Álgebra Valor Absoluto

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VALOR ABSOLUTO
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c©
21 de septiembre de 2017
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VALOR ABSOLUTO
N
VALOR ABSOLUTO
Valor Absoluto
Definición
El valor absoluto de un número real a, denotado por |a|, se define
aśı
|a| =
{
a si a ≥ 0
−a si a < 0
Ejemplo
| − 5| = 5, |
√
2| =
√
2, |0| = 0.
∀x ∈ [0, 1], |x− 2| = 2− x.
|x− 3| =
{
x− 3 , x ≥ 3
−x + 3 , x < 3
∀x ∈ R, |x2 + 3x + 3| = x2 + 3x + 3.
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N
VALOR ABSOLUTO
Valor Absoluto
Definición
El valor absoluto de un número real a, denotado por |a|, se define
aśı
|a| =
{
a si a ≥ 0
−a si a < 0
Ejemplo
| − 5| = 5, |
√
2| =
√
2, |0| = 0.
∀x ∈ [0, 1], |x− 2| = 2− x.
|x− 3| =
{
x− 3 , x ≥ 3
−x + 3 , x < 3
∀x ∈ R, |x2 + 3x + 3| = x2 + 3x + 3.
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VALOR ABSOLUTO
Valor Absoluto
Definición
El valor absoluto de un número real a, denotado por |a|, se define
aśı
|a| =
{
a si a ≥ 0
−a si a < 0
Ejemplo
| − 5| = 5, |
√
2| =
√
2, |0| = 0.
∀x ∈ [0, 1], |x− 2| = 2− x.
|x− 3| =
{
x− 3 , x ≥ 3
−x + 3 , x < 3
∀x ∈ R, |x2 + 3x + 3| = x2 + 3x + 3.
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VALOR ABSOLUTO
Valor Absoluto
Definición
El valor absoluto de un número real a, denotado por |a|, se define
aśı
|a| =
{
a si a ≥ 0
−a si a < 0
Ejemplo
| − 5| = 5, |
√
2| =
√
2, |0| = 0.
∀x ∈ [0, 1], |x− 2| = 2− x.
|x− 3| =
{
x− 3 , x ≥ 3
−x + 3 , x < 3
∀x ∈ R, |x2 + 3x + 3| = x2 + 3x + 3.
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VALOR ABSOLUTO
Valor Absoluto
Definición
El valor absoluto de un número real a, denotado por |a|, se define
aśı
|a| =
{
a si a ≥ 0
−a si a < 0
Ejemplo
| − 5| = 5, |
√
2| =
√
2, |0| = 0.
∀x ∈ [0, 1], |x− 2| = 2− x.
|x− 3| =
{
x− 3 , x ≥ 3
−x + 3 , x < 3
∀x ∈ R, |x2 + 3x + 3| = x2 + 3x + 3.
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N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Teorema
∀a ∈ R, |a| ≥ 0.
∀a ∈ R, |a|2 = a2.
∀a, b ∈ R, |ab| = |a||b|.
∀a ∈ R, | − a| = |a|.
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
∀a, b ∈ R,
∣∣∣a
b
∣∣∣ = |a||b| , siempre que b 6= 0.
A manera de ejemplos demostraremos algunos puntos de este
teorema.
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VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Teorema
∀a ∈ R, |a| ≥ 0.
∀a ∈ R, |a|2 = a2.
∀a, b ∈ R, |ab| = |a||b|.
∀a ∈ R, | − a| = |a|.
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
∀a, b ∈ R,
∣∣∣a
b
∣∣∣ = |a||b| , siempre que b 6= 0.
A manera de ejemplos demostraremos algunos puntos de este
teorema.
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N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Teorema
∀a ∈ R, |a| ≥ 0.
∀a ∈ R, |a|2 = a2.
∀a, b ∈ R, |ab| = |a||b|.
∀a ∈ R, | − a| = |a|.
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
∀a, b ∈ R,
∣∣∣a
b
∣∣∣ = |a||b| , siempre que b 6= 0.
A manera de ejemplos demostraremos algunos puntos de este
teorema.
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Valor Absoluto
Teorema
∀a ∈ R, |a| ≥ 0.
∀a ∈ R, |a|2 = a2.
∀a, b ∈ R, |ab| = |a||b|.
∀a ∈ R, | − a| = |a|.
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
∀a, b ∈ R,
∣∣∣a
b
∣∣∣ = |a||b| , siempre que b 6= 0.
A manera de ejemplos demostraremos algunos puntos de este
teorema.
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Valor Absoluto
Teorema
∀a ∈ R, |a| ≥ 0.
∀a ∈ R, |a|2 = a2.
∀a, b ∈ R, |ab| = |a||b|.
∀a ∈ R, | − a| = |a|.
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
∀a, b ∈ R,
∣∣∣a
b
∣∣∣ = |a||b| , siempre que b 6= 0.
A manera de ejemplos demostraremos algunos puntos de este
teorema.
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Valor Absoluto
Teorema
∀a ∈ R, |a| ≥ 0.
∀a ∈ R, |a|2 = a2.
∀a, b ∈ R, |ab| = |a||b|.
∀a ∈ R, | − a| = |a|.
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
∀a, b ∈ R,
∣∣∣a
b
∣∣∣ = |a||b| , siempre que b 6= 0.
A manera de ejemplos demostraremos algunos puntos de este
teorema.
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Valor Absoluto
Teorema
∀a ∈ R, |a| ≥ 0.
∀a ∈ R, |a|2 = a2.
∀a, b ∈ R, |ab| = |a||b|.
∀a ∈ R, | − a| = |a|.
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
∀a, b ∈ R,
∣∣∣a
b
∣∣∣ = |a||b| , siempre que b 6= 0.
A manera de ejemplos demostraremos algunos puntos de este
teorema.
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Valor Absoluto
Teorema
∀a ∈ R, |a| ≥ 0.
∀a ∈ R, |a|2 = a2.
∀a, b ∈ R, |ab| = |a||b|.
∀a ∈ R, | − a| = |a|.
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
∀a, b ∈ R,
∣∣∣a
b
∣∣∣ = |a||b| , siempre que b 6= 0.
A manera de ejemplos demostraremos algunos puntos de este
teorema.
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N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a ∈ R, |a|2 = a2.
Demostración: Como consecuencia de la definición de valor
absoluto tenemos que siempre se cumple que
∀a ∈ R, (|a| − a)(|a|+ a) = 0
|a|2 − a2 = 0
|a|2 = a2.
Lo que demuestra el ejemplo.
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Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a ∈ R, |a|2 = a2.
Demostración: Como consecuencia de la definición de valor
absoluto tenemos que siempre se cumple que
∀a ∈ R, (|a| − a)(|a|+ a) = 0
|a|2 − a2 = 0
|a|2 = a2.
Lo que demuestra el ejemplo.
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Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a ∈ R, |a|2 = a2.
Demostración: Como consecuencia de la definición de valor
absoluto tenemos que siempre se cumple que
∀a ∈ R, (|a| − a)(|a|+ a) = 0
|a|2 − a2 = 0
|a|2 = a2.
Lo que demuestra el ejemplo.
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Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a ∈ R, |a|2 = a2.
Demostración: Como consecuencia de la definición de valor
absoluto tenemos que siempre se cumple que
∀a ∈ R, (|a| − a)(|a|+ a) = 0
|a|2 − a2 = 0
|a|2 = a2.
Lo que demuestra el ejemplo.
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Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a ∈ R, |a|2 = a2.
Demostración: Como consecuencia de la definición de valor
absoluto tenemos que siempre se cumple que
∀a ∈ R, (|a| − a)(|a|+ a) = 0
|a|2 − a2 = 0
|a|2 = a2.
Lo que demuestra el ejemplo.
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Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a ∈ R, |a|2 = a2.
Demostración: Como consecuencia de la definición de valor
absoluto tenemos que siempre se cumple que
∀a ∈ R, (|a| − a)(|a|+ a) = 0
|a|2 − a2 = 0
|a|2 = a2.
Lo que demuestra el ejemplo.
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Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, |ab| = |a||b|.
Demostración:
Si ab ≥ 0, entonces a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 o bien a < 0 ∧ b < 0.
Para a ≥ 0 ∧ b ≥ 0, |a||b| = ab = |ab|
Para a < 0 ∧ b < 0, |a||b| = (−a)(−b) = ab = |ab|.
Si ab < 0 , entonces a < 0 ∧ b > 0 o bien a > 0 ∧ b < 0.
Para a < 0 ∧ b > 0, |a||b| = (−a)(b) = −ab = |ab|
Para a > 0 ∧ b < 0, |a||b| = (a)(−b) = −ab = |ab|.
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Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, |ab| = |a||b|.
Demostración:
Si ab ≥ 0, entonces a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 o bien a < 0 ∧ b < 0.
Para a ≥ 0 ∧ b ≥ 0, |a||b| = ab = |ab|
Para a < 0 ∧ b < 0, |a||b| = (−a)(−b) = ab = |ab|.
Si ab < 0 , entonces a < 0 ∧ b > 0 o bien a > 0 ∧ b < 0.
Para a < 0 ∧ b > 0, |a||b| = (−a)(b) = −ab = |ab|
Para a > 0 ∧ b < 0, |a||b| = (a)(−b) = −ab = |ab|.
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Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, |ab| = |a||b|.
Demostración:
Si ab ≥ 0, entonces a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 o bien a < 0 ∧ b < 0.
Para a ≥ 0 ∧ b ≥ 0, |a||b| = ab = |ab|
Para a < 0 ∧ b < 0, |a||b| = (−a)(−b) = ab = |ab|.
Si ab < 0 , entonces a < 0 ∧ b > 0 o bien a > 0 ∧ b < 0.
Para a < 0 ∧ b > 0, |a||b| = (−a)(b) = −ab = |ab|
Para a > 0 ∧ b < 0, |a||b| = (a)(−b) = −ab = |ab|.
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Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, |ab| = |a||b|.
Demostración:
Si ab ≥ 0, entonces a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 o bien a < 0 ∧ b < 0.
Para a ≥ 0 ∧ b ≥ 0, |a||b| = ab = |ab|
Para a < 0 ∧ b < 0, |a||b| = (−a)(−b) = ab = |ab|.
Si ab < 0 , entonces a < 0 ∧ b > 0 o bien a > 0 ∧ b < 0.
Para a < 0 ∧ b > 0, |a||b| = (−a)(b) = −ab = |ab|
Para a > 0 ∧ b < 0, |a||b| = (a)(−b) = −ab = |ab|.
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Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, |ab| = |a||b|.
Demostración:
Si ab ≥ 0, entonces a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 o bien a < 0 ∧ b < 0.
Para a ≥ 0 ∧ b ≥ 0, |a||b| = ab = |ab|
Para a < 0 ∧ b < 0, |a||b| = (−a)(−b) = ab = |ab|.
Si ab < 0 , entonces a < 0 ∧ b > 0 o bien a > 0 ∧ b < 0.
Para a < 0 ∧ b > 0, |a||b| = (−a)(b) = −ab = |ab|
Para a > 0 ∧ b < 0, |a||b| = (a)(−b) = −ab = |ab|.
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Valor AbsolutoEjemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, |ab| = |a||b|.
Demostración:
Si ab ≥ 0, entonces a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 o bien a < 0 ∧ b < 0.
Para a ≥ 0 ∧ b ≥ 0, |a||b| = ab = |ab|
Para a < 0 ∧ b < 0, |a||b| = (−a)(−b) = ab = |ab|.
Si ab < 0 , entonces a < 0 ∧ b > 0 o bien a > 0 ∧ b < 0.
Para a < 0 ∧ b > 0, |a||b| = (−a)(b) = −ab = |ab|
Para a > 0 ∧ b < 0, |a||b| = (a)(−b) = −ab = |ab|.
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Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demostración: Sea b ∈ R tal que
√
a2 = b (∴ b ≥ 0).
Como b2 = a2, equivalentemente b = a o b = −a
b =
{
a , a ≥ 0
−a , a < 0
Por lo tanto √
a2 = |a|.
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Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demostración: Sea b ∈ R tal que
√
a2 = b (∴ b ≥ 0).
Como b2 = a2, equivalentemente b = a o b = −a
b =
{
a , a ≥ 0
−a , a < 0
Por lo tanto √
a2 = |a|.
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Teorema
Valor Absoluto
∀a, b ∈ R :
máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
, mı́n{a, b} = a + b− |a− b|
2
∀a ∈ R, |a| = máx{−a, a}.
∀a ∈ R,−|a| ≤ a ≤ |a|.
∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|.
|a + b| = |a|+ |b| si y solo si ab ≥ 0.
∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a− b|.
A manera de ejemplos demostraremos algunos puntos de este
teorema
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Teorema
Valor Absoluto
∀a, b ∈ R :
máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
, mı́n{a, b} = a + b− |a− b|
2
∀a ∈ R, |a| = máx{−a, a}.
∀a ∈ R,−|a| ≤ a ≤ |a|.
∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|.
|a + b| = |a|+ |b| si y solo si ab ≥ 0.
∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a− b|.
A manera de ejemplos demostraremos algunos puntos de este
teorema
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Teorema
Valor Absoluto
∀a, b ∈ R :
máx{a, b} = a + b + |a− b|
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, mı́n{a, b} = a + b− |a− b|
2
∀a ∈ R, |a| = máx{−a, a}.
∀a ∈ R,−|a| ≤ a ≤ |a|.
∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|.
|a + b| = |a|+ |b| si y solo si ab ≥ 0.
∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a− b|.
A manera de ejemplos demostraremos algunos puntos de este
teorema
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Teorema
Valor Absoluto
∀a, b ∈ R :
máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
, mı́n{a, b} = a + b− |a− b|
2
∀a ∈ R, |a| = máx{−a, a}.
∀a ∈ R,−|a| ≤ a ≤ |a|.
∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|.
|a + b| = |a|+ |b| si y solo si ab ≥ 0.
∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a− b|.
A manera de ejemplos demostraremos algunos puntos de este
teorema
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Teorema
Valor Absoluto
∀a, b ∈ R :
máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
, mı́n{a, b} = a + b− |a− b|
2
∀a ∈ R, |a| = máx{−a, a}.
∀a ∈ R,−|a| ≤ a ≤ |a|.
∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|.
|a + b| = |a|+ |b| si y solo si ab ≥ 0.
∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a− b|.
A manera de ejemplos demostraremos algunos puntos de este
teorema
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Teorema
Valor Absoluto
∀a, b ∈ R :
máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
, mı́n{a, b} = a + b− |a− b|
2
∀a ∈ R, |a| = máx{−a, a}.
∀a ∈ R,−|a| ≤ a ≤ |a|.
∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|.
|a + b| = |a|+ |b| si y solo si ab ≥ 0.
∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a− b|.
A manera de ejemplos demostraremos algunos puntos de este
teorema
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Teorema
Valor Absoluto
∀a, b ∈ R :
máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
, mı́n{a, b} = a + b− |a− b|
2
∀a ∈ R, |a| = máx{−a, a}.
∀a ∈ R,−|a| ≤ a ≤ |a|.
∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|.
|a + b| = |a|+ |b| si y solo si ab ≥ 0.
∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a− b|.
A manera de ejemplos demostraremos algunos puntos de este
teorema
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N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos: , a = b o a < b o a > b. Cuando a = b la igualdad es
inmediata, veamos los otros dos casos:
i) Si a < b, es decir a− b < 0, entonces
máx{a, b} = b = 2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b, es decir 0 < a− b, entonces
máx{a, b} = a = 2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
2
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VALOR ABSOLUTO
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TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos:
, a = b o a < b o a > b. Cuando a = b la igualdad es
inmediata, veamos los otros dos casos:
i) Si a < b, es decir a− b < 0, entonces
máx{a, b} = b = 2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b, es decir 0 < a− b, entonces
máx{a, b} = a = 2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
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VALOR ABSOLUTO
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TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos: , a = b o a < b o a > b
. Cuando a = b la igualdad es
inmediata, veamos los otros dos casos:
i) Si a < b, es decir a− b < 0, entonces
máx{a, b} = b = 2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b, es decir 0 < a− b, entonces
máx{a, b} = a = 2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
2
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VALOR ABSOLUTO
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TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos: , a = b o a < b o a > b. Cuando a = b la igualdad es
inmediata,
veamos los otros dos casos:
i) Si a < b, es decir a− b < 0, entonces
máx{a, b} = b = 2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b, es decir 0 < a− b, entonces
máx{a, b} = a = 2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
2
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VALOR ABSOLUTO
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TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos: , a = b o a < b o a > b. Cuando a = b la igualdad es
inmediata, veamos los otros dos casos:
i) Si a < b
, es decir a− b < 0, entonces
máx{a, b} = b = 2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b, es decir 0 < a− b, entonces
máx{a, b} = a = 2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
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VALOR ABSOLUTO
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TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos: , a = b o a < b o a > b. Cuando a = b la igualdad es
inmediata, veamos los otros dos casos:
i) Si a < b, es decir a− b < 0
, entonces
máx{a, b} = b = 2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b, es decir 0 < a− b, entonces
máx{a, b} = a = 2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
2
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VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos: , a = b o a < b o a > b. Cuando a = b la igualdad es
inmediata, veamos los otros dos casos:
i) Si a < b, es decir a− b < 0, entonces
máx{a, b}
= b =
2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b, es decir 0 < a− b, entonces
máx{a, b} = a = 2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
2
8 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos: , a = b o a < b o a > b. Cuando a = b la igualdad es
inmediata, veamos los otros dos casos:
i) Si a < b, es decir a− b < 0, entonces
máx{a, b} = b
=
2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b, es decir 0 < a− b, entonces
máx{a, b} = a = 2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
2
8 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos: , a = b o a < b o a > b. Cuando a = b la igualdad es
inmediata, veamos los otros dos casos:
i) Si a < b, es decir a− b < 0, entonces
máx{a, b} = b = 2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b, es decir 0 < a− b, entonces
máx{a, b} = a = 2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
2
8 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b}= a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos: , a = b o a < b o a > b. Cuando a = b la igualdad es
inmediata, veamos los otros dos casos:
i) Si a < b, es decir a− b < 0, entonces
máx{a, b} = b = 2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b, es decir 0 < a− b, entonces
máx{a, b} = a = 2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
2
8 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos: , a = b o a < b o a > b. Cuando a = b la igualdad es
inmediata, veamos los otros dos casos:
i) Si a < b, es decir a− b < 0, entonces
máx{a, b} = b = 2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b, es decir 0 < a− b, entonces
máx{a, b} = a = 2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
2
8 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos: , a = b o a < b o a > b. Cuando a = b la igualdad es
inmediata, veamos los otros dos casos:
i) Si a < b, es decir a− b < 0, entonces
máx{a, b} = b = 2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b
, es decir 0 < a− b, entonces
máx{a, b} = a = 2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
2
8 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos: , a = b o a < b o a > b. Cuando a = b la igualdad es
inmediata, veamos los otros dos casos:
i) Si a < b, es decir a− b < 0, entonces
máx{a, b} = b = 2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b, es decir 0 < a− b
, entonces
máx{a, b} = a = 2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
2
8 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos: , a = b o a < b o a > b. Cuando a = b la igualdad es
inmediata, veamos los otros dos casos:
i) Si a < b, es decir a− b < 0, entonces
máx{a, b} = b = 2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b, es decir 0 < a− b, entonces
máx{a, b}
= a =
2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
2
8 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos: , a = b o a < b o a > b. Cuando a = b la igualdad es
inmediata, veamos los otros dos casos:
i) Si a < b, es decir a− b < 0, entonces
máx{a, b} = b = 2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b, es decir 0 < a− b, entonces
máx{a, b} = a
=
2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
2
8 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos: , a = b o a < b o a > b. Cuando a = b la igualdad es
inmediata, veamos los otros dos casos:
i) Si a < b, es decir a− b < 0, entonces
máx{a, b} = b = 2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b, es decir 0 < a− b, entonces
máx{a, b} = a = 2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
2
8 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos: , a = b o a < b o a > b. Cuando a = b la igualdad es
inmediata, veamos los otros dos casos:
i) Si a < b, es decir a− b < 0, entonces
máx{a, b} = b = 2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b, es decir 0 < a− b, entonces
máx{a, b} = a = 2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
2
8 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R , máx{a, b} = a + b + |a− b|
2
.
Demostración: Sean a, b ∈ R, por tricotoḿıa, tenemos tres únicos
casos: , a = b o a < b o a > b. Cuando a = b la igualdad es
inmediata, veamos los otros dos casos:
i) Si a < b, es decir a− b < 0, entonces
máx{a, b} = b = 2b
2
=
b + a− (a− b)
2
=
b + a + |a− b|
2
ii) Si a > b, es decir 0 < a− b, entonces
máx{a, b} = a = 2a
a
=
a + b + a− b
2
=
a + b + |a− b|
2
8 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Demostración: Tenemos que ∀a, b ∈ R, ab ≤ |ab|, entonces
2ab ≤ 2|ab|
a2 + 2ab + b2 ≤ a2 + 2|ab|+ b2
a2 + 2ab + b2 ≤ |a|2 + 2|a||b|+ |b|2
(a + b)2 ≤ (|a|+ |b|)2
y aplicando la ráız cuadrada,
∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|
9 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Demostración: Tenemos que ∀a, b ∈ R, ab ≤ |ab|
, entonces
2ab ≤ 2|ab|
a2 + 2ab + b2 ≤ a2 + 2|ab|+ b2
a2 + 2ab + b2 ≤ |a|2 + 2|a||b|+ |b|2
(a + b)2 ≤ (|a|+ |b|)2
y aplicando la ráız cuadrada,
∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|
9 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Demostración: Tenemos que ∀a, b ∈ R, ab ≤ |ab|, entonces
2ab ≤ 2|ab|
a2 + 2ab + b2 ≤ a2 + 2|ab|+ b2
a2 + 2ab + b2 ≤ |a|2 + 2|a||b|+ |b|2
(a + b)2 ≤ (|a|+ |b|)2
y aplicando la ráız cuadrada,
∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|
9 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Demostración: Tenemos que ∀a, b ∈ R, ab ≤ |ab|, entonces
2ab ≤ 2|ab|
a2 + 2ab + b2 ≤ a2 + 2|ab|+ b2
a2 + 2ab + b2 ≤ |a|2 + 2|a||b|+ |b|2
(a + b)2 ≤ (|a|+ |b|)2
y aplicando la ráız cuadrada,
∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|
9 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Demostración: Tenemos que ∀a, b ∈ R, ab ≤ |ab|, entonces
2ab ≤ 2|ab|
a2 + 2ab + b2 ≤ a2 + 2|ab|+ b2
a2 + 2ab + b2 ≤ |a|2 + 2|a||b|+ |b|2
(a + b)2 ≤ (|a|+ |b|)2
y aplicando la ráız cuadrada,
∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|
9 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Demostración: Tenemos que ∀a, b ∈ R, ab ≤ |ab|, entonces
2ab ≤ 2|ab|
a2 + 2ab + b2 ≤ a2 + 2|ab|+ b2
a2 + 2ab + b2 ≤ |a|2 + 2|a||b|+ |b|2
(a + b)2 ≤ (|a|+ |b|)2
y aplicando la ráız cuadrada,
∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|
9 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Demostración: Tenemos que ∀a, b ∈ R, ab ≤ |ab|, entonces
2ab ≤ 2|ab|
a2 + 2ab + b2 ≤ a2 + 2|ab|+ b2
a2 + 2ab + b2 ≤ |a|2 + 2|a||b|+ |b|2
(a + b)2 ≤ (|a|+ |b|)2
y aplicando la ráız cuadrada,
∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|
9 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Demostración: Tenemos que ∀a, b ∈ R, ab ≤ |ab|, entonces
2ab ≤ 2|ab|
a2 + 2ab + b2 ≤ a2 + 2|ab|+ b2
a2 + 2ab + b2 ≤ |a|2 + 2|a||b|+ |b|2
(a + b)2 ≤ (|a|+ |b|)2
y aplicando la ráız cuadrada,
∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|
9 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a− b|.
Demostración: Tenemos que ∀a, b ∈ R, ab ≤ |ab|, entonces
∀a, b ∈ R, −2|ab| ≤ −2ab
a2 − 2|ab|+ b2 ≤ a2 − 2ab + b2
|a|2 − 2|a||b|+ |b|2 ≤ (a + b)2
(|a| − |b|)2 ≤ (a + b)2
y aplicando la ráız cuadrada
∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a + b|.
10 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a− b|.
Demostración: Tenemos que ∀a, b ∈ R, ab ≤ |ab|
, entonces
∀a, b ∈ R, −2|ab| ≤ −2ab
a2 − 2|ab|+ b2 ≤ a2 − 2ab + b2
|a|2 − 2|a||b|+ |b|2 ≤ (a + b)2
(|a| − |b|)2 ≤ (a + b)2
y aplicando la ráız cuadrada
∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a + b|.
10 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a− b|.
Demostración: Tenemos que ∀a, b ∈ R, ab ≤ |ab|, entonces
∀a, b ∈ R, −2|ab| ≤ −2ab
a2 − 2|ab|+ b2 ≤ a2 − 2ab +b2
|a|2 − 2|a||b|+ |b|2 ≤ (a + b)2
(|a| − |b|)2 ≤ (a + b)2
y aplicando la ráız cuadrada
∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a + b|.
10 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a− b|.
Demostración: Tenemos que ∀a, b ∈ R, ab ≤ |ab|, entonces
∀a, b ∈ R, −2|ab| ≤ −2ab
a2 − 2|ab|+ b2 ≤ a2 − 2ab + b2
|a|2 − 2|a||b|+ |b|2 ≤ (a + b)2
(|a| − |b|)2 ≤ (a + b)2
y aplicando la ráız cuadrada
∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a + b|.
10 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a− b|.
Demostración: Tenemos que ∀a, b ∈ R, ab ≤ |ab|, entonces
∀a, b ∈ R, −2|ab| ≤ −2ab
a2 − 2|ab|+ b2 ≤ a2 − 2ab + b2
|a|2 − 2|a||b|+ |b|2 ≤ (a + b)2
(|a| − |b|)2 ≤ (a + b)2
y aplicando la ráız cuadrada
∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a + b|.
10 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a− b|.
Demostración: Tenemos que ∀a, b ∈ R, ab ≤ |ab|, entonces
∀a, b ∈ R, −2|ab| ≤ −2ab
a2 − 2|ab|+ b2 ≤ a2 − 2ab + b2
|a|2 − 2|a||b|+ |b|2 ≤ (a + b)2
(|a| − |b|)2 ≤ (a + b)2
y aplicando la ráız cuadrada
∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a + b|.
10 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Ejemplo
Demostrar que ∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a− b|.
Demostración: Tenemos que ∀a, b ∈ R, ab ≤ |ab|, entonces
∀a, b ∈ R, −2|ab| ≤ −2ab
a2 − 2|ab|+ b2 ≤ a2 − 2ab + b2
|a|2 − 2|a||b|+ |b|2 ≤ (a + b)2
(|a| − |b|)2 ≤ (a + b)2
y aplicando la ráız cuadrada
∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≤ |a + b|.
10 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Problema 122
Determine el menor valor de:
T =
−|4x|+ |x2 + 2|+ | − 10|
3
; x ∈ R
A)
3
4
B)
5
4
C)
8
3
D)
5
4
E)
7
4
11 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Problema 125
Indicar una solución entera del conjunto solución de la siguiente
ecuación ∣∣|x2 − 5x + 15| − x2 + 8∣∣ = |3x + 9|
A)
71
4
B)
69
5
C)
47
3
D) 16 E) 7
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VALOR ABSOLUTO
N
TEOREMAS
Valor Absoluto
Problema 124
Si a > b > 0, determine el conjunto solución de:
|x− a|+ b = |x + a| − b
A) {a} B) {b} C) {a + b} D) {a− b} E) {a−8b}
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VALOR ABSOLUTO
N
ECUACIONES
Ecuaciones con valor absoluto
A continuación presentamos teoremas que nos ayudará al resolver
una ecuación con valor absoluto.
Teorema
Sean a, b ∈ R
1) |a| = |b| ⇐⇒ a = b ∨ a = −b
2) |a| = 0⇐⇒ a = 0
3) |a| = b⇐⇒ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b)
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VALOR ABSOLUTO
N
ECUACIONES
Ecuaciones
Problema 124
Sea
A = {x ∈ Z+0 | 2|x− 3| − |6− 2x| = | − x|}
Determine n(A)
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
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VALOR ABSOLUTO
N
ECUACIONES
Ecuaciones
Problema 123
Sea A = {x ∈ R | |x2 − 1|+ |x2 + x− 1| − |x| = 0}.
Si A = [a, b] ∪ [c, d] donde a < b < c < d.
Determine el valor de E = ac + bd
A) −6 B) −2 C) 0 D) 2 E) 6
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VALOR ABSOLUTO
N
INECUACIONES
Inecuaciones con valor absoluto
A continuación presentamos un teorema que nos ayudarán a
resolver ecuaciones con valor absoluto.
Teorema
Sean a, b ∈ R
1) |a| ≤ |b| ⇐⇒ (a− b)(a + b) ≤ 0
2) |a| ≤ b⇐⇒ b ≥ 0 ∧ −b ≤ a ≤ b
3) |a| ≥ b⇐⇒ a ≥ b ∨ a ≤ −b
17 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
INECUACIONES
Ejemplo
Resolver
|2x− 3| ≤ 3x− 8 .
Solución:
|2x− 3| ≤ 3x− 8⇔ 3x− 8 ≥ 0 ∧ −3x + 8 ≤ 2x− 3 ≤ 3x− 8
⇔ x ≥ 8
3
∧ −3x + 8 ≤ 2x− 3 ∧ 2x− 3 ≤ 3x− 8
⇔ x ≥ 8
3
∧ x ≥ 11
5
∧ x ≥ 5
⇔ x ≥ 5
C.S. = {x ∈ R | x ≥ 5}
18 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
INECUACIONES
Ejemplo
Resolver
|2x− 3| ≤ 3x− 8 .
Solución:
|2x− 3| ≤ 3x− 8
⇔ 3x− 8 ≥ 0 ∧ −3x + 8 ≤ 2x− 3 ≤ 3x− 8
⇔ x ≥ 8
3
∧ −3x + 8 ≤ 2x− 3 ∧ 2x− 3 ≤ 3x− 8
⇔ x ≥ 8
3
∧ x ≥ 11
5
∧ x ≥ 5
⇔ x ≥ 5
C.S. = {x ∈ R | x ≥ 5}
18 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
INECUACIONES
Ejemplo
Resolver
|2x− 3| ≤ 3x− 8 .
Solución:
|2x− 3| ≤ 3x− 8⇔ 3x− 8 ≥ 0 ∧ −3x + 8 ≤ 2x− 3 ≤ 3x− 8
⇔ x ≥ 8
3
∧ −3x + 8 ≤ 2x− 3 ∧ 2x− 3 ≤ 3x− 8
⇔ x ≥ 8
3
∧ x ≥ 11
5
∧ x ≥ 5
⇔ x ≥ 5
C.S. = {x ∈ R | x ≥ 5}
18 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
INECUACIONES
Ejemplo
Resolver
|2x− 3| ≤ 3x− 8 .
Solución:
|2x− 3| ≤ 3x− 8⇔ 3x− 8 ≥ 0 ∧ −3x + 8 ≤ 2x− 3 ≤ 3x− 8
⇔ x ≥ 8
3
∧ −3x + 8 ≤ 2x− 3 ∧ 2x− 3 ≤ 3x− 8
⇔ x ≥ 8
3
∧ x ≥ 11
5
∧ x ≥ 5
⇔ x ≥ 5
C.S. = {x ∈ R | x ≥ 5}
18 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
INECUACIONES
Ejemplo
Resolver
|2x− 3| ≤ 3x− 8 .
Solución:
|2x− 3| ≤ 3x− 8⇔ 3x− 8 ≥ 0 ∧ −3x + 8 ≤ 2x− 3 ≤ 3x− 8
⇔ x ≥ 8
3
∧ −3x + 8 ≤ 2x− 3 ∧ 2x− 3 ≤ 3x− 8
⇔ x ≥ 8
3
∧ x ≥ 11
5
∧ x ≥ 5
⇔ x ≥ 5
C.S. = {x ∈ R | x ≥ 5}
18 / 26
VALOR ABSOLUTO
N
INECUACIONES
Ejemplo
Resolver
|2x− 3| ≤ 3x− 8 .
Solución:
|2x− 3| ≤ 3x− 8⇔ 3x− 8 ≥ 0 ∧ −3x + 8 ≤ 2x− 3 ≤ 3x− 8
⇔ x ≥ 8
3
∧ −3x + 8 ≤ 2x− 3 ∧ 2x− 3 ≤ 3x− 8
⇔ x ≥ 8
3
∧ x ≥ 11
5
∧ x ≥ 5
⇔ x ≥ 5
C.S. = {x ∈ R | x ≥ 5}
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VALOR ABSOLUTO
N
INECUACIONES
Ejemplo
Resolver
3|x|+ |x− 2| ≤ 6
Solución:El criterio es resolver la inecuación por zonas.
Tenemos que, para x = 0, |x| = 0 y x = 2, |x− 2| = 0.
Estos valores de x, x ∈ {0, 2}, determinan tres zonas de trabajo:
Luego resolvemos la inecuación en cada una de estas zonas y al
final unimos cada una de las soluciones.
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VALOR ABSOLUTO
N
INECUACIONES
Ejemplo
Resolver
3|x|+ |x− 2| ≤ 6
Solución:El criterio es resolver la inecuación por zonas.
Tenemos que, para x = 0, |x| = 0 y x = 2, |x− 2| = 0.
Estos valores de x, x ∈ {0, 2}, determinan tres zonas de trabajo:
Luego resolvemos la inecuación en cada una de estas zonas y al
final unimos cada una de las soluciones.
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VALOR ABSOLUTO
N
INECUACIONES
Ejemplo
Resolver
3|x|+ |x− 2| ≤ 6
Solución:El criterio es resolver la inecuación por zonas.
Tenemos que, para x = 0, |x| = 0 y x = 2, |x− 2| = 0.
Estos valores de x, x ∈ {0, 2}, determinan tres zonas de trabajo:
Luego resolvemos la inecuación en cada una de estas zonas y al
final unimos cada una de las soluciones.
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N
INECUACIONES
Ejemplo
Resolver
3|x|+ |x− 2| ≤ 6
Solución:El criterio es resolver la inecuación por zonas.
Tenemos que, para x = 0, |x| = 0 y x = 2, |x− 2| = 0.
Estos valores de x, x ∈ {0, 2}, determinan tres zonas de trabajo:
Luego resolvemos la inecuación en cada una de estas zonas y al
final unimos cada una de las soluciones.
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N
INECUACIONES
Ejemplo
Resolver
3|x|+ |x− 2| ≤ 6
Solución:El criterio es resolver la inecuación por zonas.
Tenemos que, para x = 0, |x| = 0 y x = 2, |x− 2| = 0.
Estos valores de x, x ∈ {0, 2}, determinan tres zonas de trabajo:
Luego resolvemos la inecuación en cada una de estas zonas y al
final unimos cada una de las soluciones.
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N
INECUACIONES
Ejemplo
Resolver
3|x|+ |x− 2| ≤ 6
Solución:El criterio es resolver la inecuación por zonas.
Tenemos que, para x = 0, |x| = 0 y x = 2, |x− 2| = 0.
Estos valores de x, x ∈ {0, 2}, determinan tres zonas de trabajo:
Luego resolvemos la inecuación en cada una de estas zonas y al
final unimos cada una de las soluciones.
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VALOR ABSOLUTO
N
INECUACIONES
Si x < 0:
De 3|x|+ |x− 2| ≤ 6 tenemos −3x− (x− 2) ≤ 6, resolviendo
C.S.1 = [−1, 0〉 .
Si 0 ≤ x < 2:
De 3|x|+ |x− 2| ≤ 6 tenemos 3x− (x− 2) ≤ 6, resolviendo
C.S.2 = [0, 2〉 .
Si 2 ≤ x:
De 3|x|+ |x− 2| ≤ 6 tenemos 3x + x− 2 ≤ 6, resolviendo
C.S.3 = {2}
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VALOR ABSOLUTO
N
INECUACIONES
Si x < 0:
De 3|x|+ |x− 2| ≤ 6 tenemos −3x− (x− 2) ≤ 6, resolviendo
C.S.1 = [−1, 0〉 .
Si 0 ≤ x < 2:
De 3|x|+ |x− 2| ≤ 6 tenemos 3x− (x− 2) ≤ 6, resolviendo
C.S.2 = [0, 2〉 .
Si 2 ≤ x:
De 3|x|+ |x− 2| ≤ 6 tenemos 3x + x− 2 ≤ 6, resolviendo
C.S.3 = {2}
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VALOR ABSOLUTO
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INECUACIONES
Si x < 0:
De 3|x|+ |x− 2| ≤ 6 tenemos −3x− (x− 2) ≤ 6, resolviendo
C.S.1 = [−1, 0〉 .
Si 0 ≤ x < 2:
De 3|x|+ |x− 2| ≤ 6 tenemos 3x− (x− 2) ≤ 6, resolviendo
C.S.2 = [0, 2〉 .
Si 2 ≤ x:
De 3|x|+ |x− 2| ≤ 6 tenemos 3x + x− 2 ≤ 6, resolviendo
C.S.3 = {2}
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VALOR ABSOLUTO
N
INECUACIONES
Finalmente tenemos que la solución de
3|x|+ |x− 2| ≤ 6
es C.S. = C.S.1 ∪ C.S.2 ∪ C.S.3
, es decir
C.S. = [−1, 0〉 ∪ [0, 2〉 ∪ {2}
= [−1, 2]
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VALOR ABSOLUTO
N
INECUACIONES
Finalmente tenemos que la solución de
3|x|+ |x− 2| ≤ 6
es C.S. = C.S.1 ∪ C.S.2 ∪ C.S.3,es decir
C.S. = [−1, 0〉 ∪ [0, 2〉 ∪ {2}
= [−1, 2]
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VALOR ABSOLUTO
N
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Interpretación geométrica
Definición
Sean a, b ∈ R la distancia entre estos puntos se denota por
d(a, b) y se define por
d(a, b) = |a− b|
Ejemplo: Sean los puntos a = 2 y b = 5 ubicados en la ĺınea recta,
entonces la distancia entre ellos es
Distancia entre 2 y 5
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VALOR ABSOLUTO
N
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Interpretación geométrica
Definición
Sean a, b ∈ R la distancia entre estos puntos se denota por
d(a, b) y se define por
d(a, b) = |a− b|
Ejemplo: Sean los puntos a = 2 y b = 5 ubicados en la ĺınea recta
,
entonces la distancia entre ellos es
Distancia entre 2 y 5
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N
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Interpretación geométrica
Definición
Sean a, b ∈ R la distancia entre estos puntos se denota por
d(a, b) y se define por
d(a, b) = |a− b|
Ejemplo: Sean los puntos a = 2 y b = 5 ubicados en la ĺınea recta,
entonces la distancia entre ellos es
Distancia entre 2 y 5
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VALOR ABSOLUTO
N
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Interpretación geométrica
Definición
Sean a, b ∈ R la distancia entre estos puntos se denota por
d(a, b) y se define por
d(a, b) = |a− b|
Ejemplo: Sean los puntos a = 2 y b = 5 ubicados en la ĺınea recta,
entonces la distancia entre ellos es
Distancia entre 2 y 5
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Ejemplo
Resolver
|x− 1|+ |5− x| > 4
Solución:Ubicando los puntos 1 y 5 en una recta.
Si 1 ≤ x ≤ 5, entonces la suma de las distancias |x− 1|+ |5− x|
es como máximo 4.
Por esto los 1 ≤ x ≤ 5 no pueden ser solución.
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VALOR ABSOLUTO
N
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Ejemplo
Resolver
|x− 1|+ |5− x| > 4
Solución:Ubicando los puntos 1 y 5 en una recta.
Si 1 ≤ x ≤ 5, entonces la suma de las distancias |x− 1|+ |5− x|
es como máximo 4.
Por esto los 1 ≤ x ≤ 5 no pueden ser solución.
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VALOR ABSOLUTO
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Ejemplo
Resolver
|x− 1|+ |5− x| > 4
Solución:Ubicando los puntos 1 y 5 en una recta.
Si 1 ≤ x ≤ 5
, entonces la suma de las distancias |x− 1|+ |5− x|
es como máximo 4.
Por esto los 1 ≤ x ≤ 5 no pueden ser solución.
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VALOR ABSOLUTO
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Ejemplo
Resolver
|x− 1|+ |5− x| > 4
Solución:Ubicando los puntos 1 y 5 en una recta.
Si 1 ≤ x ≤ 5, entonces la suma de las distancias |x− 1|+ |5− x|
es como máximo 4.
Por esto los 1 ≤ x ≤ 5 no pueden ser solución.
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VALOR ABSOLUTO
N
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Ejemplo
Resolver
|x− 1|+ |5− x| > 4
Solución:Ubicando los puntos 1 y 5 en una recta.
Si 1 ≤ x ≤ 5, entonces la suma de las distancias |x− 1|+ |5− x|
es como máximo 4.
Por esto los 1 ≤ x ≤ 5 no pueden ser solución.
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VALOR ABSOLUTO
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Ejemplo
Resolver
|x− 1|+ |5− x| > 4
Solución:Ubicando los puntos 1 y 5 en una recta.
Si 1 ≤ x ≤ 5, entonces la suma de las distancias |x− 1|+ |5− x|
es como máximo 4.
Por esto los 1 ≤ x ≤ 5 no pueden ser solución.
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VALOR ABSOLUTO
N
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
En cambio, para los 5 < x
, la suma de las distancias
|x− 1|+ |5− x| es mayor que 4.
Análogamente para los x < 1.
Por lo tanto
C.S. = 〈−∞, 1〉 ∪ 〈5,+∞〉
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VALOR ABSOLUTO
N
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
En cambio, para los 5 < x, la suma de las distancias
|x− 1|+ |5− x| es mayor que 4.
Análogamente para los x < 1.
Por lo tanto
C.S. = 〈−∞, 1〉 ∪ 〈5,+∞〉
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VALOR ABSOLUTO
N
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
En cambio, para los 5 < x, la suma de las distancias
|x− 1|+ |5− x| es mayor que 4.
Análogamente para los x < 1.
Por lo tanto
C.S. = 〈−∞, 1〉 ∪ 〈5,+∞〉
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VALOR ABSOLUTO
N
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
En cambio, para los 5 < x, la suma de las distancias
|x− 1|+ |5− x| es mayor que 4.
Análogamente para los x < 1.
Por lo tanto
C.S. = 〈−∞, 1〉 ∪ 〈5,+∞〉
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VALOR ABSOLUTO
N
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
En cambio, para los 5 < x, la suma de las distancias
|x− 1|+ |5− x| es mayor que 4.
Análogamente para los x < 1.
Por lo tanto
C.S. = 〈−∞, 1〉 ∪ 〈5,+∞〉
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VALOR ABSOLUTO
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Inecuaciones
Problema 116
Resuelva la siguiente inecuación:
4− |x| ≤
∣∣|2x| − 6∣∣
Dar como solución el complemento del conjunto solución
A)
〈
−10
3
;−2
〉
∪
〈
2;
10
3
〉
B)
〈
−10
3
: 1
〉
∪ 〈3; 4〉 C) R+
D)
〈
−10
4
; 0
〉
E)
〈
−3
2
; 1
〉
∪ 〈2; 3〉
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VALOR ABSOLUTO
N
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Inecuaciones
Problema 117
Resuelva la siguiente inecuación con valor absoluto:
|x− 1| − |2x + 3|
3x− 4
≥ 0
expresar el complemento del conjunto solución.
A)
〈
−4;−2
3
〉
∪
[
4
3
; +∞
〉
B) 〈−4; 2〉 C) R+0
D) 〈−4; 1〉 ∪ 〈0; +∞〉 E) 〈−2; 3〉 ∪ {1}
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VALOR ABSOLUTO
N
	VALOR ABSOLUTO
	TEOREMAS
	ECUACIONES
	INECUACIONES
	INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA