Ciencia_y_Tecnica_entre_la_Paz_y_la_Guer

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GONZÁLEZ REDONDO, F. A. (coord.) (2015) Ciencia y Técnica entre la Paz y la Guerra. 1714, 1814, 1914.
Madrid, SEHCYT, pp. 179-186.
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179
LIBROS DE/CON CÁLCULO DIFERENCIAL EN LA BIBLIOTECA HISTÓRICA DE 
LA UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID, 1696-1829
Emilia Palma-Villalón(1)
(1) E.T.S. de Ingeniería Aeronáutica y del Espacio de la UPM, Madrid, España, emilia.palma@upm.es
Resumen
El Cálculo Diferencial fue introducido al final del siglo XVII por dos grandes científicos, I.
Newton y G. W. Leibniz, de forma independiente, desde diferentes perspectivas y utilizando distinta 
notación. El primer libro de texto impreso de Cálculo Diferencial fue el Analyse des infiniment petits, 
pour l'intelligence des lignes courbes del Marquis de L'Hospital, publicado en 1696 y en el que se 
recoge el teorema conocido como la Regla de L’Hôpital. Por otro lado, el primer libro de texto de/con 
Cálculo Diferencial en la Biblioteca de la UCM en donde encontramos la ‘Regla’ es el Tomo 4, Cálculo 
diferencial é integral del Curso completo de matemáticas puras de J. de Odriozola, de 1829, que 
marca el final de un primer periodo de la evolución de la ‘Regla’.
La Biblioteca Histórica de la Universidad Complutense de Madrid se constituyó en 2000 con los 
fondos antiguos de todas las facultades de la Universidad madrileña, fondos que se están 
digitalizando. 42 de los 80 libros de texto de matemáticas digitalizados que se han analizado hasta el 
momento, o bien están dedicados a la enseñanza del Cálculo diferencial o bien se puede constatar en 
ellos el uso del Cálculo, aunque no incluyera su enseñanza. De entre los autores presentes se
pueden destacar los nombres de Taylor, Belidor, Agnesi, Wolff, Muller, Jorge Juan, Cerdá, Bails,
Giannini, Chaix, etc.
En esta comunicación se determina qué ideas predominan en los textos matemáticos 
digitalizados en la Biblioteca Histórica analizados, si las ideas de Leibniz (los diferenciales, dx ) o las 
de Newton (las fluxiones, x ), o bien si se hubieran llegado a generalizar ya, al final del siglo XVIII, las 
nuevas ideas introducidas por Lagrange (las derivadas, f ), y se presenta una visión comparativa 
global del uso de las ideas de Leibniz y Newton en los libros de texto de la Biblioteca Histórica entre 
las dos fechas límite anunciadas: 1696 a 1829.
Palabras Clave : Cálculo Diferencial, Biblioteca Histórica de la UCM, Historia de la Matemática, Libros 
de texto, Siglo XVIII, Siglo XIX.
BOOKS ON/WITH DIFFERENTIAL CALCULUS IN THE HISTORICAL LIBRARY 
OF MADRID’S COMPLUTENSE UNIVERSITY, 1696-1829
Abstract
Differential calculus was developed at the end of the seventeenth century by two great 
scientists, I. Newton and G.W. Leibniz, who worked independently, from different points of view and 
using different notation. The first textbook on differential calculus was Marquis de l'Hôpital’s Analyse 
des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes. It was written in 1696 and it contained, for 
the first time in print, the theorem which would be known as L'Hôpital’s Rule. On the other hand, the
180 Ciencia y Técnica entre la Paz y la Guerra. 1714, 1814, 1914
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first textbook on/with Differential Calculus in UCM’s Historical Library containing the ‘Rule’ is Volume 
4, Differential and Integral Calculus of J. Odriozola’s Complete course of pure mathematics (1829), a
book which marks the end of the first period in the evolution of the ‘Rule’.
The Historical Library, founded in 2000, gathered together all those old books preserved in the 
libraries of all faculties and colleges of the UCM. 42 out of the 80 digitalized text books on 
mathematics analyzed until now either deal with the teaching of Differential Calculus or at least 
contain different uses of the Calculus, though they do not include its teaching. Amongst the authors 
the following names stand out: Taylor, Belidor, Agnesi, Wolff, Muller, Jorge Juan, Cerdá, Bails, 
Giannini, Chaix, etc.
This paper is dedicated to determine which are the prevailing ideas in the digitalized 
mathematical text books in UCM’s Library that have been analyzed: weather Leibniz’s differentials, dx,
or Newton’s fluxions, x or even, in the case their use was generalized at the end of the XVIII century, 
if the prevailing ideas were Lagrange’s new concept: derivatives, f .
Finally, a general comparative analysis is provided of the use of both Newton’s and Leibniz’s 
ideas in the books of the Historical Library published between 1696 and 1829.
Keywords : Differential Calculus, UCM’s Historical Library, History of Mathematics, Textbooks, 18th
Century, 19th Century.
1. INTRODUCCIÓN, PRESENTACIÓN
Desde 2012 he estado analizando los libros de texto de cálculo diferencial de la Biblioteca 
Histórica de la UCM, publicados entre 1696 y 1829, para un trabajo de investigación en la Universidad 
Complutense de Madrid (UCM). Comencé investigando la evolución histórica-educativa de un 
conocido teorema de Matemáticas, la Regla de L´Hôpital, como Trabajo Fin de Máster en la Facultad 
de Educación bajo la dirección del profesor Francisco A. González Redondo.
Dentro del corpus de datos analizados he encontrado libros que se ocupan de la enseñanza del 
cálculo diferencial, y de los que digo que son “de” cálculo diferencial, y otros que simplemente lo 
utilizan, por lo que los he caracterizado como “con” cálculo diferencial; de ahí la distinción en el título 
entre “de/con” cálculo diferencial. En esta comunicación se presenta un estudio sobre estos libros 
de/con cálculo diferencial conservados en la Biblioteca Histórica de la UCM, que se publicaron entre 
las fechas 1696-1829.
El cálculo diferencial lo crearon I Newton (1643-1727) y W. G. Leibniz (1646-1716) de forma 
independiente, a finales del siglo XVII. Para Kleiner [2001], ellos inventaron los conceptos generales 
de derivada (“fluxión”, “differential”) y de integral, y reconocieron que la diferenciación y la integración 
eran operaciones inversas [KLEINER, 2001, p. 142], que es lo que se conoce como “descubrimiento 
del Cálculo”.
El primero en publicar sobre el cálculo diferencial fue Leibniz [1684, p. 467], en la revista Acta 
Eruditorum, donde introduce la “differentia” de una variable: dx, dv, dy, dw, dz, y donde también dice 
que “y & dy,” es la variable indeterminada con “sua differentiali”. Leibniz llega a la idea de los 
diferenciales a través del estudio de las series, y, aunque en el Acta Eruditorum hace una 
presentación geométrica de estos diferenciales, introduce dx como una recta arbitraria.
De acuerdo con Cajori [1993, p. 200], Leibniz comienza a utilizar los símbolos de estas 
“différences”, dx, dy, dz, en 1677. Y sabemos, por ejemplo a través de Francisco Vera [2000, p. 229] 
que, al mismo tiempo que Leibniz estudiaba las series numéricas, Newton se ocupaba del análisis de 
la luz, consideraba el movimiento continuo de sus puntos y llamaba “fluxiones” (derivadas) a las 
velocidades de éstos.
Libros de/con Cálculo Diferencial en la Biblioteca Histórica de la UCM 1696-1829 181
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El primer libro de texto impreso donde aparece las nuevas ideas de Newton es Opticks,
publicado, en inglés, en 1704, y que incluye, al final, dos tratados en latín. En uno de ellos, el 
“Tractatus de Quadratura Curvarum”, define las fluxiones como “celeritatis” e introduce la notación 
característica de las fluxiones con el punto sobre la variable: x . Hay que hacer notar que en este 
tratado aparece igualmente el uso de la notación “0” de Newton [1704, p. 168], como incremento, 
para conseguir las derivadas: “Quo tempore quantitas x fluendo evadit x + 0, quantitas nx evadet
n
x o … Evanescant … n Inx ”.
Tras una primera revisión de los libros de/con cálculo diferencial en la UCM, se observaba que 
el uso de la terminología de Leibnizen los textos parecía estar más extendido que la de Newton, pero 
había que plantear cómo investigar cómo poder comprobarlo, y en caso afirmativo, dar las 
herramientas para poder demostrar que así era, presentándose aquí los resultados hasta ahora 
alcanzados.
2. EL CÁLCULO DIFERENCIAL EN EL SIGLO XVIII: MARCO HISTÓRICO-TEÓRICO
Leibniz llega a las diferenciales a través del estudio de las series y, en particular, de las sumas 
infinitas de diferencias. Por el contrario, según él mismo reconocía, Newton [1704, p. 166] concibió las 
fluxiones en 1665-66 entendiéndolas como velocidades, aunque su teoría de fluxiones no aparece 
impresa por primera vez hasta el “Tractatus de Quadratura Curvarum” que acompaña su Opticks,
donde Newton [1704, p. 170] dice que dadas las cantidades indeterminadas z, y, x, v, serán “fluxiones 
seu celeritates”, denotándolas con “literis punctatis , , ,z y x v .
Leibniz concebía las cosas por sus relaciones, como nos indica Montesinos [2009 p. 81]: “Para 
él, el espacio no es más que una relación que concebimos entre los seres coexistentes […] las 
distancias entre ellos, etc.”. Esto se puede observar en el primer libro de texto publicado de cálculo 
diferencial, escrito por G. F. A. de L’Hospital [1696], el Analyse des infiniment petits, que introduce 
parte de las enseñanzas de su profesor Jean (Johann) Bernoulli, seguidor de Leibniz [BLANCO, 2008, 
p. 8]. Aquí aparecen los conceptos difundidos por sus seguidores, que consideraban que cuando dx
es una cantidad infinitamente pequeña, al sumársela a x ésta no varía, destacando la relación entre 
ellos: aquella cantidad aumentada que hace que no cambie y se pueda tomar la cantidad, x + dx = x
[PALMA-VILLALÓN, GONZÁLEZ, 2013]. 
Según Vera [2000, p. 233] el principal obstáculo del cálculo infinitesimal consistía en que los 
infinitésimos se tomaban unas veces como magnitudes físicas y otras como ceros. Las visiones 
complementarias geométrica/física de Leibniz/Newton se difundieron durante el siglo XVIII y fue J. L. 
Lagrange (1736-1813), a finales del siglo, quien introduzca las “derivadas” para salvar la problemática 
surgida con los infinitamente pequeños de los seguidores de Leibniz y los términos evanescentes de 
los newtonianos.
Lagrange supone que las funciones se pueden expresar por sumas de infinitos términos, es 
decir, se pueden desarrollar en una serie de potencias, donde los primeros coeficientes de estas 
expresiones las denomina “derivadas” de ésta: derivada primera, derivada segunda, etc.
En su Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel dégagés 
de toute considération d'infiniment petits et d'évanouissans, de limites ou De fluxions et réduits à 
l'analyse algébrique des quantités finies Lagrange [1797] nos dice que si en la función fx , en lugar 
de x ponemos x+ i, siendo i una cantidad cualquiera indeterminada, se convertirá en f x i , y, por la 
teoría de series, se podrá desarrollar en una serie [de potencias] de la forma [LAGRANGE, 1796, p. 2]
182 Ciencia y Técnica entre la Paz y la Guerra. 1714, 1814, 1914
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2 3 & .fx pi qi ri c , llegando a que: ,2 ,3 ,4 ,& .p f x q p r q s r c , en donde aparece la 
notación característica de Lagrange [1796, p. 14]: “ f x , est là premier fonction derivée de fx ”.
Para Kleiner [2001, p. 150] la algebraización del cálculo duró cerca un siglo, hasta la obra de 
Cauchy en la década de 1820.
3. EN TORNO AL PREDOMINIO DE LA TERMINOLOGÍA DE LEIBNIZ O DE NEWTON
La UCM proviene de la Universidad de Alcalá, creada en el cambio del siglo XV al XVI, y su 
Biblioteca Histórica nace en 2000 a partir de la reunión conjunta de los textos históricos conservados 
hasta entonces en las diferentes facultades de la Universidad, convirtiéndose en la segunda biblioteca 
de Madrid por la cantidad de fondos anteriores al siglo XIX. En concreto, los fondos de libros 
dedicados a las ciencias matemáticas y físicas son considerables y muchos de ellos han sido 
digitalizados y puestos a disposición de los investigadores en la red.
Mapa cronológico cromático de los textos de CD de la BH de la UCM 1696-1829
1696 1704 1716 1717 1725 1729 1732 1733 1735 1736 1739 1740 1742 1743 1744 1746 1748
L'Hôpital Analyse Analyse des Infinmentes petits ...De L'hospital, A.F.,Marquis
Newtono Opticks. Also two treatises of the species and magnitude of curvilinear figures
Taylor Methodus Incrementorum Directa & Inversa. Taylor, Brook
 Newtono The mathematical principles of natural philosophy
I Philoso
II Philosop
III Philosophiae n
Opuscula mathematica, ph
Belidor Nouveau cours de mathematique a l'usage de l'artillerie et du genie
Christiani Wolfii 
I Tomus
 II Elementa matheseos uniuer
IV Elementa matheseos un
 I Elementa matheseos universae : tom
heseos universae
M. Stone Analise des infiniment petits, comprenant le calcul integral
Muller A mathematical treatise ..with the doctrine of fluxions and fluents
Muller Traité analytique des sections conique, fluxions et fluente
Reyneau I Analyse demontrée ou La methode de résoudre les problêmes des mathe
Deidier Le calcul differentiel et le calcul integral expliqués .. a la geometrie
 Jorge Juan Observaciones astronomicas, y phisicas; en los reynos del Perù. 
Jorge Juan 
 Jorge Juan 
Maclaurin An account of Sir Isaac Newton's philosophical discoveries in four books
T. Cerdá
Bézout
Benito Bails
Giannini 
Josef Chaix
Juan Justo Garcia 
José de 
Odriozola. 
Figura 1a. Mapa cronológico cromático de los libros de texto de/con Cálculo diferencial de la Biblioteca Histórica 
de la UCM, 1696-1829.
El objetivo del trabajo ha sido comprobar si en los libros de textos conservados en esta 
Biblioteca Histórica de la UCM de/con cálculo diferencial, publicados entre los años 1696-1829, la 
terminología de Leibniz predominó sobre la de Newton o viceversa.
Para el estudio se han analizado hasta el presente 80 libros de matemáticas publicados entre 
esas fechas, que están disponibles digitalizados y que, por sus título y/o el nombre de sus autores, 
podrían estar dedicados a (o hacen uso de) el cálculo diferencial, lo que se ha comprobado que 
sucede en solamente 42 de ellos.
Libros de/con Cálculo Diferencial en la Biblioteca Histórica de la UCM 1696-1829 183
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Para dar una visión global comparativa de la terminología de los textos analizados, se ha 
diseñando un método de representación gráfico, por colores, para clasificarlos: un “mapa cronológico 
cromático” (Figuras 1a y 1b), asignando a cada texto un color que da una idea de la terminología 
utilizada, la de Leibniz o la de Newton.
Con la intención de que colores proporcionaran información sobre el texto, se ha seleccionado 
el amarillo para clasificar aquellos libros que utilizaban la terminología de Leibniz, el azul para los que 
seguían a Newton, y el verde para los textos que empleaban ambas. 
Se puede observar en el mapa (Figuras 1a y 1b) cómo aparecen las ediciones de un mismo 
texto, por ejemplo, el Analyse de L’Hospital (del que la Biblioteca Histórica dispone de tres ediciones: 
1696, 1716 y 1768), todas en color amarillo. 
La Opticks de Newton aparece marcada en color azul. Sin embargo, las sucesivas ediciones de 
los Philosophiae naturalis principia mathematica de Newton cambian de color: las ediciones de 1739-
44 aparecen en verde, ya que los autores de las ediciones introducen aclaraciones al texto de Newton 
utilizando su propia terminología.
1757 1759 1764 1765 1768 1770 1771 1775 # 1779 1794 1795 1797 1801 1822 1829
Analyse des Infinmentes petits. De L'Hôpital
sophica.
I Principes mathématiques de la philosophie naturelle, la Marquise du Chastellet 
Nouveau cours de mathématique a l'usage de l'artillerie et du génie
Elements of mathematics : containing geometry, conic sections, trigonometry
atiques
Compendio de navegación para el uso delos cavalleros guardias-marinas. Juan, Jorge. 
 Examen marítimo theórico práctico, ó Tratado de Mecánica (2)
reatise of algebra
Lección de artilleria para el uso de la classe / por el P. Thomas Cerda
IV+Cont. Cours de mathematiques a l'usage des gardes du pavillon et de la marine
VIII Elementos de matematica
III Elementos de matemáticas
II Principios de matemática
III Curso matemático para la enseñanza de los caballeros cadetes Giannni
I Instituciones del Cálculo Diferencial e Integral .. a las matemáticas puras y mixtas
Elementos de aritmética, álgebra y geometría 
II Elementos
Curso completo de matemáticas puras. Tomo 4, Cálculo diferencial é integral / por José de Odriozola. 
Figura 1b. Mapa cronológico cromático de los libros de texto de/con Cálculo diferencial de la 
Biblioteca Histórica de la UCM, 1696-1829.
4. METODOLOGÍA PARA EL ANÁLISIS DEL CORPUS
El diseño elegido para esta investigación científica de las ediciones que la Biblioteca Histórica 
ha digitalizado y puesto a disposición de los investigadores ha sido el experimental, creándose dos 
variables cuantitativas relacionadas con el recuento de palabras en los textos, y con ello poder 
comparar de forma empírica los distintos libros. De cada elemento del corpus se ha analizado el 
184 Ciencia y Técnica entre la Paz y la Guerra. 1714, 1814, 1914
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número de páginas donde aparecían las palabras claves del cálculo de Leibiniz y/o de Newton. Se ha 
elegido aquella con mayor presencia y este valor ha sido el asignado a la variable. Se han 
considerado las palabras “differentia”, “différence”, “differential”, “differentiale”, “differentialis”, 
“infiniment petite”, “infinity parvo”, etc. para el cálculo de Leibniz; y “fluxio”, “fluxión”, “fluxions”, 
“fluxionem”, “fluxiones”, “fluxioni”, “evanescentibus”, etc. para el cálculo de Newton. Se ha escogido 
aquélla que fuese más representativa [Figura 2]. 
Libros de texto de Cálculo Diferencial digitalizados de la Biblioteca Histórica de la UCM 1696-1829
Fecha Autor Otros autores Titulo
nº pág con differentia 
differentia diferencial 
differentiel infiniment 
petite dx dy ds dv
nº pág con fluxion 
pag(n) Fluxionum 
Fluentes, 
fluentibus, 
nº pag con 
terminología 
CD Leibniz
nºpag con 
terminología 
CD Newton
Clasificacion 
del libro - 
influencia de 
Leibniz 
1 1696 L'Hospital, Analyse des infiniment petits, pour 1
2 1716 L'Hospital, Berey, , Quillau, Analyse des infiniment petits, pour 54 difference+dx; 87 0 54 1
3 1768 L'Hospital, Paulian, Aimé- Analyse des infiniment petits, par M. le 77 difference+dx; 135 77 1
4 1704 Newton, Isaac, Sir, Opticks : or, A treatise of the reflections, 8 fluxio; 5 8 0
5 1729 Newton, Isaac, Sir, The mathematical principles of natural 2 infinitely small 12 evanescent; 1 12 0
6 1729 Newton, Isaac, Sir, 
1642 1727
II The mathematical principles of natural 
hil h l d i li h b
1 differential: 399 
( h d diff i l
2 fluxion ; 2 
3
2 0
7 1739 Newton, Isaac, Sir, Maclaurin, Colin, I Philosophiae naturalis principia 3 dv:310; 2 fluxio+ Ee+ fit 27 fluxio;1 fluxion; 8 108 0,07
8 1740 Newton, Isaac, Sir, Maclaurin, Colin, II Philosophiae naturalis principia 4 differentia+dx; 28 dx; 10 fluxio; 4 16 40 0,29
9 1742 Newton, Isaac, Maclaurin, Colin, III Philosophiae naturalis principia parte I: 2 differentia+dx; parte I: 10 fluxio; 2 8 40 0,17
10 1744 Newton, Isaac. Sir, Duflos, Claude, Isaaci Newtoni . Opuscula mathematica, 
/
10 differentialis; 3 74 fluxio; 52 30 222 0,1
11 1759 Newton, Isaac, Dos Tomos; Principes mathématiques de la 
/
TomoII 10 infiniment tomoI : 3 fluxions; 10 3 0,8
12 1717 Taylor, Brook. Innys, William, Methodus Incrementorum Directa & 18 fluxio; 18 0
13 1725 Belidor, Bernard Nyon, Jean-Luc, Nouveau cours de mathematique a 2 infiniment petits; 1 0 2 1
14 1757 Belidor, Bernard Nouveau cours de mathématique a 3 infiniment petite; 2 2 1
15 1732 Wolff, Christian Bousquet, Marc-
( )
I Elementa matheseos uniuersae : tomus 12 differentiale; 5 1 fluxio; 1 12 1
16 1743 Wolff, Christian, Gosse, Henri I Elementa matheseos universae : tomus 10 differentiale; dx 86, 59 1 fluxionum; 10 1
17 1733 Wolff, Christian 
1679 1754
Christiani Wolfii, 
C ili ii A li i
II Elementa matheseos universae : tomus 
d i h i i
11 infinite parvo; 6 
diff i l 68 d 42
11 1
18 1746 Wolff, Christian Gosse, Henri II Elementa matheseos universae : tomus 6 differentiale; 69 dx; 30 6 1
19 1735 Stone, Edmund. Giffart, Pierre Analise des infiniment petits, comprenant 62 differentielle; 14 2 fluxions; 1 62 1 0,98
20 1736 Muller, John, 1699- A mathematical treatise : containing a no- 9 dx; 108 fluxion; 38 108 0
21 1765 Muller, John, 1699-Millan, J., Elements of mathematics : containing 3 fluxions; 3 0
22 1736 Reyneau, Charles Quillau, (Paris) Analyse demontrée ou La methode de 8 différence+dy; 34 1 fluxions; 4 8 1
23 1740 Deidier, Abbé. Jombert, Charles- I Le calcul differentiel et le calcul integral, 93 differentiel+dx; 248 2 fluxions; 93 2 0,98
24 1748 Juan, Jorge, 1713- Ulloa, Antonio Observaciones astronomicas, y phisicas; 6 diferencia+dx; 1 1 fluxiones; 6 1
25 1771 Juan, Jorge, 1713- Mena, Francisco Examen marítimo theórico práctico, ó 93 diferencial; 50 93 1
26 1771 Juan, Jorge, 1713-
1773
Mena, Francisco 
M l d
II Examen marítimo theórico práctico, ó 
T d d M á i li d á l
22 diferencia, dx 6, dy 6, 
d 4
22 1
27 1793 Juan, Jorge, 1713- Ciscar y Ciscar, I Examen marítimo teórico práctico ó calculo infinitesimal: 51, 6 1
28 1748 MacLaurin, Colin, Murdoch, Patrick, An account of Sir Isaac Newton's 
/
1, infinitely little 1 fluxion 16 16 0
29 1748 MacLaurin, Colin, A treatise of algebra, in three parts : 4 infinitely little (y is..): 2 fluxio; 1 4 0
30 1764 Thomas Cerdá fluente y fdt Ver Lección de artilleria para el uso de la 2 dx; 14 diferencia; 1 fluxion 1 1 0,5
31 1770 Bézout, Etienne, Musier, J.B.G. IV Cours de mathematiques a l'usage des 70 differentielle+dx; 17 140 1
32 1770 Bézout, Etienne, 
1730 1783
Benz, Friedrich 
L d i
IVCont. Cours de mathématiques a l'usage 
d d d ill t d l i /
17 differentielle; 58 dx; 17 1
33 1775 Bails, Benito, 1730- Ibarra, Joaquín, VIII Elementos de matematica, tomo VIII. 28 diferencial(ver III 329), 11 Newton; 28 1
34 1779 Bails, Benito, 1730-
1797
Ibarra, Joaquín, 
(M d id) 1725
III Elementos de matemáticas Tomo III 84 diferencial+dx; 156 
dif i l 32
4 fluxion; 252 12 0,95
35 1797 Bails, Benito, 1730- Ibarra, Joaquín Principios de matemática de la Real 49 diferencia+dx; 72 no-12 limite; 72 1
36 1782 Garcia, Juan Justo. Alambra, Elementos de aritmética, álgebra y 
/
50 diferencial, 50 dx, 13 2 Fluxiones 50 1 0,98
37 1795 Giannini, Pedro. Espinosa, III Curso matemático para la enseñanza 101diferencia+dx; 192 dx; 1 evanescente: 40 101 1
38 1794 Garcia, Juan Justo. Nolasco Elementos de aritmética, álgebra y 42 diferencial; 55 dx; 17 0 fluxion; fluxiones 42 1
39 1822 García, Juan Justo. Burgos, Miguel 
d (M d id)
II Elementos de aritmética, álgebra y 
t í T II
35 diferencia+dx; 43 
dif i l 6 dif i
1 fluxiones:211; 1 
fl t 211
43 1,00
41 1801 Chaix, Josef I Instituciones de cálculo diferencial é 84 diferencia+dx; Adx o 6 fluxiones; nota al 84 5 0,94
42 1829 Odriozola, José de, 4 Curso completo de matemáticas puras. 
/
148 diferencia+dx; 52 148 0,26
Figura 2. Extracto de la tabla del corpus de textos con la clasificación del texto en función del nº de páginas en 
que aparece una palabra clave de la terminología de Leibniz y de Newton.
Se ha revisado si el uso de la terminología “differentia” se correspondía con la noción de 
diferencial de Leibniz y se ha considerado que hacía falta un mínimo de dos apariciones para 
incluirlos en el corpus. Por otro lado, en los Philosophiae naturalis principia mathematica de Newton o 
el Tomo III de los Elementos de matemáticas de Benito Bails se ha multiplicado el número de páginasen que aparece una palabra clave por el número de volúmenes ubicados en la Biblioteca Histórica.
Libros de/con Cálculo Diferencial en la Biblioteca Histórica de la UCM 1696-1829 185
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Para obtener el “nº de páginas” se ha utilizado la herramienta que proporciona la Digital Library 
Hathi Trust con quien la UCM tiene convenio. Hay unos pocos libros ubicados físicamente en la UCM 
que no están digitalizados en Hathi Trust, pero que sí se han encontrado digitalizados por otras 
universidades. 
Una vez asignadas estas dos variables a cada texto, hemos sumado el número de páginas 
asignado a cada texto del CD de Leibniz, y el número de páginas asignado a cada texto del CD de 
Newton; y con ello se ha obtenido la variable “nº de páginas” en las que puede constatarse el uso del 
cálculo diferencial de Leibniz en los libros de texto de la Biblioteca Histórica entre las fechas 1696-
1829 del total del número de páginas consideradas. Si de un texto se han obtenido los valores 
,i ix y , hemos construido la variable suma 
1
m
i
i
Z x siendo m el número de textos, pero el número 
de páginas considerado es
1 1
m m
i i
i i
n x y . La proporción resulta una estimación del uso de la terminología del cálculo 
diferencial de Leibniz frente al de Newton: 1ˆ
m
i
i
x
p
n
.
Igualmente hemos podido asignar una variable dependiente a cada texto, la proporción de 
número páginas con el uso del CD de Leibniz frente al de Newton, que hace corresponder 1 si sigue 
el de Leibniz y o si sigue el de Newton: ii
i i
x
p
x y
Esta variable es la que ha determinado los colores del mapa cronológico cromático [Figura 2]. 
El color rosa final se corresponde con la terminología de Lagrange que aparece en los textos de José 
de Odriozola.
5. CONCLUSIONES
La estimación de la proporción del uso de la terminología del cálculo diferencial de Leibniz 
frente al de Newton, en una muestra de 42 textos (los que están digitalizados) ha sido de ˆ 0,74p ,
con un intervalo de confianza de la proporción del 95% de (0.73,0.76)suponiendo normalidad por el 
gran tamaño de n=2369 páginas con el cálculo diferencial de Leibniz o el de Newton. Es decir, la 
proporción real, con un 95% de confianza, debería encontrarse en el intervalo (0.73,0.76).
Por tanto, puede concluirse que, en efecto, la terminología de “différentiel”, “differential”, 
“diferencial”, “differentia”, “infiniment petites”, “infinitamente pequeño”, etc, prevalece sobre la 
“fluxión”, “fluxions”, “fluxionibus”, “fluxionem”, “evanescent”, etc. de Newton. La suma de páginas 
contempladas es de 2369, de las cuales en 1762 se utiliza la terminología de Leibniz frente a 607 de 
Newton.
Se trata de un trabajo en elaboración que aún se debe validar, tanto por la naturaleza de las 
palabras seleccionadas como por el uso de las herramientas informáticas disponibles, ya que éstas,
por ejemplo, no reconocían la notación del punto de Newton, x , que consideraban simplemente como 
un gráfico, por lo que no se ha podido comparar con la notación dx de Leibniz. 
186 Ciencia y Técnica entre la Paz y la Guerra. 1714, 1814, 1914
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6. REFERENCIAS
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