unidad 6 Conicas

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CÓNICAS
Mg. Christiane Ponteville
SECCIONES DEL CONO 
CIRCULAR
Plano paralelo a la base: 
Circunferencia
Plano oblicuo a la base: Elipse
Plano Paralelo a la generatriz: Parábola
Plano Interseca las dos superficies 
cónicas: Hipérbola
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Las formas de las secciones cónicas 
están ocultas en la estructura de una 
gran diversidad de objetos:
• Estructuras de diseños arquitectónicos
• Fabricación de objetos pequeños
• Funcionamiento de instrumentos tecnológicos
(medicina, ingeniería, navegación, astronomía,
entre otros)
• Formas generadoras de situaciones ópticas
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Por ejemplo, la parábola sirve para 
modelizar:
• Trayectoria de un proyectil
• Reflectores para lámparas y
telescopios
• Radares
• Antenas receptoras de señales de
radio y TV
• Chorros de agua con ángulo de
elevación
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Por ejemplo, la elipse sirve para 
modelizar:
• Formas de ventanas
• Cámaras de eco
Aparece en:
Formas de las órbitas de los
planetas que giran alrededor del
Sol
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Por ejemplo, la hipérbola se utiliza en:
• Sistemas de navegación
• Diseño de telescopio reflector
Aparece en:
• Trayectoria de cometas
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Lugar geométrico
Formalmente, un “lugar geométrico” es el
“rastro” o la “huella” que deja un punto que
se mueve de acuerdo a una ley
especificada.
O sea, usaremos la definición: Un lugar
geométrico es el conjunto de todos los
puntos de una curva que satisfacen cierta
ecuación.
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Vamos a describir las cónicas de dos 
maneras:
• Como lugar geométrico
• A través de una ecuación
Vamos a considerar cónicas en posición 
estándar respecto de los ejes (sin rotación).
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Parábola
Lugar geométrico de los puntos Q que 
equidistan de un punto fijo F (foco) y de una 
recta fija l (directriz) que no contiene a F.
O sea, 
d (Q;F)=d(l;Q)
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Parábola
• La recta que pasa por F y es 
perpendicular a l se llama eje de simetría.
• El punto de la parábola que está sobre 
este eje transversal se llama vértice (V). El 
vértice está a la misma distancia (/p/) de la 
recta l que del foco F.
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Parábola
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Parábola
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Parábola. Ejemplo 1
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Parábola. Ejemplo 1
4p=2, o sea p=0,5>0 (abre hacia la derecha)
Foco: F=(4,5;3) Directriz: x=3,5
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Parábola. Ejemplo 2
Hallar la ecuación canónica de la parábola 
con vértice en (-2;4) y foco en (2;3).Graficar.
Como el vértice y el foco tienen igual 
abscisa, el eje de la parábola es vertical. La 
distancia entre el foco y el vértice es 1 y 
como abre hacia abajo p=-1.
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Parábola. Ejemplo 2
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Elipse
Lugar geométrico de los puntos Q del plano
tales que la suma de las distancias a dos
puntos fijos F1 y F2 (focos) es constante
(2a).O sea, d(Q; F1)+d(Q; F2)= 2a
La recta que pasa por los focos: recta focal.
D(F1 ; F2)<2a 
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Elipse
El eje focal corta a la elipse en dos puntos: 
vértices (V1 y V2).
El segmento de recta que une los vértices 
se llama eje mayor y su punto medio: centro 
de la elipse.
Otro eje: eje menor (A y A´)
Distancia entre vértices:2a
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Elipse
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Elipse
Excentricidad: e = c/a
La excentricidad es siempre menor que uno.
Circunferencia: excentricidad es 0.
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Elipse
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Elipse
Si el eje mayor es paralelo al eje X y V=(h;k) la 
ecuación canónica es:
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Circunferencia
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Elipse. Ejemplo 1
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Elipse. Ejemplo 1
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Elipse. Ejemplo 2
Determinar la ecuación canónica, focos y
vértices de la elipse cuyo eje mayor tiene
extremos: (-3; 5) y (7; 5) y cuyo eje menor tiene
extremos (2; 2) y (2; 8).
Obtenemos : a = 5 y b = 3
Como el semieje mayor es paralelo al eje X, la
ecuación canónica es:
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Elipse. Ejemplo 2
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Hipérbola
Lugar geométrico de los puntos Q tales que
el valor absoluto de la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos F1 y F2 (focos)
es constante (2a).
O sea, |d(Q; F1) - d(Q; F2)| = 2 a
D(F1 ; F2) < 2a 
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Hipérbola
La recta que pasa por los focos: recta focal.
El eje focal corta a la hipérbola en dos
puntos: V1 y V2 llamados vértices. El
segmento de recta que une los vértices se
llama eje mayor. El punto medio de ese eje
se llama centro de la hipérbola.
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Hipérbola
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Hipérbola
Excentricidad: e = c/a
La excentricidad es siempre mayor que uno.
Si e está cerca de 1 las ramas de la
hipérbola son muy abiertas. Si no está cerca
de 1 las ramas abren poco y se muestra
achatada.
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Hipérbola
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Hipérbola
Si el eje mayor es paralelo al eje Y y C = (h;k) la 
ecuación canónica es:
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Hipérbola. Ejemplo 1
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Hipérbola. Ejemplo 1
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Hipérbola. Ejemplo 1
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Hipérbola. Ejemplo 2
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Hipérbola. Ejemplo 2
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Hipérbola. Ejemplo 2
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Hipérbola. Ejemplo 3
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