2018-09 Matemática I 3FM

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LiceoN3í - IAUA
Examen Maetn&caI- 3FM
20:&ffi&2018
Nombre: Categoría:
Ejercicio 1
EÁyRG def : f (x) :zx+f l '
Ejercicio 2
¿) Define lím f(x) : b e IR.' x-+a' ' '
b) Calcula los siguientes límites (sin utilizar L Hopital)
, ,¡W,#*,tH,# rii)rírq"P
Ejercicio 3
c) Define derivada de una función en un punto y demuestra que si f : A C IR. -+ IR. es derivable en
x : a cona € Á entonces / es continua en x : a.
á) Sea / : lR. --+ lR, definida como
í f *ax*F 
s i - r (0
/(r) : {
I L( l+;r) si ¡ > o
[ ,
Utilizando la definición halla ü y p € lR. de forma que "f sea derivable 
en.r : 0.
c) Prueba, que existe un punto xo e (0,e2- 1) tal que /(x6) : 
ffi
Ejercicio 4
a) Enuncia y demuestra el teorema de Rolle. Interpreta geométricamente.
b) Considera la función f : [-3,3] + lR definida como
-3
f (* ) : \ -zx+ I
Investiga si / verifica las hipótesis del teo. ¿. nofi" y en caso añrmativo halla el o los puntos de Rolle.
Ejercicio 5
a) Calcula las siguientes integrales
¡2
1) 
Jo 
*J, - xdx 2) 
fo" 
,"n'{r)"os(z) d.z 3) É#u"
b) Halla ¿ e lR+ para que el área comprendida entre los gráficos de las funciones /: IR. -+ lR definida
como f (x) : a* y S: IR. -+ lR definida como S(x) : -x2 +x r"u fi.
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LiceoN35 -IAUA
ExanenMabmáücal - 3FM
20 de setiembre de 2018
Ejercicio 6
a) Define máximo y mínimo relativos de una función en un punto. Prueba que si en un punto auna
función / presenta un mínimo relativo y es derivable en dicho punto, entonces f'(o) :0.
á) ABCD es un cuadrado de lado 1. M est6 en el
segmento AB.EI punto Nqueda determinado sobre la
semirecta opuesta ala CB de manera que la medida
del segmento CN es igual a la medida del segmento
AM. La rccta MN corta al lado DC en P. Si le
llamamos x a La medida del segmento AM, halla ¡
para que la distancia PC sea máxima.
Librcs:
Ios 6 eierci5de los6e (tacha el que no hards)