Integrales indefinidas y definidas-ycdj

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Integrales 
Prof. Yusmarys Díaz 
Matemática Aplicada 
Contenido 
Unidad 2. Integrales 
• 2.1. La integral indefinida como anti derivada. 
a) La integral indefinida de funciones elementales. 
b) Propiedades de las integrales 
c) Integrales algebraicas, integrales trascendentes 
(logarítmicas y exponenciales) 
d) Ejercicios resueltos 
• 2.2 Integral definida. 
a) Definición. Segundo teorema fundamental del Cálculo: 
b) Ejercicio resuelto 
• Ejercicios propuestos 
 
Integrales 
 La operación inversa de la derivación se llama integración. 
Mediante la integración encontraremos la función cuya derivada 
es dada. La función que se encuentra se llama antiderivada o 
integral indefinida. 
 Notación para la antiderivada: 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 
• El símbolo 𝑒𝑠 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑠í𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 
• La función f(x) es el integrando 
• dx se usa para indicar que x es la variable de la integración. 
Esta variable puede cambiarse por otra. 
• C es una constante 
 
Significado de la Constante C 
Representa a toda la familia de las antiderivadas del integrando. 
Cada valor que asignemos a la constante de integración, nos 
proporciona un miembro de la familia. 
Propiedades de las Integrales 
• Regla de la suma y la diferencia 
 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 
• Regla del factor común 
 𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑓(𝑥) 
 
Integrales básicas inmediatas 
 Son las que resultan evidentes por ser el integrando la 
derivada de una función conocida, es decir son las integrales 
básicas más habituales. Asumiremos por tanto como integrales 
inmediatas o conocidas las siguientes. 
 
• Fórmula de la potencia 
 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = 
𝒙𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
 + 𝑪 𝒔𝒊 𝒏 ≠ −𝟏 
 
 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝑪 
 
Integrales básicas inmediatas 
• Logarítmicas naturales o neperiano: 
 
𝒅𝒙
𝒙
= 𝐥𝐧 𝒙 + 𝑪 
 
𝒖´
𝒖
𝒅𝒖 = 𝐥𝐧𝒖 + 𝑪 (regla de la cadena) 
 
• Logarítmicas: 
 Se debe aplicar técnicas de integración que veremos más 
adelante 
 
 
 
Integrales básicas inmediatas 
• Exponenciales de base a: 
 𝒂𝒙 𝒅𝒙 =
𝒂𝒙
𝐥𝐧 𝒂
+ 𝑪 
 𝒂𝒖𝒖´𝒅𝒖 =
𝒂𝒖
𝐥𝐧 𝒂
+ 𝑪 (Regla de la cadena) 
• Exponenciales naturales: 
 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝑪 
 𝒆𝒖𝒖´ 𝒅𝒖 = 𝒆𝒖 + 𝑪 (Regla de la cadena) 
 
 
 
Ejemplos 
 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 
• 𝑥4𝑑𝑥 =
1
4+1
𝑥4+1 + 𝐶 =
1
5
𝑥5 + 𝐶 
• 
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥
−1
2 𝑑𝑥 =
𝑥
−1
2 +1
−
1
2
 +1
+ 𝐶 = 
𝑥1/2
1/2
+ 𝐶 = 2 𝑥 + 𝐶 
• 𝟔𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 = 𝟔𝒙𝒅𝒙 + 𝟒𝒅𝒙 (Regla de la suma) 
 = 𝟔 𝒙𝒅𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 (regla del factor común) 
 = 𝟔
𝒙𝟐
𝟐
+ 𝟔𝑪𝟏 + 𝟒𝒙 + 𝑪𝟐 (Regla de la potencia) 
 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝑪 
 
 
Integral definida 
Segundo teorema fundamental del Cálculo: 
Si f es continua en 𝑎, 𝑏 y F una antiderivada de f, entonces 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
 
 
• Pasos para calcular la integral definida: 
1. Se halla la integral indefinida 
2. Se evalúa F(b) –F(a). 
3. Se prescinde de la constante C, ya que esta se simplifica 
 
Integral definida 
Ejemplo: 
1. Evaluar 
1
𝑡2
− 𝑡 𝑑𝑡
9
1
 
 
1
𝑡2
− 𝑡 𝑑𝑡
9
1
= 𝑡−2 − 𝑡
1
2 𝑑𝑡 = (
1
𝑡
−
2
3
9
1
𝑡3/2 
= −
1
9
−
2
3
93/2 − −
1
1
−
2
3
1
3
2 = −
148
9
 
1 
9 
Ejercicios propuestos 
Resuelva: 
• ( 𝑤5 
3
+
1
3
𝑒𝑤 + 1 −
2
𝑤5
+
5
𝑤3
4 )𝑑𝑤 
• ( 𝑥 −
2
𝑥
 )
2
𝑑𝑥 
• 
3(4𝑥−5)3
𝑥2
5
3
dx 
• (3𝑦 −
1
3
)(3
5
2
𝑦 3 − 
4
3
)𝑑𝑦 
• 
 
Referencias bibliográficas 
• Sáenz Jorge. Calculo Integral