04_Calculo_Diferencial_3er_parcial

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Bienvenidos
Aspectos preliminares
Estimado alumno (a), el presente cuadernillo de trabajo tiene como
finalidad evidenciar las competencias y conocimientos adquiridos en la
asignatura, por lo que deberás tener en cuenta los siguientes
aspectos:
a. Orden y limpieza
b. Entrega en el tiempo establecido
Para el desarrollo de las actividades, este documento se ha diseñado
de manera amigable con el fin de que puedas resolverlo fácilmente; a
lo largo del documento observarás los siguientes símbolos:
En este espacio, se te proporcionará una breve explicación
del tema.
Este símbolo indicará las actividades que debes realizar y
cómo debes realizarlas.
En este espacio deberás anotar tus repuestas o responder
los ejercicios indicados.
Este símbolo indica el instrumento de evaluación que
contiene los criterios de evaluación con los cuales se te
evaluará el aprendizaje adquirido.
¡Éxito! 
Colegio de Estudios Científicos y 
Tecnológicos del Estado de Campeche
Colegio de Estudios Científicos y 
Tecnológicos del Estado de Campeche
Cuadernillo de Trabajo
Semestre Febrero – Julio 2021
Cálculo
Tercer Parcial
Plantel: _______________________________________________
Nombre del Alumno: ____________________________________
______________________________________________________
Carrera: ______________________________________________ 
Semestre: _______ Grupo: ______
 
1 
 
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Contenido Central: 
Nociones básicas de derivación por fórmulas. 
 
 
Contenido Específico: 
Derivadas de funciones algebraicas: polinomiales y racionales (producto, cociente, 
potencia). 
 
 
Aprendizaje Esperado: 
AE1. Resuelve derivadas de funciones algebraicas: polinomiales y racionales. 
 
 
Producto Esperado: 
Ejercicios de derivadas de funciones algebraicas. 
 
 
Instrumento de evaluación: 
Escala de valores. 
 
 
Ponderación: 
70% 
 
 
 
 
 
Cálculo 
 
 
2 
 
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FÓRMULAS DE DERIVACIÓN 
 
En el último tema del segundo parcial vimos la definición de la derivada como la pendiente 
de la recta tangente a la curva que describe el comportamiento de una función. 
Con esta definición: 𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑐+∆𝑥)−𝑓(𝑐)
∆𝑥
, podemos encontrar la derivada de diversas 
funciones mediante un procedimiento que llamamos “la regla de los 4 pasos”, sin embargo, 
este puede resultar extenso y complejo dependiendo de la función con la que estemos 
trabajando. 
Por eso, a continuación, veremos cómo encontrar la derivada de diferentes funciones de un 
modo más fácil: utilizando una serie de fórmulas que fueron desarrolladas hace varios siglos 
atrás, a las cuales llamaremos “fórmulas o reglas de derivación”. 
Primero debemos saber que existen diversas formas para referirnos a la derivada de una 
función (notación), las cuales son las siguientes: 
 
 
 
Las formas más utilizadas para escribir la derivada de una función son la notación de Leibniz 
y de Lagrange. 
Entonces, si tenemos una función 𝒚 = 𝒇(𝒙), su derivada será: 𝒚′, 𝒇′(𝒙), 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 o 
𝒅
𝒅𝒙
𝒇(𝒙). 
 
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Ahora, veremos el proceso para encontrar la derivada de diferentes funciones haciendo uso 
de las fórmulas de derivación respectivas. 
 
DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS 
 
FÓRMULA 1. Derivada de una función constante 
 
Una forma fácil de interpretar esta fórmula es decir que “la derivada de una constante es 
cero”. 
Ejemplos: 
1) Encuentra la derivada de la función 𝐲 = 𝟓 
Respuesta: 
𝒚′ = 𝟎 
Otra manera de escribir el ejercicio anterior con su respuesta es la siguiente: 
𝒅
𝒅𝒙
(𝟓) = 𝟎 
Esto lo podemos leer como “la derivada de cinco es cero”. 
 
 
2) Encuentra la derivada de 𝒇(𝒙) = −𝟎. 𝟒 
Respuesta: 
𝒇′(𝒙) = 𝟎 
Escrito de otra manera: 
𝒅
𝒅𝒙
(−𝟎. 𝟒) = 𝟎 
 
 
3) Encuentra la derivada de 𝒚 =
𝟐
𝟑
 
Respuesta: 
En este ejemplo se nos presenta una fracción, la cual sigue siendo un valor constante pues 
no aparece junto a alguna variable, por lo tanto, su derivada es: 
𝒚′ = 𝟎 
 
4 
 
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FÓRMULA 2. Derivada de la función identidad 
 
La derivada de la función identidad es uno, una forma fácil de interpretar esta derivada es “la 
derivada de x es uno”. 
4) Encuentra la derivada de 𝒚 = 𝒙 
Respuesta: 
𝒚′ = 𝟏 
A continuación daremos las fórmulas para derivar funciones algebraicas de manera general. 
 
 
 
 
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FÓRMULA 9. Regla de potencias 
 
Esta fórmula nos sirve para encontrar la derivada de funciones que tienen la forma 𝒚 = 𝒙𝒎, 
es decir, donde la variable independiente x se encuentra elevada a una potencia. 
 
5) Encuentra la derivada de 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 
 
Solución: Observemos que la función que se presenta tiene la forma 𝒚 = 𝒙𝒎, donde el valor 
de m (el exponente) es 2, por lo tanto, escribiremos los datos tal como se muestran en el lado 
derecho de la fórmula. 
𝒇′(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐−𝟏 
Finalmente, la derivada de la función simplemente quedaría como: 
𝒇′(𝒙) = 𝟐𝒙𝟏 = 𝟐𝒙 
Nota: es importante recordar que cuando el exponente tiene un valor de 1, se omite su 
escritura. 
 
6) Encuentra la derivada de 𝒚 = 𝒙𝟓 
 
Solución: 
𝒚′ = 𝟓𝒙𝟓−𝟏 
𝒚′ = 𝟓𝒙𝟒 
 
 
7) Encuentra la derivada de 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟏𝟎 
 
Solución: 
𝒇′(𝒙) = 𝟏𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟏 
𝒇′(𝒙) = 𝟏𝟎𝒙𝟗 
 
 
 
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FÓRMULA 3. Derivada de una constante por una función 
Esta fórmula podemos entenderla de la siguiente manera: 
Para encontrar la derivada de una constante por una función 
“dejamos la constante a un lado” y encontramos la derivada de 
la función. Al final, se realiza la multiplicación de la constante 
por la derivada de la función. 
8) Encuentra la derivada de 𝒚 = 𝟒𝒙 
Solución: 
Observemos que la constante 4 está multiplicanco la función identidad 𝒚 = 𝒙. Entonces, 
“hacemos a un lado el 4” y encontramos la derivada de la función. 
Nota: Utilizaremos la notación de Leibniz para poder visualizar el procedimiento con mayor 
claridad, pero daremos la respuesta en la notación de Lagrange. 
𝒅
𝒅𝒙
(𝟒𝒙) = 𝟒
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙) 
Sabemos que la derivada de la función identidad es 1, por lo tanto: 
𝒅
𝒅𝒙
(𝟒𝒙) = 𝟒
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙) = 𝟒(𝟏) 
Luego, multiplicamos la constante por la derivada de la función; quedando de la siguiente 
manera: 
𝒚′ = 𝟒 
 
9) Encuentra la derivada de 𝒚 = 𝟑𝒙𝟑 
Solución: 
Observemos que la constante 3 está multiplicanco la función 𝒚 = 𝒙𝟑. Entonces, “hacemos a 
un lado el 3” y encontramos la derivada de la función. 
𝒅
𝒅𝒙
(𝟑𝒙𝟑) = 𝟑
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙𝟑) 
Aplicamos la fórmula 9 para encontrar la derivada de 𝒚 = 𝒙𝟑 y entonces tendremos: 
𝒅
𝒅𝒙
(𝟑𝒙𝟑) = 𝟑
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙𝟑) = 𝟑(𝟑𝒙𝟐) 
Luego, multiplicamos la constante por la derivada de la función; quedando de la siguiente 
manera: 
𝒚′ = 𝟗𝒙𝟐 
 
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10) Encuentra la derivada de 𝒇(𝒙) = 𝟖𝒙𝟓 
 
Solución: 
𝒅
𝒅𝒙
(𝟖𝒙𝟓) = 𝟖
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙𝟓) = 𝟖(𝟓𝒙𝟒) = 𝟒𝟎𝒙𝟒 
La derivada de la función es: 
𝒇′(𝒙) = 𝟒𝟎𝒙𝟒 
 
11) Encuentra la derivada de 𝒚 = 𝟏𝟐𝒙𝟕: 
 
Solución: 
𝒅
𝒅𝒙
(𝟏𝟐𝒙𝟕) = 𝟏𝟐
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙𝟕) = 𝟏𝟐(𝟕𝒙𝟔) = 𝟖𝟒𝒙𝟔 
La derivada de la función es: 
𝒚′ = 𝟖𝟒𝒙𝟔 
 
12) Encuentra la derivada de 𝒚 = −𝟓𝒙𝟏𝟐 
 
Solución: 
𝒅
𝒅𝒙
(−𝟓𝒙𝟏𝟐) = −𝟓
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙𝟏𝟐) = −𝟓(𝟏𝟐𝒙𝟏𝟏) = −𝟔𝟎𝒙𝟏𝟏 
La derivada de la función es: 
𝒚′ = −𝟔𝟎𝒙𝟏𝟏 
 
13) Encuentra la derivada de 𝒇(𝒙) = 𝟏. 𝟓𝒙𝟒: 
 
Solución: 
𝒅
𝒅𝒙
(𝟏. 𝟓𝒙𝟒) = 𝟏. 𝟓
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙𝟒) = 𝟏. 𝟓(𝟒𝒙𝟑) = 𝟔𝒙𝟑 
La derivada dela función es: 
𝒇′(𝒙) = 𝟔𝒙𝟑 
 
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FÓRMULAS 4 y 5. Regla de la suma y diferencia 
 
Estás fórmulas nos dicen que si queremos encontrar la derivada de funciones que están 
conformadas por sumas y restas lo que debemos hacer es ir encontrando “las derivadas 
individuales” de cada uno de los términos que conforman la función. 
 
14) Encuentra la derivada de 𝒚 = 𝟏𝟐𝒙𝟕 + 𝟖𝒙𝟓 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 − 𝟓 
 
Solución: 
Revisando los ejemplos anteriores podemos conocer “las derivadas individuales” de cada uno 
de los términos que conforman esta función, por lo tanto, la derivada de la función será la 
siguiente: 
𝒚′ = 𝟖𝟒𝒙𝟔 + 𝟒𝟎𝒙𝟒 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 
Nota: Como la derivada de 5 (una constante) es 0, no es necesario escribirlo en la respuesta. 
 
15) Encuentra la derivada de 𝒇(𝒙) = −𝟕𝒙𝟖 + 𝟐𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 − 𝟐. 𝟓: 
 
Solución: 
Aplicando las fórmulas anteriores para cada uno de los términos que conforman esta función, 
por lo tanto, tendremos lo siguiente: 
 
𝒇′(𝒙) = −𝟓𝟔𝒙𝟕 + 𝟖𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 
Nota: Como la derivada de 2.5 (una constante) es 0, no es necesario escribirlo en la respuesta. 
 
16) Encuentra la derivada de 𝒚 = 𝟏𝟎𝒙𝟒 + 𝟖𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 −
𝟏
𝟐
: 
 
𝒚′ = 𝟒𝟎𝒙𝟑 + 𝟐𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗 
 
 
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FÓRMULA 6. Derivada de un producto 
Esta fórmula nos muestra como encontrar la derivada de 
dos funciones que se están multiplicando. A una le 
llamaremos función U y a la otra función V, de las cuales 
tendremos que obtener sus respectivas derivadas 
según nos los indica la fórmula: 
 
17) Encuentra la derivada de 𝒚 = (𝟔𝒙)(𝒙𝟐 + 𝟑) 
 
Solución: 
Observamos que se trata de una función conformada por la multiplicación de dos funciones. 
La función U será 𝟔𝒙. La función V será 𝒙𝟐 + 𝟑. 
 
Antes de aplicar la Fórmula 6, obtengamos las derivadas individuales de estas dos 
funciones: 
 𝑼 = 𝟔𝒙 𝑽 = 𝒙𝟐 + 𝟑 
 𝑼′ = 𝟔 𝑽′ = 𝟐𝒙 
 
Ahora sí, apliquemos la Fórmula 6. Vamos a acomodar las expresiones algebraicas tal como 
se muestra: 
𝑼𝑽′ + 𝑽𝑼′ 
Entonces la derivada queda como: 
𝒚′ = (𝟔𝒙)(𝟐𝒙) + (𝒙𝟐 + 𝟑)(𝟔) 
 
Luego, podemos resolver las operaciones marcadas aplicando los métodos algebraicos 
correspondientes (multiplicación de monomios y multiplicación de monomio por un binomio): 
 
𝒚′ = 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟖 
 
De ser posible, se reducen términos semejantes, para obtener la expresión final de la derivada 
de la función: 
 
𝒚′ = 𝟏𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟖 
 
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18) Encuentra la derivada de 𝒇(𝒙) = (𝟔𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑)(𝒙𝟓 − 𝟐𝒙): 
 
Solución: 
Observamos que se trata de una función conformada por la multiplicación de dos funciones. 
La función U será 𝟔𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑. La función V será 𝒙𝟓 − 𝟐𝒙. 
Antes de aplicar la Fórmula 6, obtengamos las derivadas individuales de estas dos 
funciones: 
 𝑼 = 𝟔𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 𝑽 = 𝒙𝟓 − 𝟐𝒙 
 𝑼′ = 𝟐𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 𝑽′ = 𝟓𝒙𝟒 − 𝟐 
 
Ahora sí, apliquemos la Fórmula 6. Vamos a acomodar las expresiones algebraicas tal como 
se muestra: 
𝑼𝑽′ + 𝑽𝑼′ 
Entonces la derivada queda como: 
𝒇′(𝒙) = (𝟔𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑)(𝟓𝒙𝟒 − 𝟐) + (𝒙𝟓 − 𝟐𝒙)(𝟐𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝟎𝒙𝟐) 
 
Luego, podemos resolver las operaciones marcadas aplicando los métodos algebraicos 
correspondientes (multiplicación de binomio por binomio): 
𝒇′(𝒙) = (𝟑𝟎𝒙𝟖 − 𝟏𝟐𝒙𝟒 + 𝟓𝟎𝒙𝟕 − 𝟐𝟎𝒙𝟑) + (𝟐𝟒𝒙𝟖 + 𝟑𝟎𝒙𝟕 − 𝟒𝟖𝒙𝟒 − 𝟔𝟎𝒙𝟑) 
 
Quitando paréntesis y reduciendo términos semejantes tendremos: 
 
𝒇′(𝒙) = 𝟑𝟎𝒙𝟖 − 𝟏𝟐𝒙𝟒 + 𝟓𝟎𝒙𝟕 − 𝟐𝟎𝒙𝟑 + 𝟐𝟒𝒙𝟖 + 𝟑𝟎𝒙𝟕 − 𝟒𝟖𝒙𝟒 − 𝟔𝟎𝒙𝟑 
 
𝒇′(𝒙) = 𝟓𝟒𝒙𝟖 − 𝟔𝟎𝒙𝟒 + 𝟖𝟎𝒙𝟕 − 𝟖𝟎𝒙𝟑 
 
Finalmente, acomodamos los términos de acuerdo a su exponente (del mayor al menor) y 
obtenemos la expresión final de la derivada de la función: 
𝒇′(𝒙) = 𝟓𝟒𝒙𝟖 + 𝟖𝟎𝒙𝟕 − 𝟔𝟎𝒙𝟒 − 𝟖𝟎𝒙𝟑 
 
 
 
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FÓRMULA 7. Regla del cociente 
Esta fórmula nos muestra como encontrar la derivada de la 
división de dos funciones. A una le llamaremos función U (la 
que está en el numerador) y a la otra función V (la que está 
en el denominador), de las cuales tendremos que obtener sus 
respectivas derivadas según nos los indica la fórmula: 
19) Encuentra la derivada de 𝒇(𝒙) =
𝒙𝟑+𝟓𝒙
𝟒𝒙𝟐−𝟖
 
Solución: 
Observamos que se trata de una división de funciones. La función U será 𝒙𝟑 + 𝟓𝒙. La 
función V será 𝟒𝒙𝟐 − 𝟖. 
 
Antes de aplicar la Fórmula 7, obtengamos las derivadas individuales de estas dos 
funciones: 
 𝑼 = 𝒙𝟑 + 𝟓𝒙 𝑽 = 𝟒𝒙𝟐 − 𝟖 
 𝑼′ = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓 𝑽′ = 𝟖𝒙 
Ahora sí, apliquemos la Fórmula 7. Vamos a acomodar las expresiones algebraicas tal como 
se muestra: 
𝑽𝑼′ − 𝑼𝑽′
𝑽𝟐
 
Entonces la derivada queda como: 
𝒇′(𝒙) =
(𝟒𝒙𝟐 − 𝟖)(𝟑𝒙𝟐 + 𝟓) − (𝒙𝟑 + 𝟓𝒙)(𝟖𝒙)
(𝟒𝒙𝟐 − 𝟖)𝟐
 
 
La expresión anterior ya es en sí la derivada de la función, sin embargo, podemos resolver 
las operaciones marcadas en el numerador y desarrollar el binomio al cuadrado en el 
denominador, con el fin de obtener una expresión más compacta. 
 
𝒇′(𝒙) =
𝟏𝟐𝒙𝟒 + 𝟐𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝟎 − (𝟖𝒙𝟒 + 𝟒𝟎𝒙𝟐)
(𝟒𝒙𝟐)𝟐 − 𝟐(𝟒𝒙𝟐)(𝟖) + (𝟖)𝟐
 
 
𝒇′(𝒙) =
𝟏𝟐𝒙𝟒 + 𝟐𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝟎 − 𝟖𝒙𝟒 − 𝟒𝟎𝒙𝟐
𝟏𝟔𝒙𝟒 − 𝟔𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝟒
=
𝟒𝒙𝟒 − 𝟒𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝟎
𝟏𝟔𝒙𝟒 − 𝟔𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝟒
 
 
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Y de ser posible, podemos factorizar tanto el numerador como el denominador: 
 
𝒇′(𝒙) =
𝟒(𝒙𝟒 − 𝟏𝟏𝒙𝟐 − 𝟏𝟎)
𝟒(𝟒𝒙𝟒 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟔)
= (
𝟒
𝟒
) (
𝒙𝟒 − 𝟏𝟏𝒙𝟐 − 𝟏𝟎
𝟒𝒙𝟒 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟔
) = (𝟏) (
𝒙𝟒 − 𝟏𝟏𝒙𝟐 − 𝟏𝟎
𝟒𝒙𝟒 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟔
) 
 
Nota 1: Se hace la aclaración que el paso anterior no será posible de realizar en todos los 
ejercicios, por eso es importante repasar el tema de factorización para poder definir si es 
posible aplicarlo o no. 
Nota 2: El objetivo de utilizar todos los procedimientos algebraicos posibles es tener una 
expresión más sencilla de visualizar, pero bien puede considerarse como una respuesta 
correcta la expresión obtenida después de aplicar la fórmula. 
 
La derivada de la función será: 
𝒇′(𝒙) =
𝒙𝟒 − 𝟏𝟏𝒙𝟐 − 𝟏𝟎
𝟒𝒙𝟒 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟔
 
 
 
20) Encuentra la derivada de 𝒚 =
−𝟑𝒙𝟐+𝒙−𝟏𝟎
𝟔𝒙𝟒+𝟕𝒙
 
Solución: 
Observamos que se trata de una división de funciones. La función U será −𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏𝟎. La 
función V será 𝟔𝒙𝟒 + 𝟕𝒙. 
 
Antes de aplicar la Fórmula 7, obtengamos las derivadas individuales de estas dos 
funciones: 
 𝑼 = −𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏𝟎 𝑽 = 𝟔𝒙𝟒 + 𝟕𝒙 
 𝑼′ = −𝟔𝒙 + 𝟏 𝑽′ = 𝟐𝟒𝒙𝟑 + 𝟕 
 
Ahora sí, apliquemos la Fórmula 7. Vamos a acomodar las expresiones algebraicas tal como 
se muestra: 
𝑽𝑼′ − 𝑼𝑽′
𝑽𝟐
 
 
 
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Entonces la derivada queda como: 
𝒚′ =
(𝟔𝒙𝟒 + 𝟕𝒙)(−𝟔𝒙 + 𝟏) − (−𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏𝟎)(𝟐𝟒𝒙𝟑 + 𝟕)
(𝟔𝒙𝟒 + 𝟕𝒙)𝟐
 
 
La expresión anterior ya es en sí la derivada de la función, sin embargo, podemos resolver 
las operaciones marcadas en el numerador y desarrollar el binomio al cuadrado en el 
denominador, con el fin de obtener una expresión más compacta. 
 
𝒚′ =
−𝟑𝟔𝒙𝟓 + 𝟔𝒙𝟒 − 𝟒𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙− (−𝟕𝟐𝒙𝟓 − 𝟐𝟏𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙𝟒 + 𝟕𝒙 − 𝟐𝟒𝟎𝒙𝟑 − 𝟕𝟎)
(𝟔𝒙𝟒)𝟐 + 𝟐(𝟔𝒙𝟒)(𝟕𝒙) + (𝟕𝒙)𝟐
 
 
𝒚′ =
−𝟑𝟔𝒙𝟓 + 𝟔𝒙𝟒 − 𝟒𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟕𝟐𝒙𝟓 + 𝟐𝟏𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙𝟒 − 𝟕𝒙 + 𝟐𝟒𝟎𝒙𝟑 + 𝟕𝟎
𝟑𝟔𝒙𝟖 + 𝟖𝟒𝒙𝟓 + 𝟒𝟗𝒙𝟐
 
 
𝒚′ =
𝟑𝟔𝒙𝟓 − 𝟏𝟖𝒙𝟒 + 𝟐𝟒𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟏𝒙𝟐 + 𝟕𝟎
𝟑𝟔𝒙𝟖 + 𝟖𝟒𝒙𝟓 + 𝟒𝟗𝒙𝟐
 
 
Nota: Si no es posible factorizar, entonces la expresión anterior sería nuestra respuesta final. 
 
FÓRMULA 10. Derivada de una potencia de la forma 𝒚 = 𝑽𝒏 
 
Esta fórmula nos muestra como encontrar la derivada de una 
función que se encuentra elevada a una potencia. A la función 
la identificaremos como V y el valor del exponente será n. 
 
21) Encuentra la derivada de 𝒚 = (𝟔𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑)𝟓 
 
Solución: 
Observamos que se trata de una función elevada a una potencia. 
La función V será 𝟔𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 y el exponente n es 5. 
 
Antes de aplicar la Fórmula 10, vamos a encontrar la derivada de la función V: 
 
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𝑽 = 𝟔𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 
𝑽′ = 𝟐𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 
 
Ahora sí, apliquemos la Fórmula 10. Vamos a acomodar las expresiones algebraicas tal como 
se muestra: 
(𝒏)(𝑽)𝒏−𝟏(𝑽′) 
Entonces la derivada queda como: 
𝒚′ = (𝟓)(𝟔𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑)𝟓−𝟏(𝟐𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝟎𝒙𝟐) 
 
𝒚′ = (𝟓)(𝟔𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑)𝟒(𝟐𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝟎𝒙𝟐) 
 
La expresión anterior ya es en sí la derivada de la función, sin embargo, podemos 
simplificarla multiplicando la constante por la expresión algebraica correspondiente a la 
derivada de V. 
𝒚′ = (𝟓)(𝟐𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝟎𝒙𝟐)(𝟔𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑)𝟒 
 
𝒚′ = (𝟏𝟐𝟎𝒙𝟑 + 𝟏𝟓𝟎𝒙𝟐)(𝟔𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑)𝟒 
 
 
22) Encuentra la derivada de 𝒇(𝒙) = (𝟒𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐)𝟑 
 
Solución: 
Observamos que se trata de una función elevada a una potencia. 
La función V será 𝟒𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐 y el exponente n es 3. 
 
Antes de aplicar la Fórmula 10, vamos a encontrar la derivada de la función V: 
 
𝑽 = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐 
𝑽′ = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 + 𝟏𝟐 
 
 
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Ahora sí, apliquemos la Fórmula 10. Vamos a acomodar las expresiones algebraicas tal como 
se muestra: 
(𝒏)(𝑽)𝒏−𝟏(𝑽′) 
Entonces la derivada queda como: 
𝒇′(𝒙) = (𝟑)(𝟒𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐)𝟑−𝟏(𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 + 𝟏𝟐) 
 
𝒇′(𝒙) = (𝟑)(𝟒𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐(𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 + 𝟏𝟐) 
 
La expresión anterior ya es en sí la derivada de la función, sin embargo, podemos 
simplificarla multiplicando la constante por la expresión algebraica correspondiente a la 
derivada de V. 
 
𝒇′(𝒙) = (𝟑)(𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 + 𝟏𝟐)(𝟒𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 
 
𝒇′(𝒙) = (𝟑𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝟐𝒙 + 𝟑𝟔)(𝟒𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 
 
 
 
PRODUCTO DE APRENDIZAJE 1 
DERIVADAS ALGEBRAICAS 
 
INSTRUCCIONES: Encuentra la derivada de las siguientes funciones: 
 
1) 𝒚 = 𝟐𝒙𝟓 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 
 
 
 
 
 
 
2) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 + 𝟕𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏 
 
 
 
 
 
 
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3) 𝑦 = (𝒙𝟓 − 𝒙𝟒)
𝟓
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 𝒇(𝒙) = (𝟑𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟑)𝟒 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 𝒇(𝒙) = (𝒙𝟑 + 𝒙)(𝟓𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟖) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) 𝒚 = (𝟒𝒙𝟐 − 𝟗)(𝟐𝒙 + 𝟏) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7) 𝒇(𝒙) =
𝟒𝒙𝟑−𝟖
𝟕𝒙𝟐+𝟒
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) 𝒚 =
𝟏𝟎𝒙𝟐+𝟔𝒙+𝟏
𝒙−𝟖
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) 𝒚 =
𝟗𝒙𝟐+𝟒
𝟏𝟐𝒙−𝟏𝟔
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) 𝒚 = (−𝟓𝒙𝟔 + 𝟏𝟎𝒙𝟒 + 𝟏𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝟎)𝟔 
 
 
 
 
 
 
 
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Tecnológicos del Estado de Campeche 
COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 
DEL ESTADO DE CAMPECHE 
INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
ESCALA DE VALORES 
NOMBRE DEL ALUMNO: 
CARRERA: 
PARCIAL: 
TERCERO 
CICLO ESCOLAR 
2020-2021 
SEMESTRE: 
 
 
GRUPO: 
 
 
APRENDIZAJE ESPERADO: 
Resuelve derivadas de funciones algebraicas: 
polinomiales y racionales. 
PRODUCTO ESPERADO: Ejercicios de derivadas de funciones algebraicas. 
PLAN DE EVALUACIÓN 
NOMBRE TIPO MOMENTO PONDERACIÓN 
DERIVADAS DE FUNCIONES 
ALGEBRAICAS 
SUMATIVA HETEROEVALUACIÓN 70% 
CRITERIOS A 
EVALUAR 
NO 
CUMPLE 
CUMPLE 
PARCIALMENTE 
CUMPLE 
MAYORMENTE 
SÍ 
CUMPLE 
OBSERVACIONES: 
Puntaje asignado 
0 1 1.5 2 
1. Calcula correctamente 
las derivadas suma y 
resta de funciones. 
 
2. Calcula correctamente 
las derivadas del 
producto de funciones. 
 
3. Calcula correctamente 
las derivadas del cociente 
de funciones. 
 
4. Calcula correctamente 
las derivadas de una 
potencia de la forma y= 
un. 
 
5. Entrega los productos 
esperados a tiempo, de 
forma clara y entendible. 
 
PUNTAJE OBTENIDO POR 
NIVEL DE CUMPLIMIENTO: 
 
CALIFICACIÓN TOTAL: 
 
 
 
NOMBRE Y FIRMA DE QUIEN EVALÚA 
 
 
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Contenido Central: 
Nociones básicas de derivación por fórmulas. 
 
 
Contenido Específico: 
Derivadas de funciones trigonométricas. 
 
 
Aprendizaje Esperado: 
AE2. Determina las derivadas de funciones trigonométricas. 
 
 
Producto Esperado: 
Ejercicios de derivadas de funciones trigonométricas. 
 
 
Instrumento de evaluación: 
Escala de valores. 
 
 
Ponderación: 
30% 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo 
 
 
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Derivada de la función Seno 
 
𝒅
𝒅𝒙
𝑺𝒆𝒏 (𝒖) = 𝑪𝒐𝒔 𝒖 (
𝒅
𝒅𝒙
 𝒖) 
 
 
Derivada de la función Coseno 
 
𝒅
𝒅𝒙
𝑪𝒐𝒔 (𝒖) = −𝑺𝒆𝒏 𝒖 (
𝒅
𝒅𝒙
 𝒖) 
 
 
 
Derivada de la función Tangente 
 
𝒅
𝒅𝒙
𝑻𝒂𝒏 (𝒖) = 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒖 (
𝒅
𝒅𝒙
 𝒖) 
 
 
 
 
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
Existe una diversidad de fórmulas de derivación de funciones trigonométricas. En esta guía, 
sólo trabajaremos con las funciones básicas directas seno, coseno y tangente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Encuentra la derivada de 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝟒𝒙𝟑) 
Solución: 
Observamos que se trata de una función tiene la forma sen(U). La función U será 𝟒𝒙𝟑. 
Antes de aplicar la fórmula correspondiente, vamos a encontrar la derivada de la función U: 
𝑼 = 𝟒𝒙𝟑 
𝑼′ = 𝟏𝟐𝒙𝟐 
 
 
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Ahora sí, apliquemos la Fórmula de la derivada de la función Seno. Vamos a acomodar las 
expresiones algebraicas tal como se muestra: 
[𝒄𝒐𝒔(𝑼)](𝑼′) 
Entonces la derivada queda como: 
𝒚′ = [𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒙𝟑)](𝟏𝟐𝒙𝟐) 
 
La expresión anterior ya es en sí la derivada de la función, sin embargo, podemos acomodarla 
colocando la expresión correspondiente a la derivada de U delante de la expresión cos(U): 
𝒚′ = (𝟏𝟐𝒙𝟐)[𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒙𝟑)] 
2) Encuentra la derivada de 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔(𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏): 
Solución: 
Observamos que se trata de una función tiene la forma cos(U). La función U es 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏. 
Antes de aplicar la fórmula correspondiente, vamos a encontrar la derivada de la función U: 
𝑼 = 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 
𝑼′ = 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐 
Ahora sí, apliquemos la Fórmula de la derivada de la función Coseno. Vamos a acomodar 
las expresiones algebraicas tal como se muestra: 
−[𝒔𝒆𝒏(𝑼)](𝑼′) 
Entonces la derivada queda como: 
𝒇′(𝒙) = −[𝒔𝒆𝒏(𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏)](𝟏𝟖𝒙 + 𝟐) 
La expresión anterior ya es en sí la derivada de la función, sin embargo, podemos acomodarla 
colocando la expresión correspondiente a la derivada de U delante de la expresión sen(U): 
𝒇′(𝒙) = −(𝟏𝟖𝒙 + 𝟐)[𝒔𝒆𝒏(𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏)] 
 
3) Encuentra la derivada de 𝒚 = 𝒕𝒂𝒏(𝒙𝟐 − 𝟏) 
 
Solución: 
Observamos que se trata de una función tiene la forma tan(U).La función U es 𝒙𝟐 − 𝟏. 
Antes de aplicar la fórmula correspondiente, vamos a encontrar la derivada de la función U: 
 
 
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𝑼 = 𝒙𝟐 − 𝟏 
𝑼′ = 𝟐𝒙 
 
Ahora sí, apliquemos la Fórmula de la derivada de la función Tangente. Vamos a acomodar 
las expresiones algebraicas tal como se muestra: 
[𝒔𝒆𝒄𝟐 𝑼] (𝑼′) 
 
Entonces la derivada queda como: 
𝒚′ = [𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟏)](𝟐𝒙) 
 
La expresión anterior ya es en sí la derivada de la función, sin embargo, podemos acomodarla 
colocando la expresión correspondiente a la derivada de U delante de la expresión sec(U): 
𝒚′ = (𝟐𝒙)[𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟏)] 
4) Encuentra la derivada de 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟑) 
 
Solución: 
Observamos que se trata de una función que tiene una constante multiplicando a sen(U). La 
función U será 𝒙𝟑. 
Antes de aplicar la fórmula correspondiente, vamos a encontrar la derivada de la función U: 
𝑼 = 𝒙𝟑 
𝑼′ = 𝟑𝒙𝟐 
Recordemos la Fórmula 3 que vimos en la primera parte de este cuadernillo, la cual nos dice 
que “hagamos a un lado” la constante y que nos enfoquemos en derivar la función. Tendremos 
entonces lo siguiente: 
𝒅
𝒅𝒙
(𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙𝟑) = 𝟑
𝒅
𝒅𝒙
(𝒔𝒆𝒏𝒙𝟑) 
 
Ahora sí, aplicamos la Fórmula de la derivada de la función Seno a la expresión 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟑. 
Acuérdate que la fórmula nos pide lo siguiente: [𝒄𝒐𝒔(𝑼)](𝑼′) y que debemos “dejar a un 
lado” la constante 3. 
𝒇′(𝒙) = 𝟑[𝒄𝒐𝒔(𝒙𝟑)](𝟑𝒙𝟐) 
 
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La expresión anterior ya es en sí la derivada de la función, sin embargo, podemos acomodarla 
colocando la expresión correspondiente a la derivada de U delante de la expresión cos(U) y 
multiplicandola por la constante: 
 
𝒚′ = 𝟑(𝟑𝒙𝟐)[𝒄𝒐𝒔(𝒙𝟑)] 
 
𝒚′ = (𝟗𝒙𝟐)[𝒄𝒐𝒔(𝒙𝟑)] 
 
 
5) Encuentra la derivada de 𝒚 = 𝟓 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙𝟐) 
 
Solución: 
Observamos que se trata de una función que tiene una constante multiplicando a cos(U). La 
función U será 𝟑𝒙𝟐. 
 
Antes de aplicar la fórmula correspondiente, vamos a encontrar la derivada de la función U: 
𝑼 = 𝟑𝒙𝟐 
𝑼′ = 𝟔𝒙 
Recordemos la Fórmula 3 que vimos en la primera parte de este cuadernillo, la cual nos dice 
que “hagamos a un lado” la constante y que nos enfoquemos en derivar la función. Tendremos 
entonces lo siguiente: 
𝒅
𝒅𝒙
[𝟓 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙𝟐)] = 𝟓
𝒅
𝒅𝒙
[𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙𝟐)] 
 
Ahora sí, aplicamos la Fórmula de la derivada de la función Coseno a la expresión 
𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙𝟐). Acuérdate que la fórmula nos pide lo siguiente: −[𝒔𝒆𝒏(𝑼)] (𝑼′) y que debemos 
“dejar a un lado” la constante 5. 
𝒚′ = 𝟓[−𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙𝟐)](𝟔𝒙) 
 
La expresión anterior ya es en sí la derivada de la función, sin embargo, podemos acomodarla 
colocando la expresión correspondiente a la derivada de U delante de la expresión sen(U), 
multiplicandola por la constante y considerando también el signo negativo como un -1: 
 
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𝒚′ = 𝟓(𝟔𝒙)[(−𝟏)𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙𝟐)] 
 
𝒚′ = 𝟓(𝟔𝒙)(−𝟏)[𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙𝟐)] 
 
𝒚′ = (𝟑𝟎𝒙)(−𝟏)[𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙𝟐)] 
 
𝒚′ = (−𝟑𝟎𝒙)[𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙𝟐)] 
 
 
6) Encuentra la derivada de 𝒇(𝒙) = 𝟔 𝒕𝒂𝒏(𝟗𝒙 − 𝟒): 
Solución: 
Observamos que se trata de una función que tiene una constante multiplicando a tan(U). La 
función U será 𝟗𝒙 − 𝟒. 
 
Antes de aplicar la fórmula correspondiente, vamos a encontrar la derivada de la función U: 
𝑼 = 𝟗𝒙 − 𝟒 
𝑼′ = 𝟗 
Recordemos la Fórmula 3 que vimos en la primera parte de este cuadernillo, la cual nos dice 
que “hagamos a un lado” la constante y que nos enfoquemos en derivar la función. Tendremos 
entonces lo siguiente: 
𝒅
𝒅𝒙
[𝟔 𝒕𝒂𝒏(𝟗𝒙 − 𝟒)] = 𝟔
𝒅
𝒅𝒙
[𝒕𝒂𝒏(𝟗𝒙 − 𝟒)] 
 
Ahora sí, aplicamos la Fórmula de la derivada de la función Tangente a la expresión 
𝒕𝒂𝒏(𝟗𝒙 − 𝟒). Acuérdate que la fórmula nos pide lo siguiente: [𝒔𝒆𝒄𝟐 𝑼] (𝑼′) y que debemos 
“dejar a un lado” la constante 6. 
𝒇′(𝒙) = 𝟔 [𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝟗𝒙 − 𝟒)] (𝟗) 
 
La expresión anterior ya es en sí la derivada de la función, sin embargo, podemos acomodarla 
colocando la expresión correspondiente a la derivada de U delante de la expresión sec(U), 
multiplicandola por la constante: 
𝒇′(𝒙) = 𝟔(𝟗)[𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝟗𝒙 − 𝟒)] 
 
𝒇′(𝒙) = 𝟓𝟒 [𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝟗𝒙 − 𝟒)] 
 
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PRODUCTO ESPERADO 2 
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS 
 
INSTRUCCIONES: Encuentra la derivada de las siguientes funciones trigonométricas: 
 
1) 𝒚 = 𝟒 𝑺𝒆𝒏 (𝟑𝒙) 
 
 
 
 
 
2) 𝒇(𝒙) = 𝑺𝒆𝒏 (𝟓𝒙𝟑 − 𝟏) 
 
 
 
 
 
 
3) 𝒚 = 𝟒 𝑪𝒐𝒔 (𝒙𝟓) 
 
 
 
 
 
4) 𝒚 = 𝑪𝒐𝒔 (𝒙𝟑 + 𝟖) 
 
 
 
 
 
5) 𝒇(𝒙) = 𝟒 𝑻𝒂𝒏 (𝟓𝒙 − 𝟏) 
 
 
 
 
 
26 
 
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6) 𝒇(𝒙) = 𝟐 𝑻𝒂𝒏 (𝒙𝟐 + 𝟗) 
 
 
 
 
 
 
7) 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝟖𝒙) 
 
 
 
 
 
 
8) 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 (𝟑𝒙𝟐) 
 
 
 
 
 
 
9) 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧(𝒙𝟑 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟒𝒙) 
 
 
 
 
 
 
 
10) 𝒚 = 𝒕𝒂𝒏 (𝟔𝒙 + 𝟒) 
 
 
 
 
 
 
 
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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 
DEL ESTADO DE CAMPECHE 
INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
ESCALA DE VALORES 
NOMBRE DEL ALUMNO: 
CARRERA: 
PARCIAL: 
TERCERO 
CICLO ESCOLAR 
2020-2021 
SEMESTRE: 
 
 
GRUPO: 
 
 
APRENDIZAJE ESPERADO: 
Determina las derivadas de funciones trigonométricas. 
PRODUCTO ESPERADO: Ejercicios de derivadas de funciones trigonométricas. 
PLAN DE EVALUACIÓN 
NOMBRE TIPO MOMENTO PONDERACIÓN 
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS SUMATIVA HETEROEVALUACIÓN 30% 
CRITERIOS POR 
EVALUAR 
NO 
CUMPLE 
CUMPLE 
PARCIALMENTE 
CUMPLE 
MAYORMENTE 
SÍ 
CUMPLE 
OBSERVACIONES: 
Puntaje asignado 
0 1 1.5 2 
1. Calcula correctamente 
las derivadas de la función 
seno. 
 
2 Calcula correctamente 
las derivadas de la función 
coseno. 
 
3 Calcula correctamente 
las derivadas de la función 
tangente. 
 
4 Calcula correctamente 
las derivadas de una 
constante por una función 
trigonométrica. 
 
5. Entrega los productos 
esperados a tiempo, de 
forma clara y entendible. 
 
PUNTAJE OBTENIDO POR 
NIVEL DE CUMPLIMIENTO: 
 
CALIFICACIÓN TOTAL: 
 
 
 
NOMBRE Y FIRMA DE QUIEN EVALÚA 
 
 
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FUENTES DE INFORMACIÓN 
Gil Sevilla, Jorge Luis. (2013). Cálculo diferencial para cursos con enfoque por competencias. 
México: Pearson. 
 
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