2023 Primer parcial 1Cuatri Tema 1

Vista previa del material en texto

ÁLGEBRA (FCE) (71) (Cátedra: GACHE ) 
1° PARCIAL 
 
 
28/04/23 
TEMA 1 
 
 
PUNTAJE 1) a) 0,75 punto b) 0,75 punto c) 1 punto 2) a) 1 punto b) 1punto 3) 2 puntos 4 al 10) 0,5 cada uno 
 
1) Dadas las matrices 𝑨 = (
𝒎 𝟏 𝟎
𝟎 𝒎 𝟏
𝟑 𝟒 𝟏
) , 𝑩 = (𝟐 −𝟏 𝟎), 𝑪 = (𝟏 𝟑 −𝟏) con 𝒎 ∈ 𝓡 
a) Hallar los valores del parámetro m para que la matriz sea regular. 
Debemos hallar los valores de m para que la matriz A sea inversible, es decir hallar los valores que hacen 
que el determinante de la matriz A sea no nulo. 
|
𝒎 𝟏 𝟎
𝟎 𝒎 𝟏
𝟑 𝟒 𝟏
| ≠ 𝟎 → |
𝒎 𝟏 𝟎
𝟎 𝒎 𝟏
𝟑 𝟒 𝟏
| = 𝒎|𝒎 𝟏
𝟒 𝟏
| − 𝟏 |𝟎 𝟏
𝟑 𝟏
| = 𝒎(𝒎 − 𝟒) − (−𝟑) = 𝒎𝟐 − 𝟒𝒎 + 𝟑 
𝒎𝟐 − 𝟒𝒎 + 𝟑 ≠ 𝟎 → 𝒎 ≠ 𝟏 ∧ 𝒎 ≠ 𝟑 
 
b) Para 𝒎 = 𝟐, calcular la inversa de A 
 Si 𝒎 = 𝟐 entonces 𝑨 = (
𝟐 𝟏 𝟎
𝟎 𝟐 𝟏
𝟑 𝟒 𝟏
) 
1) Calculamos el determinante de A |𝑨| = 𝒎𝟐 − 𝟒𝒎 + 𝟑 → |𝑨| = 𝟐𝟐 − 𝟒. 𝟐 + 𝟑 = −𝟏 
2) Hallamos At para calcular la Adj A 𝑨𝒕 = (
𝟐 𝟎 𝟑
𝟏 𝟐 𝟒
𝟎 𝟏 𝟏
) → 𝑨𝒅𝒋 𝑨 = (
−𝟐 −𝟏 𝟏
 𝟑 𝟐 −𝟐
−𝟔 −𝟓 𝟒
) 
3) Hallamos A-1 sabiendo que A-1= 
𝑨𝒅𝒋 𝑨
|𝑨|
=
𝟏
−𝟏
(
−𝟐 −𝟏 𝟏
 𝟑 𝟐 −𝟐
−𝟔 −𝟓 𝟒
) = (
 𝟐 𝟏 − 𝟏
 − 𝟑 − 𝟐 𝟐
 𝟔 𝟓 −𝟒
) 
 
c) Para 𝒎 = 𝟐, resolver la ecuación matricial 𝑿.𝑨 + 𝑰 = 𝑩𝑻. 𝑪 , siendo 𝑰 la matriz Identidad 
 
2) a) Hallar la ecuación del plano 3 que pasa por 𝑷 = (𝟎; 𝟏; 𝟏) y es perpendicular a la recta 
𝒙−𝟐
𝟏
=
𝒚−𝟐
−𝟏
=
𝒛−𝟒
𝟑
 
De la ecuación de la recta obtenemos directamente su vector director: �⃗⃗� 𝒓 = (𝟏;−𝟏; 𝟑) 
Como el plano y la recta son perpendiculares, el vector director de la recta se puede tomar como el vector 
normal al plano como se observa en la figura : 
�⃗⃗� 𝝅 = (𝟏;−𝟏; 𝟑) 
 
 
 Aplicamos la fórmula de la ecuación del plano 
𝑷𝟎𝑷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . �⃗⃗� = 𝟎 
𝒏𝒙(𝒙 − 𝒙𝟎) + 𝒏𝒚(𝒚 − 𝒚𝟎) + 𝒏𝒛(𝒛 − 𝒛𝟎) = 𝟎 
 
 Entonces 𝟏(𝒙 − 𝟎) + (−𝟏)(𝒚 − 𝟏) + 𝟑(𝒛 − 𝟏) = 𝟎 → 𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒛 − 𝟐 = 𝟎 
 
 b) Hallar la ecuación paramétrica y simétrica de la recta perpendicular al plano 𝒙 + 𝟐𝒛 = 𝟑𝒚 que pasa 
por el punto 𝑷 = (𝟐; 𝟏; 𝟎) 
 
Si la recta es perpendicular al plano, entonces el vector normal del plano puede considerarse como 
vector director de la recta buscada, entonces: 
 �⃗⃗� 𝝅 = (𝟏;−𝟑; 𝟐), 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆 �⃗⃗� 𝒓 = (𝟏;−𝟑; 𝟐) 
 
 Ecuación paramétrica: 
{
𝒙 = 𝟐 + 𝝀. 𝟏
𝒚 = 𝟏 + 𝝀(−𝟑)
𝒛 = 𝟎 + 𝝀. 𝟐
→ {
𝒙 = 𝟐 + 𝝀
𝒚 = 𝟏 − 𝟑𝝀
𝒛 = 𝟎 + 𝟐𝝀
 
 
 Ecuación simétrica: 
 
A partir de la ecuación anterior se puede determinar que 
𝒙−𝟐
𝟏
=
𝒚−𝟏
−𝟑
=
𝒛
𝟐
 
 
 
3) Dado el sistema de ecuaciones 
{
𝒙 − 𝒚 + 𝒎𝒛 = −𝟑
−𝒎𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝒛 = 𝟏
𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝒎𝒛 = −𝟔
 
 
Determinar los valores del parámetro 𝒎 ∈ 𝓡 , para que el sistema admita solución única, infinitas 
soluciones y no admita solución. 
 
Para analizar el sistema de ecuaciones en función del parámetro debemos en primer lugar buscar para 
qué valores del parámetro m anulan el determinante de la matriz de los coeficientes. 
|
𝟏 −𝟏 𝒎
−𝒎 𝟑 −𝟏
𝟏 −𝟒 𝒎
| = 𝟎 
 
 
 Por lo tanto |𝑨| = 𝟑𝒎𝟐 − 𝟑 = 𝟎 → 𝟑(𝒎𝟐 − 𝟏) = 𝟎 → 𝒎 = −𝟏 ∨ 𝒎 = 𝟏 
 
 Podemos garantizar en base a lo anterior que 𝒔𝒊 𝒎 ≠ −𝟏 ∧ 𝒎 ≠ 𝟏 el sistema es SCD ( única solución) 
 Debemos analizar que ocurre con el sistema para los valores de m hallados. 
 Reemplazamos en el sistema 𝒎 = 𝟏 
 
Por lo tanto, podemos concluir que si 𝒎 = 𝟏 el sistema resulta incompatible (SI). 
Reemplazamos por 𝒎 = −𝟏 
 
 
Por lo tanto, podemos concluir que si 𝒎 = −𝟏 el sistema resulta compatible indeterminado (SCI). 
 
4) La matriz A solución del siguiente sistema de ecuaciones matriciales {
𝟐𝑨 − 𝟓𝑩 = (
𝟕 𝟐
𝟕 𝟖
)
𝟑𝑨 − 𝑩 = (
𝟒 𝟑
𝟒 −𝟏
)
𝒆𝒔: 
 a) 𝑨 = (
−𝟏 𝟎
−𝟏 −𝟐
) 
 
 b) 𝑨 = (
−𝟏 −𝟏
 𝟎 −𝟐
) 
 c) 𝑨 = (
−𝟏 𝟏
−𝟏 −𝟏
)  d) 𝑨 = (
𝟏 𝟏
𝟏 −𝟏
) 
 
 
5) ¿Para qué conjunto de valores de 𝝀 ∈ 𝓡, el rango de la matriz 𝑨 − 𝝀𝑰 es 3, siendo
 
𝑨 = (
 𝟐 𝟎 𝟐
−𝟏 𝟐 𝟏
 𝟎 𝟏 𝟒
) 
e I la matriz Identidad? 
 a) ∅ 
 
 b) 𝓡 − {𝟏, 𝟑, 𝟒} 
 c) 𝓡 − {𝟏, 𝟑}  d) {𝟏, 𝟑, 𝟒} 
 
 
6) Sabiendo que |𝑨| = |
𝒂 𝒃 𝒄
𝒅 𝒆 𝒇
𝟏 𝟐 𝟑
| = 𝟐, los determinantes |𝑩| = |
𝟐𝒂 − 𝟐𝒃 𝒄 𝒃
𝟐𝒅 − 𝟐𝒆 𝒇 𝒆
−𝟐 𝟑 𝟐
| 𝒚 
 |𝑪| = |
𝟏
𝟑
 𝑨−𝟏. 𝑨𝒕| son iguales a: 
 
 a) |𝑩| = 𝟒 |𝑪| =
𝟏
𝟐𝟕
  b) |𝑩| = −𝟒 |𝑪| =
𝟏
𝟐𝟕
 
 c) |𝑩| = −𝟒 |𝑪| =
𝟏
𝟑
  d) |𝑩| = −𝟐 |𝑪| =
𝟏
𝟑
 
 
 
7) La suma de los seguidores de una red social de Alberto, Juan y Pedro es de 13.000 personas. Aunque 
Pedro perdiera la tercera parte de sus seguidores, todavía seguiría teniendo el doble de seguidores que 
tiene Alberto. Por otro lado, los seguidores de Alberto más la quinta parte de los seguidores de Juan, son 
tantos como la mitad de los de Pedro. Cuántos seguidores tiene cada uno 
 a) No se puede determinar con esta información  b) 1000,10000,2000 respectivamente 
 c) 2000,5000 y 6000 respectivamente  d) 2000,6000,5000 respectivamente 
 
 
 
8) Dadas las matrices 𝑨 = (−𝟏 −𝟔
 𝟐 𝟒
) , 𝑩 = (−𝟏 𝟏 𝟐
 𝟏 𝟎 −𝟏
) , 𝑪 = (𝒂 𝟎 𝟏
𝟑 −𝟏 𝒃
) los valores de ay b que 
verifican que 𝑩. 𝑪𝒕 = 𝑨 son: 
 a) 𝒂 = 𝒃 = 𝟏  b) 𝒂 = −𝟏 𝒚 𝒃 = 𝟑 
 c) ∄𝒂 , 𝒃 que verifiquen la igualdad  d) 𝒂 = 𝟑 𝒚 𝒃 = −𝟏 
8) 
9) Sea el sistema de ecuaciones {
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟑
−𝒙 + 𝟐𝒛 = −𝟏
𝟑𝒙 − 𝒚 − 𝟕𝒛 = 𝟐
 entonces el conjunto solución del sistema es: 
 a) {(𝒙, 𝒚, 𝒛) ∈ 𝓡𝟑/𝒙 = 𝟐𝒛, 𝒚 = −𝒛, 𝒛 ∈ 𝓡}  b) ( ) 0;0;0 
 c) {(𝒙, 𝒚, 𝒛) ∈ 𝓡𝟑/𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝒛, 𝒚 = 𝟏 − 𝒛, 𝒛 ∈ 𝓡}  d)  
 
 
10) En una economía hipotética de dos industrias A y B la matriz de insumo producto viene dada por la 
siguiente tabla 
 A B DF PT 
A 9 24 12 45 
B 27 24 9 60 
VA 9 12 --- 
PT 45 60 --- 105 
 Si la demanda final se modifica a: 𝑫𝑭 = (
𝟔
𝟑
) el nuevo vector producción es: 
 a) 𝑿 = (
𝟐, 𝟒
𝟒, 𝟖
)  b) 𝑿 = (
𝟐𝟎
𝟐𝟓
) 
 c) 𝑿 = (
𝟐𝟓
𝟐𝟎
)  d) 𝑿 = (
𝟒, 𝟖
𝟐, 𝟒
)