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Álgebra 500 Ejercicios
Alexander
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SEMANA 1
TEORÍA DE EXPONENTES
ECUACIÓN DE 1º GRADO
1. Efectuar:
1 1
1
3 2 24E 27 36 2
3
A) 3 B) 6 C) 2
D) 1 E) 0
RESOLUCIÓN
13 127
3
*
12 136
6
*
1
4 3
3 4
*
2 12
4
*
1 1E
RPTA.: D
2. Simplificar:
0,2
2 5
4
3 3E 27 27 2 3
A)
2
3
B)
3
2
C) 2
D) 3 E) 1
RESOLUCIÓN
2
3
2
3
1 1
* 27
927
5
3
5
3
4
1 1
* 27
24327
1
* 3
81
0,2 0,2
1 1 2 27 1 6
E
9 243 81 243
2
0,2 0,2 5 1032 243 3
E
243 32 2
3
2
E
RPTA.: B
3. Calcule:
0 6
3 22
3 0 125
,
E ,
A) 8 B) 6 C) 4
D) 2 E) 5
RESOLUCIÓN
6 2
0 6
9 3
,
1 2
3 32 2
3 1E
8
1 2
3 33 32 2 2E 8 8 4
RPTA.: C
4. Efectuar:
0,5
12
1
1
4
16
0,51 1 0,25
625 9
A) 21 B) 22 C) 23
D) 24 E) 25
RESOLUCIÓN
1 1
2
4 2
4
1 1 1
625 9 4
625 9 4²
5 + 3 + 16 = 24
RPTA.: D
5. Para 2n ; n
el equivalente de la expresión
n
n 3n 5 2n 1n² na a² a³...a a a³ a ...a
será:
A) a B) a² C) 0
D) a E) n a
RESOLUCIÓN
2
2
n n
n 3 n 3n n 1 n n 1
nn² n n n2 2
n 3
2
a a a a
a
n
n
n 3
1
2a a
RPTA.: D
6. Efectuar:
48 factores
33 3 3 3
1
44 factores
x x x... x x
A ; x 0
xx x x... x
A) x6 B) x9 C) x4
D) x7 E) x7
RESOLUCIÓN
48
3
344
16
2
11
18
11
7
x x
A
x
x
x
A x
x
x
A
x
A x
RPTA.: E
7. Efectuar:
x 1
x
x 2 2x 2
20
4 2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN
x x
x x
x 2 x 1 x
x x
20 20 20 20
4 4 4 4 4 20
5 5
RPTA.: D
8. Si:
1 1
2 2 1 1
1 1 2 2
a b a b
P y Q
a b a b
Halle P . Q, siendo b > a > 0
A)
1
b a
B)
1
a b
C)
2
a b
a b
D)
2
a b
a b
E)
2
1
b a
RESOLUCIÓN
1ab
P y Q
b a ab b a
2
1
1
ab
PQ
b a ab b a
PQ
b a
RPTA.: E
9. Simplificar:
a b
b aa b
14 14
M
2 14 2 14
; si: a + b = ab
A) 14a+b B) 14 C) 7
D)
14
2
a b
E) 7a+b
RESOLUCIÓN
a b a b
a 1 b 1 1 a b
14 14 14 14
M
2 14 14 2 14 14 14
1
M
1
7
M 7
RPTA.: C
10. Si: a+b = 2ab ; {a;b} -{0;1}
Reducir:
a b
1 1
aa b a1 12ab 2b b
x y
x y
A)
x
y
B)
y
x
C)
x
y
D)
y
x
E) 1
RESOLUCIÓN
1 1
1 1
1 1
a b
a b x y
x y
1
1 1 11 1 2 1
1 1
1
1
b b b
a b
b
x x
y
y
(*) a + b = 2ab
1 1
2
a b
1
2
1 1 2 1
2 2 1
a b b b
x x
y y
RPTA.: A
11. Resolver
1
1
x
5x
1
5
x
e indicar
el valor de: x1
A)
1
5
B) 5 C)
1
5
D) 5 E)
1
5
RESOLUCIÓN
Cambio de variable:
1
y
x
y
5y
y
5y
1
y 5 5y
1
y 5
y 5
y 5 y 5
y 5
x 5
RPTA.: B
12. Si:
2xx 2
Calcule:
2 x 14xE x
A)
1
2
B)
1
4
C) 2
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
Elevando al cuadrado el dato
m. a.m.
2x
2 2 2
1
2
x 2 x 2
1
x 2 x
2
Luego:
2 x4x xE x
1
2
2 x 2
2
4x
4x
x x
1
44x
x 4x 2
E x x
E x x E x
E = x²
2
1 1
22
E
RPTA.: A
13. Calcule “x” en:
321 2 x3
x21 2 x x321 2 x x
A) 27 B) 3 9 C) 9 3
D) 3 21 E) 3 20
RESOLUCIÓN
Trabajando con cada miembro.
xx n nx n x n x n.......( )
Luego:
321 2 x
3
21 n 21
3
n
3
2 x n 21
2 x n 21
2 x n 21.............( )
() en ():
3
3
2 21
2 21
n
n n n
n n
Solo se verifica para: n = 27
27 3
9
x 3
x 3
RPTA.: C
14. Reducir:
5
64
3
5 3 4 7
1
x
xx² x x
x²
A) x B)
3
4x C)
5
4x
D)
1
2x E)
7
4x
RESOLUCIÓN
30 6027 51x x
60 60 6054 51 105x x x
4 7
7
4
x
x
RPTA.: E
15. Si: 52x = 2(10x) 4x
Calcule:
1 42
2
xx
E x
A) 236 B) 256 C) 512
D) 128 E) 0
RESOLUCIÓN
x x x x
2 2
x x x x
5 2 0 5 2
5 2 2 5 2 0
x = 0
Reemplazando:
1 42
E 2
2
1
2
1 1
16 16
E E
E = 16² = 256
RPTA.: B
16. Resolver:
1 3 2 2 3 1
0
1 2 3 4 5x x x x x x
A)
3
2
B)
2
5
C)
2
3
D)
5
2
E) 4,5
RESOLUCIÓN
2 2 2
1 3 2 1 3 3
x x 1 x 3 x 5 x 1 x 4
2 2x 5 3 2x 52x 5
x 5x x 5x 6 x 5x 4
2 2 2
1 2 3
2x 5 0
x 5x x 5x 6 x 5x 4
0
2x 5 0
5
x
2
RPTA.: D
17. Halle el conjunto de solución de la
ecuación en “x”.
0 0
a b
x a x b x ; a ; b
b a
A) B) {a} C) {b}
D) {a + b} E) {a b}
RESOLUCIÓN
Multiplicando por “ab”.
a² (x a) + b² (x + b) = ab x
a²x a³ + b²x + b³ = ab x
(a² + ab + b²)x = a³ b³
(a²+ab+b²)x = (ab)(a²ab+b²)
x = a b
Cs = {a b}
RPTA.: E
18. Resolver en “x”; {a; b; c; d} R+
4
d ax d bx d cx d
x
b c a c a b a b c
A) 1 B) d
C)
d
a b c
D)
2 3a b c
d
E)
RESOLUCIÓN
0
d ax d bx d cx
x x x
b c a c a b
d
x
a b c
0
d ax bx cx d bx ax cx
b c a c
d cx ax bx d ax bx cx
a b a b c
1 1 1 1
0d a b c x
b c a c a b a b c
0
d = (a + b + c) x
d
x
a b c
RPTA.: C
19. Calcule a + b sabiendo que la
ecuación en “x”
1 2
2
4
ax x
x
b
admite
infinitas soluciones.
A)
1
4
B)
3
2
C)
2
3
D) 3 E) 1
RESOLUCIÓN
Recordando que:
ax + b = 0 tiene infinitas
soluciones, si y solo si:
a = 0 b = 0
1 1
2 0
4 2
a x
x x
b b
1 1 1
1 2 0
4 2
a
x
b b
1 1 1
1 2
4 2
a
b b
5 1 3
4 2
a
b b
2 5
3 6
b a
9 3
6 2
a b
RPTA.: B
20. Resolver la ecuación
2 3 5
3
3 5 2 5 2 3
x x x
luego indique el valor de:
2 4
6
3 2 5 2
3 5
x x
x
A) 22 B) 25 C) 3 2
D) 5 3 E) 7 5
RESOLUCIÓN
x 2 x 3
1 1
3 5 2 5
x 5
1 0
2 3
1 1 1x 2 3 5 0
3 5 2 5 2 3
0
2 3 5x
Pero nos piden:
2 4 6
5 3 2
5 9 8 22
RPTA.: A
SEMANA 2
POLINOMIOS – V.N. - GRADOS
21. Sea el polinomio:
P(X) = (x
n1 + 2xn2 + n)n, si 2n
veces su término independiente es
igual a la suma de sus
coeficientes, entonces “n” es:
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
T.I. = P(o) = nn
coef = P(1) = (1 + 2 + n)
n
2n . nn = (3 + n)n
2n = 3 + n n = 3
RPTA.: C
22. Calcule “m” si la expresión:
m mm m m
x
M x x² x³ x
se transforma a una expresión
algebraica racional entera de 5to
grado.
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
RESOLUCIÓN
m 1
mm
m 1 2 3 .... m 2
x
M x x
m 1
52
X
M x x
m = 9
RPTA.: B
23. Calcule “n” para que el monomio
sea de 2º grado.
23
n 2 2n 3 4
x 22
n 4
x x x
M
x x
A) 4 B) 5 C) 6
D) 8 E) 9
RESOLUCIÓN
2
3n 6 2n 3 4 10n 4
x 2 4n 8
2n 4
x x x
M
xx
M(x) = x
6n 22 = x2 6n 22 = 2
n = 4
RPTA.: A
24. Si:
a b c
a b b c a c
Halle el grado absoluto de:
2 2 2a b c 9a 8ac 8bcE x;y;z x y z
transformable a una E.A.R.E.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
El G.A. =
9a² 8ac 8bc
.....
a b ² c²
de la condición:
a b c
k
a b b c a c
Propiedad de proporciones:
a b c 1
2 a b c 2
a 1
a b c k
a b 2
Lo reemplazamos en “”
9a² 8a² 8a² 25a²
G.A. 5
4a² a² 5a²
RPTA.: C
25. Si: P(x+5) = x² 3x + 1
Calcule: E = P(8) + P(6)
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 7
RESOLUCIÓN
E = 3² 3(3) + 1 + 1 3 + 1
E = 0
RPTA.: A
26. Del siguiente polinomio
P(x; y) = 7xa+3yb2z6a+5xa+2yb3za+b
en donde:
G.Rx G.Ry = 3 G.A(P) = 13
Calcule: a + b
A) 6 B) 7 C) 8
D) 11 E) 12
RESOLUCIÓN
G. RX = a + 3 G.A(P) = a+b+1
G. Ry = b 2
a + b = 12
RPTA.: E
27. Sea P(x) un polinomio lineal tal
que verifica la relación
x 6XP P P 9x 21
Para todo valor de “x”. Halle P(4)
A) 17 B) 18 C) 19
D) 32 E) 33
RESOLUCIÓN
Sea P(x) = ax + b P(6X) = 6ax + b
P(P(x)) = a(ax+b)+b = a²x+ab+b
Luego:
a²x + ab + b 6ax b = 9x+21
(a² 6a)x + ab = 9x + 21
a² 6a = 9 ab = 21
(a3)² = 0
a = 3 3b = 21
b = 7
Entonces: P(x) = 3x + 7
P(4) = 3(4) + 7 = 19
RPTA.: C
28. Calcule “n”, si el G.A. del
monomio es 6.
34 2n 4 2n 3
52n 165
x z
M x;y;z;w
y w
A) 12 B) 13 C) 14
D) 11 E) 10
RESOLUCIÓN
G.A. =
2n 4 2n 3 2n 16
6
4 3 5 5
30n 60 + 40n + 60 24n 192 = 360
46n = 360 + 192
46n = 552
n = 12
RPTA.: A
29. Calcule “n” si el monomio es de
4to. grado
2 3n
x
M x x x
A) 1 B) 3 C) 2
D)
1
2
E)
1
3
RESOLUCIÓN
6n2n
x
1 1 1
2 n 6n
x
M x x² x
M x
1 1 1
4
2 n 6n
3n + 6 + 1 = 24n
7 = 21n
n =
1
3
RPTA.: E
30. Si:
x
nx 1
P
x 8
Además P(P(x)) es independiente
de “x”. Calcule “n”
A) 1 B) 8 C)
1
8
D) 8 E) 5
RESOLUCIÓN
2
x
n 1 x n 8
P p
n 8 x 65
como es independiente de “x” se
cumple:
n² 1 n 8
n 8 65
65n² + 65 =
n² 16n + 64
64n² + 16n + 1 = 0
8n 1 n =
1
8
8n 1
RPTA.: C
31. Si: xP P P 27x 52
Calcule: P(1)
A) 1 B) 4 C) 4
D) 5 E) 1
RESOLUCIÓN
Como xP P P es lineal,
entonces: P(x) es lineal. Luego
P(x) = ax + b
P(P(P(x))) = a³x + a²b + ab + b
27x + 52 = a³ + a²b + ab + b
a = 3 b = 4
P(x) = 3x + 4
P(1) = 3 + 4 = 1
RPTA.: E
32. Halle la suma de los valores de
“n” que hacen que la expresión:
n
n 3 7 n3
x
1
P 2x 7 x x 6
3
sea
racional entera.
A) 7 B) 8 C) 9
D) 12 E) 13
RESOLUCIÓN
n 3 0
n
7 n 0
3
n 3 n = 3 n 7
n = 6
n = 3 n = 6
de "n" 9
RPTA.: C
33. Sabiendo que:
m 2 n² 5
n 5 m 4
P x;y 5x y Q x;y
2x y
son semejantes. Calcule el menor
valor de m + n.
A) 1 B) 3 C) 5
D) 8 E) 13
RESOLUCIÓN
Si: P(x; y) Q(x; y)
m 2 = n + 5 m n = 7 ....()
n² + 5 = m+4 n²m = 1 ...()
+ : n² n 6= 0
n = 3 n = 2
Luego:
n = 3 m = 10
n = 2 m = 5
menos: m + n = 3
RPTA.: B
34. Sea P(x) = x³ + 3x + 3x² + 1
Calcule: P(P(1)) + P(P(1))
A) 0 B) 3 C) 728
D) 729 E) 730
RESOLUCIÓN
P(x)= (x+1)³ P(1)=0 P(P(1)) = 1
P(1) = (2)³ = 8
P(P(1)) = P(8) = 9³ = 729
P(P(1)) + P(P(1)) = 1+729 = 730
RPTA.: E
35. Si el polinomio en “x” e “y”
P(x, y) = 5xa + 3xbyc + 2xcyb + ya
es homogéneo ordenado y
completo respecto de “x” e “y”.
Calcule: 2a + b + 3c
A) 17 B) 13 C) 15
D) 16 E) 18
RESOLUCIÓN
Por ser ordenado y completo:
a = 3; b = 2 y c = 1
2(3) + 2 + 3(1) = 6 + 2 + 9 = 17
RPTA.: A
36. Calcule “m” si el polinomio
n2n n 1n 8n 2n 2
x
n 1 m² m 3
P 7x 6x 5x
x ... x
es completo y ordenado; en forma
ascendente; de 4nn términos.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
Es ordenado en forma
ascendente:
n2n 8n = 0 n = 2
Luego:
0 m³ m 3
x
P 7x 6x 5x² x³ ...x
El número de términos es:
m² m + 3 + 1
m² m + 4 = 4nn
m² m + 4 = 16
m² m 12 = 0
m = 4
RPTA.: A
37. Halle a y b en la identidad:
4a 7 b 8 b 7 a 8b x b y a x a y
A) 1 y 3 B)
1 1
y
2 3
C)
1 1
y
2 4
D) 1 y
1
4
E) 0 y 1
RESOLUCIÓN
aa = bb
a
b
ab ... ab = b4a b = 2a
a =
1 1
b
4 2
RPTA.: C
38. Siendo: P(xn + 1) = x 1
Halle: “n”, si: P(3) =
7
8
A)
1
3
B)
1
2
C)
1
2
D)
2
3
E)
1
3
RESOLUCIÓN
xn + 1 = 3 xn = 2 x = n 2
Luego:
P(3) =
n 72 1
8
1
3n n
1
2 2 2
8
1
n
3
RPTA.: E
39. Sea P(x) un polinomio
P(x) = (3x 1)n+5x + 1; además
la suma de coeficientes es 70.
Calcule el valor de: 10 n
A) 6 B) 5 C) 4
D) 12 E) 3
RESOLUCIÓN
ncoef P 1 2 5 1 70
2n = 64 n = 6
10 6 4
RPTA.: C
40. Dado el polinomio mónico
P(x) = 5x
4 7ax5 + (n2)x74x 1
Calcule el valor de: nn
A) 1 B) 4 C) 27
D) 25 E) 16
RESOLUCIÓN
Por ser mónico y de una variable
“x” (coeficiente principal = 1)
(n 2) = 1 n = 3
Luego nos piden: nn = 33 = 27
RPTA.: C
SEMANA 3
PRODUCTOS NOTABLES
41. Si ,yx3
x
y
y
x 22
halle
4
y
x
x
y
x
y
y
x
W
0y,0x
A) 16 B)
32 C) 24
D)
42 E) 2/116
RESOLUCIÓN
yxxy3yx 33
yxxy3yxxy3yx 3
0yx 3
yx 16
x
x
x
x
W
4
x
x
x
x
RPTA.: A
42. Si 1aa 1 , halle 1212 aaW
A)256 B)306 C) 343
D)322 E)196
RESOLUCIÓN
a² 2 + a2 = 1
a² + a2 = 3
a4 + a4 = 7
a12 + a12 + 3(7) = 343
a12 + a12 = 322
RPTA.: D
43. Si 8 8 8m n m p p m 0,
Halle
4n 2p
4m 2n
m n 1
W
m p 1
m, np R
A) mnp B)1
C) mnp D) pnm
E)
12
RESOLUCIÓN
nm0nm8
pm0pm8
mp0mp8
w = 1
RPTA.: B
44. Si: ,0zyx 666 halle
0Rz,y,x,
yzxzxy
zyxxyz9
W
4
3
A)
116 B)32 C) 18
D)16 E)8
RESOLUCIÓN
3 3 3
6 66 6x y z 3 xyz
36366 zyx
zyzxy3x 66
262 xyz3zyx
3 xyz9yzxyxy2zyx
2
zyxxyz9
yzxzxy
3
162
2
zyxxyz9
zyxxyz9
W 4
4
3
3
RPTA.: D
45. Si x b c a
y c a b
z a b c
Halle:
cbacbabacacb
xyzzxyyzx
W
222
A)
y
x
B) acb
C) zy2 D)
abc
1
E)1
RESOLUCIÓN
1
cbaxyz
zyxxyz
W
x + y + z = a + b + c
RPTA.: E
46. Simplificar:
5
4
44
128
128128
W
A) 343 B) 24 C) 232
D) 28 E) 32
RESOLUCIÓN
128
128282
f
44
2
2
128
1282
f
4
4
2
2f2f2
5
2W
24W
RPTA.: B
47. Si ,yx3xy 11 halle
22
224
yx4
yx3yx
W
A)11 B)7 C)-6
D)4 E)8
RESOLUCIÓN
3
x
y
y
x
xy3yx 22
xy5yxy2x 22
xy5yx 2
224 yx25yx
25x²y² 3x²y²
w
4x²y²
RPTA.:B
48. Simplificar:
3n2 842
32 128842
factn...121212121
12...12121231
W
A) 0,5 B)2 C)4
D) 0,25 E)1
RESOLUCIÓN
121212D 2
N 3 N 32 2 2 8D 2 2 2
22 2 22 1 2 1 2 1
.
. 12121 22 N
.
12
2
n
1212 44
128
1
2
2
D
N
8
8
.
.
.
2562 1
32 256 8N 2 2
RPTA.: E
49. Operar: 33
33
72
1
33
72
1W
A)1 B)2 C)3
D) 72 E) 32
RESOLUCIÓN
W
27
28
13
33
72
1
33
72
1W 33
W
27
1
32W 33
W2W3
1W2WW3
RPTA.: A
50. Si 1bcacab 111 ,
Halle:
1c1b1a
1c1b1a
W
,
0c,b,a
A)1 B)-1 C)2
D)
abc
1
E)
12
RESOLUCIÓN
1
bc
1
ac
1
ab
1
abccba
0abccba
abc ac bc c ab a b 1
W 1
abc ac bc c ab a b 1
W =
ab bc ac 1
1
ab bc ac 1
RPTA.:B
51. Si zyxaza1yaxa1 11 ,
Halle: 1 1 1x y z , x,y,z 0
A)a B)
1a C) 1a
D)
2a E)1
RESOLUCIÓN
x z
1 a y 1 a x y z
a a
zyxaazayaxa 2
xyzyzxzxyazyxaa 23
zyxaa 23
xyzyzxzxya
a
1
xyz
yzxzxy
1a
x
1
y
1
z
1
1111 azyx
RPTA.: C
52. Simplificar:
...1x1x1x1xW 242222
2x11x 2204821024
A)1 B) 0 C)
112
D)-2 E) 4096
RESOLUCIÓN
W= 4x 1 ² x 1 ² x² 1 ² x 1 ²...
1024 2048x 1 ² 1 x ² 2
W = 4x² 1 ² x² 1 ² x 1 ²...
1024 2048x 1 ² 1 x ² 2
W = 4 4x 1 ² x 1 ²...
1024 2048x 1 ² 1 x ² 2
W = 8 8x 1 ² x 1 ²....
1024 2048x 1 ² 1 x ² 2
W = 2048 2048x 1 ² x 1 ² 2
W = 2
RPTA.: D
53. Si acbcab4cban 4
bcacabcba 222
y : 2 2 2a b c 8
Halle: cba,n
A) 22 B)
2
2
C)2
D)4 E)8
RESOLUCIÓN
xcba 222
yacbcab
yxy4y2xn 2
222 y4xy4y4xy4xn
n x²
2222 cban
8cban 2222
RPTA.: E
54. Operar:
2233 bcab6cbacbaW
Si: b = 0,5
A)1 B)2 C)
4
1
D)
16
1
E) 4
3
16
RESOLUCIÓN
a+c=n
2233 bnb6bnbnW
3 2 2 3 3 2 2 3W n 3n b 3nb b n 3n b 3nb b
32 b6bn6
3b8W
1
2
1
8W
3
RPTA.: A
55. Si ,0cb,a;0cba 111
Halle:
4
444
cba
cbaabc4cba
E
A) abc4 B)4abc C)1
D)2 E)abc
RESOLUCIÓN
0
c
1
b
1
a
1
22 0abacbc
0bca2cab2abc2bacacb 222222222
...abcabc2bacacb 222222 ()
Además:
2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2a b c a b c 2 a b a c b c ...( )
() β
abcabc22cbacba 4442222
cbaabc4cbacba 4442222
2222
2222
bc2ac2ab2cba
cba
1
bcacab2cba
cba
Ε
2222
2222
0
RPTA.: C
56. ¿Cuál es el intervalo de valores de
“”, de modo que la ecuación
2x2 2(1) 8x 0, tenga
raíces de distinto signo?
A) ,
2
1
B) ;2
C) 2; D) 2;6
E) ;8
RESOLUCIÓN
004
2
122
xx
016
2
12
2
, como c<0, se
presentan 2 posibilidades:
i)
2
1
0120
2
12
0
b
ii)
2
1
0120
2
12
0
ab
En este caso una respuesta seria
1 1
x ; ;
2 2
RPTA.:A
57. Los valores de “x” que satisfacen
la ecuación:
63132 xxx
tiene la propiedad que su suma
es:
A)-14 B)-7 C)-9
D)-2 E)7
RESOLUCIÓN
66323132 xxxxx
18924
2 xx
1894
2 xx
1490
2 xx x= -7No cumple
270 xx
x=-2 Si cumple
Únicamente (-2) satisface la
ecuación.
RPTA.: D
58. Sea A la suma de las raíces de
0
2 cbxax y B la suma de las
raíces a 011 2 cxbx ,
entonces B-A es:
A)-2 B)-1 C)0
D)1 E)2
RESOLUCIÓN
a
b
S
a
c
x
a
b
x 02
2ax 2ax a bx b c 0
022 cbaxbaax
0
22
a
cba
x
a
ba
x
a
ba
S
2
22
a
b
a
b
AB
RPTA.: A
59. En la ecuación cuadrática:
0
2 cbxax afirmamos:
I. Si la suma de sus raíces es igual
a su producto, entonces
b+c=0.
II. Si una raíz es la negativa de la
otra, entonces b=0.
III. Si una raíz es doble de la otra,
entonces acb 92 2
A) Las 3 afirmaciones son
verdaderas.
B) Solo I y II son verdaderas.
C) Solo I y III son verdaderas.
D) Solo II y III son verdaderas.
E) Solo II es verdadera.
RESOLUCIÓN
b c
S ; P
a a
I.
2121
x.xxx
0 cb
a
c
a
b
(V)
II. ,xx
21
pero
a
b
xx
21
a
b
xx
22
a
b
0
b0 (V)
III.
a
b
xxxx
2121
2
a
b
xx
22
2
a
b
x
2
3
2
b
x
3a
2
2
2
3
a
b
x
2
2
2
2
9a
b
x
...........................(1)
Luego:
a
c
x.x
21
2 2
c
2x x
a
a
c
x 2
2
2
a
c
x
2
2
2
...........................(2)
De (1) y (2)
b² c
9a² 2a
2b² = 9ac
RPTA.: A
60. Si las ecuaciones cuadráticas:
0312 2 nxmx
0233 2 mxnx
Son equivalentes, para
,Rnm calcule n.
A)
5
23
B)15 C)
7
15
D)
9
11
E) 9
RESOLUCIÓN
2
3
3
1
3
2
m
n
n
m
nm 3942 336 mn
2
313 n
m
13 3n
6n 3 3
2
3
2
939
6
n
n
693912 nn
7
15
n
RPTA. C
SEMANA 4
DIVISIBILIDAD
COCIENTES NOTABLES
FACTORIZACIÓN I
61. ¿Cuál será aquel polinomio
cuadrático de coeficiente principal
4, capaz de ser divisible por
12 x y que al ser evaluado en
(2) toma el valor de 5?
A) 24x 4x 3 B) 24x 4x 3
C) 24x 4x 3 D) 24x 4x 2
E) 24x 4x 2
RESOLUCIÓN
Sea este Polinomio
2
x
P 4x ax b :
Por condición:
2
x
4x ax b 2x 1 .q'
2
1 1
4 a b 0
2 2
-a+2b=-2.............................(1)
Además:
2
x
4x ax b (x 2)q'' 5
Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5
2a+b = 11 .........................(2)
De: 2(1)+(2) : 5b=-15b=-3
En (2) :2a=-8a=-4
Conclusión:
2
x
P 4x 4x 3
RPTA.: C
62. ¿Para qué valor de “m” el
polinomio:
2 2 2 2 2 2 2x y z x y z mx yz
es divisible por (x+y+z)?
A) 4 B) 2 C) 1
D) -8 E) -4
RESOLUCIÓN
En la base a la identidad:
yzmxzyxzyx 2222222
z,y,x'qzyx
Con: x=1 ; y=1; z=-2 evaluando:
(1-1+4)(1+1-4)+m….(-2)=0
-8=2mm=-4
RPTA.: E
63. Busque la relación que debe
existir entre “p” y“q” a fin de que
el polinomio:
3
x
P x 3px 2q
Resulte ser divisible por 2ax
A)
23 qP B) 32 qP C) qP
D) 1q.P E) 2qP
RESOLUCIÓN
Aplicando dos veces ruffini bajo el
principio de divisibilidad.
Si: 033
2 Pa
Pa 2 332 Pa
Reemplazando en: 0
1
R
3 3 33a 2q a 0 a q
223 qa
Conclusión: .qP 23
RPTA.: A
64. Determine “abc” sabiendo que el
polinomio :
432 26 xxxbax)cb(caxP
es divisible por 13 2 xx
A) -2 B) -34 C) 40
D) -1360 E) 2720
RESOLUCIÓN
Por Teorema de divisibilidad
01 1 R'qxP xx
01 2 R''qxP xx
03 3 R'''qxP xx
Empleando Ruffini ( tres veces)
Si: a+b+c-4=0a+b+c=4
b+c-6=0 b+c=6
a+b-38=0a+b=38
en (1) c=-34
en (2) b=40
Luego: abc=2720.
RPTA.: E
65. Si el Polinomio:
;xxxP x 6116
23 es
divisible por: (x-a), (x-b) y (x-c)
indistintamente.
¿Cuál será el residuo de:
111111 accbbax
P x
?
A) 0 B)1
C) ab + bc + ca D) 1
D) ab + cb + ca
-a
-a
1
1
1
0
-a
-3P
2a
2q
apa 32
-a )pa( 32 323 aqap
-a 22a 0
1
R
Pa 33 2 -2a
0
1
R
-a
-a
1
1
1
0
-a
-3P
2a
2q
apa 32
-a )pa( 32 323 aqap
-a 22a 0
1
R
Pa 33 2 -2a
0
1
R
1
-1
-2
-2
1
-6
-2
(b+c)
-8
+2
1
R
-6
2
R
(a+b-8)
(c+a)
-8 a+b-8 a+2b+c-8
(a+b)
(a+2b+c-81) 2(a+b+c-4)
6 -a-b+2
3
(a+b-2) b+c-6
-2
-6
-12
-36
a+b-38
3
R
RESOLUCIÓN
Al ser divisible indistintamente lo
será también por el producto es
decir:
)x(x q)cx)(bx)(ax(P
6116
23 xxx 3er grado Uno
(monico)
6116 23 xxx
abcxcabcabxcbax 23
De donde:
a + b + c = 6
ab +bc + cd= 11
abc= 6
Se pide:
x x x
P P P
x 11 1 1 c a b
x x
ab bc ca abc
Evaluando en x=1: 01 PR
RPTA.: A
66. ¿Cuál será aquella división notable
que genere al cociente
15253035 a...aaa .
A)
1
1
36
a
a
B)
1
1
5
40
a
a
C)
1
1
5
40
a
a
RESOLUCIÓN
Por principio teórico de signo y
variación de exponente de 5 en 5,
es la B.
RPTA.: B
67. Encuentre el valor de:
910 1 999
A) 1000001 B) 1010101
C) 1001001 D) 0
E) 1
RESOLUCIÓN
Acondicionando el divisor:
11010
110
110
110
110 1323
3
33
3
9
1001001
RPTA.: C
68. Sabiendo que el cociente de la
división
2
30
yx
yx
n
m
; consta de 10
términos.
Determine el valor de:
nm
A) 60 B) 8000 C)
20
3
D) 600 E) 8
RESOLUCIÓN
Por condición:
30 m
10
n 2
n=3
m=20
Luego: 20³ = 8000
RPTA.: B
69. Se desea conocer de cuántos
términos está constituido el
cociente de :
1
1
x
x
sabiendo que
236
1005010
xTTT
A) 396 B) 133 C) 132
D) 236 E) 131
RESOLUCIÓN
1 2 3 kx 1 x x x ...x ... 1
x 1
2T 3T kT
1010T x
10 50 100 236x .x .x x
5050T x
100100T x
3 160 236x x
De donde: 2361603
3963
132
Luego: # términos=132+1=133
RPTA.: B
70. Si la división indicada:
P
P
yx
yx
3
432
genera un cociente notable.
Averigüe al término antepenúltimo
A)
92yx B) 6 324x y
C) 36 360x y D) 0
E) x6 y314
RESOLUCIÓN
Si la división indicada es notable,
debe cumplir que:
P 432
3 P
2P 3.432
2 3 4P 3.3 .2 2 2P 3 .2 36
Luego:
12 12
3 36
36 432
3 36 1 1
3 36
x yx y
x y x y
1 2 10 11 12T T ... T T T
antepenúltimo
12 10 10 1
3 36 6 324
antep 10T T x y x y
RPTA.: B
71. Después de dividir el cociente de
1
1
16
x
x n
; Nn . Entre ;x 1 se
obtiene un nuevo cociente que al
ser dividido por 12 xx
obtendremos como residuo.
A) 0 B) -x C) x+1
D) x-1 E) 1
RESOLUCIÓN
Efectuando la división notable
6n
6n 1 6n 2 6n 3 2x 1 x x x x x 1
x 1
Luego en:
6n 1 6n 2 6n 3 2x x x ... x x 1
x 1
Aplicando Ruffini
Existen “6n” términos
Existen “6n-1” términos
6n 2 6n 4 6n 6 4 2
x
q x x x ... x x 1
Finalmente en:
2
x
q x x 1
Según el teorema del residuo
Si: 2x x 1 x
Que al evaluarlo en este valor
2R q 1 0
Cero
RPTA.: A
72. Factor Primo de:
b,aQ 1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc
será:
A) 1+c B) 1+b C) 1+ab
D) 1+bc E) 1+abc
-1
1 1 1
-1 0
1 0 1
-1
... 1 1
...0 1
1
-1
00
RESOLUCIÓN
Asociando:
bccbabccbQ b,a 11
Extrayendo factor común
abccbQ b,a 11
abcbQ b,a 111
a,bQ 1 c 1 b 1 a
Constante
RPTA.: B
73. ¿Cuántos factores primos
binómicos admite el polinomio;
.Nn;xxxxXP
nn
x
1
232
A) 1 B) 2 C) 3
D) n E) ninguno
RESOLUCIÓN
Asociando de 2 en 2:
1
232 xxxxx.xP nnx
n 2 2 2
x
P x (x 1) x(x 1) (x 1)
112 xx)x(P nx
n
x
P (x 1)(x 1) x x 1
RPTA.: B
74. Uno de los divisores de:
bcaddcba 22222 Será:
A) a-b+c-d B) a+b-c+d
C) a-b-c + d D) a+b+c-d
E) a-b-c-d
RESOLUCIÓN
Asociando convenientemente
2 2 2 2a b c d 2ad 2bc a =
2 2 2 2a 2ad d b 2bc c =
2 2
a d b c
a d b c a d b c
RPTA.: A
75. ¿Cuál será el divisor trinomio del
polinomio en variables: m,n,p.
3 3 3m n P n P m P m n ?
A) m-n-P B) m+n-P
C) m-n+P D) m+n+P
E) mn+nP+Pn
RESOLUCIÓN
Mediante la distribución en el
segundo y tercer término:
nPmPmnPnPnm 33333
Asociando:
)pn(mpnnPPnm 33223
PnPn
22 PnpnPn
(n-P) 3 2 2 2m n P nP mn² mnP mP
(n-P) nmPnmnPnmm 222
(m+n)(m-n)
22 PnPmnmnm)Pn(
Pm(n)PmPmnm)Pn(
PnmPmnm)Pn(
RPTA.: D
76. El Polinomio:
1133 yxxyyxy,xM
Será divisible por:
A) 1
22 yxyxyx
B) 1
22 yxyxyx
C) 1
22 yxyxyx
RESOLUCIÓN
Asociando convenientemente
1313 yxxyyxy,xM
Diferencia de cubos
2
M x,y x y 1 x y x y 1
-3xy(x+y-1)
… …...... ….....
… …
…......
…...... …......
Extrayendo el factor común
2 2M x,y x y 1 x xy y x y 1
RPTA.: C
77. Un factor primo racional de:
279
33 abbaR a ; será:
A) a+b+3
B) a-b+3
C) ab-3(a+b)
D) 9322 baabba
E) 9322 baabba
RESOLUCIÓN
333
333 abbaR a
Corresponde a la identidad
Gaussiana, que proviene de:
baabbaba 3333 222
baabbacba 3922
RPTA.: D
78. Cuántos divisores admitirá el
Polinomio:
82423342 yabyxabbxaP y;x
A) 8 B) 7 C) 15
D) 4 E) 3
RESOLUCIÓN
Empleando el aspa simple:
82423342 yaby.xabbxaP y,x
22xa 42yb
2bx 4ay
424222 aybxybxaP y,x
4222 aybxbyaxbyaxP y,x
Nº divisores: (1+1)(1+1)(1+1)
RPTA.: A
79. Halle la suma de los elementos de
aquellos Polinomios irreductibles
que se desprenden de:
2222224
2 yxzyxzQ z,y,x
A) 4x B) 4y C) 4z
D) 2(x-y) E) 2(x+y)
RESOLUCIÓN
Mediante un aspa simple
2222224 2 yxzyxzQ
2z 2yx
2z 2yx
2222 yxzyxzQ
yxzyxzyxzyxzQ z,y,x
Sumando estos elementos =4z
RPTA.: C
80. Un divisor del Polinomio:
x,yP 2x 2x 7y 3y(5y 12) 48x
será:
A) 3x-4y B) 4x-3y C)2x-3y
D) 2x-3x E) 2x-5y+12
RESOLUCIÓN
Buscando la forma de un aspa
doble:
0364815148
22 yxyxyxP y,x
4x -3y 0
2x 5y 12
125234 yxyxP y,x
RPTA.: B
SEMANA 5
COCIENTES NOTABLES
FACTORIZACIÓN
81. Hallar el menor término racional
del cociente notable.
3 7 3
3
4 2 2
4 2
A) 9 B) -1 C) 3
D) 5 E) 8
RESOLUCIÓN
7 7
3
3
4 2
4 2
Por el término
general
k k
kT
7 1
3
4 2
efectuando por exponentes
k
kT ....................( )
25
62
Por lo que piden:
k25
6
debe ser mínimo k ; 7
luego en :
T T
25 7
36
7 7
2 2 8
RPTA.: E
82. En el cociente notable
x x
;
x
16 16
2
2 2
2 4
halle el valor
numérico del quinto término para
x=1
A) 729 B) 126 C) 81
D) 243 E) 729
RESOLUCIÓN
Dando la forma de un C.N:
x x
x x
8 8
2 2
2 2
2 2
2 2
T x x (x ) (x )
3 4
2 2 6 8
5
2 2 2 2
x=1 T .( )
6 8
5
3 1 729
RPTA.: E
83. Halle el grado absoluto del primer
término central del C.N.
n n
n n
x y
x y
15 50 15 10
1 2
A) 11 B) 106 C) 63
D) 40 E) 72
RESOLUCIÓN
Por la condición necesaria y
suficiente se debe de cumplir:
n n
n
n n
15 50 15 10
6
1 2
luego:
x y
x y
20 20
7 4
7 4
Hallamos los términos centrales.
T x y T x y
10 9
7 4 70 36
10 10
T x y T x y
9 10
7 4 63 40
11 11
G.A. 10T 106
RPTA.: B
84. Si…x y x y ... 195 140 190 147
son términos consecutivos del
desarrollo de un C.N. Halle el
número de términos.
A) 61 B) 59 C) 58
D) 60 E) 65
RESOLUCIÓN
Formando un C.N. de:
5... x y x y
39 20 38 21
7 5 7
Número de términos = G.A +1
TN 59 1 60
RPTA.: D
85. En el siguiente cociente notable
x y
x y
20 30
2 3
. Calcule el lugar que
ocupa el término que contiene a
x10.
A) sexto B) quinto
C) octavo D) cuarto
E) décimo
RESOLUCIÓN
k k
?
kT x y x y
10 1
2 3 10
kx x k 20 2 10 5
El lugar es quinto
RPTA.: B
86. Luego de factorizar:
P(x) x x ; 8 4 1 halle la suma
de los factores primos.
A) x x 4 2 3
B) x 2 3
C) x 2 3
D) x 4 2
E) x 4 1
RESOLUCIÓN
Aplicando la identidad de Argan a
P(x) x x x x x x 2 2 4 21 1 1
Luego:
fac. primos= x x 4 2 3
RPTA.: A
87. Luego de factorizar
P(x) x x x x x 8 7 5 4 3 1
en x , indique el número de
factores primos.
A) 5 B) 3 C) 4
D) 6 E) 2
RESOLUCIÓN
P(x) x x x x x 8 4 7 5 31
P(x) x x x x 2 21 1
4 2 3 4 2x x 1 x x x 1
P(x) x x x x 2 21 1
x x x 4 2 31
P(x) x x x x 2 21 1
x x x 4 2 3 1
P(x) x x x x 2 21 1
x x x x x 2 2 21 1 1
P(x) x x x x x 2 21 1 1
x x 3 1
Hay 4 factores primos
RPTA.: C
88. Factorizar:
P x x x x 6 4 22 1 indicar la
suma de coeficientes de un factor
primo.
A) 1 B) 0 C) 1
D) 2 E) -2
RESOLUCIÓN
6 4 2P x x x 2x 1
2
6 2P x x x 1
3 2 3 2x x 1 x x 1
de coef = 1
RPTA.: C
89. Factorizar:
2 2 2F x abx a b x ab , e
indicar la suma de los T.I. de los
factores primos.
A) a+b B) a-b C) a
D) b E) ab
RESOLUCIÓN
F(x) abx a b x ab 2 2 2
ax b
bx a
F(x) ax b bx a
RPTA.: A
90. Al factorizar:
2 2P(x) 10x 17xy 3y 5x y
Indicar la suma de sus términos
de sus factores primos.
A) 7x-4y+1 B) 7x-1
C) 4x-7y-1 D) 4y-1
E) 5x+2y-1
RESOLUCIÓN
2 2P(x) 10x 17xy 3y 5x y 0
5x -y 0
2x -3y 1
P(x) x y x y 5 2 3 1
RPTA.: A
91. Factorizar:
3 2P(x) 12x 8x 3x 2 , e
indicar un factor primo lineal.
A) 3x +2 B) -3x1 C) -2x+1
D) x+2 E) 4x+3
RESOLUCIÓN
Aplicando Ruffini
P(x) x x x 22 1 6 7 2
3x 2
2x 1
P(x) x x x 2 1 3 2 2 1
RPTA.: A
92. Factorice:
P(x) x x x x x 5 4 3 25 7 8 4
Indique el promedio aritmético de
los T.I. de los factores primos.
A)
4
3
B)
6
5
C)
1
4
D)
3
2
E)
2
3
RESOLUCIÓN
2P(x) x 1 x 1 x 2 x 3x 2
12 8
6
-3 -2
7 2
12 14 4 0
1
2
6 7 2
1 5
1
7 -1
6 13
1 6 13
1 5 8
-8 -4
12 4
0412
-1
1
-1 -5 -8 -4
4 0
-2 -6 -4-2
1 3 2 0
x 2
x 1
2 2
P(x) x 1 x 1 x 2
Luego:
1 1 2 2
M.A
3 3
RPTA.: E
93. Al factorizar:
P(x;y) x y 4 44
Calcule el número de factores
algebraicos.
A) 4 B) 3 C) 6
D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
24 4 2 2P(x;y) x 4y 4x y 2xy
2 22 2P(x;y) x 2y 2xy
2 2 2 2P(x;y) x 2xy 2y x 2xy 2y
fN.A 2 2 1 4 1 3
RPTA.: B
94. Factorice
4 2P(x) x 2x 9 ,
e indicar el número de factores.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN
4 2 2 2P(x) x 2x 9 4x 4x
4 2 2P(x) x 6x 9 (2x)
2 22P(x) x 3 2x
2 2P(x) x 2x 3 x 2x 3
fN 2 2 4
RPTA.: C
95. Factorizar
3 2P(x) x x x 1
en (x), luego indique la cantidad
de factores algebraicos.
A) 2 B) 5 C) 3
D) 6 E) 7
RESOLUCIÓN
P(x) x x x 2 1 1
2P(x) x 1 x 1
P(x) x x x 1 1 1
2
P(x) x 1 (x 1)
f.AN 3 2 1 6 1 5
RPTA.: B
96. Calcule la suma de coeficientes,
de un factor primo del polinomio
factorizado.
25 20P(x) x x 1
A) 7 B) 4 C) 3
D) 5 E) 2
RESOLUCIÓN
Cambio de variable: x y5
P(x) y y
5 4
1
P(x) y y y y 2 31 1
P(x) x x x x 10 5 15 51 1
coef 3 1
RPTA.: C
97. Factorice:
2 2
2 2 2P(x) x x 1 x 1 x
Indique el número de factores
cuadráticos.
A) 2 B) 3 C) 1
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
2 4 3 2 4 2P(x) x x 2x 1 x 1 x 2x
3 2 2P(x) 2x 2x 2x (1 x)
x x( x) 2 1
Son 2 factores cuadráticos
RPTA.: A
98. Señale un factor primo de:
7
P(x) 2x 1 4x(x 1) 2
A)
24x 6x 3 B) 24x 5x 1
C)
24x 7 D) 24x 7x 1
E) 2x² + 3x + 1
RESOLUCIÓN
P(x) x x x
7 2
2 1 4 4 1 1
P(x) x x
7 2
2 1 2 1 1
Cambio de variable: y=2x+1
7 2 2 5 4y y 1 y y 1 y y y² y 1
un factor es : 4x² + 6x + 3
RPTA.: A
99. Cuántos factores lineales
presenta:
P(x;y) x y x y
4 4 4
A) 1 B) 0 C) 2
D) 3 E) 6
RESOLUCIÓN
P(x;y) x y xy x y
2
2 2 4 4
2
P(x;y) x x y x y xy y 4 3 2 2 3 42 2 3 2
x² xy
2y
x² xy
2y
P(x;y) x xy y
2
2 2
2
No tiene factores lineales.
RPTA.: B
100. Calcule el número de factores
algebraicos en (x), el polinomio.
2 5 23P(X;Z) 3 x y z
A) 23 B) 8 C) 10
D) 72 E) 71
RESOLUCIÓN
F.AN 6 4 1 24 1 23
Ojo: y2 no es variable, es
parámetro
RPTA.: A
SEMANA 6
MCD – MCM - FRACCIONES
101. Halle el MCD de los polinomios
P(x) y Q(x).
P(x)= x x x x x 5 4 3 212 8 45 45 8 12
Q(x)= x x x x 4 3 22 5 8 17 6
A) x+1 B) (x+1)(x-2)
C) (x-2)(2x-1) D) 3x+2
E) (2x+3)(2x-1)
RESOLUCIÓN
Factorizando P(x)
Luego el cociente c(x)
4 3 2c(x) 12x 4x 41x 4x 12
2 2
2
1 1
c(x) x 12 x 4 x 41
xx
x p x p
x x
2 2
2
1 1
2
2 2c(x) x 12p 4p 65
c(x) 6p 13 2p 5
2 2c(x) 6x 13x 6 2x 5x 2
P(x) x 1 3x 2 2x 3 2x 1 x 2
Factorizando Q:
Q(x) x x x x 4 3 22 5 8 17 6
Q(x) x x x x 1 2 3 2 1
12 8 -45 -45
4
12
-1 -12 4 41
8
-12
12 -4 -41 -4 12 0
Por tanto:
MCD(P,Q) x 1 x 2
RPTA.: B
102. Indicar el grado del M.C.M. de los
polinomios P(x) y Q(x) , donde:
P(x) x x x x x x x 7 6 5 4 3 28 17 9 9 17 8 1
Q(x) x x x x x 5 4 3 25 5 1
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
RESOLUCIÓN
Factorizando P (x); el polinomio es
recíproco.
el polinomio cociente es reciproco
también, pero de grado par:
3 3 2
3 2
1 1 1
c (x) x x 7 x 10 x 1
xx x
Haciendo:
x m x m
x x
2 2
2
1 1
2
x m m
x
3 3
3
1
3
2 2 2P (x) x 1 x 3x 1 x 5x 1 x x 1
Factorizando Q(x) similarmente:
Q x x x x x x 2 21 5 1 1
Por tanto:
2 2 2MCM x 1 x 5x 1 x x 1 x 3x 1
Gº = 1 + 2 + 2 + 2 = 7
RPTA.: E
103. Halle el M.C.D. de:
4 3 2 2 3 4A x 4x 4ax 36a x 44a x 16a
4 3 2 2 3 4B x 6x 6ax 18a x 30a x 12a
A) x a
2
2 B) x-a
C) x a
2
D) x a
3
2
E) x a²
RESOLUCIÓN
Factorizando A por el aspa doble
especial:
4 3 2 2 3 4A x 4 x ax 9a x 11a x 4a
x2 ax 3 a 24
x2 ax 2 a2
Por tanto:
3
A(x) 4 x 4a x a
Similarmente
4 3 3 2 3 4B x 6 x ax 2a x 5a x 2a
x2 ax a 22
x2 ax2 a2
B x x a x a
3
6 2
Por consiguiente el MCD= x a
3
2
RPTA.: D
104. Sabiendo que el M.C.D. de los
polinomios:
A x x x x m 3 22 3
B x x x n 3 2 , es:
x x 2 2 . Halle “m+n”
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 0
RESOLUCIÓN
Usando el método de Horner:
1 8 17 9
1
17
-1 -1 -7 -10
9
-10
1 7 10 -1 10 7
8 1
-7 -1
01
Conclusión: m+n=6
RPTA.: C
105. Halle el MCD de los polinomios:
m n m nP(x) X x x 1
m n m mQ(x) m n x mx nx 1 1 1
Sabiendo que m;n;
m
n
A)
kx 1 B) mx 1 C) nx 1
D)
kx 1 1 E) kx 1 1
RESOLUCIÓN
Consideremos: m=nk
Entonces:
nk n nk nP(x) x x x 1
n nkP(x) x x 1 1
Similarmente:
nk n nk nkQ(x) nk n x nk x n x 1 1 1
nk nQ(x) nk n x x 1 1
Por lo tanto:
M.C.D nP(x),Q(x) x 1
RPTA.: C
106. Sean los polinomios:
P(x) ax bx a c x bx c 4 3 2
Q(x) ax b a x c b x c 3 24 4 5 4 5 5
Los cuales verifican:
P(x) Q(x) MCD P Q
2
Calcule: "a b c"
A) 27 B) 16 C) 64
D) 125 E) 9
RESOLUCIÓN
Sumando P(x) Q x se obtiene:
4 3 2ax b 4a x 4b 4a c x
4c 4b x 4c.............................(1)
Por otro lado factorizando los
polinomios
P(x) ax bx a c x bx c 4 3 2
ax2 bx c
x2 ox -1
P(x) ax bx c x 2 2 1
Factorizando Q x :
Q(x) x ax bx c 24 5
Por lo tanto:
MCD=ax bx c 2
Desarrollamos
MCD ax bx c
22 2
2 2 4 3 2 2
2
MCD a x 2abx 2ac b x
2bcx c ...............................(2)
Comparando coeficientes de
y +
a=1; b=4; c=4
a + b + c = 9
RPTA.: E
107. Sea D(x) el Mínimo común
múltiplo de los polinomios M(x) y
N(x) si:
M(x).N(x)
A(x)
D(x)
Halle el resto de
dividir A(x) entre (x-3n), sabiendo
que:
2
3
-2
-4
2 1 0
1 2 -1
1
1
m
-2
m-2=0 m 2
1
0
-2
-2
1 2 0
1 1 1
2
1
n
-4
n-4=0 n = 4
1 2
4 3 2 2 3 4M(x) x nx 7n x n x 6n
3 2 2 3N(x) x 4nx n x 6n
A) 0 B) n26 C) n 26
D) n210 E) n212
RESOLUCIÓN
Como D(x) es MCM entonces A (x)
representa MCD (M.N).
Factorizando los polinomios
obtenemos.
M(x) x n x n x n x n 3 2
N(x) x n x n x n 2 3
Por lo tanto:
MCD (M,N)= (x-n) (x+2n)
MCD (M,N)= x nx n 2 22
Se pide el resto de la división:
x nx n
R(x) n
x n
2 2
22
10
3
RPTA.: D
108. Si la fracción
x x
x x
2
2
4 2 3
2 1
se
transforma en otra equivalente
B C
A
x x
1 2 1
donde A,B,C son
constantes reales. Calcule:
A
B C
3
A) -1 B) 1 C) 3
D)
1
3
E)
5
3
RESOLUCIÓN
Dividendo:
2
2 2
4x 2x 3 5
2
2x x 1 2x x 1
x x
5
2
2 1 1
Descomponiendo por fracciones
parciales
5 10
3 32
x 1 2x 1
Por tanto:
A= 2 ; B=
5
3
; c
10
3
A
B C
2 5 10
1
3 3 3 3
RPTA.: A
109. Sabiendo que A,B,C y D son los
numeradores de las fracciones
parciales en que puede ser
descompuesta la siguiente
fracción:
3 2
22
4x x 3x 2
x x 1
Halle: A+B+C+D
A) 2 B) -5 C) 1
D) -1 E) 0
RESOLUCIÓN
Descomponiendo en fracciones
parciales:
x x x A B C D
x x xx x x
3 2
2 2 22
4 3 2
11 1
x x x
x x
3 2
22
4 3 2
1
Ax x B(x ) Cx x Dx
x x
2 2 2 2
22
1 1 1
1
Desarrollando y luego
comparando coeficientes se
obtiene:
A=1; B= -2; C=3; D=-4
Por lo tanto:
A+B+C+D= -2
RPTA.: D
110. Sabiendo que la fracción se
transforma en otra equivalente.
2
3 2 2
5x 9x 4 A Bx C
x 2x 3x 3x 2 x x 1
Halle: A + B + C
A) 1 B) 5 C) 6
D) 8 E) -5
RESOLUCIÓN
2 25x 9x 4 A x x 1 Bx C x 2
Comparando coeficientes se tiene
A B 5 A=2
A B C 2 9 B=3
A C 2 4 C=1
A+B+C=6
RPTA.: C
111. Si la fracción se descompone en
fracciones parciales de la forma:
2
3 2 2
x 1 A Bx C
x 2x 3x 3x 2 x x 1
Halle el grado del MCM de los
polinomios P y Q.
Donde:
3 2P(x) x 5x 2x 8
2Q(x) 2x mx 4 ;
m (A B C) 9
A) 4 B) 2 C) 3
D) 3 E) 5
RESOLUCIÓN
Desarrollando fracciones parciales
x A B x A B C x A C 2 21 2 2
A B 1, A+ 2B + C = 0,
A + 2C = 1
A
5
3
, B
2
3
, C
1
3
A + B + C =
2
3
Por lo tanto: m= 6
Factorizando P (x) y Q(x)
P(x) x 1 x 2 x 4
Q(x) 2 x 1 x 2
MCM = 2 x 1 x 4 x 2 x 2
Grado =3
RPTA.: A112. Al descomponer la expresión en
fracciones parciales se tiene los
numeradores A, B y C:
2
3 2
x 5
x 8x 17x 10
Luego se dan los polinomios:
P(x) x m x x 3 25 11 6
Q(x) x m x x m 3 21 3
siendo : m= A + B + C
Halle el grado del MCM
A) 2 B) 4 C) 5
D) 6 E) 3
RESOLUCIÓN
Descomponiendo fracciones
parciales se tiene:
x A B C
x x x x x x
2
5
1 2 5 1 2 5
x A x x B(x ) x C x x 2 5 2 5 1 5 1 2
Si x= -2B=-3
Si x=-1A=
3
2
A+B+C=1=m
Si x=-5C=
5
2
Entonces:
3 2P(x) x 6x 11x 6
3 2Q(x) x 2x x 2
Factorizando se tiene
P(x) x x x 3 1 2
Q(x) x x x 1 2 1
MCM P,Q = x x x x 1 2 3 1
Grado =4
RPTA.: B
113. Si: a,b,c, son números diferentes
y:
P(x) x x x
x d
(x a) (x b)(x c) x a x b x c
Calcule:
a b c
p(a) p(b) p(c)
2 2 2
A) -2 B) -1 C) 0
D) 1 E) 2
RESOLUCIÓN
Desarrollando se tiene:
P(x) x x a x b x b x c x a x c
+ x - d
Evaluando:
p(a) a(a b)(a c)
p(b) b(b a)(b c)
p(c) c(c a)(c b)
reemplazando en M:
a b c
M
a a b a c b b a b c c(c a)(c b)
2 2 2
M = 0
RPTA.: C
114. Indicar la respuesta correcta,
luego de simplificar:
1 x
1
1 3x1
1 x
1 3
1 3x
E
1 x
1
1 3x1 3
1 x
1 3
1 3x
A) 1 B) x C) 2x
D) 3x E) -1
RESOLUCIÓN
Desarrollando el numerador se
tiene:
x
x
8
2 6
y el denominador :
x
8
2 6
reemplazando y simplificando
x
x
E
8
2 6
x
8
2 6
x
RPTA.: B
115. Si: ab bc ac abc
2 2 2 2
Simplificar:
a b b c c a
c a b
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 1 2 1 2 1
A) 0 B) 1
C) a b c 2 2 2 D)
a b c 2 2 2
2
E) abc
RESOLUCIÓN
De la condición se tiene:
2
2 2 2
1 1 c 1
a b c
2
2 2 2
1 1 a 1
b c a
2
2 2 2
1 1 b 1
c a b
Entonces reemplazando en la
expresión:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
c 1 a 1 b 1
1 1 1
c a b
2c 1 2a 1 2b 1
2 2 2
1 1 1
1
c a b
RPTA.: B
116. Si se verifica que:
2 a b 2ab a b a 1 b 1
Simplificar:
ab a 2 ba b 2
E
b 1 a 1
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
a b b a
E
b a
1 2 1 2
1 1
E a b
b a
2 2
1 1
de la ecuación se tiene:
a b
a b
a b
2 2
1 1
Entonces reemplazando en E
a b
E
a b b a
2 2 2 2
1 1 1 1
E = 4
RPTA.: D
117. Simplificar la siguiente expresión
y halle:
a
c
a a c a c c c
. .
a ac c a b bc a c c
c c a
bc
3 3
2 2 2 2
1
1
2
1
A) 1 B) 2 C) -1
D) -2 E) 3
RESOLUCIÓN
a a c
a ac c 2 2
a c a ac c
.
2 2
b a c a c
.
1
c
a c c
1
1
c c a
bc
2
2
a a c
c a c
.
b a c a c c
2
c c a
bc
2
2
abc c a c 2
cb a c c c a 2
2
a
a c
2
a
c
2
RPTA.: D
118. Al reducir la expresión:
2
2
x 1 x 1 2
1 1 1
x 1 x 1 x
1 1 x
x 1 x 1
x 1 x 1
Se obtiene:
A) 1 B) x x 2 1
C) x x 2 1 D)x x 4 2 1
E) x x 4 2 1
RESOLUCIÓN
Desarrollando:
2
4
2 2
x 1 x 1 2x
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
x x
2 2 2
2 2 4
x x 2x
x 1 x 1 x 1
2 2
4 4
2x 2x
1
x 1 x 1
RPTA.: A
119. Sabiendo que la fracción:
ax by
p x m xy m y
2
2 2 2 2 2
2
toma un valor constante k.
k 0, para todo valor de x,y; xy
0 , Halle:
a b p m
a b p m
2 2 2 2
2 2 2 2
en términos de
k.
A)
k
k
1
1
B)
k
k
2
2
1
1
C) k+1
D) k-1 E) k 2 1
RESOLUCIÓN
ax by k p x m xy m y
2 2 2 2 2 2
2
a x abxy b y k p x m xy m y 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2
Comparando coeficientes:
a kp ;2 2 b km ;2 2 ab km 2
Entonces reemplazando en:
a b p m kp km p m
a b p m kp km p m
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
m p ka b p m
a b p m m p k
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
1
a b p m k
a b p m k
2 2 2 2
2 2 2 2
1
1
RPTA.: A
120. Simplificar:
ax ax ax ax
ax ax ax a x
4 4
1 2 3 1
1 1 2 1 3
A)
ax
ax
1
2
B)
a x
a x
2
C)
x a
x a
2
D) 1 E)
a
x
RESOLUCIÓN
Haciendo: ax=m
m m m m
m m m m
4
1 2 3 1
1 1 2 1 3
Agrupando:
m m m
m m m m
2 2
2 4
3 3 2 1
2 3 1 3 1
Factorizando:
m m
m m
2
2
2
2
3 1
1
3 1
RPTA.: D
SEMANA 7
NÚMEROS COMPLEJOS
121. Sea el complejo : 1 i
Calcule
12
A) 32 B) -32 C) -64
D) 64 E) 128
RESOLUCIÓN
Si:
22Z 1 i Z 1 i 2i
Si:
22 4Z 2i Z 2i 4
312 4 64
Brayan
RPTA.: C
122. El equivalente de:
8
1 i 1 i
1 i 1 i
1 1
1 i 1 i
1 1
1 i 1 i
será:
A) 2i B) 0 C) -2i
D) 64 E) 256
RESOLUCIÓN
Sabemos:
1 i 1 i
i i
1 i 1 i
Operando:
8 8
i i 2i 256
RPTA.: E
123. Si, n , calcule el valor de
4n 6
1 2
i
22
A) 4 B) i
C)
n 1
1 i
D)
n 1
1 i
E) 1
RESOLUCIÓN
2n 3
4n 6 2 2n 3
2n 31 1 1 i 2ii i
22 2 2
n n n 12 2i i i 1 ( 1)i 1 i
RPTA.: D
124. Calcule el valor de :
n
n 2
1 i
1 i
; donde n
A) -2 B)
n2i C) n 12i
D) -2i E)
n 12i
RESOLUCIÓN
n n
2
n 2
1 i 1 i
1 i
1 i1 i 1 i
n n 1i 2i 2i
RPTA.: C
125. El equivalente de:
17 51
11 2i 1 2i 1 ; es:
A) 1 B) -3 C) -2
D) -i E)
1 3
i
2 2
RESOLUCIÓN
17
3 17 17
1 2i 11 2i 11 2i
Luego:
17 17
E 11 2i 11 2i 1 1
RPTA.: A
126. Halle “m + n”; a partir de
2
1 1 i
1 i
m ni 1 1
A)
2
5
B)
1
5
C)
1
5
D)
1
7
E)
2
7
RESOLUCIÓN
*
2
1 i 1 i
i 1
1 i 1 i
1
i 2
m ni
1 2 i
m ni
2 i 2 i
2
m
2 i 2 1 5
m ni i
5 5 5 1
n
5
1
m n
5
Brayan
Brayan
Brayan
Brayan
RPTA.: C
127. ¿Qué valor asume “k”, si
k 3i
2 5i
es
un complejo imaginario puro?
A) 2 B) -2 C) 15
D)
15
2
E) 1
RESOLUCIÓN
15
2k 15 k
2
RPTA.: D
128. Sabiendo que: a bi x yi .
Calcule:
2
2 4
b
ay y
A) 4 B) -4 C)-2
D) 2 E) 1
RESOLUCIÓN
2 2a bi x y 2xyi
2 2a x y b 2xy
2 2 2 2 2x a y b 4x y
2 2 2b 4 a y y
2 2 4b 4 ay y
2
2 4
b
4
ay y
RPTA.: A
129. Calcule:
39
40
1 3i
1 i
A) 2 B)
202 C) 192
D)
202 E) 192RESOLUCIÓN
39 39 391 3i 2Cis60º 2 Cis 2340º
10
40 4 201 i 1 i 2
Cis 2340º Cis 6 360º 180º
39 19
20
2 1
2
2
RPTA.: E
130. Si: Z C Z Z 7Im(z)
Calcule: Z 3,5i
A) 3,5 B) 2,2 C) 2,1
D) 2,4 E) 1,2
RESOLUCIÓN
Sea: Z a bi
a bi a bi 7b
2 2a b 7b
nos piden :
7
Z 3,5i a bi i
2
2 2
7 49
a b i a b 7b
2 4
49 7
7b 7b 3,5
4 2
RPTA.: A
131. Calcule:
6
2 cos isen
12 12
A) 8i B) 8 C) -8i
D) -8 E) 32
RESOLUCIÓN
6
2 cos isen
2 2
32 0 i 1 8i
RPTA.: A
132. Sean los complejos
1 2Z 1 i Z 3 6i
Halle el módulo de
2 3
1 2Z Z
Brayan
A)
1
2
B)
7
2
C)
27
2
D)
13
2
E)
29
2
RESOLUCIÓN
2 12
1Z 1 i 2i
3 2
3
2Z 3 6i 3 6 i 3 6 i
15 3 3 6i
Piden:
3
2 3 2
1 2 2
1
Z 15 3 3 6I
Z Z
Z 2I
3 6 15
3i
2 2
2 2
3 6 15 3 3 6 15 3
i
2 2 2 2
El módulo es:
27
2
RPTA.: C
133. Calcule:
2343 331 542 300
55 242 328
i i i i
i i i
A) -3 B) -4 C) -5
D) -2 E) -1
RESOLUCIÓN
o o
2343 4 3 ;300 4
o
331 4 3 ;
o
542 4 32;
3 3 2
2
i i i 1 2i
2
i i 1 i
RPTA.: D
134. Calcule:
555555 333i i
A) i B) -i C) 2i
D) -2i E) 0
RESOLUCIÓN
o o
555555 4 3 333 4 1
3333 1i 1 i i i 21
RPTA.: D
135. Halle un número complejo cuyo
cuadrado sea igual a su
conjugado.
A)
1
i
2
B)
1
1 i
2
C)
1 3
i
2 2
D)
1 3
i
2 2
E) 1
RESOLUCIÓN
Sea el complejo: Z a bi
Z a bi
Luego:
2
a bi a bi
2 2a b 2abi a bi
2 2a b a
2ab b
Resolviendo:
1
a =-
2
Luego:
2
21 1b
2 2
2 2
1 1 3
b b
4 2 4
3
b
2
Luego el complejo buscado será
1 3
Z i
2 2
RPTA.: C
136. Si:
2
Z 3Re Z
Halle:
3
Z
2
A)
1
2
B)
3
2
C)
3
2
D) 2 E) 1
RESOLUCIÓN
Sea: Z = a + bi
Por condición:
(a+bi)² = 3a
(a²b²) + 2abi = 3a + 0i
a² b² 3a;
2ab 0
Resolviendo el sistema:
1 2
1 2
a 0 a 3
ó
b 0 b 0
3 3
Z
2 2
RPTA.: B
137. Calcule : 5 12i
A) 3 2i B) 2 3i
C) 3i D) 2i
E) 1 + i
RESOLUCIÓN
Recordemos:
Z a Z a
a bi i
2 2
5 12 i 25 144 169 13
Luego:
13 5 13 5
5 12i i
2 2
5 12i 3 2i
RPTA.: A
138. Indicar uno de los complejos
resultantes de: 3 4i 3 4i
A) 4 B) 4 C) + 2
D) 2 i E) 2i
RESOLUCIÓN
E 3 4i 3 4i
2
4E 3 4i 3 4i
4E 3 4i 3 4i 2 9 16
4E 6 2 25
4 4E 6 10 E 16
E = 2
RPTA.: C
139. Resolver la ecuación en C/ C
2Ln 3iLn 4 0
A) 4i B) ei C)
4ie
D) 4i ie ;e E) i 4ie ; e
RESOLUCIÓN
(LnZ)² 3i LinZ 4i2 = 0
LnZ 4i
LnZ i
De donde:
LnZ = 4i ó LnZ = i
Z1 = e
4i Z2 = e
i
RPTA.: E
140. Calcule:
4 12i 3 4i
A) 13 B) 14 C) 16
D) 17 E) 20
RESOLUCIÓN
* 3 4i 5
* 12i 5 144 25 13
4 13 17 17
RPTA.: D
SEMANA 8
TEORÍA DE ECUACIONES
141. Calcule “k” para que la ecuación
se reduzca a una de primer grado.
2k 3 3kx 2
2k 3
x 1 x 1
A) -2 B) -3 C)1
D) 2 E) 3
RESOLUCIÓN
22k 3 x 1 3kx 2 x 1 2k 3 x 1
2 22kx 2kx 3x 3kx 3kx 2x 2
=
2 22kx 2k 3x 3
2 2 25kx kx 5x 1 2kx 3x 2k 3
2 23kx 3x k 5 x 2k 2 0
23k 3 x k 5 x 2k 2 0
3k 3 0 k 1
RPTA.: C
142. Calcule el valor de x en:
x n x m
1
n m
A) m B) n
C)
mn
m n
D)
m
n n
E)
n
n m
RESOLUCIÓN
xm mn nx mn mn
x(m n) mn
mn mn
x
m n m n
RPTA.: C
143. Halle
2x en :
; x C
2 x
2x x
x 2
A)
4
3
B)
3
4
C) x C
D) -3 E) -4
RESOLUCIÓN
2 2 2 2 2x 4 4x 2x 5x 2x 4
2 2
4
3x 4 x
3
RPTA.: C
144. Resolver en “x”
a bx a bx abx
a b
a b a b a b
A) -2 B) 1 C) 2
D) 3 E) a + 2b
RESOLUCIÓN
a b
a bx a b a bx a b
a b
a b
abx
a b
ab x = 2 ab
x = 2
RPTA.: C
145. Si 1 2 3x ;x ;x son las raíces de la
ecuación
3 2x n 1 x 2nx n 3 0
Calcule: 1 2 3x 1 x 1 x 1
A) 1 B) 2 C) -3
D) 4 E) -1
RESOLUCIÓN
Por cardano:
* 1 2 3x x x n 1
* 1 2 1 3 2 3x x x x x x 2n
* 1 2 3x x x n 3
lo pedido es : 1 2 31 x x x
1 2 1 3 2 3 1 2 3x x x x x x x x x 3
RPTA.: C
146. Si la ecuación paramétrica en “x”
presenta infinitas soluciones
calcule el valor de a + b.
2ax 1 2x b
A) -2 B) 2 C) 3
D) -2 E) -3
RESOLUCIÓN
2
2 b 1a 2 x b 1 x
a 2
a = 2
2b 1 b 1
a + b = 3 a +b = + 1
RPTA.: C
147. Si a y b son las soluciones de la
ecuación cuadrática
2x 2x 7 0
Calcule
2 2a 5 b 5
a 1 b 1
A) 3 B) 2 C) 4
D) 5 E) 7
RESOLUCIÓN
2 2a 2a 7 0 a 5 2a 2
2
2a 5 2 b 2b 7 0
a 1
2b 5
2
b 1
a² 5 b² 5
4
a 1 b 1
RPTA.: C
148. ¿Qué podemos afirmar acerca de
esta ecuación?
1x x 2 x 3 x 2 2 0
x
A) Tiene 5 soluciones
B) Tiene 4 soluciones
C) la suma de las soluciones es
7
2
D) es incompatible
E) 3 soluciones
RESOLUCIÓN
x 0 x 0 (no)
x 2 0 (no)
x 3 0 x 3
1 1
2 0 x
x 2
1 2
1 7
x x 3
2 2
RPTA.: C
149. Calcule el valor de si la ecuación
de segundo grado
24 x 2 x 1 0; tiene
solución única.
A) 2 B) 4 y -2 C) -4 y 2
D) 2 y 4 E) 2
RESOLUCIÓN
4 0
2 2 8 0
4 2 0 4
2
RPTA.: C
150. Si 3 2 2 es una raíz irracional
de:
3 22x 11x mx n
m,n , calcule el valor: mn
A) 4 B) 8 C) 1
D) 7 E) *
RESOLUCIÓN
Si:
1 2x 3 2 2 x 3 2 2
de la ecuación
1 2 3
11
x x x
2
6
3
1
x
2
además:
1 2 3
n
x x x n 1
2
luego:
1 2 1 3 2 2
m
x x x x x x
2
2
m = 4
41 1
RPTA.: C
151. Encontrar el conjunto de solución
de:
1 1
4x 2 x 4
x 2 x 2
A) 2 B) 1;2 C)
D) 2 E) 4
RESOLUCIÓN
x 2 4x-x=4+2
3x 6
x 2
Pero x 2 x
RPTA.: C
152. Calcule el menor valor de k, si las
raíces de la ecuación
4 2x k 4 x 4k 0 ; están en
progresión aritmética.
A) -4 B) -9 C)
4
9
D) 36 E)
2
3
RESOLUCIÓN
Si: las raíces de:
4 2ax bx c 0
están en P.A.
29b 100ac
2
9 k 4 100 1 4k ; k 0
3k 20 k 12 0
4
k k 36
9
RPTA.: C
153. Indique una solución de la
ecuación.
4 29x 7x 2 0
A) – 9 B) – 2 C) – 1
D) 3 E) -3
RESOLUCIÓN
4 29x 7x 2 0
29x + 2
2x - 1
2 29x 2 x 10
2x 1 x 1
RPTA.: C
154. Si: 1 2 3 4x ;x ;x ;x son raíces de la
ecuación:
4 210x 7x 1 0
Calcule el valor de
4 4 4 4
1 2 3 4x x x x
A)
2
25
B)
1
2
C)
29
50
D)
1
25
E)
1
4
RESOLUCIÓN
Factorizando:
2 25x 1 5x 1 0
5x 1 5x 1 2x 1 2x 1 0
1
1
x
5
2
1
x
5
3
1
x
2
4
1
x
2
4 4 4 41 2 3 4
1 1 1 1
x x x x
25 25 4 4
4 4 4 41 2 3 4
2 1 29
x x x x
25 2 50
RPTA.: C
155. Luego de resolver:
2
2
1
x x 1 2
x x 1
Señale el menor valor de
3
x
2
A)
1
4
B)
1
4
C)
1
8
D) 4 E) 2
RESOLUCIÓN
2 2x x 1 1 x x 2 0
x 2 x 1 0
x 2 x 1
3
1 1
2 8
RPTA.: C
156. Resuelve la ecuación
32x 1 x 4 5 e indique el
valor de
2x
A) 4 B) 3 C) 16
D) 19 E)
1
4
RESOLUCIÓN
Sea:
33 x 4 a x a 4
32 a 4 1 a 5
32a 7 5 a; a 5
al cuadrado miembro a miembro
3 2 a2a 7 25 a 10
3 22a a 10a 32 0
2a 2 a 3a 16 0
aquí a R
a = 2
3 x 4 2 x 4 8
x = 4
nos piden :
2x 16
RPTA.: C
157. Dadas las ecuaciones
3 2 3x mx 18 0; x nx 12 0
que tienen dos raíces comunes
señale el valor de m.
A) -3 B) 3 C) 1
D) 2 E) -2
RESOLUCIÓN
De:
3 2 sx mx 18 C ; ;
3 2 sx nx 12 C ; ;
Por cardano –
...(I)
además:
3k 2k
en (I): - k = m 3m
En la ecuación:
2 -1 10 -32
2 4 6 32
2 3 16 0
m
= - m
= 0
18
12
3
2
3 327m 9m 18 0
318m 18 m 1
RPTA.: C
158. Si: 3 25 es una raíz de la
ecuación:
5 4 3 2x bx cx 34x 0 Calcule
el valor de “b” ; b y c R
A) 2 B) 3 E) 5
D) 4 E) 7
RESOLUCIÓN
2 3 2x x bx cx 34 0
2x 0 ( raíz doble)
3 2x bx cx 34 0
Si 1 2x 3 5i x 3 5i
Por cardano:
1 2 3x x x 34
3 334 x 34 x 1
Además: 1 2 3x x x b
6 + -1 =b b = 5
RPTA.: C
159. Resolver:
2 2 2x 4x 8 x 4x 4 2x 8x 12
A) x = 2 B) x = 1 C) x = -2
D) x = 3 E) x = 0
RESOLUCIÓN
2x 4x 6 n n 2 n 2 2n
al cuadrado m.a.m:
n 2 n 2
2
22 n 4 2n
2n 22 n 4 2n
2n 4 n 2 n 0
(I) n = 2
luego :
2x 4x 6 2
2x 4x 4 0
2
x 2 0 x 2
RPTA.: C
160. Halle “k” para que la diferencia de
raíces sea uno.
22x k 1 x k 1 0
A) - 2 B) -3 C) 11
D) 1 E) 2
RESOLUCIÓN
2
1 2 1 2
b 4ac
x x x x
a
2
k 1 4 2 k 1
1
2
22 k 2k 1 8k 8
24 k 10k 7
2k 10k 11 0
k 11 (k 1) 0
k = 11 k = -1
RPTA.: C
SEMANA 9
SISTEMAS DE ECUACIONES
161. ¿Qué valores de “K” haría que el
sistema
K 3 x 2K 3 y 24
K 3 x K 1 y 8
no acepte solución?
A) 2 B) 1 C) - 1
D) 3 E) 6
RESOLUCIÓN
Como:
1 1 1a x b y c
2 2 2a x b y c
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
solución
K 3 2K 3
K 3 K 1 2K 3 K 3
K 3 K 1
2 2K 2K 3 2K 3K 9
2K 5K 6 0
K - 6
K + 1
K 6 K 1 0
K = 6 K = -1
Además:
K 3 24
K 3 8
K 3
3
K 3
K 3 3K 9
12 2K
6 K
K = -1
RPTA.: C
162. Examine para que valores de a y
b el sistema:
x y z 0
x y 2z 1
2x 4y az b
posee infinitas soluciones, indique
a x b.
A) 0 B) 1 C) -1
D) 2 E) -2
RESOLUCIÓN
Para infinitas soluciones:
g 0
x 0
A + 4 + 2b – (- b + 1) = 0
3b = - 3
b = - 1
a x b = -1
RPTA.: C
163. Señale una raíz de la ecuación:
3 2x 4x 6x 4 0
A) 1 + i B) 1 - i C) 3 + i
D) 3 - i E) A y B
RESOLUCIÓN
Divisores del T.I.: 1,2,4
evaluando para x = 2
Una raíz es x = 2
Las otras raíces se obtienen al
resolver.
2 2 4x 2x 2 0 x
2
RPTA.: E
164. El conjunto solución de la
ecuación:
3 2K 4 x K 3 x 3 0
es 1; ; Calcule el valor de
A) 1 B) 3 C) - 3
D) 2 3 E) 4 3
RESOLUCIÓN
Como una raíz es x = 1
K – 4 + K - 3 - 3 = 0
g
1 1 1
1 -1 1
2 4 a
1 1 1
1 -1 2
0 a 4 4 2 8 a 0
x
1 1 1
1 -1 2
b 4 1
0 1 1
1 -1 2
= 0
X = 2
1 - 4 + 6 - 4
2 - 4 + 4
1 - 2 + 2 0
K = 5
La ecuación es:
3 2x 2x 3 0
Por Ruffini:
3 3 i 3 3
x i; 3
2 2 2
3 3 i 3 3
x i; 3
2 2 2
2 3
RPTA.: B
165. Formar la ecuación de cuarto
grado de coeficientes reales; si
dos de sus raíces son: 1 2i y
1 2i .
A)
4 3 2x 4x 12x 16x 15 0
B)
4 3 2x 4x 12x 16x 15 0
C)
4 3 2x 4x 12x 16x 15 0
D)
4 3 2x 4x 12x 16x 15 0
E)
4 3 2x 4x 12x 16x 15 0
RESOLUCIÓN
1x 1 2i
2x 1 2i S 2 y P 5
2x 2x 5 0
1x 1 2i
2x 1 2i S 2 y
P 3
2x 2x 3 0
Multiplicando:
2
2 2x 2x 8 x 2x 15 0
Ecuación resultante:
2 3 2x 4x 12x 16x 15 0
RPTA.: A
166. Formar la ecuación de cuarto
grado de coeficientes racionales si
una de sus raíces es 3 5i .
A)
4 2x 4x 64 0
B)
4 2x 8x 16 0
C)
4 2x 4x 16 0
D)
4 2x 16x 64 0
E)
4 2x 16x 16 0
RESOLUCIÓN
x 3 5i
Elevando al cuadrado.
2x 3 5 2 15i
2x 2 2 5i
Elevando al cuadrado.
4 2x 4x 4 60
4 2x 4x 64 0
RPTA.: C
167. En el polinomio cúbico
3P(x) x x 1
Se observa que
P a P b P c 0
Calcule el valor numérico de
3 3 3P a b c ab ac bc abc
A) - 17 B) - 11 C) - 21
D) - 28 E) - 29
RESOLUCIÓN
Se cumple que
3x x 1 x a x b x c
3 3 2x x 1 x a b c x
ab ac bc x abc
3 3 3a b c 0 a b c 3abc
ab + ac + bc = + 1
abc = -1 3 abc = - 3
P 3 1 1 P 3 27 3 1
P 3 29
RPTA.: E
X=1
1 2 0 - 3
1 3 3
1 3 3 0
168. Calcule el valor de (a + b) en la
ecuación:
4 3 22x x 3x ax b 0 ; {a;b}
Si se sabe que una de sus raíces
es: 1 + 2 i
A) 31 B) 34 C) 35
D) 38 E) 39
RESOLUCIÒN
x1 = 1 + 2i
x2 = 1 2i x1.x2 = 2; x1.x1 = 5
x² 2x + 5 = 0
Por Horner:
a = 19 ; b = 15
a + b = 34
RPTA.: B
169. Halle el término independiente de
una ecuación de grado mínimo de
coeficientes reales, si se sabe que
su conjunto solución es
i; i; 2i; 2i;.......; ni; ni
A)
nn B) 2n C)
D) E)
RESOLUCIÓN
Obsérvese que:
2x i x i x 1
2x 2i x 2i x 4
.
.
.
2 2x ni x ni x n
2T.I 1 4 ... n
2
T.I 1 2 ... n
RPTA.: E
170. Señale el valor de “a” en la
ecuación:
7 6 22a 7 x 2x 5x a 6 0
si se sabe que la suma de sus
raíces excede al producto de las
mismas en una unidad.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÒN
Suma=
2
2a 7
; Producto=
6 a
2a 7
Ecuación:
2 6 a
1
2a 7 2a 7
; operando
a – 4 = 2 a – 7
3 = a
RPTA.:C
171. No es solución de la ecuación:
10 10
x 1 x 1 48
x x
; es
A) -1 B) 2 C) -5
D) 4 E) A ó D
RESOLUCIÓN
2
10
x z z 1 48
x
z 7
Si:
10
x 7
x
10
x 7
x
2x 7x 10 0 ; 2x 7x 10 0
(x 2) (x 5) = 0 ; (x+2)(x+5) = 0
x = 5 x = - 2
ó ó
x = 2 x = - 5
RPTA.: E
2
T.I n
n
2n
2
n
1
2
- 5
2 1 3
4 - 10
a b
6 - 15
2 5 3 0 0
10 - 25
172. Halle la relación entre los
coeficientes de la ecuación:
4 2ax bx c 0
para que sus raíces reales estén
en progresión aritmética.
A)
24b 49ac
B)
28b 49ac
C)
29b 100ac
D)
216b 100ac
E)
225b 100ac
RESOLUCIÓN
3
(x + 3) (x+)(x)(x3) = 0
2 2 2 2x 9 x 0
Equivalencia resultante
4 2 2 4 4 2
b c
x 10 x 9 x x
a a
2
2 4
12
b b
10 100 ...
a a
2 4 2
b c
10 9 ...
a a
También:
2
2
1 2
100 b
9b 100ac
9 ac
RPTA.: C
173. Resolver: La ecuación
x 5 x 7 x 4 x 6 504
y halle la suma de los cuadrados
de las raíces negativas.
A) 53 B) 57 C) 61
D) 62 E) 64
RESOLUCIÒN
Multiplicando convenientemente
x 5 x 4 x 7 x 6 504
2 2x x 20 x x 42 504
Haciendo
2x x z
z 20 z 42 504
2z 62z 336 0
z 56 z 6 0
Regresando a la variable original.
2 2x x 56 x x 56 0
x 8 x 7 x 3 x 2 0
x 7 ó x = -2
2 2
7 2 53
RPTA.: A
174. Resolver:
x y 3 3 35
x y 5
A) c.s ; 2 3
B) c.s ; 3 2
C) c.s ; ; ; 1 2 2 3
D) c.s ; ; ; 2 3 3 2
E) c.s ; ; ; 3 2 1 2
RESOLUCIÓN
x y 3 3 35; x+ y = 5
x y x xy y 2 2 35 x = 5 – y
x xy y 2 25 35
x xy y 2 2 7
y y y y
2 2
5 5 7
y y 23 15 18 0
y y 2 5 6 0
y x 3 2
y x 2 3 c.s ; ; 2 3 3 2
RPTA.: D
175. Resolver:
y x 2 25 7 17
xy x 25 6 6
e indicar como respuesta la suma
de todos los valores de “y”
A) 7 B) 14 C) 0
D) -7 E) 1
RESOLUCIÓN
y x 2 25 7 17
xy x 25 6 6
y x 2 230 42 102
xy x 285 102 102
y xy x 2 230 85 60 0
y xy x 2 26 17 12 0
3 y - 4 x
y
x
3
4
2y - 3 x
y
x
2
3
Si
y y
x y
2
23 3
5 7 17
4 4
y 4
Si
y y
x y
2
22 2
5 7 17
3 3
y 3
4 3 0
RPTA.: C
176. Resolver:
x y 2 2 180
x y
1 1 1
4
e indicar como respuesta la suma
de todos los valores posibles de
“x”
A) 7 B) 8 C) 28
D) 4 E) -4
RESOLUCIÓN
Haciendo x v y v
v v
2 2
180
v 2 2 90
x y
xy
1
4
v v v v 4
v 2 28
v 2 290
20 2 8 90
20 4 45
v 9 3
v 5 65
;vC.S. ; ; ; ; ; 9 3 9 3 5 65 5 65
C.S. ; ; ; ; 12 6 6 12 5 65 5 65
; 5 65 5 65
x 12 6 5 65 5 65
x 8
RPTA.: B
177. Resolver:
x xy y 2 23 2 3
x xy y 2 25 6 15
Se obtuvo: C.S.= a;b c;d ,
según esto halle (a + b + c + d).
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) -2
RESOLUCIÓN
x xy y 2 23 2 3 x (-5)
x xy y 2 25 15 10 15
x xy y 2 25 6 15
x xy y 2 24 10 4 0
2 22x 5xy 2y 0
x2 y y = - 2x
x 2 y y =
x
2
Si y = - 2x x x x x
22
3 2 2 2 3
x 1
Si x y ; 1 2 1 2
Si x y ; 1 2 1 2
Si
x
y
2
x x
x x
2
2
5 6 15
2 2
x x x ( ) 2 2 22 5 3 15 2
0 30
C.S. ; ; ; ; 1 2 1 2
Luego a + b + c + d = 0
RPTA.: A
178. Halle la suma de las raíces de la
ecuación:
x x x x 2 22 2 2 2 1
A) 1 B) 2 C) 3
D) -4 E) 4
RESOLUCIÓN
Haciendo x x a 2 2
a a
2
2
1 2 2
a a a 2 2 1 4 8
a a 2 6 7 0
x x x x
2
2 2
2 6 2 7 0
x x x x x 4 3 2 24 4 6 12 7 0
x4 4x³ 2x² + 12x 7 = 0
1
0
a 4
S 4
a 1
RPTA.: E
179. Al resolver:
x x
x x
3 3
2 2
3 4
7
3 4
indicar como respuesta la
diferencia de los cuadrados de sus
raíces.
A) 7 B) 6 C) 5
D) 4 E) 3
RESOLUCIÓN
Haciendo:
3 x a +
4 x b
7 = a + b
Luego:
3 3
2 2
a b
a b
a b
3 3 3 2 2 3a b a ab a b b
0 ab b a
b a 0 ab 0
7 0 3 x 4 x 0
x 3 x 4
C.S. 4;3
2 2
4 3 7
RPTA.: A
180. Halle el valor de “x” , sabiendo
que es un número entero positivo
de:
x x x 4 35 3 296
A) 4 B) 11 C) 31
D) 16 E) 17
RESOLUCIÓN
x x
43 3
5 3 296
haciendo x a4 3
a a a a , 25 3 296 0 8 7 4
x
4 3
8 x , 4 3 7 8
x
4
3 3
2
x = 16
RPTA.: D
SEMANA 10
INECUACIONES
181. Resolver:
x 1 x 2 x 2 x 3 0 , e
indicar el menor valor entero.
A) - 2 B) - 1 C) 0
D) 1 E) 2
RESOLUCIÓN
2 2x x 2 x x 6 0
2 2x x 2 x x 6 0
2x 4 0
x 2
x 2;
El menor valor entero será: -1
RPTA.: B
182. Si: x , ¿a que intervalo
pertenece la expresión algebraica:
2
5
x 4
A)
5
,
4
B)
4
5
0,
C) 50, D) 0,4
E)
5
0,
4
RESOLUCIÓN
x
2x 0
2
1 1
0
4x 4
2
5 5
0
4x 4
RPTA.: E
183. Si a>0, b>0, 3a 5b hallar el
mayor numero M que cumpla lo
siguiente:
3a 5b
M
5b 3a
.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
Como 3a 5b
2
3a 5b 0
2 29a 25b 30ab
3a 5b
2
5b 3a
RPTA.: B
184. Si 1< x < 5
Simplificar:
2 2E x 2x 1 x 10x 25
A) 2 B) 4 C) 2 x-6
D) x-3 E) x + 3
RESOLUCIÓN
2 2
E x 1 x 5
E x 1 x 5
Como:
1 x 5
0 x 1 4
y:
1 x 5
4 x 5 0
E x 1 5 x 4
RPTA.: B
185. Halle el menor numero impar que
se debe asignar a “K” en:
2k x 8x 4 0 , con la condición
que sus raíces sean números
complejos:
A) 1 B) 3 C) 5
D) 7 E) 9
RESOLUCIÓN
2k x 8x 4 0
20 b 4ac 0
28 4k x4 0
64 16k 0
4 k 0 k 4
menor impar: k = 5
RPTA.: C
186. Halle el complemento del conjunto
solución de:
1
3
x
A)
3
1
0, B)
1
0,
3
C)
1
0,
3
D)
1
0,
3
E)
1
,
3
RESOLUCIÓN
1
3
x
1
3 0
x
1 3x
0
x
1 3x
0
x
3x 1
0
x
Puntos críticos
Complemento:
1
0;
3
RPTA.: A
187. Si: 02 x , a que intervalo
pertenece la expresión: 2
3
4 x
2
A) 4,0 B) 0,2
C) 0,3 D) 0,4
E)
3
0,
2
RESOLUCIÓN
Si: 2 x 0
20 4 x 4
20 4 x 2
2
3
0 4 x 3
2
RPTA.: C
188. Resolver: 2x 6x 16 0
A)
7
, 2
4
B) x
C) 8,4 4,
D) , 8 4,
E) x
RESOLUCIÓN
01662 xx
07962
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