Álgebra División Algebraica

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Método de Horner, Regla de Ruffini
Teorema de Resto, Teorema del
factor, Divisibilidad
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c©
30 de octubre de 2017
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Método de Horner, Regla de Ruffini Teorema de Resto, Teorema del factor, Divisibilidad
N
Método de Horner
Método de Horner
El esquema de Horner
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Método de Horner, Regla de Ruffini Teorema de Resto, Teorema del factor, Divisibilidad
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Método de Horner
Método de Horner
Ejemplo 1.
Dividir 8x6 + 4x5 + 10x4 + x3 + 5x2 + 3x+ 7 por 4x3 + x− 2
Solución:
4 8 4 10 1 5 3 7
0 0 -2 4
-1 0 -1 2
2 0 -2 4
0 -1 2
2 1 2 1 5 6 9
q(x) = 2x3 + x2 + 2x+ 1 ; r(x) = 5x2 + 6x+ 9
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Método de Horner
Método de Horner
Ejemplo 2.
Si al dividir Ax4 −Bx3 + 22x2 − 11x− 10 por 6x2 − 4x+ 5, se
obtiene como residuo 2x+ 5, halle (B −A)
Solución:
Aplicando el algoritmo de la división:
D(x) = d(x)q(x) + r(x)
Se tiene:
Ax4 −Bx3 + 22x2 − 11x− 10 = (6x2 − 4x+ 5)q(x) + (2x+ 5)
Ax4 −Bx3 + 22x2 − 13x− 15 = (6x2 − 4x+ 5)q(x),
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Método de Horner
Método de Horner
Determinando el cociente por el método de Horner:
5 -15 -13 22 -B A
4 -12 18 4
-6 -20 30
16 -24
-3 -5 4 0 0
tenemos que: B = 50 y A = 24. Aśı: B −A = 26
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Regla de Ruffini
Regla de Ruffini
Se emplea para dividir polinomios P (x) por divisores de la forma
(x+ b), b ∈ R
Esquema de Ruffini
DIVIDENDO
-b
COCIENTE Residuo
gr(Residuo) = 0
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Regla de Ruffini
Regla de Ruffini
Ejemplo 1.
Dividir 2x4 − 7x2 + 3x− 1 por x− 3
Solución:
2 0 -7 3 -1
3 6 18 33 108
2 6 11 36 107
Por lo tanto q(x) = 2x3 + 6x2 + 11x+ 36 y r(x) = 107.
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Regla de Ruffini
Regla de Ruffini
Ruffini para divisor de la forma ax+b
Se sabe que:
Original Alterada
D(x) ax+ b
r(x) q(x)
=⇒ D(x) x+
b
a
r(x) aq(x)
Cuyo fundamento es
D = (ax+ b)q + r =
(
x+
b
a
)
(aq) + r
De donde se tiene el algoritmo de Ruffini.
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Regla de Ruffini
Regla de Ruffini
Algoritmo de Ruffini
Para dividir P (x) por ax+ b se siguen los siguientes pasos:
1. 1) Dividimos el divisor ax+ b por a, quedando
x+
b
a
2. 2) Usando la regla de Ruffinni dividimos P (x) por x+ ba ,
obteniendo un cociente q′(x) y el residuo r.
3. 3) Determinamos el cociente verdadero, dividiendo q′(x) por a,
esto es
q(x) =
q′(x)
a
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Regla de Ruffini
Regla de Ruffini
Ejemplo 2.
Dividir 3x4 − 2x3 + x2 − 7x+ 1 por 3x− 5
Solución:
Alteramos el divisor
3x− 5
3
= x− 5
3
Dividimos
3x4 − 2x3 + x2 − 7x+ 1 por x− 5
3
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Regla de Ruffini
Regla de Ruffini
3 -2 1 -7 1
5/3 5 5 10 5
3 3 6 3 6
q′(x) = 3x3 + 3x2 + 6x+ 3 y r = 6.
Por lo tanto
q(x) =
q′(x)
3
= x3 + x2 + 2x+ 1.
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Regla de Ruffini
Regla de Ruffini
Ejemplo 3.
Dividir 4x15 − 4x10 + 3x5 + 9 por 2x5 + 1
Solución:
Haciendo
y = x5
dividimos
4y3 − 4y2 + 3y + 9 por 2y + 1
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Regla de Ruffini
Regla de Ruffini
4 -4 3 9
-1/2 -2 3 -3
4 -6 6 6
q′(y) = 4y2 − 6y + 6, de donde
q(y) =
4y2 − 6y + 6
2
= 2y2 − 3y + 3
Luego
q(x) = 2(x5)2 − 3(x5) + 3 = 2x10 − 3x5 + 3 y r = 6
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Teorema del Resto
Teorema del Resto
Teorema del Resto
Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división.
Se aplica cuando el divisor es un polinomio de la forma (ax+ b),
y en algunos casos especiales.
Sea P (x) un polinomio no constante. Entonces el resto de dividir
P (x) por (ax+ b), viene dado por P (− ba).
Regla para calcular el Resto
1. Se iguala el divisor a cero.
2. Se calcula el valor de la variable que aparece con frecuencia en
el dividendo.
3. El valor obtenido se reemplaza en el dividendo.
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Teorema del Resto
Teorema del Resto
Ejemplo 1.
Halle el residuo de dividir 4x4 + 2x3 + 6x2 + 5x+ 9 por 2x+ 1.
Solución:
Como el divisor es 2x+ 1, aplicamos el Teorema del Resto:
2x+ 1 = 0⇒ x = −1
2
Finalmente:
r(x) = 4
(
−1
2
)4
+ 2
(
−1
2
)3
+ 6
(
−1
2
)2
+ 5
(
−1
2
)
+ 9 = 8.
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Teorema del Resto
Teorema del Resto
Ejemplo 2
Calcular el residuo de dividir P (x) = 2x4 +5x3− 7x2 +16x− 1
por x2 − 4
Solución:
Por el algoritmo de la división
2x4 + 5x3 − 7x2 + 16x− 1 = (x2 + 4)q(x) + r(x)
Donde:
r(x) = ax+ b
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Haciendo x2 + 4 = 0⇒ x2 = −4, tenemos:
P (x) = 2(x2)2 + 5(x2)x− 7(x2)− 16x− 1
de donde:
r(x) = 2(−4)2 + 5(−4)x− 7(−4)− 16x− 1
= 32− 20x− 28 + 16x− 1
= −4x+ 3
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Teorema del Factor
Divisibilidad
Teorema del Factor
a es ráız de p(x), si y solo si (x− a) es un factor de p(x)
Ejemplo 1
¿Es x+ 1 un factor de f(x) = x5 + x+ 2?
Divisibilidad
Dados lo polinomios D(x), d(x), se dice que D(x) es divisible
por d(x), si existe otro polinomio q(x) tal que: D(x) = d(x)q(x)
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Teorema del Factor
Divisibilidad
Propiedades
1 Si dos polinomios son divisibles por un polinomio d(x), entonces la
suma, diferencia y el producto de dichos polinomios son divisible
por d(x).
2 Si dos polinomios A(x) y B(x) son divisibles por f(x), entonces el
residuo de dividir A(x) por B(x) es divisible por f(x).
3 Si P (x) es divisible por (x− a), (x− b), y (x− c), entonces P (x)
es divisible por el producto: (x− a)(x− b)(x− c) (a, b, c distintos
entre si).
4 Si
D d
r q
, entonces
kD kd
kr q
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Ejemplo 2
Determine el residuo de dividir (x− 2)1999 + (x− 1)1998 +7 por
(x2 − 3x+ 2)
Solución:
El divisor es:
x2 − 3x+ 2 = (x− 2)(x− 1)
Del algoritmo de la división tenemos:
(x− 2)1999 + (x− 1)1998 + 7 ≡ (x− 2)(x− 1)q(x) + ax+ b
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Evaluando para x = 2 y x = 1, tenemos que:
2a+ b = 8, a+ b = 6
de donde:
a = 2 y b = 4.
Por lo tanto el residuo es
r(x) = 2x+ 4
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Ejemplo 3
Al dividir un polinomio P (x) entre (x − 1)2, se obtiene como
residuo 2x, y al dividirlo por (x−2)3 da como residuo 3x. Hallar
el residuo de la división de P (x) entre x2 − 3x+ 2
Solución:
Del algoritmo de la división tenemos:
P (x) = (x− 1)2q(x) + 2x ⇒ P (1) = 2
P (x) = (x− 2)3M(x) + 3x ⇒ P (2) = 6
Nos piden calcular el resto de dividir P (x) entre (x− 1)(x− 2).
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Podemos escribir
P (x) = (x− 1)(x− 2)f(x) + (ax+ b)
Evaluando en 1 y en 2:
P (1) = a+ b = 2 P (2) = 2a+ b = 6
de donde:
a = 4 y b = −2.
Por lo tanto
r(x) = ax+ b = 4x− 2
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Problemas
Ejercicios de Clase
Problema 286
Determine el resto al dividir
(x+ 2)2n+1 + 4(x+ 2)2n − 5(x+ 2)3 + x− 5
entre (x+ 3)(x+ 2)(x+ 1)
a) 4x2 + 13x
b) 4x2 + 13x+ 2
c) 4x2 + 13x+ 3
d) 4x2 + 13x+ 4
e) 4x2 + 13x+ 5
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Problemas
Ejercicios de Clase
Problema 287
Determine el resto de dividir x8 entre (x+ 1)(x+ 2)
a) −255x− 254
b) −255x− 253
c) −255x− 252
d) −255x− 251
e) −255x− 250
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Problemas
Ejercicios de Clase
Problema 289
En el siguiente esquema de división por el método de Horner
m m n 6m -12n 43 10
2n 2n -5
-5 2n2 -5n
14n -35
4n -10
p n 7 2 0 0
halle el valor de nm + p.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
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Problemas
Ejercicios de Clase
Problema 297
Indique el valor de m+ n, si la división
xm − nx2 + 8x− 3
x2 − 2x+ 1
es exacta.
a) 6 b) 8 c) 10
d) 15 e) 18
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Ejercicios
Ejercicios complementarios
Ejercicio 1
Encuentre el residuo en la división
(x+ 2)4(x+ 6)(x− 3)÷ (x+ 2)3(x+ 3)
a) −27(x+ 2)3 b) -18 c) 18(x+ 2)3
d) −18(x+ 2)3 e) 18
Ejercicio 2
Un polinomio P (x) de cuarto grado al ser dividido separadamente
por (x2+x+1) y x2−x+2 se obtiene al mismo el mismo resto
(3x−5), pero al dividirlo por (x+1) el resto es 12, calcule P (0).
a) 0 b) 1 c) 3 d) 5 e) 7
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Ejercicios
Ejercicios complementarios
Ejercicio 3
Halle ab, si:
ax4 − 3x3 + bx+ b− 32, a 6= 0 es múltiplo de x2 − 2x+ 4
a) -1 b) 5 c) 7 d) 8 e) 11
Ejercicio 4
El polinomio P (x) se ha dividido separadamente por x+1 y x−1
hallándose los residuos 5 y 3 respectivamente, entonces el resto
de dividir P (x) entre (x+ 1)(x− 1) es:
a) x+ 3 b) −x+ 4 c) x− 3
d) −x+ 5 e) x− 5
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