Matematica II_Ecuaciones diferenciales

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INTRODUCCIÓN 
 
En este Documento de Apoyo se abordarán los contenidos referidos a la clasificación, 
solución general y solución particular de ecuaciones diferenciales, ecuaciones lineales de 
primer orden con coeficientes constantes, ecuaciones diferenciales separables, los cuales se 
deben resolver aplicando las técnicas antes señaladas. 
 
En lo que respecta a la clasificación de las ecuaciones lineales de primer orden con 
coeficientes constantes, se exponen a modo de ejemplo, un total de cinco ejercicios, así 
mismo, para las ecuaciones diferenciales separables y homogéneas se desarrollan cinco 
ejercicios y para ilustrar las aplicaciones se resuelven dos problemas. Cabe señalar que cada 
ejemplo se soluciona de una manera sencilla, haciendo énfasis en el paso a paso, estos con la 
finalidad de alcanzar una mejor compresión del procedimiento implementado. 
 
Es de fundamental importancia para la compresión de definiciones, propiedades y 
procedimientos, que los estudiantes realicen un análisis detallado de cada ejercicio resuelto. 
Y con la finalidad de complementar y dinamizar el proceso de enseñanza y aprendizaje se 
sugiere la utilización de otros materiales didácticos, como libros, artículos, materiales 
audiovisuales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
UNIDAD III: Ecuaciones Diferenciales 
 
1. Definición, Notación, y Clasificación de las ecuaciones diferenciales. 
 
2. Solución general y solución particular. 
 
3. Ecuaciones Diferenciales Lineales de primer orden con coeficientes constantes. 
 
4. Ecuaciones Diferenciales Separables. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1. Definición, Notación y Clasificación de las ecuaciones diferenciales 
 
Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a 
una o más variables independientes es una ecuación diferencial. 
 
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad 
Clasificación según el tipo: si una ecuación solo contiene derivada ordinaria de una o más 
variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que 
es una ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 10𝑦 = 𝑒𝑥 , 𝑎𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
−
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 0 
Son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que contiene las derivadas parciales 
de una o más variables dependientes, respecto de dos o más variables independientes, se 
llama ecuación en derivadas parciales. Por ejemplo: 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝜕𝑣
𝜕𝑥
 , 𝑎𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑚𝑜 2
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2𝑡
= −
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
 
Son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. 
 
Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas 
parciales es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo: 
𝑑2𝑦𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 
𝑑𝑥2
+ 5 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
3 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 
− 4𝑦 = 𝑒𝑥 
Por lo tanto la ecuacion diferencial es de segundo orden. 
 
Clasificacion según su Linealidad: Se dice que una ecuación diferencial de n-ésimo orden 
es lineal si F es lineal en y,y´,y´´,…..,yn. Esto significa que una EDO de n-ésimo orden es 
lineal cuando la ecuación es an(x)y
n + an-1(x)y
n-1 +……..+ a1(x)y´+ a0(x)y –g(x) = 0 o 
𝑎𝑛(𝑥)
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1(𝑥)
𝑑𝑦𝑛−1
𝑑𝑥𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 
Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es simplemente una que no es lineal. Las 
funciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas tales como seny o ey, no 
pueden aparecer en la ecuación lineal. 
Ejemplo: Determine cuáles de las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales o no 
lineales. 
(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 + 4𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0, 𝑦" − 2𝑦 ¨ + 𝑦 = 0 𝑥3
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
− 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 5𝑦 = 𝑒𝑥 
Son, respectivamente ecuaciones diferenciales lineales de primer, segundo y tercer orden. 
(1 − 𝑦)𝑦 ¨ + 2𝑦 = 𝑒𝑥 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 0 
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
+ 𝑦2 = 0 
Son ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de primer, segundo y cuarto orden. 
 
 
4 
 
Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria. Se denomina una solución de la ecuación 
en el intervalo a cualquier función ∅, definida en un intervalo I y que tiene al menos n 
derivadas en I, las cuales se sustituyen en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden 
reducen la ecuación a una identidad. 
 
I- En los siguientes problemas, diga si las ecuaciones diferenciales dadas son 
lineales o no lineales. Indique el orden de cada ecuación. 
 
1- (2 − 𝑥)𝑦" − 4𝑥𝑦′ + 5𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
Solución: 
(2 − 𝑥)𝑦" − 4𝑥𝑦′ + 5𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 Ecuación Diferencial Lineal Ordinaria de segundo orden 
 
2- 𝑥
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
− 2 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
4
+ 𝑦 = 0 
Solución: 
𝑥
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
− 2 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
4
+ 𝑦 = 0 Ecuación Diferencial no Lineal Ordinaria de tercer orden. 
 
3- 𝑦𝑦′ + 2𝑦 = 1 + 𝑥2 
 Solución: 
𝑦𝑦′ + 2𝑦 = 1 + 𝑥2 Ecuación Diferencial no Lineal Ordinaria de primer orden. 
 
4- 𝑥2𝑑𝑦 + (𝑦 − 𝑥𝑦 − 𝑥𝑒𝑥)𝑑𝑥 = 0 
Solución: 
𝑥2𝑑𝑦 + (𝑦 − 𝑥𝑦 − 𝑥𝑒𝑥)𝑑𝑥 = 0 → 𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ (1 − 𝑥)𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 
Ecuación Diferencial Lineal Ordinaria de primer orden. 
 
II- En los siguientes problemas, verifique que la función indicada es una solución de 
la ecuación diferencial dada. Donde sea apropiado, c1 y c2 son constantes. 
 
1- 2𝑦′ + 𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 𝑒−𝑥/2 
 Solución: 
2𝑦′ + 𝑦 = 0 (∗) 
𝑦 = 𝑒
−𝑥
2 (1) 
⇒ 𝑦′ = −
1
2
𝑒−
𝑥
2 (2) 
Sustituyendo (1) y (2) en (*), se obtiene. 
2 (−
1
2
𝑒−𝑥/2) + 𝑒−𝑥/2 = 0 ⇔ −𝑒−𝑥/2 + 𝑒−𝑥/2 = 0 
 
 
5 
 
2- 𝑦′ + 4𝑦 = 32 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 8 
 Solución: 
𝑦′ + 4𝑦 = 32 ⇒ 𝑦′ + 4𝑦 − 32 = 0 (∗) 
𝑦 = 8 (1) ⇒ 𝑦′ = 0 (2) 
Sustituyendo (1) y (2) en (*), se obtiene 
0 + 4 ∗ 8 − 32 = 0 ⇔ 32 − 32 = 0 
 
3- 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑦 = 𝑒3𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 𝑒3𝑥 + 10𝑒2𝑥 (∗) 
Solución: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑦 = 𝑒3𝑥 ⇔ 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑦 − 𝑒3𝑥 = 0 
𝑦 = 𝑒3𝑥 + 10𝑒2𝑥 (1) 
⇒ 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑒3𝑥 + 20𝑒2𝑥 (2) 
Sustituyendo (1) y (2) en (*), se obtiene. 
3𝑒3𝑥 + 20𝑒2𝑥 − 2(𝑒3𝑥 + 10𝑒2𝑥) − 𝑒3𝑥 = 0 ⇒ 3𝑒3𝑥 + 20𝑒2𝑥 − 2𝑒3𝑥 − 20𝑒2𝑥 − 𝑒3𝑥 = 0 
 
4- 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 20𝑦 = 24 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 =
6
5
+
6
5
𝑒−20𝑡 
Solución: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 20𝑦 = 24 ⇔ 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 20𝑦 − 24 = 0 (∗) 
𝑦 =
6
5
+
6
5
𝑒−20𝑡 (1) 
⇒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 24𝑒−20𝑡 (2) 
Sustituyendo (1) y (2) en (*), se obtiene. 
24𝑒−20𝑡 + 20 (
6
5
+
6
5
𝑒−20𝑡) − 24 = 0 ⇔ 24𝑒−20𝑡 + 24 − 24𝑒−20𝑡 − 24 = 0 
 
Ecuaciones Diferenciales Separables 
Considere la ecuación diferencial de primer orden de primer orden 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦). Cuando f 
no depende de la variable y, es decir, f(x, y)=g(x), la ecuación diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔(𝑥), se puede 
resolver por integración, si g(x) es una función continua, al integrar ambos lados de la 
ecuación se obtiene 𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥) = 𝐺(𝑥) + 𝑐, donde G(x) es una antiderivada de g(x) 
Definición: Una ecuación diferencial de primer orden de la forma 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦), se dice 
que es separable o que tiene valores separables. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) ⇒ 
𝑑𝑦
ℎ(𝑦)
= 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑎 𝑝(𝑦) =
1
ℎ(𝑦)
 
 
6 
 
𝑝(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 ⇒ ∫ 𝑝(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ⇒ 𝐻(𝑦) = 𝐺(𝑥) + 𝑐 
Donde H (y) y G(x) son anti derivadas de p (y)= 1/ h (y) y g(x) respectivamente 
 
III- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de variable 
separable. 
 
1- 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 + 𝑒2𝑥 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑦 = (1 + 𝑒2𝑥)𝑑𝑥 
𝑑𝑦 = (1 + 𝑒2𝑥)𝑑𝑥 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 ∫ 𝑑𝑦 = ∫(1 + 𝑒2𝑥)𝑑𝑥 
 𝑦 = 𝑥 +
1
2
𝑒2𝑥 + 𝑐 
 
2- (1 + 𝑥)𝑑𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥 = 0 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 (1 + 𝑥)𝑑𝑦 = 𝑦 𝑑𝑥 
 
𝑑𝑦
𝑦
=
𝑑𝑥
(1 + 𝑥)
 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 ∫
𝑑𝑦
𝑦
= ∫
𝑑𝑥
(1 + 𝑥)
 
 ln 𝑦 = 𝑙𝑛|1 + 𝑥| + 𝑐1 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑒
𝑙𝑛𝑦 = 𝑒𝑙𝑛|1+𝑥|+𝑐1 
 𝑦 = 𝑒𝑐1|1 + 𝑥| 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑐1 = 𝑐 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = 𝑐⌈1 + 𝑥⌉ 
 
3- 𝑒𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦2 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 
𝑑𝑦
𝑦2
=
𝑑𝑥
𝑒𝑥
 
 𝑦−2𝑑𝑦 = 𝑒−𝑥𝑑𝑥 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 ∫ 𝑦−2𝑑𝑦 = ∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥 
 
−1
𝑦
= −𝑒−𝑥 + 𝑐1 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 "𝑦" 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑦 =
1
𝑒−𝑥 − 𝑐1
 
 𝑦 =
1
𝑒−𝑥
𝑒−𝑥
𝑒−𝑥
−
𝑐1
𝑒−𝑥
=
𝑒𝑥
1− 𝑒𝑥𝑐
 
 
4- 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 3𝑡2𝑒−𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 
𝑑𝑦
𝑒−𝑦
= 3𝑡2𝑑𝑡 
 
 𝑒−𝑦𝑑𝑦 = 3𝑡2𝑑𝑡 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 ∫ 𝑒−𝑦𝑑𝑦 = ∫ 3𝑡2𝑑𝑡 
−𝑒−𝑦 = 𝑡3 + 𝑐1 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 − 𝑙𝑛𝑒
−𝑦 = 𝑒𝑡
3+𝑐1 
 𝑦 = 𝑒𝑡
3+𝑐1 = 𝑒𝑡
3
∗ 𝑒𝑐1 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑐1 = 𝑐 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑦 = 𝑐 𝑒𝑡
3
 
 
 
7 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
 Arya, J. y Lardner, R. (2009). Matemática aplicada a la administración y a la 
economía. México: Pearson Educación. 
 Edwards, C. y Penney, D. (1996). Cálculo con Geometría Analítica. México: 
Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. 
 Haeussler, F., Ernest J. (2003). Matemáticas para administración y economía. 
México: Pearson Educación. 
 Margaret L. Lial, Thomas W. Hungerford. Matemáticas para administración y 
economía: en las ciencias sociales, naturales y de administración. México: 
Pearson Educación. 
 Muñoz, A., Santos, J. (2002). Problemas de Matemáticas para Economía, 
Administración y Dirección de empresas. España: Editorial Universitas. 
 Weber, J. (1983). Matemáticas para Administración y Economía. México: Harla. 
 Tan, S. (2012). Matemáticas Aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y la 
vida. México: Cengage Learning.