Cap 12

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218 
Logaritmo 
DEFINICIÓN 
 
Se denomina logaritmo de un número real positivo al 
exponente al cual se deberá elevar una base 
positiva y diferente de la unidad para obtener como 
resultado una potencia igual al número propuesto. 
 
Su notación es: y = xlog
b
 ⇒ yb = x (I) 
 
Donde: x > 0; b > 0 ∧ b ≠ 1; y ∈ R 
 
Ejemplo: De acuerdo con la definición de 
logaritmo, podemos establecer: 
 
1) Como: 35 = 243 ⇒ log3 243 = 5 
 
 Se lee: El logaritmo de 243 en base 3 es 5 
 
2) Como: 2-3 = 1/8 ⇒ log2 1/8 = -3 
 
 Se lee: El logaritmo de 1/8 en base 2 es –3 
 
Ejemplo: Hallar el logaritmo de 128 en base 4. 
 log4 128 = a 
 1284a = ⇒ 7a2 22 = 
2
7a = 
 Luego: log4 128 = 2
7 
*) De (I): 
 Si sustituimos en : xby = ; el valor de “y” 
 Obtendremos que: 
 
 xb
xblog = (Propiedad Fundamental) 
 
FUNCIÓN LOGARÍTMICA 
Se llama función logarítmica en base “b” a la 
función que tiene por dominio al conjunto de los 
números reales positivos, cuya regla de 
correspondencia está dada por: 
,log)( xxf b= 
Es decir: 
};10;0;log/),{( Rybbxxyyxf b ∈≠∧>>== 
 
• Con frecuencia a la función logaritmo en base b 
se le define como la función inversa de la 
función exponencial de base b. 
 
 
 
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 
 
A) ,log)( xxf b= Si 0 < b < 1: 
Propiedades: 
• Dom f = < 0 +∞ > : Ran f = < -∞ , +∞ > 
• f es inyectiva. 
• Intercepta al eje X en (1,0) 
• )(xf es decreciente en todo su dominio: 
∀ x1 , x2 ∈ Dom f , x1 < x2 ⇒ )( 1xf > )( 2xf 
• Si x crece ilimitadamente, )(xf decrece 
ilimitadamente. 
• Si x se aproxima a cero, )(xf crece 
ilimitadamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) ,log)( xxf b= si b > 1 
 Propiedades: 
• Dom f = < 0 , +∞ > ; Ran f < -∞, +∞ > 
• )(xf es inyectiva. 
• Intercepta al eje X en (1,0). 
• )(xf es creciente en todo su dominio, 
∀x1, x2 ∈ Dom f si : x1 < x2 ⇒ )( 1xf < )( 2xf 
• Si x crece ilimitadamente, )(xf crece 
ilimitadamente. 
• Si x se aproxima a cero, )( 2xf decrece 
ilimitadamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x x1 
(1,0) x2 
f(x1) 
f(x2) 
y = 
y 
x x2 
 y = 
f(x1) 
f(x2) 
 x1 
(1,0) 
 
 
 
 
 
219 
 
PROPIEDADES GENERALES DE LA FUNCIÓN 
LOGARÍTMICA 
 
1. En el campo de los números reales no existe el 
logaritmo para número negativo. 
2. Cuando 0 < b < 1 : 
• Si 0 < x < 1, entonces 0log >xb . 
• Si x > 1, entonces 0log <xb . 
3. Cuando b > 1: 
• Si 0 < x < 1, entonces 0log <xb . 
• Si x > 1, entonces 0log >xb . 
4. El logaritmo de la unidad es cero : 
 
01log
b
= , ∀ b ∈ R+ ∧ b ≠ 1 
5. El logaritmo de la base es uno 
 
1blog
b
= , ∀ b ∈ R+ ∧ b ≠ 1 
 
PROPIEDADES OPERATIVAS DE LOS 
LOGARITMOS 
 
A) Logaritmo de un Producto: 
ylogxlog)y.x(log
bbb
+= 
 
B) Logaritmo de un Cociente: 
yx
y
x
bbb logloglog −=





 
 
C) Logaritmo de una Potencia: 
xlognxlog
b
n
b
= 
E) CAMBIO DE BASE: 
 Nos permite expresar el logaritmo de un 
número x en base b, en otra base p, mediante 
la fórmula: 
 
 
blog
xlog
xlog
p
p
b
= 
 
 Ejemplo: Expresar 3log
5
 en base 7 
5log
3log
3log
7
7
5
= 
 Ejemplo: Expresar el 3log
2
en base 3 
2log
1
2log
3log
3log
33
3
2
==
2log
13log
3
2
=⇒ 
* Se observa que el logaritmo de un número x 
en base b es igual al inverso del logaritmo de 
b en base x, es decir: 
,
log
1log
b
x
x
b = ∀ x , b ϵ R+-{1} 
F) REGLA DE LA CADENA: 
 
 
 
Ejemplo: Resolver 
 5)1x4(log.7log.2log 723 =−
 
61
3145)14(log 53
=⇒
=−⇒=−
x
xx
 
 
PROPIEDADES AUXILIARES: 
 
A) xlognxlog
bn b
= 
B) xlog
n
1xlog
bnb
= 
C) n
n b
m
mb
b
xlogxlogxlog == 
 Ejemplo: 25log5log5log 9
2
233
== 
D) Si yxylogxlog
bb
=⇒= , porque f es 
inyectiva. 
 
E) cx bb xc loglog = ,∀ a, b y c ϵ R+, b ≠ 1 
 
COLOGARITMO: 
 
 
 
 
 
ANTILOGARITMO: 
 
 
PROPIEDADES: ∀ x, b ϵ R+, b ≠ 1 
 
a) x)x(loglogAnti
bb
= 
b) x)xloganti(log
bb
= 
c) x)xloganti(logCo
bb
−= 
d) 1)log(log −= xxcoAnti bb 
 
 
 
 
 
 
 
 
220 
 
INECUACIONES LOGARÍTMICAS 
 
Caso 1. Si b > 1: 
 
• yxylogxlog
bb
>⇒> ∧ x > 0 ∧ y > 0 
• yxylogxlog
bb
<⇒< ∧ x > 0 ∧ y > 0 
• N
b bxxNx >∧>⇒> 0log 
 
Ejemplo: Resolver 
 
 9log)1x2(log 55 >− 
 ⇒ 2x – 1 > 0 ∧ 2x – 1 > 9 
 ⇒ x > ½ ∧ x > 5 ⇒ C.S= < 5, +∞ > 
 
Caso 2. Si 0<b<1: 
• yxylogxlog
bb
<⇒> ∧ x > 0 ∧ y > 0 
• yxylogxlog
bb
>⇒< ∧ x > 0 ∧ y > 0 
• N
b bxxNx <∧>⇒> 0log 
 
Ejemplo: Resolver 6log)3x(log
5.0
2
5.0
<− 
 Entonces: 032 >−x ∧ 63x2 >− 
⇒ C.S=( >∞+<∪>−−∞< ,33, ) ∧ 
 ( >∞+<∪>−−∞< ,33, ) 
 = >∞+<∪>−−∞< ,33, 
 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 
1. Reducir: 
 
3
4
log
8
9
log
16E = 
(Se reduce de arriba hacia abajo) 
 
 
34log8
9
log
16E = = 
89log.34log16 
 E = 
89log.)
23(
24
log
16 =
89log.916log16
 (regla de la cadena) 
 
 E = 
816log16 ⇒ E = 8 
2. Efectuar: 
M = 
8blogablog1
balog1
a








+
+
 
Solución: 
 
 M = 
8blog.)ab(blog
)ab(alog8blogablogbblog
balogaalog
aa =








+
+
 
 M = 8blog.balog
8blogaablog
bablog
8blog
bablog
1
aablog
1
aaa == 



















 
 
8blog
8blogbalog baM =





= 
M = 8 
3. Resolver: 
5.1log13x2log4x7log +=+++ 
Solución: 
 1°) Existencia de los logaritmos: 
 
 7x + 4 > 0 ∧ 2x + 3 > 0 
 x > -4/7 ∧ x > -3/2 
 ⇒ x > -4/7 
 
 2°) Resolviendo la ecuación: 
5.1log10log32log47log +=+++ xx
 
( )( ) )5.1.10(log32)(47log =++ xx
 1512x29x14 2 =++ 
 
14x2 + 29x + 12 = 225 
(14x + 71) (x – 3) = 0 (Igualando a cero) 
 
14x + 71 = 0 ∧ x – 3 = 0 
 
x = 
4
71− ∧ x = 3 
C.S. = < -4/7, +∞ > ∧ { 
4
71− ,3}= {3} 
4. Hallar la suma de las raíces de la ecuación: 
 
0)2log(log21 =+−+ xx (*) 
Solución: 
0210
,210
)2log(10log
)2log(log10log
)2log(log21
2
2
2
2
=−−⇒
+=⇒
+=⇒
+=+⇒
+=+
xx
xx
xx
xx
xx
 
Luego, las raíces son: x=-2/5, x=1/2. Pero x>-2 
(para la existencia del logaritmo), por lo tanto, la 
única raíz de la ecuación (*) es: 
x=1/2. 
 
5. Si log 2=0,301, determinar: 
log [anti log (colog2)] 
Solución: 
log[antilog(colog2)]= colog2=-log2=-0.301 
 
 
 
 
 
 
221 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
 
 
1. “Higer Algebra”.- Chrit´s collage, Cambridge, Trinity Collage, Cambridge. Inglaterra 
2. Algebra y Análisis de Funciones Elementales.- Potatov. Alexandronov. Pasichenko. Editorial 
Mir Moscú. 
3. “Algebra y Trigonometría”.- Vance. Fondo Educativo Interamericano 
4. “Algebra”.- Tomas Mendivil. Editorial algoritmo. Lima – Perú 
5. “Mil Problemas de Aritmética y Algebra” José Luis Mataix Planas. Editorial Dossat