐−𝟐
 
(𝟏𝟒) (𝒂𝟐 × 𝒂𝟒) ÷ (𝒂𝟐)𝟒