Segundo Parcial 2017-2

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Claves Matemática 2°Parcial Primer turno temas 1 2 y 3.pdf
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Claves Matemática 2°Parcial Segundo turno temas 1 2 y 3.pdf
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Material de uso exclusivamente didáctico 
1 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO (22/11/2017) 
TEMA 1 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Hallar él o los puntos del gráfico de la función 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2−3𝑥 
para los cuales la recta tangente sea horizontal 
 
Respuesta 
El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. 
Debemos hallar los puntos de la forma (𝑥0; 𝑓(𝑥0)) donde la recta tangente sea horizontal, es decir, donde la pendiente de la recta es 
nula. 
Sabemos que la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en el punto (𝑥0; 𝑓(𝑥0)) es igual a la derivada de la función 
evaluada en 𝑥0. Entonces, debemos hallar los valores del dominio de la función donde su derivada se anule. 
La derivada de la función es: 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥
2−3𝑥(2𝑥 − 3) 
Entonces 
𝑓′(𝑥0) = 0 ⟺ 𝑒
𝑥0
2−3𝑥0(2𝑥0 − 3) = 0 ⟺ 2𝑥0 − 3 = 0 ⟺ 𝑥0 =
3
2
 
(recordar que la función exponencial no se anula). 
Para dar el punto debemos hallar el valor de 𝑓 (
3
2
) 
𝑓 (
3
2
) = 𝑒(
3
2
)
2
−3(
3
2
) = 𝑒(
9
4
−
9
2
) = 𝑒−
9
4 
El punto del gráfico de la función es (
3
2
; 𝑒−
9
4) 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Dada la función 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛 (2𝑥 − 3𝑎), hallar el valor de 𝑎 ∈ 𝑅 si se sabe que el conjunto de negatividad de la función 
es el intervalo (
3
2
; 2). 
Hallar el dominio de la función teniendo en cuenta el valor hallado de la constante 𝑎. 
 
Respuesta 
Sabemos que el conjunto de negatividad de la función ln (𝑡) es el intervalo (0; 1) 
Entonces, si 
0 < 2𝑥 − 3𝑎 < 1 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
2 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO (22/11/2017) 
3𝑎 < 2𝑥 < 1 + 3𝑎 
3𝑎
2
< 𝑥 <
1 + 3𝑎
2
 
El conjunto de negatividad de la función es el intervalo (
3𝑎
2
;
1+3𝑎
2
) y por otro lado es igual a (
3
2
; 2) 
Entonces 
3𝑎
2
=
3
2
 ⟺ 𝑎 = 1 
1 + 3𝑎
2
= 2 ⟺ 1 + 3𝑎 = 4 ⟺ 3𝑎 = 3 ⟺ 𝑎 = 1 
Luego 
𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛 (2𝑥 − 3) 
El dominio de la función serán aquellos valores de 𝑥 para los cuales 
2𝑥 − 3 > 0 ⟺ 2𝑥 > 3 ⟺ 𝑥 >
3
2
 
Dominio de la función es el intervalo (
3
2
; +∞) 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝜋) − 2. Hallar el valor de la constante 𝑎 ∈ ℝ sabiendo que 𝑓 (
𝜋
2
) = −2𝑎 + 1 
 
Respuesta 
Se sabe que 
𝑓 (
𝜋
2
) = −2𝑎 + 1 
Por otro lado 
 
𝑓 (
𝜋
2
) = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
+ 𝜋) − 2 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋
2
) − 2 = 𝑎(−1) − 2 = −𝑎 − 2 
 
Entonces 
−2𝑎 + 1 = −𝑎 − 2 
−2𝑎 + 𝑎 = −2 − 1 
−2𝑎 + 𝑎 = −2 − 1 
−𝑎 = −3 
𝑎 = 3 
El valor de la constante es 𝑎 = 3 
 
 
 
 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO (22/11/2017) 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
El gráfico muestra el área encerrada entre las gráficas de las funciones 
𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 5, 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 
Calcular el valor del área sombreada. 
 
Respuesta 
 
 
 
Primero debemos hallar los puntos en donde se cruzan las gráficas de las funciones. 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ −2𝑥 + 5 = −𝑥2 + 4𝑥 ⟺ −2𝑥 + 5 + 𝑥2 − 4𝑥 = 0 ⟺ 𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0 
Hallamos las raíces de la cuadrática 
𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0 ⟺ 𝑥1,2 =
−(−6) ± √(−6)2 − 4 ∙ 1 ∙ 5
2 ∙ 1
=
6 ± √16
2
=
6 ± 4
2
 ⇒ 𝑥1 = 1 , 𝑥2 = 5 
Para hallar el valor de “y” de los puntos donde se cruzan evaluamos en cualquiera de las dos funciones. 
𝑓(1) = −2(1) + 5 = 3 
𝑓(5) = −2(5) + 5 = −5 
Los puntos donde se cruzan las funciones son: 
(1; 3) , (5; −5) 
Luego, el área es 
á𝑟𝑒𝑎 = ∫(−𝑥2 + 4𝑥) − (−2𝑥 + 5)
5
1
𝑑𝑥 = ∫ −𝑥2 + 4𝑥 + 2𝑥 − 5
5
1
𝑑𝑥 = ∫ −𝑥2 + 6𝑥 − 5
5
1
𝑑𝑥 = 
= (−
𝑥3
3
+
6𝑥2
2
− 5𝑥)|
1
5
= (−
𝑥3
3
+ 3𝑥2 − 5𝑥)|
1
5
= (−
53
3
+ 3 ∙ 52 − 5 ∙ 5) − (−
13
3
+ 3 ∙ 12 − 5 ∙ 1) =
32
3
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO (22/11/2017) 
TEMA 2 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2−5𝑥−8 hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 
 
Respuesta 
El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. 
Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento debe analizar el signo del a derivada primera. 
La derivada de la función es 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥
2−5𝑥−8(2𝑥 − 5) 
El dominio de la función derivada también es el conjunto de todos los números reales. 
Buscamos en primer los valores para los cuales se anula la derivada primera de la función 
𝑓′(𝑥) = 0 ⟺ 𝑒𝑥
2−5𝑥−8(2𝑥 − 5) = 0 ⟺ 2𝑥 − 5 = 0 ⟺ 𝑥 =
5
2
 
Analizamos el signo de la derivada primera en los intervalos 
(−∞;
5
2
) , (
5
2
; +∞) 
En el intervalo (−∞;
5
2
) la derivada primera es negativa ya que si evaluamos en 0 ∈ (−∞;
5
2
) tenemos que 𝑓′(0) = −5 ∙ 𝑒−8 < 0 
En el intervalo (
5
2
; +∞) la derivada primera es positiva ya que si evaluamos en 3 ∈ (
5
2
; +∞) tenemos que 𝑓′(3) = 1 ∙ 𝑒−14 > 0 
Luego, la función es creciente en el intervalo , (
5
2
; +∞) y decreciente en el intervalo(−∞;
5
2
) 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (3𝑎 − 4𝑥), hallar el valor de 𝑎 ∈ 𝑅 si se sabe que el conjunto de positividad de la función es 
el intervalo (−∞; 5). 
Hallar el dominio de la función teniendo en cuenta el valor hallado de la constante 𝑎 
 
Respuesta 
Sabemos que el conjunto de positividad de la función ln (𝑡) es el intervalo (1; +∞) 
Entonces, si 
3𝑎 − 4𝑥 > 1 ⟺ −4𝑥 > 1 − 3𝑎 ⟺ 𝑥 <
3𝑎 − 1
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO (22/11/2017) 
El conjunto de positividad de la función es el intervalo (−∞;
1−3𝑎
4
) y por otro lado es igual a (−∞; 5) 
Entonces 
3𝑎 − 1
4
= 5 ⟺ 3𝑎 − 1 = 20 ⟺ 3𝑎 = 21 ⟺ 𝑎 = 7 
Luego 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (21 − 4𝑥) 
El dominio de la función serán aquellos valores de 𝑥 para los cuales 
21 − 4𝑥 > 0 ⟺ −4𝑥 > −21 ⟺ 𝑥 <
21
4
 
Dominio de la función es el intervalo (−∞;
21
4
) 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Dada la función ℎ(𝑥) = 3 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −
𝜋
2
) − 1, hallar los valores 𝑥 ∈ ℝ para los cuales ℎ(𝑥) = 2 
 
Respuesta 
Nos piden hallar los valores 𝑥 ∈ ℝ para los cuales ℎ(𝑥) = 2, que es lo mismo que pedir 
3 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −
𝜋
2
) − 1 = 2 
3 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −
𝜋
2
) = 3 
𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −
𝜋
2
) = 1 
Sabemos que 𝑠𝑒𝑛(𝑡) = 1 si y solo si 𝑡 =
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
Luego 
𝑥 −
𝜋
2
=
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
𝑥 =
𝜋
2
+
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
Los valores de 𝑥 ∈ ℝ para los cuales se verifica que ℎ(𝑥) = 2 son los de la forma 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ. 
 
 
 
 
 
 
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SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO (22/11/2017) 
 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
El gráfico muestra el área encerrada entre las gráficas de las funciones 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4, 𝑔(𝑥) = 2 − 𝑥 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑥 = 4 
Calcular el valor del área sombreada. 
 
Respuesta 
 
 
Primero debemos hallar el punto en donde se cruzan las gráficas de las funciones 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ 2𝑥 − 4 = 2 − 𝑥 ⟺ 3𝑥 = 6 ⟺ 𝑥 = 2 
Para hallar el valor de “y” de los puntos donde se cruzan evaluamos en cualquiera de las dos funciones. 
𝑓(2) = 2(2) − 4 = 0 
El punto donde se cruzan las rectas es el (2; 0) 
Luego, el área es 
á𝑟𝑒𝑎 = ∫(2𝑥 − 4) − (2 − 𝑥)
4
2
𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥 − 4 − 2 + 𝑥
4
2
𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥 − 6
4
2
𝑑𝑥 = (
3𝑥2
2
− 6𝑥)|
2
4
 
= (
3(4)2
2
− 6 ∙ 4) − (
3(2)2
2
− 6 ∙ 2) = 6
 
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SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO (22/11/2017) 
TEMA 3 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Dada la función 𝑔(𝑥) = 24𝑥 − 𝑎2 hallar los valores de 𝑎 ∈ ℝ para los cuales 𝑔(−1) = −
3
16
 
 
Respuesta 
Debemos hallar los valores para los cuales 
𝑔(−1) = −
3
16
 
Tenemos que 
𝑔(−1) = 24∙(−1) − 𝑎2 
Entonces 
24∙(−1) − 𝑎2 = −
3
16
 ⟺ 2−4 +
3
16
= 𝑎2 ⟺ 2−4 + 3 ∙ 2−4 = 𝑎2 ⟺ 𝑎2 = 4 ∙ 2−4 
𝑎2 = 22 ∙ 2−4 ⟺ 𝑎2 = 2−2 ⟺ 𝑎2 = (
1
2
)
2
 ⇒ 𝑎 =
1
2
 𝑜 𝑎 = −
1
2
 
 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑎 𝑥2 + 2𝑥 + 3), determinar el valor de 𝑎 ∈ ℝ si 𝒇 tiene un mínimo cuando 1x . Hallar 
en qué intervalo o unión de intervalos f es creciente 
 
Respuesta 
Si la función tiene un mínimo cuando 𝑥 = −1 tenemos que 
𝑓′(−1) = 0 
Calculamos la derivada de la función 
𝑓′(𝑥) =
1
𝑎 𝑥2 + 2𝑥 + 3
∙ (2𝑎𝑥 + 2) 
𝑓′(−1) =
1
𝑎 (−1)2 + 2(−1) + 3
∙ (2𝑎(−1) + 2) = 0 ⟺ 2𝑎(−1) + 2 = 0 ⟺ 𝑎 = 1 
Luego 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 ( 𝑥2 + 2𝑥 + 3) 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO (22/11/2017) 
La derivada de la función no tiene más ceros, entonces para hallar el conjunto donde la función es creciente debemos analizar en que 
intervalo la derivada primera es positiva. 
El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales ya que su argumento siempre es positivo (la cuadrática del 
argumento no tiene ceros). 
Analizamos el signo de la derivada primera en los intervalos (−∞; −1) , (−1; +∞) 
Recordamos la expresión de la derivada 
𝑓′(𝑥) =
1
 𝑥2 + 2𝑥 + 3
∙ (2𝑥 + 2) 
En el intervalo (−∞; −1) la derivada primera es negativa ya que si evaluamos en −2 ∈ (−∞; −1) tenemos que 𝑓′(−2) < 0 
En el intervalo (−1; +∞) la derivada primera es positiva ya que si evaluamos en 0 ∈ (−1; +∞) tenemos que 𝑓′(0) > 0 
Luego, la función es creciente en el intervalo , (−1; +∞) 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Dada la función 𝑓(𝑥) = −2𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 +
𝜋
2
) + 1 
hallar todos los valores de 𝑥 ∈ ℝ para los cuales se verifica que 𝑓(𝑥) = 3 
 
Respuesta 
Nos piden hallar los valores 𝑥 ∈ ℝ para los cuales 𝑓(𝑥) = 3, que es lo mismo que pedir 
−2𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 +
𝜋
2
) + 1 = 3 
−2𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 +
𝜋
2
) = 2 
𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 +
𝜋
2
) = −1 
Sabemos que 𝑠𝑒𝑛(𝑡) = −1 si y solo si 𝑡 =
3
2
𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
Luego 
2𝑥 +
𝜋
2
=
3
2
𝜋 + 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
2𝑥 =
3
2
𝜋 −
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
2𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
Los valores de 𝑥 ∈ ℝ para los cuales se verifica que 𝑓(𝑥) = 3 son los de la forma 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ. 
 
 
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SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO (22/11/2017) 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Hallar el área de la región encerrada por la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1, la recta de ecuación 𝑥 = 2 y el eje de 
las abscisas. 
 
Respuesta 
 
 
Primero debemos hallar el punto en donde la parábola cruza al eje x 
 𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥2 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 1 
Porque el área pedida está en el primer cuadrante donde los valores de x son mayores o iguales a cero. 
Luego, el área es 
á𝑟𝑒𝑎 = ∫(𝑥2 − 1) − (0)
2
1
𝑑𝑥 = ∫(𝑥2 − 1)
2
1
𝑑𝑥 = (
𝑥3
3
− 𝑥)|
1
2
= (
(2)3
3
− 2) − (
(1)3
3
− 1) =
8
3
− 2 −
1
3
+ 1 =
4
3
 
 
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PRIMER TURNO (22/11/2017) 
TEMA 4 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝜋) − 2. Hallar el valor de la constante 𝑎 ∈ ℝ sabiendo que 𝑓 (
𝜋
2
) = −2𝑎 + 1 
 
Respuesta 
Se sabe que 
𝑓 (
𝜋
2
) = −2𝑎 + 1 
Por otro lado 
 
𝑓 (
𝜋
2
) = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
+ 𝜋) − 2 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋
2
) − 2 = 𝑎(−1) − 2 = −𝑎 − 2 
 
Entonces 
−2𝑎 + 1 = −𝑎 − 2 
−2𝑎 + 𝑎 = −2 − 1 
−2𝑎 + 𝑎 = −2 − 1 
−𝑎 = −3 
𝑎 = 3 
El valor de la constante es 𝑎 = 3 
 
 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
El gráfico muestra el área encerrada entre las gráficas de las funciones 
𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 5, 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 
Calcular el valor del área sombreada. 
 
Respuesta 
 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO (22/11/2017) 
Primero debemos hallar los puntos en donde se cruzan las gráficas de las funciones. 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ −2𝑥 + 5 = −𝑥2 + 4𝑥 ⟺ −2𝑥 + 5 + 𝑥2 − 4𝑥 = 0 ⟺ 𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0 
Hallamos las raíces de la cuadrática 
𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0 ⟺ 𝑥1,2 =
−(−6) ± √(−6)2 − 4 ∙ 1 ∙ 5
2 ∙ 1
=
6 ± √16
2
=
6 ± 4
2
 ⇒ 𝑥1 = 1 , 𝑥2 = 5 
Para hallar el valor de “y” de los puntos donde se cruzan evaluamos en cualquiera de las dos funciones. 
𝑓(1) = −2(1) + 5 = 3 
𝑓(5) = −2(5) + 5 = −5 
Los puntos donde se cruzan las funciones son: 
(1; 3) , (5; −5) 
Luego, el área es 
á𝑟𝑒𝑎 = ∫(−𝑥2 + 4𝑥) − (−2𝑥 + 5)
5
1
𝑑𝑥 = ∫ −𝑥2 + 4𝑥 + 2𝑥 − 5
5
1
𝑑𝑥 = ∫ −𝑥2 + 6𝑥 − 5
5
1
𝑑𝑥 = 
= (−
𝑥3
3
+
6𝑥2
2
− 5𝑥)|
1
5
= (−
𝑥3
3
+ 3𝑥2 − 5𝑥)|
1
5
= (−
53
3
+ 3 ∙ 52 − 5 ∙ 5) − (−
13
3
+ 3 ∙ 12 − 5 ∙ 1) =
32
3
 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar él o los puntos del gráfico de la función 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2−3𝑥 
para los cuales la recta tangente sea horizontal 
 
Respuesta 
El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. 
Debemos hallar los puntos de la forma (𝑥0; 𝑓(𝑥0)) donde la recta tangente sea horizontal, es decir, donde la pendiente de la recta es 
nula. 
Sabemos que la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en el punto (𝑥0; 𝑓(𝑥0)) es igual a la derivada de la función 
evaluada en 𝑥0. Entonces, debemos hallar los valores del dominio de la función donde su derivada se anule. 
La derivada de la función es: 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥
2−3𝑥(2𝑥 − 3) 
Entonces 
𝑓′(𝑥0) = 0 ⟺ 𝑒
𝑥0
2−3𝑥0(2𝑥0 − 3) = 0 ⟺ 2𝑥0 − 3 = 0 ⟺ 𝑥0 =
3
2
 
(recordar que la función exponencial no se anula). 
Para dar el punto debemos hallar el valor de 𝑓 (
3
2
) 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO (22/11/2017) 
𝑓 (
3
2
) = 𝑒(
3
2
)
2
−3(
3
2
) = 𝑒(
9
4
−
9
2
) = 𝑒−
9
4 
El punto del gráfico de la función es (
3
2
; 𝑒−
9
4) 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Dada la función 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛 (2𝑥 − 3𝑎), hallar el valor de 𝑎 ∈ 𝑅 si se sabe que el conjunto de negatividad de la función 
es el intervalo (
3
2
; 2). 
Hallar el dominio de la función teniendo en cuenta el valor hallado de la constante 𝑎. 
 
Respuesta 
Sabemos que el conjunto de negatividad de la función ln (𝑡) es el intervalo (0; 1) 
Entonces, si 
0 < 2𝑥 − 3𝑎 < 1 
3𝑎 < 2𝑥 < 1 + 3𝑎 
3𝑎
2
< 𝑥 <
1 + 3𝑎
2
 
El conjunto de negatividad de la función es el intervalo (
3𝑎
2
;
1+3𝑎
2
) y por otro lado es igual a (
3
2
; 2) 
Entonces 
3𝑎
2
=
3
2
 ⟺ 𝑎 = 1 
1 + 3𝑎
2
= 2 ⟺ 1 + 3𝑎 = 4 ⟺ 3𝑎 = 3 ⟺ 𝑎 = 1 
Luego 
𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛 (2𝑥 − 3) 
El dominio de la función serán aquellos valores de 𝑥 para los cuales 
2𝑥 − 3 > 0 ⟺ 2𝑥 > 3 ⟺ 𝑥 >
3
2
 
Dominio de la función es el intervalo (
3
2
; +∞) 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
4 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO (22/11/2017) 
TEMA 5 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Dada la función ℎ(𝑥) = 3 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −
𝜋
2
) − 1, hallar los valores 𝑥 ∈ ℝ para los cuales ℎ(𝑥) = 2 
 
Respuesta 
Nos piden hallar los valores 𝑥 ∈ ℝ para los cuales ℎ(𝑥) = 2, que es lo mismo que pedir 
3 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −
𝜋
2
) − 1 = 2 
3 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −
𝜋
2
) = 3 
𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −
𝜋
2
) = 1 
Sabemos que 𝑠𝑒𝑛(𝑡) = 1 si y solo si 𝑡 =
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
Luego 
𝑥 −
𝜋
2
=
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
𝑥 =
𝜋
2
+
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
Los valores de 𝑥 ∈ ℝ para los cuales se verifica que ℎ(𝑥) = 2 son los de la forma 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ. 
 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
El gráfico muestra el área encerrada entre las gráficas de las funciones 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4, 𝑔(𝑥) = 2 − 𝑥 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑥 = 4 
Calcular el valor del área sombreada. 
 
Respuesta 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
5 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO (22/11/2017) 
Primero debemos hallar el punto en donde se cruzan las gráficas de las funciones 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ 2𝑥 − 4 = 2 − 𝑥 ⟺ 3𝑥 = 6 ⟺ 𝑥 = 2 
Para hallar el valor de “y” de los puntos donde se cruzan evaluamos en cualquiera de las dos funciones. 
𝑓(2) = 2(2) − 4 = 0 
El punto donde se cruzan las rectas es el (2; 0) 
Luego, el área es 
á𝑟𝑒𝑎 = ∫(2𝑥 − 4) − (2 − 𝑥)
4
2
𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥 − 4 − 2 + 𝑥
4
2
𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥 − 6
4
2
𝑑𝑥 = (
3𝑥2
2
− 6𝑥)|
2
4
 
= (
3(4)2
2
− 6 ∙ 4) − (
3(2)2
2
− 6 ∙ 2) = 6 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2−5𝑥−8 hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 
 
RespuestaEl dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. 
Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento debe analizar el signo del a derivada primera. 
La derivada de la función es 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥
2−5𝑥−8(2𝑥 − 5) 
El dominio de la función derivada también es el conjunto de todos los números reales. 
Buscamos en primer los valores para los cuales se anula la derivada primera de la función 
𝑓′(𝑥) = 0 ⟺ 𝑒𝑥
2−5𝑥−8(2𝑥 − 5) = 0 ⟺ 2𝑥 − 5 = 0 ⟺ 𝑥 =
5
2
 
Analizamos el signo de la derivada primera en los intervalos 
(−∞;
5
2
) , (
5
2
; +∞) 
En el intervalo (−∞;
5
2
) la derivada primera es negativa ya que si evaluamos en 0 ∈ (−∞;
5
2
) tenemos que 𝑓′(0) = −5 ∙ 𝑒−8 < 0 
En el intervalo (
5
2
; +∞) la derivada primera es positiva ya que si evaluamos en 3 ∈ (
5
2
; +∞) tenemos que 𝑓′(3) = 1 ∙ 𝑒−14 > 0 
Luego, la función es creciente en el intervalo , (
5
2
; +∞) y decreciente en el intervalo(−∞;
5
2
) 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
6 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO (22/11/2017) 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (3𝑎 − 4𝑥), hallar el valor de 𝑎 ∈ 𝑅 si se sabe que el conjunto de positividad de la función es 
el intervalo (−∞; 5). 
Hallar el dominio de la función teniendo en cuenta el valor hallado de la constante 𝑎 
 
Respuesta 
Sabemos que el conjunto de positividad de la función ln (𝑡) es el intervalo (1; +∞) 
Entonces, si 
3𝑎 − 4𝑥 > 1 ⟺ −4𝑥 > 1 − 3𝑎 ⟺ 𝑥 <
3𝑎 − 1
4
 
El conjunto de positividad de la función es el intervalo (−∞;
1−3𝑎
4
) y por otro lado es igual a (−∞; 5) 
Entonces 
3𝑎 − 1
4
= 5 ⟺ 3𝑎 − 1 = 20 ⟺ 3𝑎 = 21 ⟺ 𝑎 = 7 
Luego 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (21 − 4𝑥) 
El dominio de la función serán aquellos valores de 𝑥 para los cuales 
21 − 4𝑥 > 0 ⟺ −4𝑥 > −21 ⟺ 𝑥 <
21
4
 
Dominio de la función es el intervalo (−∞;
21
4
) 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO (22/11/2017) 
TEMA 6 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Dada la función 𝑓(𝑥) = −2𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 +
𝜋
2
) + 1 
hallar todos los valores de 𝑥 ∈ ℝ para los cuales se verifica que 𝑓(𝑥) = 3 
 
Respuesta 
Nos piden hallar los valores 𝑥 ∈ ℝ para los cuales 𝑓(𝑥) = 3, que es lo mismo que pedir 
−2𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 +
𝜋
2
) + 1 = 3 
−2𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 +
𝜋
2
) = 2 
𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 +
𝜋
2
) = −1 
Sabemos que 𝑠𝑒𝑛(𝑡) = −1 si y solo si 𝑡 =
3
2
𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
Luego 
2𝑥 +
𝜋
2
=
3
2
𝜋 + 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
2𝑥 =
3
2
𝜋 −
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
2𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
Los valores de 𝑥 ∈ ℝ para los cuales se verifica que 𝑓(𝑥) = 3 son los de la forma 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO (22/11/2017) 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar el área de la región encerrada por la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1, la recta de ecuación 𝑥 = 2 y el eje de 
las abscisas. 
 
Respuesta 
 
 
Primero debemos hallar el punto en donde la parábola cruza al eje x 
 𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥2 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 1 
Porque el área pedida está en el primer cuadrante donde los valores de x son mayores o iguales a cero. 
Luego, el área es 
á𝑟𝑒𝑎 = ∫(𝑥2 − 1) − (0)
2
1
𝑑𝑥 = ∫(𝑥2 − 1)
2
1
𝑑𝑥 = (
𝑥3
3
− 𝑥)|
1
2
= (
(2)3
3
− 2) − (
(1)3
3
− 1) =
8
3
− 2 −
1
3
+ 1 =
4
3
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Dada la función 𝑔(𝑥) = 24𝑥 − 𝑎2 hallar los valores de 𝑎 ∈ ℝ para los cuales 𝑔(−1) = −
3
16
 
 
Respuesta 
Debemos hallar los valores para los cuales 
𝑔(−1) = −
3
16
 
Tenemos que 
𝑔(−1) = 24∙(−1) − 𝑎2 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
9 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
PRIMER TURNO (22/11/2017) 
Entonces 
24∙(−1) − 𝑎2 = −
3
16
 ⟺ 2−4 +
3
16
= 𝑎2 ⟺ 2−4 + 3 ∙ 2−4 = 𝑎2 ⟺ 𝑎2 = 4 ∙ 2−4 
𝑎2 = 22 ∙ 2−4 ⟺ 𝑎2 = 2−2 ⟺ 𝑎2 = (
1
2
)
2
 ⇒ 𝑎 =
1
2
 𝑜 𝑎 = −
1
2
 
 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑎 𝑥2 + 2𝑥 + 3), determinar el valor de 𝑎 ∈ ℝ si 𝒇 tiene un mínimo cuando 1x . Hallar 
en qué intervalo o unión de intervalos f es creciente 
 
Respuesta 
Si la función tiene un mínimo cuando 𝑥 = −1 tenemos que 
𝑓′(−1) = 0 
Calculamos la derivada de la función 
𝑓′(𝑥) =
1
𝑎 𝑥2 + 2𝑥 + 3
∙ (2𝑎𝑥 + 2) 
𝑓′(−1) =
1
𝑎 (−1)2 + 2(−1) + 3
∙ (2𝑎(−1) + 2) = 0 ⟺ 2𝑎(−1) + 2 = 0 ⟺ 𝑎 = 1 
Luego 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 ( 𝑥2 + 2𝑥 + 3) 
La derivada de la función no tiene más ceros, entonces para hallar el conjunto donde la función es creciente debemos analizar en que 
intervalo la derivada primera es positiva. 
El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales ya que su argumento siempre es positivo (la cuadrática del 
argumento no tiene ceros). 
Analizamos el signo de la derivada primera en los intervalos (−∞; −1) , (−1; +∞) 
Recordamos la expresión de la derivada 
𝑓′(𝑥) =
1
 𝑥2 + 2𝑥 + 3
∙ (2𝑥 + 2) 
En el intervalo (−∞; −1) la derivada primera es negativa ya que si evaluamos en −2 ∈ (−∞; −1) tenemos que 𝑓′(−2) < 0 
En el intervalo (−1; +∞) la derivada primera es positiva ya que si evaluamos en 0 ∈ (−1; +∞) tenemos que 𝑓′(0) > 0 
Luego, la función es creciente en el intervalo , (−1; +∞) 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
TEMA 1Ejercicio 1 (2 puntos) 
Dada la función exponencial 𝑓(𝑥) = 2𝑥 −
1
2
 , determinar el conjunto de negatividad y positividad. 
 
Respuesta 
Ya que la función es continua, busquemos los ceros para poder aplicar el corolario del teorema de Bolzano. 
2𝑥 −
1
2
= 0 ⟺ 2𝑥 =
1
2
 ⟺ 𝑥 = −1 
Con lo que quedan determinados dos intervalos: 
(−∞; −1) 𝑦 (−1; +∞) 
Por el corolario mencionado basta con hallar la imagen de un valor de cada intervalo: 
Por ejemplo 𝑓(−2) = 2−2 −
1
2
=
1
4
−
1
2
< 0, entonces la imagen para cualquier 𝑥 ∈ (−∞; −1) es negativa y como 
 𝑓(0) = 20 −
1
2
= 1 −
1
2
> 0 entonces la imagen para cualquier 𝑥 ∈ (−1; +∞) es positiva. 
Finalmente deducimos que 𝐶− = (−∞; −1) y 𝐶+ = (−1; +∞) 
 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar el conjunto imagen de la función 𝑔(𝑥) = −3𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) + 1 y los valores de 𝑥 ∈ [−2𝜋; 2𝜋] para los cuales 
𝑔(𝑥) = 4 
 
Respuesta 
−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) ≤ 1 
3 ≥ −3𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) ≥ −3 
4 ≥ −3𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) + 1 ≥ −2 
Luego el conjunto imagen de la función es el intervalo [−2; 4] 
Ahora buscamos los valores de 𝑥 ∈ [−2𝜋; 2𝜋] para los cuales 𝑔(𝑥) = 4 
 −3𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) + 1 = 4 ⟺ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) = −1 ⟺ 𝑥 +
𝜋
2
=
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋 
 Los valores de 𝑘 ∈ ℤ, para que el resultado de 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋 pertenezca al intervalo [−2𝜋; 2𝜋] son aquellos que cumplen que 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
2 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
−2𝜋 ≤ 𝜋 + 2𝑘𝜋 ≤ 2𝜋 ⟺ −2 ≤ 1 + 2𝑘 ≤ 2 ⟺ −3 ≤ 2𝑘 ≤ 1 ⟺ −
3
2
≤ 𝑘 ≤
1
2
 
Los valores posibles para 𝑘 son −1, 0. 
Luego, los valores de 𝑥 ∈ [−2𝜋; 2𝜋] para los cuales 𝑔(𝑥) = 4 son: 𝑥 = 𝜋 , 𝑥 = −𝜋 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar las coordenadas del punto de la gráfica de la función ℎ(𝑥) = ln(2𝑥2 + 𝑥 + 1) + 5𝑥 donde la pendiente de la 
recta tangente es igual a 5 
 
Respuesta 
El valor de la pendiente en el punto (𝑥0; ℎ(𝑥0)) es igual a la derivada de la función evaluada en 𝑥0. 
La derivada de la función es 
ℎ′(𝑥) =
(4𝑥 + 1)
2𝑥2 + 𝑥 + 1
+ 5 
Buscamos el valor de 𝑥0 para el cual ℎ
′(𝑥0) = 5 
ℎ′(𝑥0) =
(4𝑥0 + 1)
2𝑥0
2 + 𝑥0 + 1
+ 5 
Entonces 
(4𝑥0 + 1)
2𝑥0
2 + 𝑥0 + 1
+ 5 = 5 ⟺ 
(4𝑥0 + 1)
2𝑥0
2 + 𝑥0 + 1
= 0 ⟺ 4𝑥0 + 1 = 0 ⟺ 𝑥0 = −
1
4
 
ℎ (−
1
4
) = ln (2 (−
1
4
)
2
+ (−
1
4
) + 1) + 5 (−
1
4
) = ln (
1
8
−
1
4
+ 1) −
5
4
= ln (
7
8
) −
5
4
 
El punto es (−
1
4
; ln (
7
8
) −
5
4
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
3 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Calcular el área encerrada entre las gráficas de las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 3 
 
Respuesta 
 
 
Primero debemos hallar los puntos en donde se cruzan las gráficas de las funciones. 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ 𝑥2 = 2𝑥 + 3 ⟺ 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 
Hallamos las raíces de la cuadrática 
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 ⟺ 𝑥1,2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−3)
2 ∙ 1
=
2 ± √16
2
=
2 ± 4
2
 ⇒ 𝑥1 = −1 , 𝑥2 = 3 
Para hallar el valor de “y” de los puntos donde se cruzan evaluamos en cualquiera de las dos funciones. 
𝑓(−1) = 1 
𝑓(3) = 9 
Los puntos donde se cruzan las funciones son: 
(−1; 1) , (3; 9) 
Luego, el área es 
á𝑟𝑒𝑎 = ∫(2𝑥 + 3) − (𝑥2)
3
−1
𝑑𝑥 = ∫ −𝑥2 + 2𝑥 + 3
3
−1
𝑑𝑥 = (−
𝑥3
3
+
2𝑥2
2
+ 3𝑥)|
−1
3
= (−
𝑥3
3
+ 𝑥2 + 3𝑥)|
−1
3
= (−
33
3
+ 32 + 3 ∙ 3) − (−
(−1)3
3
+ (−1)2 + 3 ∙ (−1)) =
32
3
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
4 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
TEMA 2 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Dada la función 𝑔(𝑥) = ln(𝑥 − 2) − 1, hallar el conjunto de positividad y negatividad. 
 
Respuesta 
Primero hallamos el dominio de la función. 
El logaritmo está bien definido si 𝑥 − 2 > 0 ⟺ 𝑥 > 2. Entonces, el dominio de la función es el intervalo (2; +∞). 
Hallemos el conjunto donde la función se anula (conjunto de ceros) 
 ln(𝑥 − 2) − 1 = 0 ⟺ ln(𝑥 − 2) = 1 ⟺ 𝑥 − 2 = 𝑒 ⟺ 𝑥 = 𝑒 + 2 
Para aplicar el corolario del teorema de Bolzano, separamos al dominio en dos intervalos donde la función no se anula: 
(2; 𝑒 + 2)𝑦 (𝑒 + 2; +∞). 
Calculamos 𝑔(𝑒) = ln(𝑒 − 2) < 0, ya que 𝑒 − 2 < 1, con esto deducimos que todos los valores que corresponden al intervalo 
(2; 𝑒 + 2) tienen imagen negativa. 
En cambio, si calculamos la imagen para cualquier valor que pertenezca al intervalo (𝑒 + 2; +∞) su imagen será positiva. 
Finalmente 𝐶+ = (𝑒 + 2; +∞) y 𝐶− = (2; 𝑒 + 2) 
 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar el conjunto imagen de la función ℎ(𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋) + 5 y los valores de 𝑥 ∈ [−𝜋; 3𝜋] para los cuales 
ℎ(𝑥) = 3 
 
Respuesta 
 
Primero debemos hallar el conjunto imagen. Para ello partimos de que 
−1 ≤ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋) ≤ 1 
−2 ≤ 2𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋) ≤ 2 
3 ≤ 2𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋) + 5 ≤ 7 
El conjunto imagen de la función ℎ es el intervalo [3; 7]. 
Los valores del dominio donde ℎ(𝑥) = 3 , los averiguamos resolviendo la ecuación: 
2𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋) + 5 = 3 ⟺ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋) = −1 ⟺ 𝑥 − 𝜋 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ 
Luego 
𝑥= 2𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
5 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
Por último debemos considerar que, de los valores anteriores, debemos quedarnos sólo con los que pertenezcan al intervalo [−𝜋; 3𝜋] 
Debemos hallar los posibles valores de 𝑘 ∈ ℤ para que se cumpla la condición, entonces 
−𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 3𝜋 
−𝜋 ≤ 2𝜋 + 2𝑘𝜋 ≤ 3𝜋 
−1 ≤ 2 + 2𝑘 ≤ 3 
−3 ≤ 2𝑘 ≤ 1 
−
3
2
≤ 𝑘 ≤
1
2
 
Luego los valores posibles de k son -1 y 0. Entonces los valores de 𝑥 ∈ [−𝜋; 3𝜋] para los cuales ℎ(𝑥) = 3 son: 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2𝜋Ejercicio 3 (2 puntos) 
Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2−5𝑥−5, hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓. 
 
Respuesta 
 
El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. 
Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento debe analizar el signo del a derivada primera. 
La derivada de la función es 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥
2+5𝑥+5(2𝑥 − 5) 
El dominio de la función derivada también es el conjunto de todos los números reales. 
Buscamos en primer los valores para los cuales se anula la derivada primera de la función 
𝑓′(𝑥) = 0 ⟺ 𝑒𝑥
2−5𝑥−5(2𝑥 − 5) = 0 ⟺ 2𝑥 − 5 = 0 ⟺ 𝑥 =
5
2
 
Analizamos el signo de la derivada primera en los intervalos 
(−∞;
5
2
) , (
5
2
; +∞) 
En el intervalo (−∞;
5
2
) la derivada primera es negativa ya que si evaluamos en 0 ∈ (−∞;
5
2
) tenemos que 𝑓′(0) < 0 
En el intervalo (
5
2
; +∞) la derivada primera es positiva ya que si evaluamos en 5 ∈ (
5
2
; +∞) tenemos que 𝑓′(5) > 0 
Luego, la función es creciente en el intervalo , (
5
2
; +∞) y decreciente en el intervalo(−∞;
5
2
) 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
6 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Dado el siguiente gráfico, calcular el área de la zona sombreada 
 
Respuesta 
 
Hallamos los puntos de intersección entre las curvas dadas. Para ello igualamos las dos funciones, 
 
−
1
2
𝑥2 + 2𝑥 = −𝑥 + 4 
−
1
2
𝑥2 + 2𝑥 + 𝑥 − 4 = 0 
−
1
2
𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0 
𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0 
Resolvemos la ecuación cuadrática 
 
𝑥1,2 =
−(−6) ± √(−6)2 − 4 ∙ 1 ∙ 8
2 ∙ 1
=
6 ± √4
2
=
6 ± 2
2
 ⇒ 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 4 
 
El área total debemos descomponerla en dos recintos: 
 
𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 
𝐴 = ∫ (−
1
2
𝑥2 + 2𝑥 − 0) 𝑑𝑥
2
0
+ ∫ (−𝑥 + 4 − 0)𝑑𝑥
4
2
 
𝐴 = (−
1
2 ∙ 3
𝑥3 + 2
𝑥2
2
)|
2
0
+ (−
𝑥2
2
+ 4𝑥)|
4
2
 
𝐴 = [(−
1
6
. 8 + 4) − 0] + [(−
42
2
+ 4 ∙ 4) − (−
22
2
+ 4 ∙ 2)] 
𝐴 = −
4
3
+ 4 + [−8 + 16 − (−2 + 8)] 
𝐴 = −
4
3
+ 4 + 2 ⇒ 𝐴 =
14
3
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
7 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
TEMA 3 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Hallar el conjunto de positividad y negatividad de la función 𝑓(𝑥) = ln (2𝑥 + 3) 
 
Respuesta 
Primero hallamos el dominio de la función. Para que la función logaritmo este bien definida debe ocurrir que 
2𝑥 + 3 > 0 ⟺ 𝑥 > −
3
2
 
Entonces, el dominio de la función es el intervalo (−
3
2
; +∞) 
Hallemos el conjunto de ceros de la función: 
𝑙𝑛(2𝑥 + 3) = 0 ⟺ 2𝑥 + 3 = 1 ⟺ 𝑥 = −1 
Para aplicar el corolario del teorema de Bolzano, separamos al dominio en dos intervalos donde la función no se anula: (−
3
2
; −1). y 
(−1; +∞) 
En el intervalo (−
3
2
; −1) la función es negativa ya que −
5
4
∈ (−
3
2
; −1) y 𝑓 (−
5
4
) = ln (
1
2
) < 0 
En el intervalo (−1; +∞) la función es positiva ya que 0 ∈ (−1; +∞) y 𝑓(0) = ln(3) > 0 
Entonces, 𝐶+ = (−1; +∞) y 𝐶− = (−
3
2
; −1) 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar el conjunto imagen de la función 𝑓(𝑥) = 2 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
𝜋
2
) − 1 y los valores de 𝑥 ∈ [−2𝜋; 2𝜋] para los cuales 
𝑓(𝑥) = 1 
 
Respuesta 
Primero debemos hallar el conjunto imagen. Para ello partimos de que 
−1 ≤ 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
𝜋
2
) ≤ 1 
−2 ≤ 2𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
𝜋
2
) ≤ 2 
−3 ≤ 2𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
𝜋
2
) − 1 ≤ 1 
El conjunto imagen de la función ℎ es el intervalo [−3; 1]. 
Los valores del dominio donde 𝑓(𝑥) = 1, los averiguamos resolviendo la ecuación: 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
8 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
2 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
𝜋
2
) − 1 = 1 ⟺ 2 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
𝜋
2
) = 2 ⟺ 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
𝜋
2
) = 1 ⟺ 𝑥 +
𝜋
2
= 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
Luego 
𝑥= −
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ 
Por último debemos considerar que, de los valores anteriores, debemos quedarnos sólo con los que pertenezcan al intervalo [−2𝜋; 2𝜋] 
Debemos hallar los posibles valores de 𝑘 ∈ ℤ para que se cumpla la condición, entonces 
−2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 
−2𝜋 ≤ −
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 ≤ 2𝜋 
−2 ≤ −
1
2
+ 2𝑘 ≤ 2 
−
1
2
≤ 2𝑘 ≤
5
2
 
−
1
4
≤ 𝑘 ≤
5
4
 
Los valores posibles para 𝑘 son: 0, 1 
Entonces, los valores de 𝑥 ∈ [−2𝜋; 2𝜋] para el cual 𝑓(𝑥) = 1 son: 𝑥 = −
𝜋
2
 y 𝑥 =
3𝜋
2
 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar el / los puntos del gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2−3𝑥 en los cuales la recta tangente sea horizontal 
 
Respuesta 
El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. 
Debemos hallar los puntos de la forma (𝑥0; 𝑓(𝑥0)) donde la recta tangente sea horizontal, es decir, donde la pendiente de la recta es 
nula. 
Sabemos que la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en el punto (𝑥0; 𝑓(𝑥0)) es igual a la derivada de la función 
evaluada en 𝑥0. Entonces, necesitamos hallar los valores del dominio de la función donde su derivada se anule. 
La derivada de la función es: 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥
2−3𝑥(2𝑥 − 3) 
Entonces 
𝑓′(𝑥0) = 0 ⟺ 𝑒
𝑥0
2−3𝑥0(2𝑥0 − 3) = 0 ⟺ 2𝑥0 − 3 = 0 ⟺ 𝑥0 =
3
2
 
(recordar que la función exponencial no se anula). 
Para dar el punto debemos hallar el valor de 𝑓 (
3
2
) 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
9 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
𝑓 (
3
2
) = 𝑒(
3
2
)
2
−3(
3
2
) = 𝑒(
9
4
−
9
2
) = 𝑒−
9
4 
El punto del gráfico de la función es (
3
2
; 𝑒−
9
4) 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Calcular el área encerrada entre las gráficas de las funciones 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 1 ; 𝑔(𝑥) = −𝑥 − 1 
 
Respuesta 
 
 
Primero debemos hallar las abscisas de los puntos en donde se cruzan las gráficas de las funciones. 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ 𝑥2 + 2𝑥 − 1 = −𝑥 − 1 ⟺ 𝑥2 + 3𝑥 = 0 ⟺ 𝑥(𝑥 + 3) = 0 
⇒ 𝑥= 0 , 𝑥 = −3 
Luego, el área es 
á𝑟𝑒𝑎 = ∫(−𝑥 − 1) − ( 𝑥2 + 2𝑥 − 1)
0
−3
𝑑𝑥 = ∫ −𝑥 − 1 − 𝑥2 − 2𝑥 + 1
0
−3
𝑑𝑥 = ∫ −𝑥2 − 3𝑥
0
−3
𝑑𝑥 = (−
𝑥3
3
−
3𝑥2
2
)|
−3
0
= (−
03
3
−
3 ∙ 02
2
) − (−
(−3)3
3
−
3(−3)2
2
) =
9
2
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
1 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
TEMA 4 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Hallar las coordenadas del punto de la gráfica de la función ℎ(𝑥) = ln(2𝑥2 + 𝑥 + 1) + 5𝑥 donde la pendiente de la 
recta tangente es igual a 5 
 
Respuesta 
El valor de la pendiente en el punto (𝑥0; ℎ(𝑥0)) es igual a la derivada de la función evaluada en 𝑥0. 
La derivada de la función es 
ℎ′(𝑥) =
(4𝑥 + 1)
2𝑥2 + 𝑥 + 1
+ 5 
Buscamos el valor de 𝑥0 para el cual ℎ
′(𝑥0) = 5 
ℎ′(𝑥0) =
(4𝑥0 + 1)
2𝑥0
2 + 𝑥0 + 1
+ 5 
Entonces 
(4𝑥0 + 1)
2𝑥0
2 + 𝑥0 + 1
+ 5 = 5 ⟺ 
(4𝑥0 + 1)
2𝑥0
2 + 𝑥0 + 1
= 0 ⟺ 4𝑥0 + 1 = 0 ⟺ 𝑥0 = −
1
4
 
ℎ (−
1
4
) = ln (2 (−
1
4
)
2
+ (−
1
4
) + 1) + 5 (−
1
4
) = ln (
1
8
−
1
4
+ 1) −
5
4
= ln (
7
8
) −
5
4
 
El punto es (−
1
4
; ln (
7
8
) −
5
4
) 
 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Calcular el área encerrada entre las gráficas de las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 3 
 
Respuesta 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
2 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
Primero debemos hallar los puntos en donde se cruzan las gráficas de las funciones. 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ 𝑥2 = 2𝑥 + 3 ⟺ 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 
Hallamos las raíces de la cuadrática 
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 ⟺ 𝑥1,2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−3)
2 ∙ 1
=
2 ± √16
2
=
2 ± 4
2
 ⇒ 𝑥1 = −1 , 𝑥2 = 3 
Para hallar el valor de “y” de los puntos donde se cruzan evaluamos en cualquiera de las dos funciones. 
𝑓(−1) = 1 
𝑓(3) = 9 
Los puntos donde se cruzan las funciones son: 
(−1; 1) , (3; 9) 
Luego, el área es 
á𝑟𝑒𝑎 = ∫(2𝑥 + 3) − (𝑥2)
3
−1
𝑑𝑥 = ∫ −𝑥2 + 2𝑥 + 3
3
−1
𝑑𝑥 = (−
𝑥3
3
+
2𝑥2
2
+ 3𝑥)|
−1
3
= (−
𝑥3
3
+ 𝑥2 + 3𝑥)|
−1
3
= (−
33
3
+ 32 + 3 ∙ 3) − (−
(−1)3
3
+ (−1)2 + 3 ∙ (−1)) =
32
3
 
 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Dada la función exponencial 𝑓(𝑥) = 2𝑥 −
1
2
 , determinar el conjunto de negatividad y positividad. 
 
Respuesta 
Ya que la función es continua, busquemos los ceros para poder aplicar el corolario del teorema de Bolzano. 
2𝑥 −
1
2
= 0 ⟺ 2𝑥 =
1
2
 ⟺ 𝑥 = −1 
Con lo que quedan determinados dos intervalos: 
(−∞; −1) 𝑦 (−1; +∞) 
Por el corolario mencionado basta con hallar la imagen de un valor de cada intervalo: 
Por ejemplo 𝑓(−2) = 2−2 −
1
2
=
1
4
−
1
2
< 0, entonces la imagen para cualquier 𝑥 ∈ (−∞; −1) es negativa y, como 
 𝑓(0) = 20 −
1
2
= 1 −
1
2
> 0, la imagen para cualquier 𝑥 ∈ (−1; +∞) es positiva. 
Finalmente deducimos que 𝐶− = (−∞; −1) y 𝐶+ = (−1; +∞) 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
3 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Hallar el conjunto imagen de la función 𝑔(𝑥) = −3𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) + 1 y los valores de 𝑥 ∈ [−2𝜋; 2𝜋] para los cuales 
𝑔(𝑥) = 4 
 
Respuesta 
−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) ≤ 1 
3 ≥ −3𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) ≥ −3 
4 ≥ −3𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) + 1 ≥ −2 
Luego el conjunto imagen de la función es el intervalo [−2; 4] 
Ahora buscamos los valores de 𝑥 ∈ [−2𝜋; 2𝜋] para los cuales 𝑔(𝑥) = 4 
 −3𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) + 1 = 4 ⟺ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) = −1 ⟺ 𝑥 +
𝜋
2
=
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋 
 Los valores de 𝑘 ∈ ℤ, para que el resultado de 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋 pertenezca al intervalo [−2𝜋; 2𝜋] son aquellos que cumplen que 
−2𝜋 ≤ 𝜋 + 2𝑘𝜋 ≤ 2𝜋 ⟺ −2 ≤ 1 + 2𝑘 ≤ 2 ⟺ −3 ≤ 2𝑘 ≤ 1 ⟺ −
3
2
≤ 𝑘 ≤
1
2
 
Los valores posibles para 𝑘 son −1, 0. 
Luego, los valores de 𝑥 ∈ [−2𝜋; 2𝜋] para los cuales 𝑔(𝑥) = 4 son: 𝑥 = 𝜋 , 𝑥 = −𝜋 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
4 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
TEMA 5 
 
 Ejercicio 1 (2 puntos) 
Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥
2+5𝑥+5, hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓. 
 
Respuesta 
El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. 
Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento debe analizar el signo del a derivada primera. 
La derivada de la función es 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥
2+5𝑥+5(2𝑥 − 5) 
El dominio de la función derivada también es el conjunto de todos los números reales. 
Buscamos en primer los valores para los cuales se anula la derivada primera de la función 
𝑓′(𝑥) = 0 ⟺ 𝑒𝑥
2−5𝑥−5(2𝑥 − 5) = 0 ⟺ 2𝑥 − 5 = 0 ⟺ 𝑥 =
5
2
 
Analizamos el signo de la derivada primera en los intervalos 
(−∞;
5
2
) , (
5
2
; +∞) 
En el intervalo (−∞;
5
2
) la derivada primera es negativa ya que si evaluamos en 0 ∈ (−∞;
5
2
) tenemos que 𝑓′(0) < 0 
En el intervalo (
5
2
; +∞) la derivada primera es positiva ya que si evaluamos en 5 ∈ (
5
2
; +∞) tenemos que 𝑓′(5) > 0 
Luego, la función es creciente en el intervalo , (
5
2
; +∞) y decreciente en el intervalo(−∞;
5
2
) 
 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Dado el siguiente gráfico, calcular el área de la zona sombreada 
 
Respuesta 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
5CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
Hallamos los puntos de intersección entre las curvas dadas. Para ello igualamos las dos funciones, 
 
−
1
2
𝑥2 + 2𝑥 = −𝑥 + 4 
−
1
2
𝑥2 + 2𝑥 + 𝑥 − 4 = 0 
−
1
2
𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0 
𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0 
Resolvemos la ecuación cuadrática 
 
𝑥1,2 =
−(−6) ± √(−6)2 − 4 ∙ 1 ∙ 8
2 ∙ 1
=
6 ± √4
2
=
6 ± 2
2
 ⇒ 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 4 
 
El área total debemos descomponerla en dos recintos: 
 
𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 
𝐴 = ∫ (−
1
2
𝑥2 + 2𝑥 − 0) 𝑑𝑥
2
0
+ ∫ (−𝑥 + 4 − 0)𝑑𝑥
4
2
 
𝐴 = (−
1
2 ∙ 3
𝑥3 + 2
𝑥2
2
)|
2
0
+ (−
𝑥2
2
+ 4𝑥)|
4
2
 
𝐴 = [(−
1
6
. 8 + 4) − 0] + [(−
42
2
+ 4 ∙ 4) − (−
22
2
+ 4 ∙ 2)] 
𝐴 = −
4
3
+ 4 + [−8 + 16 − (−2 + 8)] 
𝐴 = −
4
3
+ 4 + 2 ⇒ 𝐴 =
14
3
 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Dada la función 𝑔(𝑥) = ln(𝑥 − 2) − 1, hallar el conjunto de positividad y negatividad. 
 
Respuesta 
Primero hallamos el dominio de la función. 
El logaritmo está bien definido si 𝑥 − 2 > 0 ⟺ 𝑥 > 2. Entonces, el dominio de la función es el intervalo (2; +∞). 
Hallemos el conjunto donde la función se anula (conjunto de ceros) 
 ln(𝑥 − 2) − 1 = 0 ⟺ ln(𝑥 − 2) = 1 ⟺ 𝑥 − 2 = 𝑒 ⟺ 𝑥 = 𝑒 + 2 
Para aplicar el corolario del teorema de Bolzano, separamos al dominio en dos intervalos donde la función no se anula: 
(2; 𝑒 + 2)𝑦 (𝑒 + 2; +∞). 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
6 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
Calculamos 𝑔(𝑒) = ln(𝑒 − 2) < 0, ya que 𝑒 − 2 < 1, con esto deducimos que todos los valores que corresponden al intervalo 
(2; 𝑒 + 2) tienen imagen negativa. 
En cambio, si calculamos la imagen para cualquier valor que pertenezca al intervalo (𝑒 + 2; +∞) su imagen será positiva. 
Finalmente 𝐶+ = (𝑒 + 2; +∞) y 𝐶− = (2; 𝑒 + 2) 
 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Hallar el conjunto imagen de la función ℎ(𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋) + 5 y los valores de 𝑥 ∈ [−𝜋; 3𝜋] para los cuales 
ℎ(𝑥) = 3 
 
Respuesta 
 
Primero debemos hallar el conjunto imagen. Para ello partimos de que 
−1 ≤ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋) ≤ 1 
−2 ≤ 2𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋) ≤ 2 
3 ≤ 2𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋) + 5 ≤ 7 
El conjunto imagen de la función ℎ es el intervalo [3; 7]. 
Los valores del dominio donde ℎ(𝑥) = 3 , los averiguamos resolviendo la ecuación: 
2𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋) + 5 = 3 ⟺ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋) = −1 ⟺ 𝑥 − 𝜋 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ 
Luego 
𝑥= 2𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ 
Por último debemos considerar que, de los valores anteriores, debemos quedarnos sólo con los que pertenezcan al intervalo [−𝜋; 3𝜋] 
Debemos hallar los posibles valores de 𝑘 ∈ ℤ para que se cumpla la condición. 
Entonces pedimos que: 
−𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 3𝜋 
−𝜋 ≤ 2𝜋 + 2𝑘𝜋 ≤ 3𝜋 
−1 ≤ 2 + 2𝑘 ≤ 3 
−3 ≤ 2𝑘 ≤ 1 
−
3
2
≤ 𝑘 ≤
1
2
 
Luego los valores posibles de k son -1 y 0. Entonces los valores de 𝑥 ∈ [−𝜋; 3𝜋] para los cuales ℎ(𝑥) = 3 son: 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2𝜋 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
7 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
TEMA 6 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Hallar el / los puntos del gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2−3𝑥 en los cuales la recta tangente sea horizontal 
 
Respuesta 
El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. 
Debemos hallar los puntos de la forma (𝑥0; 𝑓(𝑥0)) donde la recta tangente sea horizontal, es decir, donde la pendiente de la recta es 
nula. 
Sabemos que la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en el punto (𝑥0; 𝑓(𝑥0)) es igual a la derivada de la función 
evaluada en 𝑥0. Entonces, necesitamos hallar los valores del dominio de la función donde su derivada se anule. 
La derivada de la función es: 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥
2−3𝑥(2𝑥 − 3) 
Entonces 
𝑓′(𝑥0) = 0 ⟺ 𝑒
𝑥0
2−3𝑥0(2𝑥0 − 3) = 0 ⟺ 2𝑥0 − 3 = 0 ⟺ 𝑥0 =
3
2
 
(recordar que la función exponencial no se anula). 
Para dar el punto debemos hallar el valor de 𝑓 (
3
2
) 
𝑓 (
3
2
) = 𝑒(
3
2
)
2
−3(
3
2
) = 𝑒(
9
4
−
9
2
) = 𝑒−
9
4 
El punto del gráfico de la función es (
3
2
; 𝑒−
9
4) 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Calcular el área encerrada entre las gráficas de las funciones 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 1 ; 𝑔(𝑥) = −𝑥 − 1 
 
Respuesta 
 
Primero debemos hallar las abscisas de los puntos en donde se cruzan las gráficas de las funciones. 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
8 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ 𝑥2 + 2𝑥 − 1 = −𝑥 − 1 ⟺ 𝑥2 + 3𝑥 = 0 ⟺ 𝑥(𝑥 + 3) = 0 
⇒ 𝑥 = 0 , 𝑥 = −3 
Luego, el área es 
á𝑟𝑒𝑎 = ∫(−𝑥 − 1) − ( 𝑥2 + 2𝑥 − 1)
0
−3
𝑑𝑥 = ∫ −𝑥 − 1 − 𝑥2 − 2𝑥 + 1
0
−3
𝑑𝑥 = ∫ −𝑥2 − 3𝑥
0
−3
𝑑𝑥 = (−
𝑥3
3
−
3𝑥2
2
)|
−3
0
= (−
03
3
−
3 ∙ 02
2
) − (−
(−3)3
3
−
3(−3)2
2
) =
9
2
 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar el conjunto de positividad y negatividad de la función 𝑓(𝑥) = ln (2𝑥 + 3) 
 
Respuesta 
Primero hallamos el dominio de la función. Para que la función logaritmo este bien definida debe ocurrir que 
2𝑥 + 3 > 0 ⟺ 𝑥 > −
3
2
 
Entonces, el dominio de la función es el intervalo (−
3
2
; +∞) 
Hallemos el conjunto de ceros de la función: 
𝑙𝑛(2𝑥 + 3) = 0 ⟺ 2𝑥 + 3 = 1 ⟺ 𝑥 = −1 
Para aplicar el corolario del teorema de Bolzano, separamos al dominio en dos intervalos donde la función no se anula: (−
3
2
; −1). y 
(−1; +∞) 
En el intervalo (−
3
2
; −1) la función es negativa ya que −
5
4
∈ (−
3
2
; −1) y 𝑓 (−
5
4
) = ln (
1
2
) < 0 
En el intervalo (−1; +∞) la función es positiva ya que 0 ∈ (−1; +∞) y 𝑓(0) = ln(3) > 0 
Entonces, 𝐶+ = (−1; +∞) y 𝐶− = (−
3
2
; −1) 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Hallar el conjunto imagen de la función 𝑓(𝑥) = 2 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
𝜋
2
) − 1 y los valores de 𝑥 ∈ [−2𝜋; 2𝜋] para los cuales 
𝑓(𝑥) = 1 
 
Respuesta 
Primero debemos hallar el conjunto imagen. Para ello partimos de que 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico9 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA – 2º Cuatrimestre 2017 
SEGUNDO TURNO (22/11/2017) 
−1 ≤ 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
𝜋
2
) ≤ 1 
−2 ≤ 2𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
𝜋
2
) ≤ 2 
−3 ≤ 2𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
𝜋
2
) − 1 ≤ 1 
El conjunto imagen de la función ℎ es el intervalo [−3; 1]. 
Los valores del dominio donde 𝑓(𝑥) = 1, los averiguamos resolviendo la ecuación: 
2 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
𝜋
2
) − 1 = 1 ⟺ 2 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
𝜋
2
) = 2 ⟺ 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
𝜋
2
) = 1 ⟺ 𝑥 +
𝜋
2
= 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
Luego 
𝑥= −
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ 
Por último debemos considerar que, de los valores anteriores, debemos quedarnos sólo con los que pertenezcan al intervalo [−2𝜋; 2𝜋] 
Debemos hallar los posibles valores de 𝑘 ∈ ℤ para que se cumpla la condición, entonces 
−2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 
−2𝜋 ≤ −
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 ≤ 2𝜋 
−2 ≤ −
1
2
+ 2𝑘 ≤ 2 
−
1
2
≤ 2𝑘 ≤
5
2
 
−
1
4
≤ 𝑘 ≤
5
4
 
Los valores posibles para 𝑘 son: 0, 1 
Entonces, los valores de 𝑥 ∈ [−2𝜋; 2𝜋] para el cual 𝑓(𝑥) = 1 son: 𝑥 = −
𝜋
2
 y 𝑥 =
3𝜋
2
 
 
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