Álgebra Teoría de Conjuntos - 1ra Parte ]

Vista previa del material en texto

Teoŕıa de Conjuntos
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c©
4 de marzo de 2017
1 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Introdución
Teoŕıa de Cantor
Un conjunto es una colección o agrupación de objetos que
cumplen con cierta propiedad (llamados los elementos de ese
conjunto) y que, por tanto, queda definido por tal propiedad.
Un conjunto es una sola entidad matemática, de modo que
puede a su vez ser elemento de conjunto.
Dos conjuntos que tengan los mismos elementos son iguales.
Aśı, puede decirse que un conjunto está determinado por sus
elementos.
2 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Noción
Noción
Entenderemos por conjunto a una colección o agrupación de
objetos.
Ejemplo:
El conjunto A de todos los números primos positivos menores o
iguales a 15.
3 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Noción
Noción
Entenderemos por conjunto a una colección o agrupación de
objetos.
Ejemplo:
El conjunto A de todos los números primos positivos menores o
iguales a 15.
3 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Determinación
Existen dos formas de determinar un conjunto, por extensión y por
comprensión.
Definición
Determinamos un conjunto por extensión escribiendo todos sus
elementos.
A = {2; 3; 5; 7; 11; 13}
Definición
Determinamos un conjunto por comprensión dando propiedades
que poseen todos los elementos del conjunto y sólo ellos.
A = {x ∈ N : x es primo y menor o igual a 15}
4 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Determinación
Existen dos formas de determinar un conjunto, por extensión y por
comprensión.
Definición
Determinamos un conjunto por extensión escribiendo todos sus
elementos.
A = {2; 3; 5; 7; 11; 13}
Definición
Determinamos un conjunto por comprensión dando propiedades
que poseen todos los elementos del conjunto y sólo ellos.
A = {x ∈ N : x es primo y menor o igual a 15}
4 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Determinación
Existen dos formas de determinar un conjunto, por extensión y por
comprensión.
Definición
Determinamos un conjunto por extensión escribiendo todos sus
elementos.
A = {2; 3; 5; 7; 11; 13}
Definición
Determinamos un conjunto por comprensión dando propiedades
que poseen todos los elementos del conjunto y sólo ellos.
A = {x ∈ N : x es primo y menor o igual a 15}
4 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Relación de pertenencia
Definición
Si un objeto x forma parte de un conjunto A, se dice que x
petenece al conjunto A, y se escribe
x ∈ A
caso contrario escribiremos
x 6∈ A.
Ejemplo:
A = {x/x ∈ N, x es primo, x ≤ 15}
2 ∈ A 3 ∈ A 4 6∈ A 5 ∈ A 6 6∈ A
5 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Relación de pertenencia
Definición
Si un objeto x forma parte de un conjunto A, se dice que x
petenece al conjunto A, y se escribe
x ∈ A
caso contrario escribiremos
x 6∈ A.
Ejemplo:
A = {x/x ∈ N, x es primo, x ≤ 15}
2 ∈ A 3 ∈ A 4 6∈ A 5 ∈ A 6 6∈ A
5 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Representación Geométrica
Representaremos a los conjuntos por regiones del plano limitado
por curvas cerradas y simples en cuyo interior se indican los
elementos de dichos conjuntos.
A
.2
.3
.5.7
.11
.13
6 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Relación de inclusión
Definición
Se dice que un conjunto A esta incluido en B y se denota por
A ⊂ B, si todo elemento de A es también elemento de B.
Ejemplo:
Sean A = {1; 3; 5} y B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}, tenemos
A ⊂ B
7 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
El Conjunto Vaćıo
Definición
El conjunto vaćıo es el conjunto que no tiene elementos y lo
denotaremos por ∅ .
Observación:
El conjunto vaćıo esta incluido en cualquier conjunto.
8 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Igualdad
Definición
Se dice que los conjuntos A, B son iguales, A = B si todo
elemento de A es también elemento de B y viceversa, esto es
A = B ≡ [A ⊂ B ∧ B ⊂ A]
Dado los conjuntos A, B y C se cumple:
∅ ⊂ A.
A ⊂ A.
A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C .
A ⊂ B ∧ B ⊂ A⇔ A = B.
9 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Igualdad
Definición
Se dice que los conjuntos A, B son iguales, A = B si todo
elemento de A es también elemento de B y viceversa, esto es
A = B ≡ [A ⊂ B ∧ B ⊂ A]
Dado los conjuntos A, B y C se cumple:
∅ ⊂ A.
A ⊂ A.
A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C .
A ⊂ B ∧ B ⊂ A⇔ A = B.
9 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Conjuntos Especiales
Conjunto Universal
El conjunto universal denotado generalmente por U, es un con-
junto referencial al cual pertenecen todos los elementos que in-
tervienen en una determinada teoŕıa o problema particular.
Conjunto Unitario
Un conjunto será llamado unitario si solo tiene un elemento.
Ejemplo:
A = {2}.
B = {{2}}.
C = {2; 2}.
OBS: No existe conjunto de todos los objetos.
10 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Conjuntos Especiales
Conjunto Universal
El conjunto universal denotado generalmente por U, es un con-
junto referencial al cual pertenecen todos los elementos que in-
tervienen en una determinada teoŕıa o problema particular.
Conjunto Unitario
Un conjunto será llamado unitario si solo tiene un elemento.
Ejemplo:
A = {2}.
B = {{2}}.
C = {2; 2}.
OBS: No existe conjunto de todos los objetos.
10 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Conjuntos Especiales
Conjunto Universal
El conjunto universal denotado generalmente por U, es un con-
junto referencial al cual pertenecen todos los elementos que in-
tervienen en una determinada teoŕıa o problema particular.
Conjunto Unitario
Un conjunto será llamado unitario si solo tiene un elemento.
Ejemplo:
A = {2}.
B = {{2}}.
C = {2; 2}.
OBS: No existe conjunto de todos los objetos.
10 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Conjuntos Especiales
Conjunto Universal
El conjunto universal denotado generalmente por U, es un con-
junto referencial al cual pertenecen todos los elementos que in-
tervienen en una determinada teoŕıa o problema particular.
Conjunto Unitario
Un conjunto será llamado unitario si solo tiene un elemento.
Ejemplo:
A = {2}.
B = {{2}}.
C = {2; 2}.
OBS: No existe conjunto de todos los objetos.
10 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Complemento de un conjunto
Definición
Sea A un subconjunto del universo U, el complemento de A
denotado por Ac , es definido como
Ac = {x ∈ U / x 6∈ A}
Por lo tanto
x ∈ Ac ≡ x 6∈ A.
11 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Complemento de un conjunto
Definición
Sea A un subconjunto del universo U, el complemento de A
denotado por Ac , es definido como
Ac = {x ∈ U / x 6∈ A}
Por lo tanto
x ∈ Ac ≡ x 6∈ A.
11 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Operaciones
Sea U un conjunto no vaćıo y A,B ⊂ U definimos las siguientes
operaciones:
Unión
A ∪ B =
{
x ∈ U / x ∈ A ∨ x ∈ B
}
Interseción
A ∩ B =
{
x ∈ U / x ∈ A ∧ x ∈ B
}
Observación: Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos si
A ∩ B = ∅.
12 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Operaciones
Sea U un conjunto no vaćıo y A,B ⊂ U definimos las siguientes
operaciones:
Unión
A ∪ B =
{
x ∈ U / x ∈ A ∨ x ∈ B
}
Interseción
A ∩ B =
{
x ∈ U / x ∈ A ∧ x ∈ B
}
Observación: Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos si
A ∩ B = ∅.
12 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Operaciones
Sea U un conjunto no vaćıo y A,B ⊂ U definimos las siguientes
operaciones:
Unión
A ∪ B =
{
x ∈ U / x ∈ A ∨ x ∈ B
}
Interseción
A ∩ B =
{
x ∈ U / x ∈ A ∧ x ∈ B
}
Observación: Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos si
A ∩ B = ∅.
12 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Operaciones
Sea U un conjunto no vaćıo y A,B ⊂ U definimos las siguientes
operaciones:
Unión
A ∪ B =
{
x ∈ U / x ∈ A ∨ x ∈ B
}
Interseción
A ∩ B =
{
x ∈ U / x ∈ A ∧ x ∈ B
}
Observación: Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos si
A ∩ B = ∅.
12 / 22
Teoŕıade Conjuntos
N
Contenido Teórico
Operaciones
Diferencia
A \ B =
{
x ∈ U / x ∈ A ∧ x 6∈ B
}
Diferencia simétrica
A4B =
{
x ∈ U / x ∈ A 4 x ∈ B
}
13 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Operaciones
Diferencia
A \ B =
{
x ∈ U / x ∈ A ∧ x 6∈ B
}
Diferencia simétrica
A4B =
{
x ∈ U / x ∈ A 4 x ∈ B
}
13 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Propiedades de la unión
Sea U un conjunto no vaćıo y A, B, C , D ⊂ U, se cumple:
1 A ∪ ∅ = A y A ∪ A = A.
2 A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B.
3 A ∪ B = B ∪ A.
4 (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ).
5 Si A ⊂ B y C ⊂ D, entonces A ∪ C ⊂ B ∪ D.
6 A ∪ B = A si y solamente si B ⊂ A.
14 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Propiedades de la intersección
Sea U un conjunto no vaćıo y A, B, C , D ⊂ U, se cumple:
1 A ∩ ∅ = ∅ y A ∩ A = A.
2 A ∩ B ⊂ A y A ∩ B ⊂ B.
3 A ∩ B = B ∩ A.
4 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ).
5 A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
6 A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
15 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Propiedades de la diferencia
Sea U un conjunto no vaćıo y A,B ⊂ U se cumple:
1 A \ ∅ = A
2 A \ A = ∅.
3 Si A ∩ B = ∅ entonces A \ B = A.
4 Uc = ∅
5 ∅c = U
16 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Propiedades de la diferencia simétrica
Sea U un conjunto no vaćıo y A,B ⊂ U se cumple:
1 A4(B4C ) = (A4B)4C
2 A4B = B4A
3 A4∅ = A
4 A4A = ∅
5 A ∩ (B4C ) = (A ∩ B)4(A ∩ C )
6 Si A4X = B4X , entonces A = B
7 Ac4Bc = A4B
17 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Ejercicio 1
Sean A y B subconjuntos de conjunto universal U, simpliqfique
[A \ (Ac ∪ Bc)]c ∪ (A ∩ B)
Solución: Tenemos
[A \ (Ac ∪ Bc)]c ∪ (A ∩ B)
= [A ∩ (Ac ∪ Bc)c ]c ∪ (A ∩ B)
= [A ∩ (A ∩ B)]c ∪ (A ∩ B)
= [A ∩ B]c ∪ (A ∩ B)
= U
18 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Ejercicio 1
Sean A y B subconjuntos de conjunto universal U, simpliqfique
[A \ (Ac ∪ Bc)]c ∪ (A ∩ B)
Solución: Tenemos
[A \ (Ac ∪ Bc)]c ∪ (A ∩ B)
= [A ∩ (Ac ∪ Bc)c ]c ∪ (A ∩ B)
= [A ∩ (A ∩ B)]c ∪ (A ∩ B)
= [A ∩ B]c ∪ (A ∩ B)
= U
18 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Seminario
Problema 33
Si
A = {{1, 1}, {2}, 3, ∅, {∅, 3}, {∅}}
determine cuántas de las siguientes afirmaciones son correctas.
{3, ∅} ∈ A
{∅}�⊂A
{{2}} ⊂ A
{1} ∈ A
{∅, 3} ⊂ A
∅ ⊂ A
19 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Seminario
Problema 35
Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
Si A \ B = A \ C , entonces B = C .
Si A ∩ B = ∅ y B ⊃ C , entonces A ∩ C = ∅.
Si A4Bc = ∅, entonces B ∪ A = U.
20 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Seminario
Problema 36
Si A ⊂ B, simplifique
{[(A ∪ B) ∩ (B ∪ C )] ∪ Bc} ∩ A
21 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
Contenido Teórico
Problemas
Problema 37
Se defina la operación ∗ entre dos conjuntos A y B mediante
A ∗ B = (A ∪ B) \ Ac
Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones
A ∗ B = B ∗ A
Ac ∗ Bc = Bc ∗ (A ∗ B)
(A ∗ B) ∗ D = A ∗ (B ∗ D)
22 / 22
Teoŕıa de Conjuntos
N
	Contenido Teórico