Sistemas de control - Estudio de la respuesta en frecuencia de un sistema y bucle cerrado. Función de transferencia

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UNIVERSIDAD NORORIENTAL PRIVADA GRAN MARISCAL DE AYACUCHO 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS 
NÚCLEO BARCELONA 
 
 
 
 
TRABAJO FINAL 
 
 
Docente: Realizado por: 
Ing. Vicenzo Mascia Ismael Párica, V- 27.652.264 
 
 
 
Diciembre de 2021 
1 ÍNDICE 
1 ÍNDICE ............................................................................................................. 2 
2 ENUNCIADO .................................................................................................... 4 
3 DESARROLLO ................................................................................................. 7 
3.1 Nombre y C.I. del alumno ........................................................................... 7 
3.2 Crear la función de transferencia G(s) ....................................................... 7 
3.2.1 Comandos en MATLAB ....................................................................... 7 
3.3 Obtener ceros y polos del sistema G(s) ..................................................... 9 
3.3.1 Ceros y polos de G(s) en MATLAB ...................................................... 9 
3.4 Dibujar el diagrama de Bode y Nyquist y obtener el valor del módulo (en 
decibelios) y la fase (en grado) de la respuesta en frecuencia para w= 5 rad/seg 
de G(s). .............................................................................................................. 11 
3.4.1 Diagrama de Bode en MATLAB......................................................... 11 
3.4.2 Diagrama de Nyquist en MATLAB ..................................................... 12 
3.4.3 Respuesta de sistema para frecuencia w=5 radianes/segundo ......... 13 
3.5 Obtener el valor del módulo (en decibelios) en el pico de resonancia y la 
frecuencia de resonancia de G(s). (ATENCIÓN, puede que el pico de 
resonancia no exista o no coincida con el valor máximo en módulo del diagrama 
de Bode. Indicar si suceden estas siuaciones). ................................................. 15 
3.5.1 Ganancia y frecuencia de resonancia pico de G (s) .......................... 15 
3.6 Obtener la función de transferencia M(s) resultado de realimentar 
unitariamente y negativamente a G(s). .............................................................. 17 
3.7 Obtener los polos del sistema G(s) en bucle cerrado para K=5 ............... 19 
3.8 Obtener los márgenes de ganancia y de fase y las frecuencias 
correspondientes a esos márgenes para G(s) (En algunos casos puede ser 
infinito, indicarlo de ser así). .............................................................................. 22 
4 CONCLUSIÓN ............................................................................................... 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 ENUNCIADO 
Construir una función de transferencia sustituyendo los dígitos ABCDEFGF con los 
números de C.I. de un integrante (identificar el integrante), ajustados a la derecha 
y rellenando con cero por la izquierda si es necesario. 
 
Por ejemplo: 
 
Incluir en el informe los siguientes datos y resultado: 
(Indicar todos los comandos utilizados para obtener los datos que se solicitan, los 
resultados numéricos correspondientes, y los dibujos a mano alzada de los 
gráficos solicitados (escaneado o fotografía)). Explicar todos los resultados. 
1. Nombre y C.I. del alumno 
2. Crear la función de transferencia G(s) 
3. Obtener ceros y polos del sistema G(s) 
Si el sistema solo tiene polos estables continuar con los siguientes apartados. 
Si el sistema resulta con polos inestables, cambiar el signo de la parte real de 
esos polos inestables y obtener una nueva función de transferencia G(s) con esa 
modificación. Realizar los apartados siguientes con la nueva función de 
transferencia. 
 
4. Dibujar el diagrama de Bode y Nyquist y obtener el valor del módulo (en 
decibelios) y la fase (en grado) de la respuesta en frecuencia para w= 5 
rad/seg de G(s). 
5. Obtener el valor del módulo (en decibelios) en el pico de resonancia y la 
frecuencia de resonancia de G(s). (ATENCIÓN, puede que el pico de 
resonancia no exista o no coincida con el valor máximo en módulo del 
diagrama de Bode. Indicar si suceden estas situaciones). 
6. Obtener la función de transferencia M(s) resultado de realimentar 
unitariamente y negativamente a G(s). 
 
7. Obtener los polos del sistema G(s) en bucle cerrado para K=5 
8. Obtener los márgenes de ganancia y de fase y las frecuencias 
correspondientes a esos márgenes para G(s) (En algunos casos puede 
ser infinito, indicarlo de ser así). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 DESARROLLO 
3.1 Nombre y C.I. del alumno 
 
 Nombre: Ismael Párica. 
 C.I : V- 27.652.264. 
 
3.2 Crear la función de transferencia G(s) 
 
 
 . 
 ( ) 
 
 
 
3.2.1 Comandos en MATLAB 
 num=[127 265]; 
 dem=[1 2 26 94]; 
 g=tf(num,dem); 
Ejemplo: 
 
 Tenemos la función de transferencia continua en el tiempo. 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 Obtener ceros y polos del sistema G(s) 
 Para calcular los ceros y polos de la función de transferencia se utilizan los 
siguientes comandos: 
3.3.1 Ceros y polos de G(s) en MATLAB 
 [ceros, polos, ganancia] = tf2zp(num, dem); 
 Ceros; 
 Polos; 
 Ganancia 
Ejemplo: 
 
Los ceros de la función de transferencia G(s) representan un vector 1x1 de valor -
2,0866. Por lo tanto, la función de transferencia tiene un valor de cero cuando X = 
-2,0866. 
 [ ] 
Mientras que los polos representan una matriz de 2x3 de la forma: 
 [
 
 
 
] 
 Adicionalmente tenemos la ganancia de la función de transferencia, la cual 
consiste en 127 unidades. 
 [ ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4 Dibujar el diagrama de Bode y Nyquist y obtener el valor del módulo (en 
decibelios) y la fase (en grado) de la respuesta en frecuencia para w= 5 
rad/seg de G(s). 
 
3.4.1 Diagrama de Bode en MATLAB 
Para calcular el diagrama de Bode en MATLAB se utiliza el siguiente comando: 
 Bode (g); 
 
El resultado es un diagrama de Bode de esta forma: 
 
Para calcular el diagrama de Nyquist en MATLAB se utiliza el siguiente comando: 
3.4.2 Diagrama de Nyquist en MATLAB 
 Nyquist (g); 
 
El resultado es un diagrama de Nyquist de esta forma: 
 
 
3.4.3 Respuesta de sistema para frecuencia w=5 radianes/segundo 
Obtener el valor del módulo (en decibelios) y la fase (en grados) de la respuesta 
en frecuencia para w= 5 rad/seg se puede llevar a cabo de la siguiente forma: 
 Wentrada=[5]; 
 [magnitud,fase,Wsalida] = bode(g,Wentrada); 
 MagnitudEnDB= mag2db(magnitud); 
 MagnitudenDB 
 Fase 
 
 Esto significa que tenemos una magnitud de 23,8280 decibelios y una 
fase de -299,1350 grados para una frecuencia de 5 radianes por segundo 
en la función de respuesta de la función de transferencia g(s). 
 
 
 
 
 
3.5 Obtener el valor del módulo (en decibelios) en el pico de resonancia y la 
frecuencia de resonancia de G(s). (ATENCIÓN, puede que el pico de 
resonancia no exista o no coincida con el valor máximo en módulo del 
diagrama de Bode. Indicar si suceden estas situaciones). 
3.5.1 Ganancia y frecuencia de resonancia pico de G (s) 
Para obtener estos datos se utilizan los siguientes comandos en MATLAB: 
 [ValorPico,FrecuenciaPico] = getPeakGain(g); 
 ValorPicoEnDB = mag2db(ValorPico) 
 FrecuenciaPico; 
Ejemplo: 
 
 
Esto significa que la magnitud pico de la función de transferencia en decibelios es 
de 25,3857 db, mientras que la frecuencia pico correspondiente a esa magnitud es 
de 5,3945 grados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.6 Obtener la función de transferencia M(s) resultadode realimentar 
unitariamente y negativamente a G(s). 
Recordamos que disponemos de la ganancia de la función de transferencia G(s): 
 [ ] 
Y recordamos nuevamente la función de transferencia: 
 ( ) 
 
 
 
Recordamos que la función de retroalimentación negativa y unitaria H(s), la cual 
para los propósitos de este documento se conocerá como M(s), se expresa de la 
siguiente manera: 
 ( ) 
 
 
 
Donde: 
 G= Función de transferencia 
 K = Ganancia de la función de transferencia G(s) 
 M = Función de retroalimentación negativa y unitaria de G(s) con la 
ganancia K. 
Entonces, para calcular M(s) por medio de MATLAB, se emplean los siguientes 
comandos: 
 M = feedback(g,ganancia); 
Por ejemplo: 
 
Esto significa que M(s) es igual a: 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.7 Obtener los polos del sistema G(s) en bucle cerrado para K=5 
 Recordamos que el bucle cerrado G(s) significa un loop de retroalimentación 
negativa y unitaria, es decir, H(s). Para esta sección, H(s) debe ser calculada 
acuerdo a la ganancia K=5. Por lo tanto, empleamos los siguientes comandos en 
MATLAB: 
 K=5; 
 H = feedback(g,K); 
Por ejemplo: 
 
Por lo tanto, tenemos que: 
 ( ) 
 
 
 
Esta función de transferencia es la resultante del bucle cerrado de G(s) con una 
ganancia de K=5. Los polos de H(s) se calculan por medio de los siguientes 
comandos en MATLAB: 
 Numerador=[127 265] 
 Denominador = [1 2 661 1419] 
 [cero_h, polo_h, ganancia_h] = tf2zp(Numerador, Denominador); 
Por ejemplo: 
 
La fórmula indica los polos, ceros y la ganancia de la función de transferencia 
expresada como numerador y denominador. Tenemos que los polos de la función 
de transferencia H(s) son una matriz de 2x3 de la forma: 
 [
 
 
 
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.8 Obtener los márgenes de ganancia y de fase y las frecuencias 
correspondientes a esos márgenes para G(s) (En algunos casos puede 
ser infinito, indicarlo de ser así). 
 
Para calcular los márgenes de ganancia y de fase junto a las frecuencias 
correspondientes a cada uno de la función de transferencia G(s), se emplean los 
siguientes comandos en MATLAB: 
 [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(g) 
 
Los resultados muestran que el margen de ganancia de la función de transferencia 
es infinito y, de la misma manera, la frecuencia correspondiente a la ganancia es 
infinita. MATLAB advierte que el sistema de bucle cerrado es inestable debido a 
esto mismo. La conversión de unidades absolutas a decibelios se vuelve 
irrelevante frente al concepto de la infinidad, por lo tanto será obviada. 
Por otro lado, el margen de fase está expresado como -1,8782 grados, con una 
frecuencia correspondiente de 12,3949 radianes por segundo (rad/s). 
Tenemos que: 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 CONCLUSIÓN