Clase 3 Algebra de Funciones y Composición de Función 21 04 23

Vista previa del material en texto

Algebra de Funciones
Si tenemos 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) nosotros podemos realizar las siguientes operaciones 
algebraicas como ser :
Suma y resta
Multiplicarlas entre ellas.
𝐷(𝑓±𝑔) = 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔)
(𝑓. 𝑔)(𝑥)= 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) 𝐷(𝑓.𝑔) = 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔)
(𝑓 ± 𝑔)(𝑥)= 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
Dividirlas
𝑓(𝑥) = ln 𝑥 + 1
Suma (𝑓 + 𝑔)(𝑥)= 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
𝑓
𝑔
(𝑥)
=
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝐷(𝑓/𝑔) = 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) − Τ𝑥 𝑔 𝑥 = 0
𝑔(𝑥) = 𝑒
(𝑥+1)
𝐷(𝑓+𝑔) = 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔)
𝐷𝑓 = −1;+∞
𝐷𝑔 = ℛ
𝑔(𝑥) = 𝑒
(𝑥+1)
𝑓(𝑥) = ln 𝑥 + 1
ℛ0
−1 +∞
−1𝐷(𝑓+𝑔) = 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) +∞
Intersección ?
(𝑓 + 𝑔)(𝑥)= 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) =
= ln 𝑥 + 1 + 𝑒(𝑥+1)
𝐷(𝑓+𝑔) = −1;+∞ −1
𝐷𝑓 = −1;+∞
𝐷𝑔 = ℛ
𝑔(𝑥) = 𝑒
(𝑥+1)
𝑓(𝑥) = ln 𝑥 + 1
ℛ0
−1 +∞
−1𝐷(𝑓−𝑔) = 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) +∞
Resta (𝑓 − 𝑔)(𝑥)= 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
Intersección ?
(𝑓 − 𝑔)(𝑥)= 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) =
= ln 𝑥 + 1 − 𝑒(𝑥+1)
𝐷(𝑓−𝑔) = −1;+∞
−1
𝐷𝑓 = −1;+∞
𝐷𝑔 = ℛ
𝑔(𝑥) = 𝑒
(𝑥+1)
𝑓(𝑥) = ln 𝑥 + 1
ℛ0
−1 +∞
−1𝐷(𝑓.𝑔) = 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) +∞
Multiplicar (𝑓. 𝑔)(𝑥)= 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)
(𝑓. 𝑔)(𝑥)= 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) =
= ln 𝑥 + 1 . 𝑒(𝑥+1)
𝐷(𝑓.𝑔) = −1;+∞
−1
𝐷𝑓 = −1;+∞
𝐷𝑔 = ℛ
𝑔(𝑥) = 𝑒
(𝑥+1)
𝑓(𝑥) = ln 𝑥 + 1
ℛ0
−1 +∞
−1 +∞
Dividirlas 𝑓
𝑔
(𝑥)
=
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝐷(𝑓/𝑔) = 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) − Τ𝑥 𝑔 𝑥 = 0
𝑓
𝑔
(𝑥)
=
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
=
ln 𝑥 + 1
𝑒(𝑥+1)
𝐷(𝑓/𝑔) = −1;+∞
−1
Composición de Función
Ejemplo 𝑎1)
𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑔(𝑥) = ln 𝑥
Cual es 
𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 𝑦 ℎ(𝑥)?
ℎ(𝑥) = 𝑥
2 + 1
Ejemplo 𝑎2)
𝑓(𝑥) = 𝑒
𝑥
Ejemplo 𝑎3)
𝑓(𝑥) = tan 𝑥
Cual es 
𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 𝑦 ℎ(𝑥)?ℎ(𝑥) = sin 𝑥𝑔(𝑥) = 𝑥
𝑔(𝑥) =
3 𝑥 ℎ(𝑥) = 𝑒
𝑥
 Ejercicio de ejemplo. Realizar la composición g ∘ 𝑓 = 𝑔 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2
g ∘ 𝑓 = 𝑔 𝑓 𝑥 =
Composición de Función
𝑔(𝑥) = 𝑥
2 + 1
𝑔 𝑥−2 = 𝑥 − 2
2
+ 1⟹
𝑔 𝑥−2 = 𝑥 − 1
Dominio de la 
función ?
𝐷𝑔 𝑓 𝑥 = ℛ
Simplificando
𝑔 𝑥−2
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 𝐷𝑓(𝑥)=
𝐼𝑚𝑓(𝑥) =
[2;+∞)
ℛ0
+ = [0;+∞)
𝑔(𝑥) = 𝑥
2 + 1
𝐷𝑔(𝑥)=
𝐼𝑚𝑔(𝑥) =
ℛ
[1;+∞)
2
1
Entonces 
Por lo tanto su gráfica 
será ?
𝑔 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1
Dominio de la 
función ?
𝐷𝑔 𝑓 𝑥 =
[2;+∞)
g ∘ 𝑓: [2;+∞) ⟶[1;+∞) / 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1
1
2
𝑔 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1
Definición de composición de función
Sea 𝑓: A → 𝐵 𝑦 𝑔: 𝐵 → 𝐶 dos funciones, llamamos composición de f con g 
a la siguiente función:
g ∘ 𝑓 ∶ A → 𝐶 / g ∘ 𝑓 = 𝑔 𝑓(𝑥)
𝐴
𝑥
𝐵 𝐶
𝒇 compuesta con 𝒈
𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑧 = 𝑔 𝑓(𝑥)
(g ∘ 𝑓)(𝑥)
𝑓
𝑔
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 𝐷𝑓(𝑥)=
𝐼𝑚𝑓(𝑥) =
[2;+∞)
ℛ0
+ = [0;+∞)
𝑔(𝑥) = 𝑥
2 + 1
𝐷𝑔(𝑥)=
𝐼𝑚𝑔(𝑥) =
ℛ
[1;+∞)
2
1
𝐠 ∘ 𝐟 𝐷𝑓 𝐼𝑓 𝐷𝑔 𝐼𝑔
0
2
0 0 0
1
𝐼𝑚𝑓 ⊆ 𝐷𝑔
Ocurre que la 
𝐼𝑚𝑓 𝑒𝑠𝑡á 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢í𝑑𝑎 𝐷𝑔 ? 
g ∘ 𝑓: [2;+∞) ⟶ [1;+∞) / 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1
𝑔 𝑥−2 = 𝑥 − 2
2
+ 1
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 𝑔(𝑥) = 𝑥
2 + 1
D𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 composición 𝐂𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐞 𝐥𝐥𝐞𝐠𝐚𝐝𝐚 𝒅𝒆 𝒍𝒂 composición 
Entonces 
g ∘ 𝑓: [2;+∞) ⟶[1;+∞) / 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1
1
2
𝑔 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1
 Ahora realizaremos composición de g compuesta en f . 𝑓 ∘ g = 𝑓 𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2
𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥2+1)
Composición de Función
𝑔(𝑥) = 𝑥
2 + 1