Matematica II_Definicion, tipos de matrices y operaciones entre matrices

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INTRODUCCIÓN 
 
En este Documento de Apoyo se exponen aspectos generales referidos al álgebra matricial, 
por ejemplo, la definición, dimensión, algunos tipos especiales de matrices; además de las 
operaciones que se pueden definir entre matrices. 
 
En lo que respecta a las operaciones entre matrices, se expone el algoritmo para la adición, 
sustracción, multiplicación por un escalar, multiplicación entre matrices y matriz traspuesta; 
además de lo anterior, se muestran diversas propiedades que verifican estas operaciones. 
 
Es de fundamental importancia para la compresión de definiciones, propiedades y 
procedimientos, que los estudiantes realicen un análisis detallado de cada ejercicio resuelto. 
Y con la finalidad de complementar y dinamizar el proceso de enseñanza y aprendizaje se 
sugiere la utilización de otros materiales didácticos, como libros, artículos, materiales 
audiovisuales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
UNIDAD IV: Álgebra matricial 
 
1. Definición, orden y clases de matrices 
 
2. Operaciones entre matrices 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Definición, orden, clases, igualdad de matrices 
 
Una matriz es un arreglo rectangular de números reales, encerrado en grandes paréntesis 
rectangulares. Las matrices por lo regular se denotan con letras mayúsculas A, B o C. 
 
A los arreglos horizontales se les denomina filas o renglones, en cambio a los arreglos 
verticales se les denominan columnas. Al número 𝑎𝑖𝑗 se llama elemento de la matriz, donde 
𝑖 (primer número del subíndice) la fila donde se localiza y 𝑗 (segundo número del subíndice) 
la columna. Por ejemplo 𝑎23, representa la posición del elemento ubicado en la fila 2 y 
columna 3. 
Algunos ejemplos de matrices aparecen abajo 
𝐴 = [
2 
1 
−3 
 0 
7
4
] 𝐵 = [
3 
7 
5 
4 
8 
4 
5 
9 
3 
6
1
2
] 𝐶 = [
4
2
3
1
] 
𝐷 = [1 2 3 5 6] 𝐸 = [3] 
 
Orden o dimensión de una matriz 
 
El orden o la dimensión de una matriz está dada por la cantidad de filas y la cantidad de 
columnas que posea. Al decir 𝐴𝑚𝑥𝑛, se indica que 𝐴 es una matriz que tiene 𝑚 filas y 𝑛 
columnas. De las matrices que se acaban de dar, A es una matriz 2 × 3, B es una matriz 
3 × 4 y C es una matriz 4 × 1. 
 
Clases de matrices 
 
a) Matriz cuadrada 
 
Una matriz cuadrada es la que tiene igual cantidad de filas que de columnas y se denota como 
𝐴𝑛𝑥𝑛. En caso contrario se le considera una matriz rectangular. 
 
4 
 
Cuando una matriz es cuadrada se genera la definición de diagonal principal para los 
elementos 𝑎𝑖𝑗 sonde 𝑖 = 𝑗, y diagonal secundaria para los elementos de la otra diagonal. 
 
La suma de los elementos de la diagonal principal se denomina Traza de la matriz y se denota 
como 𝑇𝑟(𝐴), es decir: 
𝑇𝑟(𝐴) = 𝑎11 + 𝑎22 + 𝑎33 + ⋯ +𝑎𝑛𝑛 
 
b) Matriz triangular superior 
 
Una matriz cuadrada es triangular superior cuando los elementos que están bajo la diagonal 
principal son todos ceros. 
 
c) Matriz triangular inferior 
 
Una matriz cuadrada es triangular inferior cuando los elementos que están sobre la diagonal 
principal son todos ceros. 
 
 
 
5 
 
d) Matriz diagonal 
 
Una matriz cuadrada es diagonal cuando los elementos que están sobre y bajo la diagonal 
principal son todos iguales a cero. 
 
e) Matriz identidad 
 
Una matriz identidad es una matriz diagonal que tiene al número 1 en toda la diagonal 
principal. 
 
f) Matriz nula 
 
Es la matriz que tiene todos sus elementos ceros. Puede ser cuadrada como puede ser 
rectangular. 
 
Igualdad de matrices 
Dos matrices 𝐴𝑚𝑥𝑛 y 𝐵𝑚𝑥𝑛 son iguales si y sólo si: 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 , es decir, si sus elementos 
correspondientes son iguales. 
 
 
 
6 
 
Ejemplo 1. Determinar los valores desconocidos para que las dos variables sean iguales 
 
𝐴 = [
2
𝑦
 
𝑥
−1
 
3
4
] y 𝐵 = [
𝑎
0
 
5
𝑏
 
3
4
] 
 
Solución: 
 
Es claro que, A y B son del mismo tamaño, además 𝐴 = 𝐵 si y sólo si 𝑎 = 2, 𝑥 = 5 , 𝑦 = 0 
y 𝑏 = −1. 
 
Ejemplo 2. Determinar los valores desconocidos para que las dos variables sean iguales 
 
 
𝐶 = [
𝑥 + 1 3 + 𝑡 3
5 3 𝑥 + 𝑦
1 + 𝑢 𝑦 + 𝑧 −1
] 𝐷 = [
2 7 𝑣 + 1
5 𝑤 − 2 3
0 5 −1
] 
 
Solución: 
 
Se puede apreciar que las dos matrices tienen la misma dimensión. Luego se procede a igualar 
los coeficientes correspondientes: 
 
𝑥 + 1 = 2 ⟹ 𝑥 = 1 
3 + 𝑡 = 7 ⟹ 𝑡 = 4 
𝑣 + 1 = 3 ⟹ 𝑣 = 2 
5 = 5 
𝑤 − 2 = 3 ⟹ 𝑤 = 5 
𝑥 + 𝑦 = 3 ⟹ 𝑦 = 2 
1 + 𝑢 = 0 ⟹ 𝑢 = −1 
𝑦 + 𝑧 = 5 ⟹ 𝑧 = 3 
−1 = −1 
 
2. Operaciones entre matrices 
 
a. Suma y resta de matrices 
 
Dadas dos matriz 𝐴 y 𝐵 de orden 𝑚𝑥𝑛, entonces: 
 
𝐴𝑚𝑥𝑛 + 𝐵𝑚𝑥𝑛 = 𝐶𝑚𝑥𝑛 , donde 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 
 
Los elementos de la matriz resultante 𝐶 se obtienen sumando algebraicamente los 
elementos de 𝐴 con los correspondientes elementos de 𝐵. En el caso de la resta de 
matrices, en vez de sumar se resta componente a componente: 
 
7 
 
𝐴𝑚𝑥𝑛 − 𝐵𝑚𝑥𝑛 = 𝐶𝑚𝑥𝑛 , donde 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 
 
Ejemplo 1. Dadas las matrices, calcular 𝐴 + 𝐵 
𝐴 = [
2
3
1
 
 0
 4
−2
 
−1
 5
 3
 ] , 𝐵 = [
3
2
3
 
1
0
2
 
 2
−3
−4
] 
Solución: 
Entonces 𝐴 + 𝐵 se obtiene de la siguiente manera: 
𝐴 + 𝐵 = [
2 + 3
3 + 2
1 + 3
 
 0 + 1
 4 + 0
−2 + 2
 
−1 + 2
5 + (−3)
3 + (−4)
] 
𝐴 + 𝐵 = [
5
5
4
 
1
4
0
 
1
2
−1
] 
Ejemplo 2. Dadas las matrices, calcular 𝐶 − 𝐷 
𝐶 = [
2
3
 
0
4
 
−1
 5
] y 𝐷 = [
4
2
 
1
6
 
−2
 1
] 
Solución: 
Luego la matriz 𝐶 − 𝐷, se obtiene como sigue: 
𝐶 − 𝐷 = [
2
3
 
0
4
 
−1
 5
] − [
4
2
 
1
6
 
−2
 1
] 
𝐶 − 𝐷 = [
−2
1
 
−1
−2
 
1
4
] 
 
Propiedades 
Sean 𝐴𝑚𝑥𝑛 , 𝐵𝑚𝑥𝑛 y 𝐶𝑚𝑥𝑛 , matrices. Entonces: 
1. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 
2. (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) 
3. 𝐴 + 𝟎 = 𝐴, donde 𝟎𝑚𝑥𝑛 es la matriz nula. 
4. 𝐴 + (−𝐴) = 𝟎 
 
 
 
8 
 
b. Multiplicación por un escalar 
 
Sea 𝛼 ∈ ℝ y la matriz 𝐴𝑚𝑥𝑛, entonces 𝛼𝐴𝑚𝑥𝑛 = 𝐶𝑚𝑥𝑛, donde 𝑐𝑖𝑗 = 𝛼𝑎𝑖𝑗 . Los elementos 
de la matriz 𝐶 se obtienen de multiplicar la constante 𝛼 por cada uno d elementos de la 
matriz 𝐴. 
 
Ejemplo 1. Dada la matriz 𝐴, calcular 2𝐴 
𝐴 = [
1
0
 
0
−2
 
−1
4
] 
Solución: 
2𝐴 = 2 [
1
0
 
0
−2
 
−1
4
] 
2𝐴 = [
2(1)
2(0)
 
2(0)
2(−2)
 
2(−1)
2(4)
] 
2𝐴 = [
2
0
 
0
−4
 
−2
8
] 
Ejemplo 2. Dada las matrices 
 
𝐴 = [
3
2
 
1
−3
 
4
5
] y 𝐵 = [
1
4
 
2
5
 
3
6
] 
 
Determine la matriz 𝑋 tal que 𝑋 + 𝐴 = 2𝐵 
 
Solución: 
Se tiene que 𝑋 + 𝐴 = 2𝐵, o 𝑋 = 2𝐵 − 𝐴 
 
𝑋 = 2 [
1
4
 
2
5
 
3
6
] − [
3
2
 
1
−3
 
4
5
] 
 
𝑋 = [
2
8
 
4
10
 
6
12
] − [
3
2
 
1
−3
 
4
5
] 
 
𝑋 = [
−1
6
 
3
13
 
2
7
] 
 
 
 
 
9 
 
Propiedades 
Sean 𝐴𝑚𝑥𝑛 y 𝐵𝑚𝑥𝑛 , matrices; y 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, entonces: 
1. 𝛼(𝐴 + 𝐵) = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵 
2. (𝛼𝛽)𝐴 = 𝛼(𝛽𝐴) = 𝛽(𝛼𝐴) 
 
c. Multiplicación entre matrices 
 
Sea 𝐴 una matriz 𝑚𝑥𝑛 y sea 𝐵 una matriz 𝑛𝑥𝑞 (el número de columnas de 𝐴 debe ser 
igual al número de filas de 𝐵), entonces: 
 
𝐴𝑚𝑥𝑛𝐵𝑛𝑥𝑞 = 𝐶𝑚𝑥𝑞 
 
Donde 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + 𝑎𝑖3𝑏3𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗 . Es decir el elemento 𝑐𝑖𝑗 se obtiene 
sumando algebraicamente los resultados de la multiplicación de los elementos de la fila 
𝑖 de la matriz 𝐴 por los respectivos elementos de la columna 𝑗 de la matriz 𝐵. 
 
Ejemplo 1. Dadas las matrices, calcular 𝐴𝐵 
 
𝐴 = [
2 3
4 1
] y 𝐵 = [
3 1 0
2 −3 4
] 
 
Solución: 
 
La matriz 𝐴 es de orden 2𝑥2 y la matriz 𝐵 es de orden 2𝑥3, luego se pueden multiplicar. 
Entonces, al calcular 𝐴𝐵 se obtiene la matriz 𝐶 cuyo orden será 2𝑥3, y sus coeficientes 
se calculan con sigue:𝑐11 = 2(3) + 3(2) = 12 
𝑐12 = 2(1) + 3(−3) = −7 
𝑐13 = 2(0) + 3(4) = 12 
𝑐21 = 4(3) + 1(2) = 14 
𝑐22 = 4(1) + 1(−3) = 1 
𝑐23 = 4(0) + 1(4) = 4 
 
𝐴𝐵 = 𝐶 = [
12 −7 12
14 1 4
] 
 
Ejemplo 2. Dadas las matrices, calcular 𝐴𝐷 
 
𝐴 = [
2 −1 1
1 2 3
] y 𝐷 = [
−1 1 1
0 −2 −3
1 1 1
] 
 
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Solución: 
 
Entonces, al calcular 𝐴𝐷 se obtiene la matriz 𝐶 cuyo orden será 2𝑥3, y sus coeficientes 
se calculan de la siguiente manera: 
 
𝑐11 = (2)(−1) + (−1)(0) + (1)(1) = −1 
𝑐12 = (2)(1) + (−1)(−2) + (1)(1) = 5 
𝑐13 = (2)(1) + (−1)(−3) + (1)(1) = 6 
𝑐21 = (1)(−1) + (2)(0) + (3)(1) = 2 
𝑐22 = (1)(1) + (2)(−2) + (3)(1) = 0 
𝑐23 = (1)(1) + (2)(−3) + (3)(1) = −2 
 
 
𝐴𝐷 = 𝐶 = [
−1 5 6
2 0 −2
] 
 
Propiedades 
Sean 𝐴, 𝐵, 𝐶 matrices; y 𝛼 ∈ ℝ, entonces: 
1. 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 
2. 𝐴𝐼 = 𝐴 
3. 𝛼𝐴𝐵 = (𝛼𝐴)𝐵 = 𝐴(𝛼𝐵) 
4. 𝐴𝐵(𝐶) = 𝐴(𝐵𝐶) 
 
Las dimensiones de las matrices 𝐴, 𝐵, 𝐶 deben ser tales que se puedan realizar las 
operaciones. Note que 𝐴𝐵 no siempre es igual a 𝐵𝐴. 
 
Tipos de matrices 
 
Sea 𝐴 una matriz 𝑛𝑥𝑛, entonces: 
 
1. Si 𝐴2 = 𝐴, entonces 𝐴 es llamada matriz idempotente. 
2. Si 𝐴2 = 𝐼, entonces 𝐴 es llamada matriz involutiva. 
3. Si 𝐴2 = 𝟎, entonces 𝐴 es llamada matriz nilpotente. 
 
 
d. Traspuesta de una matriz 
 
Sea 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] una matriz de orden 𝑚𝑥𝑛. Entonces su matriz traspuesta, denotada como 
𝐴𝑡 = [𝑎𝑗𝑖], es de orden 𝑛𝑥𝑚 y se obtiene tomando las filas de la matriz 𝐴 como columnas 
para la matriz 𝐴𝑡 y en consecuencia las columnas de la matriz 𝐴 serán las filas de la matriz 
𝐴𝑡. 
 
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Ejemplo 1. Dada la matriz 𝐴, calcular su matriz traspuesta 
 
𝐴 = [
2 −1 1
1 2 3
] 
 
Solución: 
 
Entonces la matriz traspuesta de 𝐴, es: 
 
𝐴𝑡 = [
2 1
−1 2
1 3
] 
 
Propiedades 
Sean 𝐴𝑚𝑥𝑛 y 𝐵𝑚𝑥𝑛 matrices, entonces: 
1. (𝐴𝑡)𝑡 = 𝐴 
2. (𝐴 + 𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 
3. (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡𝐴𝑡 
 
Tipos de matrices 
 
1. Una matriz 𝐴𝑛𝑥𝑛 es simétrica si y sólo si 𝐴
𝑡 = 𝐴. 
2. Una matriz 𝐴𝑛𝑥𝑛 es antisimétrica si y sólo si 𝐴
𝑡 = −𝐴. 
 
Ejemplo 2. Determinar si la matriz 𝐴 es simétrica, 
 
𝐴 = [
1 2 −3
2 0 1
−3 1 −2
] 
 
Solución: 
 
Al determinar la traspuesta de 𝐴, se obtiene: 
 
𝐴𝑡 = [
1 2 −3
2 0 1
−3 1 −2
] 
 
De lo anterior se puede observar que 𝐴𝑡 = 𝐴, y por tanto 𝐴 es una matriz simétrica. 
 
 
 
 
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Ejemplo 3. Determinar si la matriz 𝐵 es simétrica, 
 
𝐵 = [
0 2 −3
−2 0 −1
3 1 0
] 
 
Al determinar la traspuesta de 𝐵, se obtiene: 
 
𝐵𝑡 = [
0 −2 3
2 0 1
−3 −1 0
] 
 
Luego se observa que 𝐵𝑡 = −𝐵, y por tanto 𝐵 es una matriz antisimétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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BIBLIOGRAFÍA 
 
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México: Pearson Educación. 
 Edwards, C. y Penney, D. (1996). Cálculo con Geometría Analítica. México: Prentice 
Hall Hispanoamericana, S.A. 
 Haeussler, F., Ernest J. (2003). Matemáticas para administración y economía. México: 
Pearson Educación. 
 Margaret L. Lial, Thomas W. Hungerford. Matemáticas para administración y 
economía: en las ciencias sociales, naturales y de administración. México: Pearson 
Educación. 
 Muñoz, A., Santos, J. (2002). Problemas de Matemáticas para Economía, 
Administración y Dirección de empresas. España: Editorial Universitas. 
 Weber, J. (1983). Matemáticas para Administración y Economía. México: Harla. 
 Tan, S. (2012). Matemáticas Aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y la vida. 
México: Cengage Learning.