integral definida_12_parte2

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ANALISIS MATEMATICO II
INTEGRAL DEFINIDA - 2◦ PARTE
Marı́a Susana Montelar
Facultad de Ciencias Exactas, Ingenierı́a y Agrimensura - UNR
EXTENSIÓN DEL SÍMBOLO INTEGRAL
a < b
∫ a
b
f(x) dx = −
∫ b
a
g(x) dx
a = b
∫ a
a
f(x) dx = 0
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DE UNA CONSTANTE. Dado k ∈ R, cualesquiera sean a, b ∈ R,∫ b
a
k dx = k(b− a).
ADITIVIDAD. Si f y g funciones integrables en [a, b], entonces f + g es integrable en [a, b] y∫ b
a
(f(x) + g(x)) dx =
∫ b
a
f(x) dx+
∫ b
a
g(x) dx.
HOMOGENEIDAD Si f es una función integrable en [a, b], entonces kf es integrable en [a, b] y∫ b
a
kf(x) dx = k
∫ b
a
f(x) dx
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
LINEALIDAD Si f y g son funciones integrables en [a, b] y k1, k2 ∈ R , entonces k1f + k2g es
integrable en [a, b] y∫ b
a
(k1f(x) + k2g(x)) dx = k1
∫ b
a
f(x) dx+ k2
∫ b
a
g(x) dx.
ADITIVIDAD RESPECTO DEL INTERVALO DE INTEGRACIÓN
Si f es integrable en [a, b] y [c, d] ⊂ [a, b] entonces f es integrable en [c, d].
Si f es integrable en [a, c] y en [c, b] entonces f es integrable en [a, b].
y en ambos casos, ∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx
Interpretación geométrica: f continua y no negativa en [a, b].
area(R ∪ S) = area(R) + area(S)
∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx
c ba
OBSERVACIONES
4 Si f y g son funciones integrables en [a, b], entonces∫ b
a
(f(x)− g(x)) dx =
∫ b
a
f(x) dx−
∫ b
a
g(x) dx
X Todas las propiedades de la integral definida que hemos visto, son válidas si a > b.
4 La propiedad de Aditividad respecto al intervalo de integración es válida independientemente del
orden entre a, b y c
Interpretación geométrica para el caso f continua y no negativa en I , a, b, c ∈ I , c < b < a
area(R ∪ S) = area(R) + area(S)∫ a
c
f(x) dx =
∫ b
c
f(x) dx+
∫ a
b
f(x) dx
∫ a
b
f(x) dx = −
∫ b
c
f(x) dx+
∫ a
c
f(x) dx
−
∫ b
a
f(x) dx = −
∫ b
c
f(x) dx−
∫ b
a
f(x) dx
∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx
abc
EJERCICIOS
Aplicar las propiedades de la integral definida, para calcular las siguientes integrales.
∫ 2
5
7 dx = 7(2− 5) = −21
∫ 0
2
(7− 2x) dx
∫ 2
−2
|x− 1| dx
∫ −2
1
(x2 − 2x) dx
PROPIEDADES DE COMPARACIÓN
Sean f y g funciones integrables en [a, b]
1 Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], entonces
∫ b
a
f(x) dx ≥ 0
2 (Monotonı́a) Si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces
∫ b
a
f(x) dx ≤
∫ b
a
f(x) dx
3 Si m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ [a, b], entonces
m(b− a) ≤
∫ b
a
f(x) dx ≤M(b− a)
4 |f(x)| es integrable en [a, b] y ∣∣∣∣∫ b
a
f(x) dx
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|f(x)| dx
TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO INTEGRAL
Sea f continua en un intervalo I y a, b ∈ I . Entonces existe al menos un c entre a y b, de manera que:∫ b
a
f(x) dx = f(c)(b− a)
Interpretación Geométrica: f ≥ 0 en I , a < b
a
R
c b
S recinto de ordenadas de f
R rectángulo de base (b− a) y altura f(c), donde c ∈ [a, b] es tal que
area(S) = area(R)
es decir: ∫ b
a
f(x) dx = f(c)(b− a)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO INTEGRAL
Demostración:
1o caso a < b.- Como f es continua en el intervalo cerrado [a, b], alcanza su máximo y su mı́nimo en
[a, b], es decir, existen α y β en [a, b] tales que, para todo a ∈ [a, b]
f(α) ≤ f(x) ≤ f(β)
aplicando Prop. de Orden 3
se divide por (b− a)
f continua en [a, b], por TVI existe
c ∈ [a, b] tal que
multiplicando por (b− a)
f(α)(b−a) ≤
∫ b
a
f(x) dx ≤ f(β)(b−a)
f(α) ≤
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx ≤ f(β)
f(c) =
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx∫ b
a
f(x) dx = f(c)(b− a)
2o caso a > b.- ∫ b
a
f(x) dx = −
∫ a
b
f(x) dx =︸︷︷︸
(∗)
−f(c)(a− b) = f(c)(b− a)
(∗)Aplicando el 1o caso al intervalo [b, a]
3o caso a = b.-
∫ b
a
f(x) dx︸ ︷︷ ︸
=0
= f(c)(b− a)︸ ︷︷ ︸
=0
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL
CALCULO DIFERENCIAL
Pb. de la recta tangente
CALCULO INTEGRAL
Pb. del área
ISAAC BARROW
(1630 - 1677)
DESARROLLO DEL CALCULO INTEGRAL
ISAAC NEWTON (1642-1724)
GOTTFRIED LEIBNIZ (1646-1716)
DEFINICIÓN: FUNCIÓN INTEGRAL
Sea f integrable en [a, b] y c ∈ [a, b] , se llama función integral a: g : [a, b] −→ R tal que
g(x) =
∫ x
c
f(t) dt
Observaciones:
la función g está bien definida
Interpretación Gráfica -
f continua y no negativa en [a, b]
Si c < x < b,
g(x) =
∫ x
c
f(t) dt = area(S)
Si a < x < c,
g(x) =
∫ x
c
f(t) dt = −area(R)
bxcxa
Ejemplo : Sea f : [0, 2]→ R tal que
f(x) =
 2 si 0 ≤ x ≤ 1
1 si 1 < x ≤ 2
Se definen las funciones g(x) =
∫ x
0
f(t) dt y h(x) =
∫ x
0
g(t) dt
Probar que están bien definidad, encontrar la ley, y trazar la gráficas de cada una de ellas. Analizar
continuidad y derivabilidad.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL
PRIMERA PARTE - VERSIÓN FUERTE
Sea f es integrable en [a, b] y g(x) =
∫ x
a
f(t) dt. Entonces
a) g es continua en [a, b].
b) Si f es continua en [a, b] entonces g es derivable en (a, b) y además para todo x ∈ (a, b)
g′(x) = f(x)
PRIMERA PARTE - VERSIÓN DÉBIL
Si f es continua en [a, b] y g(x) =
∫ x
a
f(t) dt, entonces g es continua en [a, b] y derivable en (a, b)
y además para todo x ∈ (a, b)
g′(x) = f(x)
SEGUNDA PARTE - REGLA DE BARROW
Si f es continua en [a, b] y P una primitiva de f en [a, b], entonces∫ b
a
f(x) dx = P (b)− P (a).
TFCI - PRIMERA PARTE
Si f es continua en [a, b] y g(x) =
∫ x
a
f(t) dt, entonces g es continua en [a, b] y derivable en (a, b)
y además para todo x ∈ (a, b)
g′(x) = f(x)
Demostración:
¶ Primero vamos a demostrar que g es una función derivable en (a, b)
Sea x ∈ (a, b) y h 6= 0 tal que x+ h ∈ (a, b).
g(x+ h)− g(x)
h
=
1
h
(g(x+ h)− g(x)) =
1
h
(∫ x+h
a
f(x)dx−
∫ x
a
f(x)
)
=
=︸︷︷︸
(1)
1
h
(∫ x+h
a
f(x)dx+
∫ a
x
f(x)
)
=︸︷︷︸
(2)
1
h
∫ x+h
x
f(x)dx =
=︸︷︷︸
(3)
1
h
f(c)(x+ h− x) = f(c).
(1)y (2) Propiedades de la integral definida.
(3) Como f es continua en (a, b) y x, x + h ∈ (a, b), por el teor. del valor medio del CI, existe c está entre x y
x + h
Demostración (continuación):
Luego:
g(x+ h)− g(x)
h
= f(c)
Observemos que |x− c| < |h|, luego c −→ x cuando h −→ 0 y como f es continua en x ∈ (a, b),
ĺım
c→x
f(c) = f(x).
Por lo tanto
ĺım
h→0
g(x+ h)− g(x)
h
= ĺım
h→0
f(c) = f(x)
Luego,
g es derivable en (a, b) y g′(x) = f(x) para todo x ∈ (a, b)
· Como g es derivable en (a, b) resulta que g es continua en (a, b), vamos a probar que g es continua
por derecha en x = a y por izquierda en x = b.
Recordemos que ĺımx→a g(x) = g(a)⇔ ĺımh→0(g(a+ h)− g(a)) = 0
Sea h > 0,
g(a+ h)− g(a) =
∫ a+h
a f(x)dx = f(c) · h con c ∈ [a, a+ h],
por lo tanto
ĺım
h→0
(g(a+ h)− g(a)) = ĺım
h→0
f(c) · h = f(x) · 0 = 0
es decir, g es continua por derecha en x = a.
Demostración (continuación):
Sea h < 0, g(b+ h)− g(b) = · · ·
Ejercicio: completar la demostración del teorema, probando que g es continua por izquierda en x = b.
......................................
Por lo tanto resulta que g es continua en [a, b].
OBSERVACIONES
f es una antiderivada (o primitiva )de g en (a, b). Por lo tanto las funciones continuas en en un
intervalo I admiten primitiva en dicho indervalo.
d
dx
(∫ x
a
f(t) dt
)
= f(x) para todo x ∈ (a, b)
TFCI - SEGUNDA PARTE - REGLA DE BARROW
Si f es continua en [a, b] y P una primitiva de f en [a, b], entonces∫ b
a
f(x) dx = P (b)− P (a).
Demostración: Por el TFCI-1o, sabemos que la función g(x) =
∫ x
a
f(t) dt es una primitiva de f en (a, b), y
como P es también una primitiva de f en [a, b], aplicando el teorema ......., resulta que existe C ∈ R tal que
P (x) = g(x) + C, ∀x ∈ (a, b)
Si bien esta igualdad es válida en (a, b), las funciones P y g son continuas en [a, b], por lo tanto
P (a) = ĺım
x→a+
P (x) = ĺım
x→a+
(g(x) + C) = g(a) + C (1)
P (b) = ĺım
x→b−
P (x) = ĺım
x→b−
(g(x) + C) = g(b) + C (2)
Teniendo en cuenta (1) y reemplazando g por su ley, resulta
P (a) =
∫ a
a
f(t) dt + C = C =⇒ C = P (a)
Por lo tanto teniendo en cuenta (2)
P (b) =
∫ b
a
f(t) dt + P (a) =⇒
∫ b
a
f(t) dt = P (b)− P (a)
como querı́amos demostrar.
OBSERVACIONES
Notación:
Si f es continua en [a, b] y P es una primitiva de f en [a, b]∫ b
a
f(x) dx = P(x)
∣∣∣b
a
= P (b)− P (a)
Obviamente esto vale independientemente del orden entre a y b, es decir, si f es continua en un
intervalo I , P es una primitiva de f en I y a, b ∈ I , entonces∫ b
a
f(x) dx = P (x)
∣∣∣b
a
= P (b)− P (a)
Ejemplos
REGLA DE SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS
Sea g una función cuya derivada, g′, es continua en el intervalo I , y f una función continua en el
intervalo J = g(I). Entonces, cualesquiera sean a, b ∈ J ,∫ b
a
f(g(x))g′(x) dx =
∫ g(b)
g(a)
f(t) dt
Demostración Sea P una primitiva de f en J y g(a), g(b) ∈ J , entonces∫ g(b)
g(a)
f(t) dt = P (x)
∣∣∣g(b)
g(a)
= P (g(b))− P (g(a)). (3)
Por otro lado, P ◦ g es una primitiva de f ◦ g en I , por lo tanto∫ b
a
f(g(x))g′(x) dx = P (g(x))
∣∣∣b
a
= P (g(b))− P (g(a)). (4)
De (3) y (4), resulta
∫ b
a f(g(x))g
′(x) dx =
∫ g(b)
g(a)
f(t) dt como querı́amos demostrar.
Ejemplo
REGLA DE INTEGRACIÓN POR PARTES PARA INTEGRALES DEFINIDAS
Sean f y g funciones cuyas derivadas son continuas en un intervalo I . Entonces, cualesquiera sean
a, b ∈ I , ∫ b
a
f(x)g′(x) dx = f(x)g(x))
∣∣∣b
a
−
∫ b
a
f ′(x)g(x) dx
Demostración
fg es una primitiva de fg′ + f ′g en I , y fg′ + f ′g es continua en I , por lo tanto∫ b
a
(
f(x)g′(x) + f ′(x)g(x)
)
dx = f(x)g(x))
∣∣∣b
a
Teniendo en cuenta que∫ b
a
(
f(x)g′(x) + f ′(x)g(x)
)
dx =
∫ b
a
f(x)g′(x) dx+
∫ b
a
f ′(x)g(x) dx
Resulta ∫ b
a
f(x)g′(x) dx = f(x)g(x))
∣∣∣b
a
−
∫ b
a
f ′(x)g(x) dx
como querı́amos demostrar.
Ejemplos