PRODUCTOS NOTABLES

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 CONCEPTO
Son resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa sin necesidad de aplicar 
la propiedad distributiva; todo ello es posible por la forma en que se presentan los factores. Es importante para 
el alumno reconocer estas formas matemáticas, para lograr ello le proporcionaremos un resumen completo de 
los llamados productos notables. 
 PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES 
1. Binomio suma o diferencia al cuadrado 
 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
 
 
Trinomio cuadrado 
perfecto 
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
 
 
Trinomio cuadrado 
perfecto
Ejemplo: Ejemplo: 
• ( 2 + 1)2 = ( 2 )2 + 2( 2 )(1) + 12 • (2a - 1)2 = (2a)2 - 2(2a)(1) + 12
 = 2 + 2 2 + 1 = 3 + 2 2 = 4a2 - 4a + 1
2. Identidades de Legendre
 (a + b)
2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)
2 - (a - b)2 = 4ab
Ejemplo: Ejemplo: 
• (x + 3m)2 + (x - 3m)2 = 2(x2 + (3m)2) = 2(x2 + 9m2) • (3m + 2n)2 - (3m - 2n)2 = 4(3m)(2n) = 24mn
3. Diferencia de cuadrados
 (a + b)(a - b) = a
2 - b2
Ejemplos: 
• (x2 + 1)(x2 - 1) = (x2)2 - 12 = x4 - 1 • ( 7 + 2)( 7 - 2) = ( 7 )2 - 22 
 = 7 - 4 = 3 
• (5n + 3m)(5n - 3m) = (5n)2 - (3m)2 = 25n2 - 9m2 
4. Identidad de Stevin (producto de binomios con un término común) 
 (x + a)(x + b) = x
2 + (a + b)x + ab 
Ejemplos: 
• (x + 7)(x + 1) = x2 + (7 + 1)x + (7)(1) = x2 + 8x + 7 
• (x - 2)(x + 5) = x2 + (-2 + 5)x + (-2)5 = x2 + 3x - 10 
(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc
Ejemplo:
• (x + 2)(x + 1)(x + 7) = x3 + (2 + 1 + 7)x2 + (2(1) + 2(7) + 1(7))x + 2(1)(7)
 = x3 + 10x2 + 23x + 14
5. Desarrollo de un binomio al cubo
 (a + b)
3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)
3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Ejemplo: Ejemplo:
• (2x + 2)3 = 8x3 + 24x2 + 24x + 8 • (a - 2)3 = a3 - 6a2 + 12a - 8
Corolario: 
 (a + b)
3 + (a - b)3 = 2a(a2 + 3b2) (a + b)
3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b2)
PRODUCTOS NOTABLES 
Observación
(a	-	b)2	=	(b	-	a)2
Atención
Como:	
(a	+	b)2	=	a2	+	2ab	+	b2				...(α)	
(a	-	b)2	=	a2	-	2ab	+	b2				...(β)	
(α)	+	(β):
(a	+	b)2	+	(a	-	b)2	=	2(a2	+	b2)
(α)	-	(β):
(a	+	b)2	-	(a	-	b)2	=	4ab
De	este	modo	se	demostró	la	
veracidad	de	las	identidades	
de	Legendre.	
Atención
Como:	
(a	+	b)3	=	a3	+	3a2b	+	
	 	3ab2	+	b3									...(i)	
(a	-	b)3	=	a3	-	3a2b	+		
	 		3ab2	-	b3								...(ii)	
(i)	+	(ii):	
(a	+	b)3	+	(a	-	b)3	=	2a(a2	+	3b2)
(i)	-	(ii):	
(a	+	b)3	-	(a	-	b)3	=	2b(3a2	+	b2)	
De	este	modo	se	demuestra	el	
corolario	del	desarrollo	de	un	
binomio	al	cubo.
6. Identidades de Cauchy
 (a + b)
3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) (a - b)
3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)
 
Ejemplo: Ejemplo: 
• (2x + m)3 = (2x)3 + m3 + 3(2x)(m)(2x + m) • (a2 - b)3 = (a2)3 - b3 - 3(a2)(b)(a2 - b)
 = 8x3 + m3 + 6xm(2x + m) = a6 - b3 - 3a2b(a2 - b)
7. Producto de un binomio por un trinomio
 Suma de cubos Diferencia de cubos
 (a + b)(a
2 - ab + b2) = a3 + b3 (a - b)(a
2 + ab + b2) = a3 - b3
 
Ejemplo: Ejemplo:
• (x + 2)(x2 - 2x + 4) = x3 + 23 = x3 + 8 • ( 7 - 2)( 7 2 + 7 (2) + 22) = ( 7 )3 - 23 = 7 7 - 8
8. Desarrollo de un trinomio al cuadrado
• Forma desarrollada
 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
• Formas abreviadas
 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
 (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab - bc - ca)
 (a - b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(-ab + ac - bc)
 (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2(ab + ac - bc)
9. Identidad de Argand
 (x2m + xmyn + y2n)(x2m - xmyn + y2n) =
 x4m + x2my2n + y4n
•	 Casos	particulares
 (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) = x4 + x2 + 1
 (x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2) = x4 + x2y2 + y4 
 Efectuar
1.	 (x	-	3)2		=
2.	 (x	+	8)2	=
3.	 (x	+	9)2	=
4.	 (5	-	x)2	=
5.	 (8	-	x)2	=
6.	 (x	+	2)3	=
7.	 (x	+	3)3	=
8.	 (x	+	4)3	=
9.	 (x	-	6)3	=
10.	 (x	+	10)(x	-	10)	=
11.	 (x	+	2)(x	-	2)	=
12.	 (a	+	5)(a	-	5)	=
13.	 ( 3 + 1)2	=
14.	 ( 5 2- )2	=
15.	 ( 27 + )2	=
16.	 ( 113 + )2	=
17.	 ( 2 	-	1)2	=
18.	 (x	+	9)2	-	x2	=
19.	 3 1 3 1+ -^ ^h h	=
20.	 5 13 5 13+ -^ ^h h	=
21.	 (x	+	8)(x	+	2)	=
22.	 (x	+	2)(x	+	3)	=
23.	 (x	+	9)(x	-	6)	=
24.	 (x	+	10)(x	-	2)	=
25.	 (x	+	12)(x	-	8)	=
26.	 (x	+	2	-	y)2	=
27.	 (a	-	2	+	3)2	=
28.	 (x2	+	b	+	1)(x2	-	b	+	1)	=
29.	 (5y	+	2x	-	1)2	=
30.	 (b2	+	b	+	1)(b2	-	b	+	1)	=
31.	 (x2	+	xy	+	y2)(x2	-	xy	+	y2)	=
32.	 (x	+	xy	+	y)2	=
33.	 (x6	+ x3y4	+ y8)	(x6	- x3y4	+	y8)	=	
Recuerda
Que	a	la	identidad	de	la	Cauchy	
también	se	le	denomina:	forma	
semiagrupada	 de	 un	 binomio	
al	cubo.
Problemas resueltos X
1 Si: x + y = 3 2 
 x . y = 2
Calcula: x2 + y2
Resolución:
 (x + y)2 = (3 )2 2 
 x2 + 2xy + y2 = 18
 x2 + 4 + y2 = 18
` x2 + y2 = 14
2 Calcula: a3 + b3
Si: a + b = 4 y a . b = 2
Resolución:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
 
 4 
 43 = a3 + b3 + 3 . 2 . 4
 64 = a3 + b3 + 24
` a3 + b3 = 40
3 Si: x
y
9 3 1
3 1
3 3
3
= + +
= -
Halla: xy
Resolución:
. ( ) ( )y x 3 1 9 3 1
3
3 3 3
3 3 3
= - + +
( ) ( )1-
y . x = 3 - 1
` xy = 2
4 Si: x + y = 2 5
 x . y = 3
Halla: M x y 22 2= + +
Resolución:
 (x + y)2 = (2 )5 2 
x2 + 2x . y + y2 = 20
 
 6
 x2 + 6 + y2 = 20
 & x2 + y2 = 14
4M 14 2` = + =
5 Si: a
b
c
5 2 1
2 4
3 5
3
3
= - +
= -
= -
Calcula: E abc
a b c
6
3 3 3
= + +
Resolución: 
( 1) ( 4) (3 )a b c 5 2 2 53 3+ + = - + + - + -
a + b + c = 0
& a3 + b3 + c3 = 3abc
Reemplazamos:
E abc
abc
6
3
6
3
= =
0,5E 2
1` = =
 
6 Reduce:
M = (x + 5)2 + (x + 3)2 - 2(x + 4)2 + 1
Resolución:
M = (x + 5)2 + (x + 3)2 - 2(x + 4)2 + 1
M = x2 + 10x + 25 + x2 + 6x + 9 - 2(x2 + 8x + 16) + 1
M = 2x2 + 16x + 34 - 2x2 - 16x - 32 + 1
M = 34 - 32 + 1
` M = 3
7 Si: 11x x
1
+ =
Calcula: x
x
12
2+
Resolución:
 (11)x x
1 2 2
+ =d n
2 121x x x x
1 12
2+ + =d n
 2 121x
x
12
2+ + =
119x
x
12
2` + =
8 Si: x3 + y3 = 28
 xy(x + y) = 12
Calcula: x + y
Resolución:
(x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)
(x + y)3 = 28 + 3(12)
(x + y)3 = 64
∴x + y = 4