Ecuaciones cuadráticas con problemas

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COLEGIO INTERNACIONAL SEK
Prof. Álvaro Elizondo Montoya.
TEMA: ECUACIONES CUADRÁTICAS.
Nombre: ___________________Fecha:_______Grupo: 9−
ECUACIONES CUADRÁTICAS.
De�nición: Llamadas también ecuaciones cuadráticas son aquellas ecuaciones que presen-
tan la siguiente forma general
ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 y a, b, c ∈ R
donde a, b, c son llamados coe�cientes.
Si los coe�cientes a, b y c son diferentes de cero, la ecuación de segundo grado es llamada com-
pleta y si b ó c o ambos, son iguales a cero, la ecuación es llamada incompleta. Si a = 0, la
ecuación se reduce a una ecuación lineal. Toda ecuación de segundo grado presenta dos solucio-
nes o raíces, llamémoslas x1 y x2, sin embargo no siempre estas raíces corresponden a números
reales. Estas raíces se pueden obtener mediante el siguiente método.
Método de la fórmula general: De la ecuación ax2 + bx + c = 0 se deduce que:
ax2 + bx + c = 0 Ecuación original con a 6= 0.
ax2 + bx + c
a
=
0
a
Divido ambos miembros entre �a�.
x2 +
b
a
x +
c
a
= 0 Simpli�co.
x2 +
b
a
x = − c
a
Reacomodo.
x2 + 2 · b
2a
x +
b2
4a2
= − c
a
+
b2
4a2
Sumo
b2
4a2
en ambos miembros.
x2 + 2 · b
2a
x +
(
b
2a
)2
=
b2
4a2
− c
a
Reacomodo.(
x +
b
2a
)2
=
b2 − 4ac
4a2
Simpli�co.
x +
b
2a
= ±
√
b2 − 4ac
4a2
Aplico la raíz cuadrada.
x = − b
2a
±
√
b2 − 4ac
2a
Despejo x.
x =
−b±
√
b2 − 4ac
2a
Simpli�co.
1
En resumen, las soluciones de una ecuación cuadrática del tipo ax2 + bx + c = 0, ∀a 6= 0 son:
x1 =
−b +
√
b2 − 4ac
2a
x2 =
−b−
√
b2 − 4ac
2a
Se de�ne la cantidad subradical: b2 − 4ac como el discriminante (invariante característico) de
la ecuación cuadrática y se denota por el símbolo ∆, luego:
∆ = b2 − 4ac
Discusión sobre las raíces de una ecuación de segundo grado:
Las raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado: ax
2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 dependen del
valor del discriminante (∆). Asumiendo que a ∈ Q, b ∈ Q y c ∈ Q, se tiene:
1. Primer caso: Si ∆ > 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales y diferentes. Ahora bien,
en este caso se presentan dos situaciones:
a) Si ∆ es un cuadrado perfecto, las raíces x1 y x2 son racionales. Y se puede hallar la
solución factorizando por inspección o bien aplicando la fórmula general.
b) Si ∆ no es un cuadrado perfecto, las raíces x1 y x2 son irracionales conjugadas.
2. Segundo caso: Si ∆ = 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales e iguales (raíz de multi-
plicidad 2), donde:
x1 = x2 =
−b
2a
En este caso la ecuación puede ser resuelta factorizando por el método del trinomio cua-
drado perfecto o bien aplicando la fórmula general.
3. Tercer caso: Si ∆ < 0, entonces la ecuación no tiene raíces reales, tiene dos raíces
complejas para cuya obtención se requieren conocimientos de cursos superiores, por ello
diremos que el conjunto solución de la ecuación (en este caso) es S = ∅ ó S = { }, en el
entendido de que la ecuación no tiene soluciones reales.
Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado.Sea la ecuación de segundo
grado: ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 y sus raíces x1 y x2 tendremos las siguientes propiedades:
1. Suma de las raíces:
x1 + x2 =
−b
a
2
2. Producto de las raíces:
x1 · x2 =
c
a
3. Diferencia de las raíces:
|x1 − x2| =
√
b2 − 4ac
a
=
√
∆
a
4. Suma de los cuadrados de las raíces:
x21 + x
2
2 =
b2 − 4ac
a2
5. Identidad de Legendre aplicada a las raíces:
(x1 + x2)
2 − (x1 − x2)2 = 4x1 · x2
Construyendo una ecuación de segundo grado conociendo sus raíces.Conociendo las
dos raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado, ésta se construye empleando la suma y el
producto de dichas raíces. Luego la ecuación que dio origen a x1 y x2 es:
x2 − (x1 + x2)x + (x1 · x2) = 0
llamada también: forma canónica de la ecuación de segundo grado.
Propiedades adicionales de las raíces:
1. La ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 tiene raíces simétricas (es decir
x1 = −x2) si b = 0.
2. La ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 tiene raíces recíprocas (es decir
x1 =
1
x2
) si a = c.
3. La ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 presenta una raíz nula (es decir
x = 0) si c = 0.
4. La ecuación de segundo grado: ax2 + bx+ c = 0; ∀a 6= 0 presenta una raíz unidad (es decir
x = 1) si a + b + c = 0.
5. Las ecuaciones ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 y mx2 + nx + p = 0; ∀m 6= 0 son equivalentes si
a
m
=
b
n
=
c
p
siempre que m 6= 0;n 6= 0 y p 6= 0.
3
6. Las ecuaciones ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 y mx2 + nx + p = 0; ∀m 6= 0 admiten una raíz
común si (a · n−m · b)(b · p− n · c) = (a · p−m · c)2.
EJERCICIOS: Resuelva las ecuaciones, indique el conjunto solución en cada una de ellas.
1. 2x2 = 242
2.
1
3
x2 =
1
27
3. 5x2 + 10x = 0
4. x + 7x2 = −2x2 + 4x
5.
√
5x2 − 5x = 0
6. 5x2 − 3x + 1 = 0
7. 4x2 − 4x + 1 = 0
8. 7x2 − 10x + 3 = x2 + 4x− 1
9. 6x2 − 14x− 4 = 0
10. x(3x− 1) + 2x2 − 3x− 1 = (x + 1)2
11. (2x− 3)(2x + 3) = −10x− 18
12. (x− 5)2 = 9
13. (2n− 3)2 = 81
14. (x + 3)2 = 12
15. x2 + 9x + 18 = 0
16. x2 − 3x + 2 = 0
17. x2 − 10x + 6 = 0
18.
2
x− 1
+
1
x + 1
= 3
19.
3
b− 2
− 1
b + 2
= 5
20.
2y + 10
y + 8
=
y + 5
y + 2
21.
5t
5t− 2
=
10t
2− 5t
+
3
25t2 − 4
22.
k2
2
+
3k
5
=
3
10
23. n2 −
√
6n = −1
24.
z2
4
+
√
5z
2
= 1
PROBLEMAS: Resuelva los siguientes problemas:
1. Halle el área de un triángulo rectángulo cuyos lados miden: 2x; 2x + 2 y 2x + 4.
2. Los lados opuestos de un cuadrado aumentan en 2 y 7 unidades respectivamente, con esto,
se obtiene un rectángulo cuya área es 22 más que el doble del área del rectángulo original.
¾Cuánto mide la diagonal del cuadrado?
3. ¾Cuál es el polígono regular en el cuál se pueden trazar un total de 54 diagonales? R/
Dodecágono
4. Si al cuadrado de un número se agrega el quíntuplo de dicho número, se obtiene 36. Hállese
el número. R/-9 ó 4
4
5. Si se resta cierto número de su cuadrado, el resultado es 30. Hállese el número.R/-5 ó 6
6. Hallar dos números que tengan 65 por suma y 1050 por producto. R/30 y 35.
7. Hallar dos números que tengan 432 por producto y 3 por cociente. R/ ±36 y ±12
8. La diferencia entre dos números es 14 y su producto es 576. ¾Cuáles son los números? R/
±18 y ±32
9. Hallar dos números que den 7 por suma, y tales que la suma sus cubos sea 133. R/ 2 y 5
10. Hallar cuatro números consecutivos, tales que si los dos primeros se toman como dígitos
de un número, dicho número resulta igual al producto de los otros dos.
11. Se ha comprado tela por un valor de $1225; el precio del metro es igual al número de
metros comprados. Hállese el precio de 1 metro.
12. Un hombre vende un reloj en $21, y pierde un tanto% igual al costo del reloj. ¾Cuánto
cuesta el reloj?
13. Un hacendado ha comprado cierto número de ovejas por $216. Si hubiera comprado 2 más,
por la misma cantidad, habrían costado 1, 20 menos cada una. ¾Cuántas compró?
14. Un hombre compró cierto número de costales de harina en $126. El precio de cada costal
es 2 sétimos del número de costales. ¾Cuántos costales ha comprado y a qué precio?
15. Un campo rectangular es tal que su longitud es el triple de la anchura. Si se aumenta la
longitud en 20m y la anchura en 8m, el área resulta triplicada. ¾Cuál es su super�cie?
16. La longitud de un campo rectangular es de 20m mayor que el ancho. Hállense sus dimen-
siones, sabiendo que la super�cie es de 2400m2.
17. El área de un campo rectangular es de 216m2, y su perímetro es de 60m. Calcúlense sus
dimensiones.
18. La circunferencia de una rueda delantera de un carruaje tiene 4 pies menos que la de una
rueda trasera. Después de recorridos 1200 pies, la rueda delantera ha dado 25 vueltas más
que la trasera. Hállese la circunferencia de cada rueda.
19. La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 47m y la hipotenusa mide 37m.
Hállese la longitud de los catetos.
5
20. La diferencia entre los catetos de un triángulo rectángulo es 8m, y la hipotenusa mide
40m. Calcúlese la longitud de los catetos.
21. La suma de los cuadrados de 2 números, más el quíntuplo desu producto, es 445; y la
suma de sus cuadrados, menos su producto, es 67. Hállense los dos números.
22. Un caminante ha recorrido 105 km. Si hubiera andado 2 km más por hora, su viaje habría
durado 6 horas menos. ¾Cuántos kilómetros recorrió por hora?
23. Se ha repartido la cantidad de $120 entre cierto número de personas. Si cada una hubiera
recibido $7 menos, habría recibido un número de pesos igual al del número de las personas
que había. Hállese el número de personas.
24. Las edades de dos niños son tales que el cociente del cuadrado de la del primero entre la
del segundo es 28, y que el cuadrado de la del segundo, dividido entre la del primero, da
3, 5 por cociente. Hallar las dos edades.
25. Hallar dos números que sean entre sí como 4 es a 7, sabiendo que la suma de sus cuadrados
es 6500.
26. Si del cuadrado de mi edad se resta el producto de dicha edad por 12, se obtiene 108. ¾Cuál
es mi edad?
27. Hallar dos números que den 320 por producto, y tales que el producto del mayor por la
diferencia entre los dos sea 704.
28. Un joyero vende un reloj en $31, 25, ganando un tanto% igual a la cantidad de dólares del
precio de compra. ¾Cuánto le había costado?
29. ¾Cuál es el número que sumado con su raíz cuadrada da por resultado 1640?
30. Un hacendado ha comprado cierto número de bueyes y carneros. ¾Cuántos ha compra-
do, sabiendo que hay 50 carneros más que bueyes, y que la suma de los dos números,
multiplicada por su diferencia, da 5500?
31. Ganando $112 más, habría yo ganado el cuadrado de mi haber; ganando $112 menos,
habría ganado, el doble de dicho haber. ¾Cuánto tenía y cuánto he ganado?
32. Un general dispone sus soldados en hileras y forma con ellas un cuadrado. Después de un
primer arreglo, le sobran 320 soldados; procura entonces poner 3 soldados más en cada
línea, pero, para completar el cuadrado, le faltan 253. ¾Cuántos soldados tiene?
6
33. Hallar 2 números tales que su suma, su diferencia y el producto de sus cuadrados, sean
números proporcionales a 17, 9 y 2704.
34. Dos capitales, cuya suma es $60000, reditúan, el primero $1600 y el segundo $1200. Sa-
biendo que la suma de los tantos porcientos es 10, hállense los capitales y los tantos por
cientos.
35. Hallar tres números consecutivos cuyo producto sea igual a su suma multiplicada por 8.
36. Dos llaves llenan un depósito en 6 horas. ¾Cuánto tiempo necesitaría cada una de ellas,
separadamente, para llenarlo, sabiendo que la primera tarda 5 horas más que la segunda?
37. Dos capitales di�eren en $5000, y el tanto% del capital mayor excede en 1 al del capital
menor. Sabiendo que el rédito anual del primero es $1000 y el del segundo $600, hallar los
dos capitales y los tantos por ciento.
38. Un tanque puede ser llenado por 2 llaves juntas en 33
4
horas. La llave mayor podría llenarlo
sola en 4 horas menos que la otra. ¾En cuántas horas lo llenaría cada una, separadamente?
39. En un triángulo rectángulo, se conocen el cateto b y la altura h relativa a la hipotenusa.
Calcúlense la hipotenusa a y el otro cateto c.
40. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10m, y los catetos 6 y 8m, respectivamente.
Calcúlese la altura relativa a la hipotenusa.
7
EJERCICIOS ADICIONALES
Instrucciones: Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas.
1. −3x2 = 0
2.
3 3
√
16
75
x2 = 0
3.
5
123
x2 = 0
4. −
√
15x2 = 0
5. x2 = 384
6. 2x2 − 98 = 0
7.
x2
4
+
5
4
= 0
8. x2 − 150
4
= 0
9.
4
5
x2 − 9
625
= 0
10. 5x2 =
√
125
11. 3
√
16 = 4x2
12. 3x2 = 6075
13.
8
5
x2 − 256
10
= 0
14. (x− 5)2 = 9
1024
15. (x + 7)2 = 36
16. (2n− 3)2 = 34
17. (3x− 2)2 = 289
225
18. (x− 6)2 = 24
19. −2(x− 1)2 + 5 = −8
20. x2 − 5x = 0
21. x2 +
65
4
x = 0
22. 12x2 − 8x = 0
23. x2 = −155x
24. 6(x2 − 5)− x = −30
25.
9
5
x2 + 16x = 0
26.
16
5
x− x2 = 0
27.
−9
7
x2 + 13x = 0
28.
4
15
x + 16x2 = 0
29.
5
7
x2 = 2
7
8
x
30. x2 = −x
31. x2 + 144x = 0
32.
−3
5
x2 − 11x = 0
33.
x2 − 5x
4
= 2x
34.
5x2 − 3x
5
= 6x
35. (x− 14)(x− 215) = 0
36. (x− 1)(2x + 1) = 0
37. 10(12x− 4)(5x + 18) = 0
38. (7x + 51
2
)(−3x + 4 5
12
) = 0
39. (9x + 5)(12x + 48) = 0
40.
−33
14
(
5
4
x− 11
23
)(
6
5
x +
7
8
)
= 0
41.
(
25x
40
+ 112
)
(−9x + 18) = 0
42. −4
(
−2
5
x +
1
4
)(x
5
+ 1
)
= 0
43.
(
12− 3x2
)(
x− 11
5
)
= 0
8
44.
(
3x2 + 5x
)(10
51
x2 + x
)
= 0
45.
(
x +
1
8
)(
x2 +
3
5
x
)
= 0
46. (5x− 1)
(
x2
2
− 8
)
= 0
47. (5x + 12)
(
x2 +
5
2
x
)
= 0
48.
(12− 4x2) (15− x2)
4x + 15
= 0
49.
(−9x2 + 15x)
(−5
12
x2 + 2x
)(
1
4
+ x2
)
(1− 12x2)
= 0
50. 3x2 = 1− x
51. 2x2 + 2 = 5x
52. x2 + 5x− 6 = 0
53. 2x2 − 3x + 5 = 0
54. 3x2 − 10x + 3 = 0
55. 5x2 = 4− 4x
56. x2 + 5 = −2x
57. 4x2 = 8x− 5
58. 3x2 + 2 = −4x
59.
x2
3
− x
4
=
1
24
60. x2 − 4x = 12
61. 3x2 + 11x + 10 = 0
62. 4x2 − 10x− 14 = 0
63. 2x2 + 7x− 4 = 0
64. 5x2 + 11x + 6 = 0
65. 6x2 − 7x + 2 = 0
66. 2x2 + 11x + 15 = 0
67. 25x2 − 20x + 4 = 0
68. x2 −
√
6x + 1 = 0
69. m2 +
√
3m− 2 = 0
70.
√
2x2 − 2
√
5x =
√
8
71. x2 − 3x =
√
7
72.
√
27− 2
√
7x =
√
3x2
73. (
√
3− 1)x2 + (4− 2
√
3)x− 4 = 0
9
COLEGIO INTERNACIONAL SEK
Prof. Álvaro Elizondo Montoya.
TEMA: PRÁCTICA DE ECUACIONES CUADRÁTICAS.
Nombre: ___________________Fecha:_______Grupo: 9−
Instrucciones: Resuelva las siguientes ecuaciones, veri�que el conjunto solución indicado.
1)(5x− 3)2 = (3− 5x)2 + (1− 4x)2 1)S=
{
1
4
}
2)(2x− 1)2 = (−x− 1)(x + 1) + 9 2)S=
{
−1, 7
5
}
3)(2x− 1)2 = (3− 4x)2 + (x + 1)(5x− 5) 3)S=
{
3
17
, 1
}
4)12x2 − 13x + 3 = (x + 3)2 + (1− 5x)(x + 5) 4)S=
{
−1, 11
16
}
5)(4x + 2)2 = (5− 3x)2 + (3− 3x)(x− 5) 5)S=
{
−3, 1
5
}
6)(4x− 4)2 = 5x2 + (4− 5x)2 − 5x 6)S=
{
0, 13
14
}
7)(5x− 2)2 = (x + 2)2 + x(4x + 5) 7)S=
{
0, 29
20
}
8)9x2 = (x + 4)2 − 10 8)S=
{
−1
2
, 3
2
}
9)(3− 5x)2 = (5x− 2)2 + 12x + 12 9)S=
{
− 7
22
}
10)(−2x− 2)(x + 4) = (−5x− 5)2 10)S=
{
−11
9
,−1
}
11)(−3x− 1)(x + 2) = (x− 5)(x + 4) + (x + 3)(2x + 2) 11)S=
{
−3, 2
3
}
12)(x− 5)2 = −6x2 + (−5x− 2)2 + 11x− 4 12)S=
{
−25
9
, 1
2
}
13)(−2x− 5)2 = (−3x− 3)2 13)S=
{
−8
5
, 2
}
14)12x2 − 6x− 6 = −4x2 + 20x− 15 14)S=
{
1
2
, 9
8
}
15)(−3x− 1)2 = −10x2 + (−2x− 3)2 − 4x 15)S=
{
−2
3
, 4
5
}
16)(3x + 3)2 = 9− 4(x− 2)x 16)S=
{
−10
13
, 0
}
17)16x + 12 = 4(x− 5)x + (x + 4)(5x + 4) 17)S=
{
2
3
}
18)(5x− 2)2 = (x− 2)(2x− 2)− 12x 18)S=
{
0, 2
23
}
19)3x2 + 13x− 10 = (−3x− 5)2 + (2− 4x)(x− 3) 19)S=
{
−29
2
,−1
}
20)(x + 5)2 = 4x2 + 25x + (x + 4)(x + 5) + 25 20)S={−5,−1}
21)5x2 + 7x + 2 = −3x2 − 14x + (4− 3x)(x + 2)− 8 21)S=
{
−2,− 1
11
}
22)(−3x− 1)(x− 5) = −24x2 − 32x− 8 22)S=
{
−13
7
,−1
3
}
23)(2x + 3)2 = −25x2 + (−x− 2)2 + 25 23)S=
{
−1, 5
7
}
24)(−2x− 4)(x− 5) = (2x− 1)x− x− 1 24)S=
{
−3
2
, 7
2
}
25)8x− 10x2 = 10x2 + 17x− 20 25)S=
{
−5
4
, 4
5
}
10
26)− 10x2 − 16x + 8 = −4x2 − (x− 1)x− 8x + 12 26)S=
{
−1,−4
5
}
27)(3− 5x)x = 6x2 − 13x + 5 27)S=
{
5
11
, 1
}
28)9x2 = (5x− 2)2 + (4− x)x 28)S=
{
2
5
, 2
3
}
29)(x− 5)(x + 2) = 5(x− 5) + (x + 3)(5x− 3) 29)S={−6, 1}
30)16x2 + 28x + 10 = (−3x− 1)2 + (x + 3)(2x + 3) 30)S=
{
−13
5
, 0
}
31)25 = x2 + (x− 5)2 31)S={0, 5}
32)− 9x2 − 3x + 2 = 4x2 + (2− 4x)(x + 1) 32)S=
{
−1
9
, 0
}
33)20x2 + 23x + 6 = −5x2 − 2x 33)S=
{
−3
5
,−2
5
}
34)9x2 = (4x− 4)2 + (x− 2)(4x + 5) 34)S=
{
2
11
, 3
}
35)(x− 4)(5x + 4) = (4x− 1)2 + (x− 4)(x + 5) 35)S=
{
−1, 1
4
}
36)(2x + 4)2 = 9x2 + (2x− 2)x + 3x− 6 36)S=
{
−1, 22
7
}
37)(4− x)(x− 2) = −20x2 + 4(x− 1)x− 4x 37)S=
{
−4
3
, 2
5
}
38)(4− 4x)2 = (2− 5x)2 38)S=
{
−2, 2
3
}
39)(−5x− 4)(x + 4) = −3x2 − 11x− 1 39)S=
{
−5,−3
2
}
40)25x2 = 29x2 + 9x + 5 40)S=
{
−5
4
,−1
}
41)25x2 = 16x2 + (4− 2x)2 41)S=
{
−4, 4
5
}
42)(−4x− 1)2 = 10x2 − 7x + 1 42)S=
{
−5
2
, 0
}
43)(3x− 2)2 = (−2x− 2)2 + (x− 4)2 43)S={−1, 4}
44)(−x− 4)(x− 4) = 5x2 + 3x + (5x− 4)2 44)S=
{
0, 37
31
}
45)(−3x− 2)2 = −17x2 + 19x + 23 45)S=
{
−19
26
, 1
}
46)(1− 2x)(x− 4) = (x− 4)(5x− 1)− (x− 4)x 46)S=
{
1
3
, 4
}
47)4 = (3x− 2)2 − 2x(x + 4) 47)S=
{
0, 20
7
}
48)(2x+ 4)2 = −35x2 + 6x + 16 48)S=
{
−10
39
, 0
}
49)x2 − x = 3x2 + 2x− 2 49)S=
{
−2, 1
2
}
50)(−2x− 5)2 = −5x2 + (−5x− 2)2 + 5 50)S={−1, 1}
51)20x2 + 36x + 16 = (x− 3)2 + (−5x− 4)(x + 2) 51)S=
{
1
12
(
−14−
√
106
)
, 1
12
(√
106− 14
)}
52)10x2 − 14x + 4 = (−4x− 3)2 + (−2x− 4)2 52)S=
{
1
10
(
−27−
√
519
)
, 1
10
(√
519− 27
)}
53)− 2x2 − x + 6 = (3− 5x)(x− 3) + (x− 4)(2x + 4) 53)S=
{
1
2
(
15−
√
101
)
, 1
2
(
15 +
√
101
)}
54)(2− 3x)2 = (x + 5)2 + (4x + 5)2 54)S=
{
1
8
(
−31−
√
593
)
, 1
8
(√
593− 31
)}
55)25x2 = (−4x− 3)2 + 5x− 10 55)S=
{
1
18
(
29−
√
805
)
, 1
18
(
29 +
√
805
)}
56)(3− 2x)(x + 1) = (3x− 1)2 + 1 56)S=
{
1
22
(
7−
√
93
)
, 1
22
(
7 +
√
93
)}
57)(2x− 5)2 = 20x2 + (3x + 3)x + 7x− 3 57)S=
{
1
19
(
−15−
√
757
)
, 1
19
(√
757− 15
)}
11
58)3x2 + 7x− 6 = −9x2 − 3x + (2x− 5)2 + 6 58)S=
{
1
8
(
−15−
√
521
)
, 1
8
(√
521− 15
)}
59)− x(x + 4) = 15x2 + (−2x− 5)x− 9x− 6 59)S=
{
1
14
(
5−
√
109
)
, 1
14
(
5 +
√
109
)}
60)(5x− 2)2 = (3x + 3)2 + (3x + 5)2 60)S=
{
1
7
(
34−
√
1366
)
, 1
7
(
34 +
√
1366
)}
61)16x2 = (5x− 1)2 + (x− 3)x 61)S=
{
1
20
(
13−
√
129
)
, 1
20
(
13 +
√
129
)}
62)5x2 − 2x = (2x− 1)2 − 3x(x + 5) 62)S=
{
1
8
(
−17−
√
305
)
, 1
8
(√
305− 17
)}
63)(3x− 1)2 = (−4x− 4)(x− 3) + (x + 1)(3x− 4) 63)S=
{
1
20
(
13−
√
449
)
, 1
20
(
13 +
√
449
)}
64)4(x− 5)x = −2x2 + 3(x + 5)x + 5x + 12 64)S=
{
2
3
(
10−
√
109
)
, 2
3
(
10 +
√
109
)}
65)(−3x− 1)(x + 1) = (−5x− 4)(x + 4)− 3x(x + 5) 65)S=
{
1
2
(
−7−
√
37
)
, 1
2
(√
37− 7
)}
66)− 3x = (5x + 5)2 + (5− 5x)(x− 2) 66)S=
{
1
10
(
−17−
√
214
)
, 1
10
(√
214− 17
)}
67)(5− 2x)2 = −10x2 + 10x + (−4x− 4)(x− 2) + 20 67)S=
{
1
18
(
17− 7
√
7
)
, 1
18
(
17 + 7
√
7
)}
68)5− 5x = (x− 5)2 + (1− 5x)(x− 5) 68)S=
{
1
8
(
21−
√
681
)
, 1
8
(
21 +
√
681
)}
69)− 3x2 − 5x− 2 = −10x2 + 16x + (−4x− 1)(x− 1) + 8 69)S=
{
1
11
(
12−
√
265
)
, 1
11
(
12 +
√
265
)}
70)4− 25x2 = 16x2 − 13x− 9 70)S=
{
1
82
(
13−
√
2301
)
, 1
82
(
13 +
√
2301
)}
71)− 10x2 − 16x− 6 = 3x + (x + 5)(3x + 4)− 3 71)S=
{
1
13
(
−19−
√
62
)
, 1
13
(√
62− 19
)}
12