ECUACIONES-DE-PRIMER-GRADO-ÁLGEBRA-SEGUNDO-DE-SECUNDARIA

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2 
AÑO 
Ecuaciones de Primer grado 
 
 
 
 
 
Observa los siguientes gráficos: 
1. 
Y para el segundo caso: 
 
 
fotografía 
izquierda 
 
4x + 30 
 
 
 
fotografía 
derecha 
 
= 2x + 42 
 
 
 
 
 
 
Aquí, la balanza está en equilibrio. 
 
2. 
Luego: 
4x - 2x = 42 - 30 
 2x = 12 
 x = 6 
 
 
Parte teórica 
 
Las ecuaciones 
 
Se llama identidad a aquella igualdad que se satisface 
para cualquier valor asignado a sus letras. Por ejemplo, el 
 
c u a d r a d o d e u n b i n o m i o : (a + b ) 
2 = a2 + 2ab + b2, es una 
identidad. Cualquiera sea el valor que adopten las letras 
"a" y "b", la igualdad se verifica siempre. 
 
 
 
Aquí, la suma de las edades de las personas de cada 
fotografía es igual. 
 
¿Qué de común pueden tener estos gráficos? 
 
Pues, que en ambos casos existen datos (pesas o 
personas) cuyo valor es desconocido. 
A este valor desconocido se le denomina INCÓGNITA. 
Pensando un poquito, podrás determinar los valores para 
cada caso; sin embargo, una manera sencilla de hacerlo, 
es interpretando ambas situaciones como ecuaciones, así: 
 
Para el primer caso tenemos: 
En cambio, hay igualdades que se verifican sólo para 
algunos valores concretos; son las llamadas Ecuaciones. 
Las letras que intervienen en una ecuación son las incógnitas 
y los valores de esas letras son las raíces de la ecuación. 
De este modo, al reemplazar las incógnitas por las raíces 
se tiene una igualdad numérica: 
 
x - 1 = 3x - 11 
5 - 1 = 3 . 5 - 11 
4 = 15 - 11 
4 = 4 
 
Las ecuaciones se pueden clasificar en enteras, 
fraccionarias e irracionales. Las enteras son aquellas en 
que las incógnitas están sometidas a las operaciones de 
suma, resta y multiplicación: 
 
 
 
 
Observa que 
la incógnita 
platillo 
izquierdo 
 
5 + 2 + 2 + 2x 
platillo 
derecho 
 
= 3x + 3 
 
 
Ecuación entera 
 
Las fraccionarias poseen al menos una de sus incógnitas 
en el denominador: 
es denotada 
con la letra "x". 
 
Luego: 
equilibrio de 
la balanza 
 
5 + 4 + 2x = 3x + 3 Ecuación fraccionaria 
 9 + 2x = 3x + 3 


9 - 3 = 
x = 
3x - 2x 
6 
 
 
Las irracionales tienen al menos una incógnita bajo el 
signo radical: 
 
Ecuación irracional 
 
Las ecuaciones pueden tener una o dos incógnitas y su 
grado también puede variar. 
 
 
 
 
Si empleamos cartas para ejemplificar una ecuación de 
una sola incógnita es bastante más fácil obtener el resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
Para ampliar la comprensión debemos imaginar sobre 
las cartas los posibles números que hacen coincidir los 
resultados. 
 
3 + x = 10 
mientras que los términos independientes tienen que pasar 
al otro miembro. 
 
Para despejar la incógnita, cada término que acompaña 
a la "x" cambia de miembro con la operación inversa a la 
que inicialmente tenía, es decir, la de sumar pasa a restar, 
mientras que la de multiplicar pasa a dividir y viceversa. 
 
2x + 3 = 15 
2x = 15 - 3 
2x = 12 
x = 12  2 
x = 6 
 
El 3 que sumaba en el primer miembro pasa restando 
al segundo. El 2 que multiplicaba pasa dividiendo al segundo 
miembro. 
 
Si se reemplaza el valor de "x" en la ecuación se obtiene 
una igualdad numérica. 
 
2 . 6 + 3 = 15 
12 + 3 = 15 
15 = 15 
 
Ecuación de Primer grado 
 
 
8x - 6x = -4 - 6 
2x = -10 
x = 
-10 
2 
x = -5 
 
 
Para resolver esta ecuación se agrupan los términos 
con incógnitas en un miembro y los términos independientes 
en el otro: 
x = 10 - 3 
x = 7 
3  
x 
2 
 
 3x  17 
 
Ecuaciones de Primer grado 
 
Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son 
 
 x 
 3x  17  3 
2 
aquellas en las que la única incógnita está elevada a la 
primera potencia: 
 
2x + 3 = 15 
 x  6x 
2 
 
 14 
 
 
La letra "x" es la incógnita y los números 3 y 15 son los 
términos independientes. Cada una de las partes en que 
queda dividida la ecuación por el signo "=" se denomina 
miembro. 
 
Para resolver la ecuación se despeja la incógnita, es 
decir, ella debe quedar en un miembro de la igualdad, 
7x  28 
 
x 4 
 
 Problemas resueltos Resolución: 
 
1. Resolver: 3(x - 7) + 5 = 2x + 4 
 
Resolución: 
 
Primero desaparecemos los paréntesis, multiplicando 3 
por (x - 7) 
 
2 4 9 12 2 
1 2 9 6 2 
1 1 9 3 3 
1 1 3 1 3 
1 1 1 1 
 
 
 
MCM = 2 x 2 x 3 x 3 
 
MCM = 36 
 
 
3x - 21 + 5 = 2x + 4 
 
 
 
Transponiendo términos: 3x - 2x = 4 - 5 + 21 
18(3x) + 9(1) = 4(13x) + 3(5) 
54x + 9 = 52x + 15 
54x - 52x = 15 - 9 
2x = 6 
x = 3 
 
x = 20 
 
5. Resolver: x 
 
4 x 2  5x  50  x 
 
2. Resolver: (x + 3)2 + 7 = (x + 6)(x + 4) 
Resolución: 
Primero desaparecemos los paréntesis, aplicando 
Productos Notables. 
 
2 
(x + 3) + 7 = (x + 6)(x + 4) 
Resolución: 
 
 
x  x 
 
 
2x 
 
 
 
4 x 2  5x  50 
 
 
4 x 2  5x  50 
 
 
Se tiene: x2 + 6x + 9 + 7 = x2 + 10x + 24 
 
 
Transponiendo y agrupando términos: 
 
9 + 7 - 24 = x2 + 10x - x2 - 6x 
 
Reduciendo: -8 = 4x 
Elevando al cuadrado: 
 
(2x)2 = 4x2 - 5x + 50 
4x2 = 4x2 - 5x + 50 
0 = -5x + 50 
5x = 50 
 
x  
50 
5 
x = 10 
 
Luego: -2 = x 
 
Observación.- Nota que se procura tener a la incógnita 
con coeficiente positivo. 
 
 
 
 
Bloque I 
 
Problemas para la clase 
 
 
3. Resolver: 10x + 2x + 3(x + 8) - 30 = 0 
 
Resolución: 
Efectuando el paréntesis: 
 
 
10x  2x  3x  24  30  0 
1. Resolver: 2x - 4 = 5 - x 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) -1 e) -2 
 
2. Resolver: 4x - 4 = x - 16 
 
a) -1 b) -2 c) -4 
15x  6  0 d) -3 e) -1 
 
3. Resolver: 3(x - 1) - 4(5 - x) = 2(6 + x) 
x  
6 
Despejando "x": 15x = 6  
15 
 
4. Resolver: 
 
a) 7 b) 8 c) -6 
d) -4 e) -2 
 
4. Resolver: 3(x - 4) + 5(x - 2) = 2(x - 6) - 4(5 - x) 
3x 
 
1
 
2 4 
 
13x 
 
5
 
9 12 
 
 
a) -5 b) -3 c) 2 
d) 4 e) 6 
 
a) 2 b) 7 c) 6 
d) -2 e) 3 
 
5. Resolver: Bloque II 
 
3x - 1 - (x - 4) - [2(x - 3) - 3(1 - 2x)] = -x - 2 1. Resolver: 
 
 
x 
 x  
x 


2 
a) -1 b) 
3 
14 2 4 
9 
c) 
5 
 
3 
d) 
5 
 
6. Resolver: 
 
 
e) 2 
a) 12 b) 8 c) -6 
d) -8 e) 9 
 
2. Resolver: 
1 
 x  
x 
 
1 
 16  
2x 
10(x - 9) - 9(5 - 6x) = 2(4x - 1) + 5 + 10x 
 
a) -2 b) 3 c) 1 
d) 2 e) 4 
 
7. Resolver: 3(x2 + 5x - 2) = 3(x2 + 4x) 
2 6 3 9 
 
a) -12 b) 15 c) 9 
d) 8 e) -7 
 
3. Resolver: 
 
a) 4 b) -2 c) 2 
 
2x 
 8 
 
x 
 
3 
d) 3 e) 1 
 
8. Resolver: x(x + 3) = (x - 2)(x - 4) 
3 6 4 
 
 
35 35 17 
 
 
2 8 1 
a) 
3 
b) 
2 
c) 
2 
a) 
9 
b) 
9 
c) 
3 
2 3 
d) e) 
d) -1 e) 2 
 
9. Resolver: (x - 5)2 = x(x - 8) + 11 
3 
 
4. Resolver: 
4 
 
 
 
x  1 
 6  
1  x 
 
7 
2 5 10 
 
 
10.Resolver: 3x(x - 2) - 1 = 3(x + 2)(x + 4) 
a) 20 b) -12 c) 9 
d) -16 e) 10 
 
a)  
25 
24 
b)  
16 
3 
 
c) -1 
5. Resolver: 
 
2(x  1) 
 
3(x  1) 
 
7x  1 
d)  
2
 
3 
13 
e) 
24 
5 10 10 
11.Resolver: (x + 5)(x - 5) = (x - 3)2 - 16 
a) -1 b) 3 c) 2 
 
 
1 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
6. Resolver: 
 
x(x  3) 
 
(x  4)(x  7) 
 22
 
d) -2 e) 
2 2 2 
12.Resolver: 
 
2(x - 4)2 - (x + 3)2 = (x - 1)(x + 3) 
a) 6 b) 9 c) 7 
d) -5 e) 3 
 
 
1 
a) 
4 
 
13 
b) 
12 
 
1 
c) 
2 
7. Resolver: 
 
4(x  2)  
2 
(3x  1)  5  2x 
d) -1 e) 2 
 
 
36 
a) 
13 
3 
 
41 
b) 
12 
 
12 
 
 
1 
c) 
12 
d) -1 e) 
41 
 
8. Resolver: 
 
5x 
 
7x 
 
4x  5 
 4  
8x  15 
 
11x  3 
 
4 
a) 
3 
 
2 
b) 
3 
 
8 
c) 
10 
2 5 2 5 2 
 
5 
 
10 4 
d) e) 
a) 1 b) -1 c) 
7
 
d) 3 e) -4 
3 5 
 
5. Hallar "x" en: 
 
9. Resolver: 
 
x 

x  4 
 
 
x 
x  2 
 
 
 
12 
(x  4)(x  2) 
 
 
1  2 
 
 
x  5  2 
 
 
a) -7 b) 6 c) 7 
d) -6 e) -13 
 
10.Resolver: 
a) 1 b) 2 c) 30 
d) 45 e) 54 
 
6. Hallar "x" en: 
 
x  1 

x  1 
 
x  2 

x  2 
 
x  3 

x 1 
x  4 
x  2 
 
4  23  1 
 
x  3  3 
 
 
a) 3 
 
b) 
 
-1 
 
c) 
 
1 
 a) 1 b) 20 c) 30 
d) 2 
 
Bloque III 
e) -2 
 
7. 
d) 40 
 
Resolver: 
e) 12 
 
1. Resolver: 
 
 
 
x  
x  2 
 
 
 
 
5x 
x  3 
 
5 
x  3 2 
 
 
 
 
a) -19 b) 
12 
 
 
 
19 
2 
2 
 
 
 
c) -2 
a) 6 b) 7 c) 8 
d) 9 e) 10 
 
8. Resolver: 
 
 
2 x x 1 
d) 
19 
e) 19  
a a  b 
 
a  b 
 
 
 
2. Resolver: b
 
a) 
a 
b) 
a 
b 
c) ab 
3x  7 
x  2 
 
 x 
1 
 8 
x  2 
 
d) a + b e) 1 
 
9. Resolver: 
a) -3 b) 1 c) 2 
d) 5 e) 4 
 
 
x  3 
 
2  3x 
 
 
 
4x 
3. Resolver en "x": x2 + a2 = (a + x)2 - a(a - 1) 
 
 
 
1 
a) -1 b) a c) 
2 
 
a  1 
2 7 3 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 18 
 
10.Hallar "x" en: 
d) -7 e) 
2 
 
4. Resolver: 
 
1 
 
1 
 
 
(12 346)2  (24 691)2 
(12 344)2  (24 689)2 
 
 
 
3x  2 
3x  2 
3  
5 
x  
1
 
3 
3  
5 
2 
 
1
 
5 15 
a) 12 340 b) 24 680 c) 12 343 
d) 74 070 e) 12 345 
 
Autoevaluación 
NOTAS CURIOSAS 
 
Como habrás visto, los dos primeros Productos Notables, 
1. Hallar "x" en la ecuación: 
 
3x - 5 + 2x = 7x + 2 
 
 
3 
a) 5 b) 
2 
 
 
 
 
 
c)  
7 
2 
están referidos al Binomio (a + b) elevado al cuadrado (2) 
y al cubo (3). 
 
Sin embargo, este mismo binomio afectado a los 
exponentes 4; 5; 6; ... ; etc., seguirá siendo un producto 
notable cuyo desarrollo también será escrito mediante una 
fórmula, pero claro, un tanto más compleja. 
2 
d) 
7 
e)  
2 
3 
 
Memorizar fórmulas de este tipo puede resultar muy 
trabajoso, así que observa el siguiente método práctico 
 
2. Resolver la siguiente ecuación: 
 
5(2x - 4) = 2(3x + 4) 
 
 
3 
llamado TRIÁNGULO DE TARTAGLIA. 
 
OJO: los números obtenidos por las flechas, corresponden a la suma 
de los números superiores. 
 
1 
a) 7 b) 9 c) 
2 
 
2 
1 1 
1 2 1 
 
 
Estos son los coeficientes de (a + b)
2
 
3
 
d) 
5 
 
3. Resolver: 
e) 6 1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
1 5 10 10 5 1 
Estos son los coeficientes de (a + b) 
Estos son los coeficientes de (a + b)
4
 
. 
. 
5  
x 

3 
x 
 6 
2 
. 
 
 
De esta manera, si queremos calcular el desarrollo de 
5
 
 
4 
 
2 
 
(a + b ) 
 
6 
, tomamos la última fila del triángulo: 
a) 
3 
b) 
5 
c) 
5 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 
d) 6 e) 12 
 
4. Resolver: 
 
x  2 
 2 
3 
 
 
x  2 
 6 
5 
OJO: Nota que la 
variable "a" 
empieza con el 
exponente del 
binomio (5) y luego 
va decreciendo de 
OJO: Observa que la 
variable "b" empieza 
con el exponente "0" 
y luego va creciendo 
de 1 en 1 hasta 
llegar al exponente 
a) 16 b) 32 c) 8 
d) 2 e) 64 
1 en 1. del binomio (5). 
 
5. Resolver: 
Y ahora ... ¿crees que puedas desarrollar: (a + b)6? ... 
¡Inténtalo! 
 
2 
(x  4)  5x  
5x 

x  1 
 30 
3 7 3 
 
a) 1 b) -5 c) 3 
d) -8 e) 7 
 
 
 
Claves: 
 
1. c 
2. a 
3. c 
4. b 
5. e 
 
AÑO 
Ecuaciones de Primer 
Grado con enunciado 
 
 
La comunicación, es una actividad muy importante para 
la vida y desarrollo de todo ser, pues así se pueden transmitir 
situaciones de peligro, de hambre, de malestar, etc. Por 
ejemplo, los animales, para poder comunicarse, han logrado 
desarrollar diferentes tipos de lenguaje, algunos tan 
sorprendentes y sofisticados como en el caso de los delfines 
o los murciélagos (que inclusive llevaron al hombre a 
inventar el RADAR). Estos animalitos, emiten señales 
sonoras de alta frecuencia, imperceptibles al oído humano. 
 
Existen otros lenguajes, quizás, más "sencillos" de 
comprender como es el caso del perro. Es sabido que al 
llegar a casa, él te recibirá "saludándote" moviendo la colita. 
Esta es una señal de afecto. O también cuando en algún 
momento al acercarnos nos gruñe; esta es una señal de 
incomodidad. 
 
El ser humano, lógicamene, no escapa a esta 
característica; sin embargo él ha logrado desarrollar 
diferentes tipos de lenguaje, como por ejemplo: el lenguaje 
simbólico, el lenguaje cromático, el lenguaje gestual, el 
lenguaje matemático, el lenguaje textual, etc. 
 
Observa los siguientes gráficos: 
 
 
 
 
Indica peligro Indica proceso 
correcto 
Ahora estos ejemplos corresponden al lenguaje gestual. 
 
 
 
 
 
Indica que algo Indica 
está correcto silencio 
 
 
 
 
Indica que algo 
está incorrecto 
 
 
En el lenguaje matemático hacemos uso de los 
"números" (que en realidad son los numerales) y de algunas 
operaciones conocidas (suma: + ; resta: - ; multiplicación: 
x; etc.). 
 
Observa los ejemplos: 
 
 
 
7  3  25 ; 
 

2 

2 
25 

3 
 
 
 
 
 
 
Indica Indica servicios 
primeros auxilios higiénicos 
masculinos 
 
corresponden al lenguaje simbólico. 
 
Cuando caminas por las calles y el semáforo está en 
verde para ti, indica que puedes cruzar la pista. Cuando 
vas a la playa y ves una bandera de color rojo, nos indica 
que el mar está demasiado agitado y por lo tanto no debes 
nadar. Estos son ejemplos del lenguaje cromático. 
En el lenguaje textual hacemos uso de las "letras" (que 
en realidad son grafemas) y las reglas gramaticales. Un 
ejemplo de este lenguaje es todo lo que has leído 
anteriormente. 
 
Todos estos ejemplos han sido vistos, porque en el tema 
de hoy relacionaremos dos lenguajes: el matemático y 
textual, interpretándolos de manera adecuada para la 
solución de problemas. 
 
Parte teórica 
 
En este tema no hay una teoría nueva. Todas las 
 Problemas resueltos 
 
1. El doble de mi edad, aumentado en su mitad, en sus 
herramientas que necesitas para solucionar problemas, tú 
ya las conoces. 
 
2 3 
5 
, en sus 
10 
 
y en 40; suman 200 años. ¿Cuántos 
Quizás lo más dificultoso que pueda haber, es interpretar 
adecuadamente el lenguaje textual y traducirlo al lenguaje 
matemático. No hay una regla específica para esta 
"traducción", sin embargo, aquí tienes unos ejemplos que 
de seguro te ayudarán. 
 
Lenguaje textual Lenguaje matemático 
 
• La suma de dos a + b 
años tengo? 
 
Resolución: 
 
Mi edad: x 
Doble de mi edad: 2x 
Del enunciado obtenemos: 
 
2x  
1 
x  
2 
x  
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x  40  200 
números 
 
• La suma de los cuadrados x2 + y2 
2 5 10 
de dos números 
2x  
1 
x  
2 
x 
3 
x  160 
• El cuadrado de la suma (x + y)2 
de dos números 
2 5 10 
 
• La suma de dos números x + (x + 1) 
consecutivos 
 
• El cuádruplo de lo que tengo, 4x + 20 ; tengo "x" 
aumentado en 20 
 
• El cuádruple, de lo que tengo 4(x + 20) ; tengo "x" 
aumentado en 20 
 
Método para la resolución de un problema 
Dando común denominador: 
 
20x  5x  4x  3x 
10 
 
32x = 160(10) 
32x = 1 600 
x = 50 años 
 
 
 160 
 
1. Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta que 
quede perfectamente clara la situación que se plantea. 
 
2. Identificar las cantidades comprendidas en el problema, 
tanto las conocidas como las desconocidas. 
 
3. Planteo del problema: Se elige la incógnita por una 
letra "x" por ejemplo y se efectúan con ello y con los 
datos, las operaciones que indique el enunciado. 
 
4. Resolución de la ecuación: Dicha ecuación se resuelve 
según las reglas que se enunciaron. 
 
* Observación: Para el planteo de una ecuación es 
importante tener en cuenta "la coma", veamos. 
 
Ejemplo: 
 
 
El triple de un número, aumentado en 8 
2. Una habitación rectangular tiene de largo tres veces su 
anchura, y su perímetro mide 28,80 m. Hallar la anchura 
y el largo. 
 
Resolución: 
 
Sea "x" el ancho 
 
 
x 
 
 
3x 
Luego: 
x + x + 3x + 3x = perímetro 
 
x + x + 3x + 3x = 28,80 
 
Resolviendo: 
8x = 28,80 
 
3x + 8 
 
 
El triple, de un número aumentado en 8 
 
x  
28,80 
8 
 
 
3(x + 8) 
x = 3,60 
 
Luego la habitación tendrá 3,60 m de ancho y 10,80 m 
de largo. 
 
a) 36 b) 40 c) 48 
d) 54 e) 60 
 
a) 14 años b) 18 c) 20 
d) 24 e) N.A. 
 
 
3. Ha llardo s nú mer os q ue s uma dos den 300 y 
restados 200. 
 
Resolución: 
De donde: 
 
 
 
3(3 +x) = 5(5 - x) 
9 + 3x = 25 - 5x 
 
Llamemos "x" al mayor 
el menor valdrá: 300 - x 
La diferencia que vale 200 se formulará por la ecuación: 
 
x - (300 - x) = 200 
x - 300 + x = 200 
Transponiendo: 300 
 
2x = 200 + 300 
2x = 500 
x = 250 
 
El mayor será 250 y el menor 50. 
 
4. Hallar tres números pares consecutivos, que sumados 
den 216. 
 
Resolución: 
 
Si llamamos "x" al primero, los otros dos serán: 
(x + 2) y (x + 4) 
por lo tanto: x + (x + 2) + (x + 4) = 216 
Transponiendo términos: 
 
3x + 5x = 25 - 9 
 
8x = 16 
x = 2 
 
 
Problemas para la clase 
 
 
Bloque I 
 
1. Hallar un número, sabiendo que aumentado en 18 
equivale al triple de su valor. 
 
a) 4 b) 7 c) 6 
d) 9 e) 12 
 
2. Hallar un número que aumentado en 14 equivale al triple 
del mismo número. 
 
a) 14 b) 28 c) 9 
d) 7 e) 10 
 
Resolviendo: 
 
 
 
x + x + x + 6 = 216 
3. El exceso del doble de un número sobre 18 es igual al 
triple, del número disminuido en 10. ¿Cuál es ese 
número? 
 
3x = 210 
x = 70 
 Los números pares son 70; 72; 74 
 
 
3 
a) 8 b) 6 c) 12 
d) 14 e) 16 
 
4. La suma de tres números enteros consecutivos es 47 
unidades más que el número menor. Hallar el mayor de 
los tres números. 
5. Si al numerador de la fracción 
5 
se le suma un número a) 18 b) 20 c) 22 
d) 24 e) 25 
y al denominador se le resta el mismo número se obtiene 
otra fracción equivalente a la recíproca de la fracción 
dada. Calcular el número. 
 
Resolución: 
 
Sea el número: x 
 
3 
 
5. La suma de dos números enteros consecutivos es 35, 
¿cuál es el doble del mayor? 
 
a) 24 b) 34 c) 36 
d) 26 e) 32 
 
6. Hallar un número cuyos 7/8 excedan a sus 3/4 en 5. 
Fracción inicial: 
5 
 
5 
Recíproca de la fracción: 
3 
Del enunciado, del problema tenemos: 
 
7. La edad de Pepe dentro de ocho años será el doble de la 
edad que tuvo hace cinco años. ¿Cuál es su edad actual? 
 
3  x 
 
5 
5  x 3 
 
8. Si al triple de la edad que tenía Juan hace 10 años se le 
resta su edad actual se obtiene la edad que tendrá dentro 
de cinco años. ¿Cuál es su edad? 
3. En un corral hay pollos y conejos, el número de patas 
es 30 menos que el doble del número de ojos. ¿Cuántos 
pollos hay? 
 
a) 28 años b) 35 c) 36 a) 11 b) 9 c) 15 
d) 27 e) 20 d) 21 e) 12 
 
9. Se tienen dos números, el mayor excede al menor en 
15 unidades. Si al menor se le aumentara sus 3/4 
resultaría lo mismo que la mitad del mayor. ¿Cuáles son 
esos números? 
 
a) 6 y 21 b) 8 y 23 c) 7 y 22 
d) 3 y 18 e) 4 y 19 
 
10.Hallar dos números sabiendo que uno excede al otro en 
ocho unidades y que el menor es 35 unidades menos 
que el doble del mayor. Dar el mayor de éstos. 
 
a) 12 b) 15 c) 19 
d) 18 e) 27 
 
11.El triple de un número, aumentado en 16 equivale al 
exceso de 60 sobre el mismo número. Hallar dicho 
número . 
 
a) 20 b) 24 c) 36 
d) 3 e) 11 
 
12.Un número más su mitad es igual al exceso del doble 
del mismo sobre 9. Hallar el doble de dicho número. 
 
a) 20 b) 24 c) 36 
d) 38 e) 40 
 
Bloque II 
 
1. La suma de tres números enteros consecutivos es lo 
mismo que el exceso de 39 sobre el menor de los 
números. ¿Cuál es el número mayor? 
 
a) 11 b) 12 c) 14 
d) 16 e) 10 
 
2. Si a un número se le suma 5, se multiplica la suma por 
3, se resta 6 del producto y se divide la diferencia por 7, 
se obtiene un número que tiene cinco unidades menos 
que el número inicial. Hallar el número aumentado en 
tres. 
 
a) 11 b) 12 c) 14 
d) 13 e) 16 
4. Mario tiene S/. 1 950 en billetes de S/. 100 y de S/. 50. 
En total tiene 24 billetes. Determinar cuántos billetes 
son de S/. 100. 
 
a) 13 b) 14 c) 15 
d) 16 e) 17 
 
5. La mitad de un número es igual a la tercera parte de 
otro. ¿Cuáles son dichos números si su suma es igual a 
10? 
 
a) 4 y 6 b) 2 y 8 c) 1 y 9 
d) 3 y 7 e) 5 y 5 
 
6. Hallar dos números sabiendo que uno excede en ocho 
unidades al otro y que el menor aumentado en sus 3/5 
es cinco unidades menos que el mayor. 
 
a) 5 y 13 b) 6 y 14 c) 7 y 15 
d) 9 y 17 e) N.A. 
 
7. La edad de Vivi dentro de ocho años será el doble de la 
edad que tuvo hace ocho años. ¿Cuál es su edad actual? 
 
a) 14 años b) 18 c) 20 
d) 24 e) 19 
 
8. Los 4/5 de la suma de dos números es igual a 32 y 
10/9 de su diferencia es 20. Encontrar el menor. 
 
a) 29 b) 13 c) 11 
d) 27 e) 14 
 
9. Si al cuádruple de la edad que tenía hace tres años le 
resto el doble de la edad que tendré dentro de cuatro 
años, obtengo mi edad. ¿Cuál es mi edad? 
 
a) 12 años b) 14 c) 20 
d) 22 e) 18 
 
10.Si se multiplica el menor y mayor de tres números pares 
consecutivos se obtiene un número que es 96 unidades 
menos que el producto del mayor y el segundo número 
de los tres mencionados. Hallar el mayor de ellos. 
 
a) 44 b) 48 c) 42 
d) 46 e) 50 
 
Autoevaluación 
 
 
1. La suma de dos números consecutivos es 15. Indicar el 
cuadrado del mayor. 
 
a) 225 b) 49 c) 64 
d) 100 e) 16 
 
2. Si al doble de un número le aumentas cinco unidades, 
obtendrás como resultado el mismo número disminuido 
en cuatro unidades. ¿Cuál es el número? 
 
a) 13 b) -13 c) -4 
d) 9 e) -9 
 
NOTAS CURIOSAS 
 
Aprovechando el hecho de que los dos últimos temas 
los hemos dedicado a productos notables y en especial al 
BINOMIO AL CUADRADO, te contaré algo más sobre este 
importantísimo tema. 
 
* El matemático inglés Sir Isaac Newton, al estudiar el 
TRIÁNGULO DE TARTAGLIA (observa las Notas 
curiosas del capítulo anterior) y agregarle algunos 
resultados matemáticos, obtuvo el desarrollo de la 
fórmula de: 
 
3. Se sabe que la suma de dos números es 16 y además 
uno de ellos es el triple del otro. Encuentra la diferencia 
n 
(a + b ) ; “n” lN 
entre ambos. 
 
a) 4 b) 8 c) 12 
d) 16 e) 20 
 
4. Hace 10 años, Luis era mayor que Roberto en siete años. 
Si actualmente sus edades suman 43 años, ¿qué edad 
tendrán en siete años? 
 
a) 32 y 25 años b) 25 y 18 
c) 17 y 10 d) 21 y 14 
e) 23 y 16 
 
5. En el colegio TRILCE, hay dos aulas para segundo año. 
Si juntas tienen 85 alumnos y los dos tercios de una, 
más los cinco medios de la otra suman 152, determinar 
cuántos alumnos tiene cada aula. 
Es decir un binomio elevado a cualquier exponente: 1; 
2; 3; 4; ... etc. 
 
 
* Un matemático peruano, realizó una gran hazaña al 
superar el trabajo hecho por Newton. Fue FEDERICO 
VILLARREAL, quien desarrolló la fórmula para un 
polinomio elevado a determinado exponente; así, la 
fórmula de Newton (llamada BINOMIO de NEWTON) 
era un caso particular del famoso: 
 
POLINOMIO DE VILLARREAL = [a
1 
+ a
2 
+ a
3 
+ ... +a
k
]n ; 
“k”, “n”  lN 
 
a) 50 y 35 b) 27 y 58 c) 38 y 47 
d) 33 y 52 e) 29 y 56 
 
 
Claves 
 
1. c 
2. e 
3. b 
4. a 
5. d