GUIA 2 NÚMEROS RACIONALES (1)

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 2: NÚMEROS RACIONALES 
 
El conjunto Q de los números racionales está formado por los números de la forma 
 
𝒂
𝒃
 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒚 𝒃 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓, 𝒃 ≠ 𝟎. 
 
Por ejemplo, son racionales 
 
𝟑
𝟒
,
𝟐
𝟗
, −
𝟓
𝟕
,
𝟓
𝟏𝟏
, −
𝟑
𝟏𝟑
,
𝟏
𝟐
 
 
El conjunto Q de los números racionales cumplen todas las propiedades de los números reales 
vistas en la Guía 1. Cumplen además otras propiedades como las siguientes: 
 
IGUALDAD DE NÚMEROS RACIONALES 
 
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
 ⇔ 𝒂𝒅 = 𝒃𝒄 
 
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES 
 
𝒌𝒂
𝒌𝒃
=
𝒂
𝒃
, 𝒌 ≠ 𝟎. 
 
EJEMPLO 1. Igualdad de números racionales 
𝟐
𝟑
=
𝟖
𝟏𝟐
 𝒑𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 𝟐 × 𝟏𝟐 = 𝟑 × 𝟖 
𝟒
𝟓
≠
𝟕
𝟏𝟎
 𝒑𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 𝟒 × 𝟏𝟎 ≠ 𝟓 × 𝟕 
 
SUMA Y RESTA DE RACIONALES 
(a) Si los números racionales son HOMOGÉNEOS, es decir, tienen el MISMO 
DENOMINADOR, se suman (o restan) los numeradores y se escribe el mismo 
denominador: 
 
 
2 
 
(𝒂)
𝟑
𝟏𝟎
+
𝟏
𝟏𝟎
+
𝟑
𝟏𝟎
=
𝟑 + 𝟏 + 𝟑
𝟏𝟎
=
𝟕
𝟏𝟎
 
 
(𝒃) 
𝟕
𝟗
−
𝟐
𝟗
=
𝟕 − 𝟐
𝟗
=
𝟓
𝟗
 
 
(𝒄) 
𝟓
𝟏𝟐
−
𝟏
𝟏𝟐
+
𝟑
𝟏𝟐
−
𝟏
𝟏𝟐
=
𝟓 − 𝟏 + 𝟑 − 𝟏
𝟏𝟐
=
𝟔
𝟏𝟐
=
𝟏
𝟐
 
 
(b) Si los números racionales son HETEROGÉNEOS, es decir, tienen DIFERENTES 
DENOMINADORES, se reducen primero a un común denominador: 
Si son dos los racionales, se sigue el siguiente método: 
 
(𝒂) 
𝟑
𝟒
+
𝟐
𝟓
= 
(𝟑 × 𝟓) + (𝟒 × 𝟐)
𝟒 × 𝟓
=
𝟏𝟓 + 𝟖
𝟐𝟎
=
𝟐𝟑
𝟐𝟎
 
 
(𝒃) 
𝟑
𝟖
−
𝟒
𝟓
= 
(𝟑 × 𝟓) − (𝟖 × 𝟒)
𝟖 × 𝟓
=
𝟏𝟓 − 𝟑𝟐
𝟒𝟎
= −
𝟏𝟕
𝟒𝟎
 
 
Si se suman o restan más de dos racionales, se busca primero el MCM de los denominadores. 
Este MCM se DIVIDE entre CADA DENOMINADOR y se multiplica por el respectivo 
NUMERADOR: 
 
(𝒄) 
𝟓
𝟏𝟐
−
𝟏
𝟔
+
𝟑
𝟒
=
𝟏 ∗ 𝟓 − 𝟐 ∗ 𝟏 + 𝟑 ∗ 𝟑
𝟏𝟐
=
𝟓 − 𝟐 + 𝟗
𝟏𝟐
=
𝟏𝟐
𝟏𝟐
= 𝟏 
 
En este caso, el MCM DE 12, 6 y 4 es 12. 
 
(𝒅) 
𝟕
𝟏𝟐
+
𝟏
𝟖
−
𝟓
𝟔
=
𝟐 ∗ 𝟕 + 𝟑 ∗ 𝟏 − 𝟒 ∗ 𝟓
𝟐𝟒
=
𝟏𝟒 + 𝟑 − 𝟐𝟎
𝟐𝟒
= −
𝟑
𝟐𝟒
= −
𝟏
𝟖
 
 
 
MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES 
Para multiplicar números racionales se multiplican numeradores entre sí y denominadores 
entre sí. El producto se simplifica, si se puede. Si aparecen fraccionarios positivos y negativos 
al multiplicar, se aplica la ley de los signos de la multiplicación. 
(𝒂) 
𝟑
𝟒
×
𝟓
𝟕
=
𝟑 × 𝟓
𝟒 × 𝟕
=
𝟏𝟓
𝟐𝟖
 
 
3 
 
(𝒃) 
𝟑
𝟓
× (−
𝟏𝟎
𝟑
) ×
𝟐
𝟕
= −
𝟔𝟎
𝟏𝟎𝟓
= −
𝟒
𝟕
 
DIVISIÓN DE RACIONALES 
 
Para dividir dos números racionales, se multiplica el primer fraccionario por el INVERSO 
multiplicativo de la segunda fracción. 
 
(𝒂) 
𝟓
𝟖
÷
𝟑
𝟒
=
𝟓
𝟖
×
𝟒
𝟑
=
𝟓 × 𝟒
𝟖 × 𝟑
=
𝟐𝟎
𝟐𝟒
=
𝟓
𝟔
 
 
(𝒃) 
𝟓
𝟖
÷ (−
𝟐
𝟑
) =
𝟓
𝟖
× (−
𝟑
𝟐
) =
𝟓 × (−𝟑)
𝟖 × 𝟐
= −
𝟏𝟓
𝟏𝟔
 
Es posible que en algunos ejercicios aparezca combinación de operaciones. Si aparecen 
signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), las operaciones internas deben 
resolverse primero, como se muestra en los siguientes ejemplos. 
(𝒂) (
𝟒
𝟑
×
𝟑
𝟖
) ÷
𝟏
𝟐
=
𝟏𝟐
𝟐𝟒
÷
𝟏
𝟐
=
𝟏𝟐
𝟐𝟒
×
𝟐
𝟏
=
𝟐𝟒
𝟐𝟒
= 𝟏 
(𝒃) (
𝟑
𝟖
−
𝟓
𝟏𝟐
) ÷ (
𝟒
𝟑
+
𝟓
𝟔
 ) = (
𝟗 − 𝟏𝟎
𝟐𝟒
) ÷ (
𝟖 + 𝟓
𝟔
) = −
𝟏
𝟐𝟒
÷
𝟏𝟑
𝟔
 
−
𝟏
𝟐𝟒
×
𝟔
𝟏𝟑
= −
𝟔
𝟑𝟏𝟐
= −
𝟏
𝟓𝟐
 
(𝒄) 
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟑
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟑
+
𝟑
𝟓
+
𝟏
𝟓
𝟑
𝟓
−
𝟏
𝟓
=
𝟑 + 𝟐
𝟔
𝟑 − 𝟐
𝟔
+
𝟑 + 𝟏
𝟓
𝟑 − 𝟏
𝟓
=
𝟓
𝟔
𝟏
𝟔
+
𝟒
𝟓
𝟐
𝟓
=
𝟓
𝟏
+
𝟒
𝟐
= 𝟓 + 𝟐 = 𝟕 
En una de las operaciones, se simplifica aplicando la conocida popularmente como la “ley de 
la oreja”: 
𝟓
𝟔
𝟏
𝟔
=
𝟓 × 𝟔
𝟔 × 𝟏
=
𝟓
𝟏
= 𝟓 𝒚 
𝟒
𝟓
𝟐
𝟓
=
𝟒 × 𝟓
𝟓 × 𝟐
=
𝟒
𝟐
= 𝟐 
 
En general, se han aplicado las siguientes reglas básicas para las operaciones en Q: 
 
 
4 
 
𝑺𝒖𝒎𝒂: 
𝒂
𝒃
+
𝒄
𝒅
=
𝒂𝒅 + 𝒃𝒄
𝒃𝒅
 
 
𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏: 
𝒂
𝒃
×
𝒄
𝒅
=
𝒂𝒄
𝒃𝒅
 
 
𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊ó𝒏: 
𝒂
𝒃
÷
𝒄
𝒅
=
𝒂
𝒃
×
𝒅
𝒄
=
𝒂𝒅
𝒃𝒄
 
 
EJERCICIOS 
 
Resolver las operaciones 1 a 6 con racionales. 
(𝟏) 
𝟑
𝟒
+
𝟐
𝟒
−
𝟕
𝟒
 (𝟒) 
𝟑
𝟖
÷
𝟐
𝟒
 
(𝟐) 
𝟒
𝟓
+
𝟑
𝟏𝟎
−
𝟏
𝟏𝟓
 (𝟓) (−
𝟐
𝟓
) (−
𝟏𝟎
𝟑
) (−
𝟔
𝟒
) 
(𝟑) 
𝟑
𝟒
×
𝟐
𝟑
×
𝟕
𝟒
 (𝟔) 
𝟑
𝟖
+ (−
𝟗
𝟐
) 
 
Resolver las operaciones combinadas 7 a 12 en Q. 
(𝟕) [
𝟑
𝟒
+
𝟕
𝟐
] ×
𝟑
𝟓
 (𝟏𝟎) [
𝟒
𝟑
÷ (−
𝟐
𝟑
)] × [
𝟐
𝟑
+
𝟒
𝟑
] 
(𝟖) [
𝟒
𝟑
÷ (−
𝟐
𝟑
)] ×
𝟐
𝟓
 (𝟏𝟏) [
𝟕
𝟒
−
𝟕
𝟐
] ÷
𝟑
𝟓
 
(𝟗) 
𝟏
𝟑
+
𝟏
𝟒
𝟏
𝟑
−
𝟏
𝟒
+
𝟑
𝟓
+
𝟏
𝟓
𝟑
𝟓
−
𝟏
𝟓
 (𝟏𝟐) 
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟑
𝟏
𝟒
−
𝟏
𝟑
+
𝟑
𝟓
−
𝟏
𝟓