03 Trabajo Práctico Nro 3 (VECTORES y OPERACIONES CON VECTORES)

Vista previa del material en texto

1 
 
Matemática 
1er. cuatrimestre del año 2020 
Trabajo Práctico Nro. 3 
Taller de Resolución de Problemas 
Compendio de problemas con resolución 
(VECTORES y OPERACIONES CON VECTORES) 
 
 
Este es un documento realizado por lxs docentes Marcela Araujo (Jefa de Trabajos Prácticos) y 
Mariano Reynoso (Ayudante) para lxs alumnxs de las comisiones 4 y 5 de la materia Matemática 
de las carreras de Farmacia y Bioquímica de la Facultad de Farmacia y Bioquímica de la 
Universidad de Buenos Aires. 
2 
 
VECTORES EN EL PLANO O ℝ𝟐 
Recordemos de la Clases Teóricas-Prácticas que un vector expresado en forma cartesiana es 𝑉 =
(𝑣1 ; 𝑣2) con 𝑣1 y 𝑣2 números reales. 
El módulo del vector 𝑉 se calcula como |𝑉| = √𝑣1
2 + 𝑣2
2 
El versor asociado al vector 𝑉 es 
𝑉
|𝑉|
 y es el vector que tiene módulo 1, la misma dirección y sentido 
que 𝑉 
Ejercicio 1 
En el ítem a nos piden calcular el módulo y el versor asociado de, por ejemplo, el vector 𝐵 =
(2 ; −3), entonces el módulo es: 
|𝐵| = √𝑏1
2 + 𝑏2
2 = √22 + (−3)2 = √13 
El versor asociado a 𝐵 es: 
𝐵
|𝐵|
=
(2 ; −3)
√13
= (
2
√13
 ; −
3
√13
) 
PRODUCTO ENTRE UN ESCALAR Y UN VECTOR 
En la búsqueda del versor asociado hemos utilizado la regla de multiplicación de un escalar 𝛼 por 
un vector 𝑉: 
𝛼𝑉 = 𝛼(𝑣1 ; 𝑣2) = (𝛼𝑣1 ; 𝛼𝑣2) 
dado que 
1
√13
 es un escalar. 
En el ítem b aparece además el opuesto de un vector 𝑉, este opuesto, al que llamaremos −𝑉 se 
obtiene multiplicando el escalar −1 por 𝑉: 
−𝑉 = (−𝑣1 ; −𝑣2) 
Por ejemplo, el opuesto de 𝐴 = (1 ; 1) es −𝐴 = (−1 ; −1). En la siguiente representación 
gráfica, 𝐴 es nuestro vector 𝐴 que tiene origen en el origen de coordenadas (0 ; 0) y se dirige al 
punto (1 ; 1), mientras que 𝑂 es nuestro vector −𝐴 que también tiene origen en el origen de 
coordenadas (0 ; 0) y se dirige al punto (−1 ; −1). 
3 
 
Por lo tanto, vemos que un vector 𝑉 = (𝑣1 ; 𝑣2) se grafica con origen en el origen de 
coordenadas (0 ; 0) y cuyo extremo es el punto (𝑣1 ; 𝑣2) 
SUMA DE VECTORES 
Al sumar dos vectores obtenemos un vector que se obtiene sumando componente a 
componente, es decir que si tenemos los vectores 𝑉 = (𝑣1 ; 𝑣2) y 𝑊 = (𝑤1 ; 𝑤2), entonces: 
𝑉 + 𝑊 = (𝑣1 + 𝑤1 ; 𝑣2 + 𝑤2) 
Si 𝐴 = (1 ; 1) y 𝐵 = (2 ; −3) entonces 𝐴 + 𝐵 = (1 + 2 ; 1 − 3) = (3 ; −2), lo vemos 
gráficamente como: 
La suma de vectores en el plano puede realizarse de forma gráfica por medio del Método del 
Paralelogramo. Así, debemos observar que el vector SUMA corresponde a un vector que tiene 
módulo igual a la medida de la diagonal del paralelogramo, es el vector con origen (0 ; 0) y 
extremos en el vértice (del paralelogramo) opuesto al origen. 
La resta de vectores, es decir, 𝐵 − 𝐶 puede ser pensada como la suma del opuesto, es decir, 𝐵 −
𝐶 = 𝐵 + (−𝐶). Veamos, si 𝐵 = (2 ; −3) y 𝐶 = (−4 ; 0) entonces: 
𝐵 − 𝐶 = (2 ; −3) + (4 ; 0) = (6 ; −3) 
 
4 
 
En la anterior representación gráfica vemos que nuestro −𝐶 es llamado 𝑂 por ser el opuesto de 
𝐶, así, la resta se resuelve como una suma, también posible de resolver gráficamente por medio 
del Método del Paralelogramo. 
Si 𝐴 = (1 ; 1), 𝐵 = (−2 ; 3) y 𝐶 = (−4 ; 0) si queremos 𝐴 − 𝐶 + 3𝐵, podemos resolverlo 
analíticamente: 
𝐴 − 𝐶 + 3𝐵 = (1 ; 1) − (−4 ; 0) + 3(−2 ; 3) 
𝐴 − 𝐶 + 3𝐵 = (1 ; 1) + (4 ; 0) + (−6 ; 9) 
𝐴 − 𝐶 + 3𝐵 = (1 + 4 − 6 ; 1 + 0 + 9) 
𝐴 − 𝐶 + 3𝐵 = (−1 ; 10) 
Gráficamente lo vemos como: 
El vector 𝑢 es 3𝐵, 𝑤 es el vector 𝐴 + (−𝐶) y el vector rojo 𝑣 es 𝐴 − 𝐶 + 3𝐵 
Lo que vimos hasta ahora para vectores en el plano o ℝ2 se extiende para los vectores en el 
espacio o ℝ3. 
 
5 
 
VECTORES EN EL ESPACIO O ℝ𝟑 
Recordemos que un vector expresado en forma cartesiana es 𝑉 = (𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3) con 𝑣1, 𝑣2 y 𝑣3 
números reales. 
El módulo del vector 𝑉 se calcula como |𝑉| = √𝑣1
2 + 𝑣2
2 + 𝑣3
2 
El versor asociado al vector 𝑉 es 
𝑉
|𝑉|
 y es el vector que tiene módulo 1, la misma dirección y sentido 
que 𝑉 
SUMA DE VECTORES 
Al sumar dos vectores obtenemos un vector que se obtiene sumando componente a 
componente, es decir que si tenemos los vectores 𝑉 = (𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3) y 𝑊 = (𝑤1 ; 𝑤2 ; 𝑤3), 
entonces: 
𝑉 + 𝑊 = (𝑣1 + 𝑤1 ; 𝑣2 + 𝑤2 ; 𝑣3 + 𝑤3) 
PRODUCTO ENTRE UN ESCALAR Y UN VECTOR 
Regla de multiplicación de un escalar 𝛼 por un vector 𝑉 = (𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3): 
𝛼𝑉 = 𝛼(𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3) = (𝛼𝑣1 ; 𝛼𝑣2 ; 𝛼𝑣3) 
RESTA DE VECTORES 
Recordemos que a la resta 𝑉 − 𝑊 podemos pensarla como la suma entre 𝑉 y el opuesto de 𝑊, 
es decir: 
𝑉 − 𝑊 = 𝑉 + (−𝑊) 
Ejercicio 3 
Si 𝐴 = (3 ; −1 ; −1), el módulo de 𝐴 es: 
|𝐴| = √𝑎1
2 + 𝑎2
2 + 𝑎3
2 = √32 + (−1)2 + (−1)2 = √11 
El versor asociado al vector 𝐴 es: 
𝐴
|𝐴|
=
(3 ; −1 ; −1)
√11
= (
3
√11
 ; −
1
√11
 ; −
1
√11
) 
Si 𝐵 = (−1 ; 1 ; −1) y 𝐶 = (1 ; 0 ; −1) obtengamos el vector 𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 analíticamente: 
𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = (3 ; −1 ; −1) + 2(−1 ; 1 ; −1) + (1 ; 0 ; −1) 
𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = (3 ; −1 ; −1) + (−2 ; 2 ; −2) + (1 ; 0 ; −1) 
𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = (3 − 2 + 1 ; −1 + 2 + 0 ; −1 − 2 − 1) 
𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = (2 ; 1 ; −4) 
 
6 
 
NOTACIÓN VECTORIAL DE VECTORES 
En el plano, los versores naturales son 𝐼 = (1 ; 0) y 𝐽 = (0 ; 1). Cualquier vector de ℝ2 se puede 
expresar como combinación lineal de esos vectores, a esa expresión se la denomina notación 
vectorial. Así, sea 𝑉 = (𝑣1 ; 𝑣2) la expresión cartesiana de 𝑉, entonces la expresión vectorial es 
𝑉 = 𝑣1 𝐼 + 𝑣2 𝐽 
En el espacio, los versores naturales son 𝐼 = (1 ; 0 ; 0), 𝐽 = (0 ; 1 ; 0) y 𝐾 = (0 ; 0 ; 1) y cualquier 
vector de ℝ3, como por ejemplo 𝑉 = (𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3), se expresa en notación vectorial como 𝑉 =
𝑣1 𝐼 + 𝑣2 𝐽 + 𝑣3 𝐾 
PRODUCTO ENTRE UN ESCALAR Y UN VECTOR 
𝛼𝑉 = 𝛼(𝑣1 𝐼 + 𝑣2 𝐽 + 𝑣3 𝐾) = 𝛼𝑣1 𝐼 + 𝛼𝑣2 𝐽 + 𝛼𝑣3 𝐾 
SUMA DE VECTORES 
𝑉 + 𝑊 = (𝑣1 𝐼 + 𝑣2 𝐽 + 𝑣3 𝐾) + (𝑤1 𝐼 + 𝑤2 𝐽 + 𝑤3 𝐾) 
𝑉 + 𝑊 = (𝑣1 + 𝑤1) 𝐼 + (𝑣2 + 𝑤2) 𝐽 + (𝑣3 + 𝑤3) 𝐾 
Ejercicio 3 
Los vectores en ℝ2 son 𝐴 = 2 𝐼 + 𝐽 y 𝐵 = 𝐼 + 3 𝐽 
En el ítem a) nos piden hallar 𝐶 paralelo a 𝐵 y para obtener un vector paralelo a uno dado se 
necesita multiplicar al vector dado, en este caso a 𝐵, por un número real distinto de cero. Por lo 
tanto 𝐶 no es único. 
𝐶 = 𝛼𝐵 con 𝛼 ∈ ℝ y 𝛼 ≠ 0 
Por ejemplo, un 𝐶 puede ser 𝐶 = 2𝐵 = 2(𝐼 + 3 𝐽) = 2 𝐼 + 6 𝐽 
En el ítem b) nos piden hallar 𝐶 paralelo a 𝐵 y de sentido contrario. Para obtener un vector 
paralelo y de sentido contrato a 𝐵 es necesario multiplicar a 𝐵 por un número real negativo, por 
lo tanto 𝐶 no es único. 
𝐶 = 𝛼𝐵 con 𝛼 ∈ ℝ y 𝛼 < 0 
Por ejemplo, un 𝐶 puede ser 𝐶 = −3𝐵 = −3(𝐼 + 3 𝐽) = −3 𝐼 − 9 𝐽 
En el ítem e) nos piden hallar 𝐶 tal que 𝐴 + 2𝐶 = 𝐵. Si despejamos 𝐶 tenemos que: 
𝐶 =
1
2
(𝐵 − 𝐴) 
y podemos ver que es único. 
𝐶 =
1
2
[𝐼 + 3 𝐽 − (2 𝐼 + 𝐽)] 
𝐶 =
1
2
(− 𝐼 + 2 𝐽) = −
1
2
 𝐼 + 𝐽 
7 
 
En el ítem i) piden un vector 𝐶 tal que 𝐴 + 𝐶 tenga la dirección de 𝐴 y 𝐴 + 𝐶 tenga módulo igual 
a 2 
Primero logramos que 𝐴 + 𝐶 tenga la misma dirección de 𝐴: 
𝐴 + 𝐶 = 𝛼𝐴 = 𝛼(2 𝐼 + 𝐽) = 2𝛼 𝐼 + 𝛼 𝐽 
Luego tenemos en cuenta la condición de su módulo: 
|𝐴 + 𝐶| = √(2𝛼)2 + 𝛼2 = √5𝛼2 
√5𝛼2 = 2 
Despejando 𝛼 tenemos que: 
√5𝛼2 = 2 
5𝛼2 = 22 
𝛼2 =
4
5
 
|𝛼| = √
4
5
 
Entonces vemos que tenemos dos valores de 𝛼, a saber: 𝛼1 = −√
4
5
 y 𝛼2 = √
4
5
 
Y así obtenemos dos vectores 𝐶: 
𝐴 + 𝐶1 = 𝛼1𝐴 = −√
4
5
𝐴 ⇒ 𝐶1 = −√
4
5
𝐴 − 𝐴 = −√
4
5
(2 𝐼 + 𝐽) − (2 𝐼 + 𝐽) 
𝐶1 = (−2√
4
5
− 2) 𝐼 + (−√
4
5
− 1) 𝐽 
𝐴 + 𝐶2 = 𝛼2𝐴 = √
4
5
𝐴 ⇒ 𝐶2 = √
4
5
𝐴 − 𝐴 = √
4
5
(2 𝐼 + 𝐽) − (2 𝐼 + 𝐽) 
𝐶2 = (2√
4
5
− 2) 𝐼 + (√
4
5
− 1) 𝐽 
Ejercicio 4 
Dados los vectores de ℝ2, 𝐴 = (1 ; 1) y 𝐵 = (1 ; −1), hallar un vector 𝐶 en ℝ2 paralelo al vector 
𝐵 tal que |𝐶 − 𝐴| = 10 
Si buscamos que 𝐶 seaparalelo a 𝐵, entonces: 
8 
 
𝐶 = 𝛼𝐵 = 𝛼(1 ; −1) = (𝛼 ; −𝛼) 
Luego: 
𝐶 − 𝐴 = (𝛼 ; −𝛼) − (1 ; −1) = (𝛼 − 1 ; −𝛼 − 1) 
Recordemos que el módulo de la resta debe ser igual a 10, entonces: 
|𝐶 − 𝐴| = √(𝛼 − 1)2 + (−𝛼 − 1)2 = 10 
(𝛼 − 1)2 + (−𝛼 − 1)2 = 102 
𝛼2 − 2𝛼 + 1 + 𝛼2 + 2𝛼 + 1 = 100 
2𝛼2 + 2 = 100 
2𝛼2 = 98 
2𝛼2 = 98 
𝛼2 =
98
2
 
|𝛼| = √49 = 7 
Entonces vemos que tenemos dos valores de 𝛼, a saber: 𝛼1 = −7 y 𝛼2 = 7 
Y así obtenemos dos vectores 𝐶: 
𝐶1 = 𝛼1𝐵 = −7(1 ; −1) = (−7 ; 7) 
𝐶2 = 𝛼2𝐵 = 7(1 ; −1) = (7 ; −7) 
Veamos la representación gráfica de los vectores implicados: 
9 
 
PRODUCTO ESCALAR 
El producto escalar1 entre dos vectores es un número que se obtiene multiplicando componente 
a componente y sumando las multiplicaciones. 
Para vectores en ℝ2, 𝐴 = (𝑎1 ; 𝑎2) y 𝐵 = (𝑏1 ; 𝑏2), entonces 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 
Para vectores en ℝ3, 𝐴 = (𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3) y 𝐵 = (𝑏1 ; 𝑏2 ; 𝑏3), entonces 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 +
𝑎3𝑏3 
El producto escalar en función de los módulos de estos dos vectores se calcula como: 
𝐴 ∙ 𝐵 = |𝐴||𝐵| cos 𝐴�̂� 
siendo 𝐴�̂� el ángulo entre los dos vectores mencionados. 
Ejercicio 5 
Los vectores en ℝ3 son 𝐴 = (2 ; 3 ; 1), 𝐵 = (−3 ; −1 ; 2) y 𝐶 = (4 ; 0 ; −3) 
Nos piden en el ítem a) 
𝐴 ∙ 𝐴 = (2 ; 3 ; 1) ∙ (2 ; 3 ; 1) = 2 ∙ 2 + 3 ∙ 3 + 1 ∙ 1 = 14 
|𝐴| = √22 + 32 + 12 = √14 
Podemos ver que 𝐴 ∙ 𝐴 = |𝐴|2 
𝐴 ∙ 𝐵 = (2 ; 3 ; 1) ∙ (−3 ; −1 ; 2) = 2 ∙ (−3) + 3 ∙ (−1) + 1 ∙ 2 = −7 
𝐵 ∙ 𝐴 = (−3 ; −1 ; 2) ∙ (2 ; 3 ; 1) = (−3) ∙ 2 + (−1) ∙ 3 + 2 ∙ 1 = −7 
Podemos ver que 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴 
𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶) = (2 ; 3 ; 1) ∙ [(−3 ; −1 ; 2) + (4 ; 0 ; −3)] 
𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶) = (2 ; 3 ; 1) ∙ (1 ; −1 ; −1) 
𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶) = 2 ∙ 1 + 3 ∙ (−1) + 1 ∙ (−1) 
𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶) = −2 
 
𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶 = (2 ; 3 ; 1) ∙ (−3 ; −1 ; 2) + (2 ; 3 ; 1) ∙ (4 ; 0 ; −3) 
𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶 = (−6 − 3 + 2) + (8 + 0 − 3) 
𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶 = −7 + 5 = −2 
 
1 No confundamos «producto escalar» con «producto por un escalar». El producto escalar se efectúa entre dos 
vectores, mientras que el producto por un escalar es la multiplicación entre un vector y un escalar. El producto escalar 
también es llamado producto punto, dada su notación. 
10 
 
Vemos que 𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶 
En el ítem c) se pide calcular el ángulo entre los vectores: 
𝐴 ∙ 𝐵 = |𝐴||𝐵| cos 𝐴�̂� ⇒
𝐴 ∙ 𝐵
|𝐴||𝐵|
= cos 𝐴�̂� 
El producto escalar 𝐴 ∙ 𝐵 = −7 y |𝐴| = √14 dado que anteriormente ya los habíamos calculados, 
entonces nos falta calcular |𝐵| 
|𝐵| = √(−3)2 + (−1)2 + 22 = √14 
Entonces: 
−7
√14√14
= cos 𝐴�̂� 
−
1
2
= cos 𝐴�̂� 
120° = 𝐴�̂� 
 
 
 
11 
 
PRODUCTO VECTORIAL 
El producto vectorial2 entre dos vectores en ℝ3 da por resultado un vector en ℝ3 que es 
ortogonal al plano determinado por los dos vectores y se resuelve como si se fuera a resolver un 
determinante de 3 por 3. 
𝐴 × 𝐵 = |
𝐼 𝐽 𝐾
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
| 
En la primer fila del determinante están los versores naturales, en la segunda fila las componentes 
del vector 𝐴 y en la tercer fila las componentes del vector 𝐵, y se resuelve: 
𝐴 × 𝐵 = |
𝐼 𝐽 𝐾
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
| = |
𝑎2 𝑎3
𝑏2 𝑏3
| 𝐼 − |
𝑎1 𝑎3
𝑏1 𝑏3
| 𝐽 + |
𝑎1 𝑎2
𝑏1 𝑏2
| 𝐾 
Nos queda por resolver ahora los determinantes de 2 por 2: 
𝐴 × 𝐵 = (𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2) 𝐼 − (𝑎1𝑏3 − 𝑎3𝑏1) 𝐽 + (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1) 𝐾 
Ejercicio 6 
𝐴 × 𝐵 = |
𝐼 𝐽 𝐾
2 3 1
−3 −1 2
| = |
3 1
−1 2
| 𝐼 − |
2 1
−3 2
| 𝐽 + |
2 3
−3 −1
| 𝐾 
𝐴 × 𝐵 = [6 − (−1)] 𝐼 − [4 − (−3)] 𝐽 + [2(−1) − 3(−3)] 𝐾 
𝐴 × 𝐵 = 7 𝐼 − 7 𝐽 + 7 𝐾 
 
𝐵 × 𝐴 = |
𝐼 𝐽 𝐾
−3 −1 2
2 3 1
| = |
−1 2
3 1
| 𝐼 − |
−3 2
2 1
| 𝐽 + |
−3 −1
2 3
| 𝐾 
𝐵 × 𝐴 = (−1 − 6) 𝐼 − (−3 − 4) 𝐽 + [−9 − (−2)] 𝐾 
𝐵 × 𝐴 = −7 𝐼 + 7 𝐽 − 7 𝐾 
Podemos observar que 𝐴 × 𝐵 y 𝐵 × 𝐴 son vectores opuestos, es decir 𝐴 × 𝐵 = −𝐵 × 𝐴 
Ejercicio 7 
 a) 
(𝐴 × 𝐵) ∙ 𝐶, nos piden el producto escalar entre dos vectores, a saber: 𝐴 × 𝐵 y 𝐶, entonces: 
(𝐴 × 𝐵) ∙ 𝐶 = (7 𝐼 − 7 𝐽 + 7 𝐾) ∙ (4 𝐼 + 0 𝐽 − 3 𝐾) 
(𝐴 × 𝐵) ∙ 𝐶 = 7 ∙ 4 + (−7) ∙ 0 + 7 ∙ (−3) 
 
2 El «producto vectorial» es llamado también producto cruz por su notación. 
12 
 
(𝐴 × 𝐵) ∙ 𝐶 = 7 
Ejercicio 9 
Vamos a hallar todos los valores de 𝑟 ∈ ℝ de modo que los siguientes vectores resulten 
perpendiculares. Para el ítem c) los vectores son 𝐴 = 𝑟 𝐼 − 𝑟 𝐽 − 3 𝐾 y 𝐵 = 𝑟 𝐼 − 2 𝐽 + 𝐾 
Dos vectores perpendiculares forman un ángulo de 90° y cos 90° = 0, entonces dos vectores 
perpendiculares tienen producto escalar igual a cero. 
Planteamos el producto escalar: 
𝐴 ∙ 𝐵 = (𝑟 ; −𝑟 ; −3) ∙ (𝑟 ; −2 ;  1) 
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑟2 + 2𝑟 − 3 
0 = 𝑟2 + 2𝑟 − 3 
𝑟 =
−2 ± √22 − 4 ∙ 1 ∙ (−3)
2 ∙ 1
=
−2 ± 4
2
 
Entonces tenemos dos valores para 𝑟, a saber: 𝑟1 = −3 y 𝑟2 = 1 
Ejercicio 10 
En el ítem c) el vector es 𝐴 = 2 𝐼 + 𝐽 − 𝐾 y nos piden dar un argumento para anticipar el 
resultado de 𝐴 × (3𝐴) sin realizar cálculos. Sin hacer el cálculo y teniendo presente una de las 
propiedades del determinante podemos anticipar que el resultado será un vector nulo dado que 
si un determinante tiene una fila o columna que es múltiplo de otra fila o columna, el 
determinante es cero. 
Si realizamos el cálculo: 
𝐴 × (3𝐴) = |
𝐼 𝐽 𝐾
2 1 −1
6 3 −3
| = |
1 −1
3 −3
| 𝐼 − |
2 −1
6 −3
| 𝐽 + |
2 1
6 3
| 𝐾 
𝐴 × (3𝐴) = (−3 + 3) 𝐼 − (−6 + 6) 𝐽 + (6 − 6) 𝐾 
𝐴 × (3𝐴) = 0 𝐼 − 0 𝐽 + 0 𝐾 
Vemos que estábamos en lo cierto. 
Ejercicio 12 
Para demostrar que los vectores 𝐴 + 𝐵 y 𝐴 − 𝐵 son ortogonales (perpendiculares entre sí) 
sabiendo que |𝐴| = |𝐵| planteamos el producto escalar y demostramos que es cero: 
(𝐴 + 𝐵) ∙ (𝐴 − 𝐵) = (𝑎1 + 𝑏1 ; 𝑎2 + 𝑏2 ; 𝑎3 + 𝑏3) ∙ (𝑎1 − 𝑏1 ; 𝑎2 − 𝑏2 ; 𝑎3 − 𝑏3) 
(𝐴 + 𝐵) ∙ (𝐴 − 𝐵) = (𝑎1 + 𝑏1)(𝑎1 − 𝑏1) + (𝑎2 + 𝑏2)(𝑎2 − 𝑏2) + (𝑎3 + 𝑏3)(𝑎3 − 𝑏3) 
(𝐴 + 𝐵) ∙ (𝐴 − 𝐵) = 𝑎1
2 − 𝑏1
2 + 𝑎2
2 − 𝑏2
2 + 𝑎3
2 − 𝑏3
2 
13 
 
(𝐴 + 𝐵) ∙ (𝐴 − 𝐵) = (𝑎1
2 + 𝑎2
2 + 𝑎3
2) − (𝑏1
2 + 𝑏2
2 + 𝑏3
2) 
(𝐴 + 𝐵) ∙ (𝐴 − 𝐵) = |𝐴|2 − |𝐵|2 
|𝐴|2 − |𝐵|2 = 0 porque  |𝐴| = |𝐵| entonces: 
(𝐴 + 𝐵) ∙ (𝐴 − 𝐵) = 0 
Lo que implica que sean ortogonales (perpendiculares entre sí). 
Ejercicio 13 
Dados los vectores 𝐴 = −3 𝐼 + 2 𝐾 y 𝐵 = 𝐽 + 𝐾 en ℝ3, hallar el o los vectores 𝐶 ∈ ℝ3 
perpendiculares a ambos vectores de módulo 4 
Cuando planteamos el producto vectorial entre dos vectores dijimos que se obtiene un vector 
que es perpendicular al plano determinado por los dos vectores, el vector 𝐴 × 𝐵 es perpendicular 
a 𝐴 y a 𝐵 
Calculamos entonces 𝐴 × 𝐵 
𝐴 × 𝐵 = |
𝐼 𝐽 𝐾
−3 0 2
0 1 1
| = |
0 2
1 1
| 𝐼 − |
−3 2
0 1
| 𝐽 + |
−3 0
0 1
| 𝐾 
𝐴 × 𝐵 = (0 − 2) 𝐼 − (−3 − 0) 𝐽 + (−3 − 0) 𝐾 
𝐴 × 𝐵 = −2 𝐼 + 3 𝐽 − 3 𝐾 
Encontramos un vector 𝐴 × 𝐵 que es perpendicular a 𝐴 y a 𝐵 pero no tiene módulo 4, entonces 
podemos buscar el versor asociado y lo multiplicamos por 4 (porque el versor asociado tiene 
módulo 1): 
𝐴 × 𝐵
|𝐴 × 𝐵|
 
El anterior vector tiene la dirección y sentido de 𝐴 × 𝐵 y módulo 1 
4 (
𝐴 × 𝐵
|𝐴 × 𝐵|
) 
 El anterior vector tiene la dirección y sentido de 𝐴 × 𝐵 y módulo 4 
|𝐴 × 𝐵| = √(−2)2 + 32 + (−3)2 
|𝐴 × 𝐵| = √22 
4.
𝐴𝑥𝐵
|𝐴𝑥𝐵|
= 4 (
−2 𝐼 + 3 𝐽 − 3 𝐾
√22
) = −
8
√22
 𝐼 +
12
√22
 𝐽 −
12
√22
 𝐾 
 
14 
 
El vector opuesto también cumple lo pedido , entonces encontramos dos vectores 𝐶: 
𝐶1 = −
8
√22
 𝐼 +
12
√22
 𝐽 −
12
√22
 𝐾 
𝐶2 =
8
√22
 𝐼 −
12
√22
 𝐽 +
12
√22
 𝐾