3 Álgebra - CARLOS DANIEL VILLAVICENCIO PESANTEZ

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Álgebra
Teoría de funciones I
FUNCIÓN
GRÁFICA DE FUNCIONESSean 𝐴 y 𝐵 conjuntos no vacíos. La función 𝑓 de
𝐴 en 𝐵 es un conjunto de pares ordenados 𝑥; 𝑦
tal que a 𝑥 ∈ 𝐴 le corresponde un único
elemento 𝑦 ∈ 𝐵.
Notación: 𝑓 ∶ 𝑨 → 𝑩
𝒙 → 𝒚 = 𝒇 𝒙
Esta dada por la variación de 𝑥, si esta no se
conoce entonces por lo general:
Dominio de 𝑓
Dom 𝑓 = 𝐴 ∩ 𝐶𝑉𝐴 𝑑𝑒 𝑓 𝑥
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
∈ ℝ𝐩𝐚𝐫 𝒂 ∈ ℝ 𝑄 𝑥 ≠ 0𝒂 ≥ 0⇔ ⇔
Para hallar el 𝐶𝑉𝐴 consideramos:
Esta dada por la variación de 𝒇 𝒙 , y se obtiene a
partir del dominio.
Rango de 𝑓
1)
𝑋
𝑌
𝛼
𝒇
𝑓(𝛼)
𝑋
𝑌
𝒇
𝑎 𝑏
𝑐
𝑑
Dom 𝑓 = ሾ𝑎 ۧ; 𝑏
Ran 𝑓 = 𝑐ۦ ሿ; 𝑑
2)
3)
𝑋
𝑌
𝒇 𝑦1 = 𝑓(0)
Corte con el eje 𝑌
𝑦1
𝑓 𝑥 = 0
Corte con el eje 𝑋
su CS = 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3
𝑥1 𝑥2 𝑥3
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑛
FUNCIÓN LINEAL
𝑚 ≠ 0
𝑚 > 0
𝑌
𝑋
𝑛
−
𝑛
𝑚
𝑚 < 0
𝑌
𝑋
𝑛
−
𝑛
𝑚
𝜃
𝜃
Pendiente 𝑚 = 𝑡𝑎𝑛 θ
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
FUNCIÓN CUADRÁTICA
𝑎 ≠ 0
I) 𝑎 > 0
−𝑏
2𝑎
𝒇
−𝑏
2𝑎
mín𝑓 = Ran𝑓 = ඁቈ𝑓
−𝑏
2𝑎
; + ∞
II) 𝑎 < 0
−𝑏
2𝑎
máx𝑓 =
Ran𝑓 = ൽ ቉−∞; 𝑓
−𝑏
2𝑎
Grafiquemos considerando dos casos:
𝒇
−𝑏
2𝑎
Parábola cóncava hacia arriba
Parábola cóncava hacia abajo
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ + 𝑘
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Y RAIZ CUADRADA
𝑎 ≠ 0
Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0
𝑉 ℎ; 𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
ℎ
ℎ
𝑘
𝑘
𝜽𝜽
𝑓 𝑥 = 𝑎0𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 + 𝑎2𝑥
𝑛−2 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛
FUNCIÓN POLINOMIAL DE GRADO 𝑛
𝑎
0
>
0
𝑎
0
<
0
𝑛 es par 𝑛 es impar
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ + 𝑘 𝑎 ≠ 0
𝑎 > 0
ℎ
𝑎 < 0
𝑘
ℎ
𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
𝑓 𝑥 =
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑
FUNCIÓN FRACCIONARIA
Su gráfica es una
hipérbola de asíntotas.
𝑐 ≠ 0
𝑎
𝑐
−
𝑑
𝑐
𝑦 =
𝑎
𝑐
𝑥 = −
𝑑
𝑐
PROPIEDAD DE GRÁFICAS
𝑓 𝑥 + 1 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 − 1
𝑓 𝑥
𝑓 𝑥 + 1
𝑓 𝑥 − 1
𝑓 𝑥𝑓 −𝑥
𝑓 𝑥
−𝑓 𝑥
𝑓 𝑥𝑓 |𝑥|
3.Se refleja
1.Mismo
gráfico
2.Elimine
𝑓 𝑥𝑓 𝑥
1
.M
is
m
o
gr
áf
ic
o
2
.S
e
 r
ef
le
ja
3
. E
lim
in
e
La función 𝒇 es creciente en el intervalo 𝑰 de su
dominio si para todo par de números 𝒙𝟏 y 𝒙𝟐 de
dicho intervalo se cumple
La función 𝒇 es decreciente en el intervalo 𝑰 de
su dominio si para todo par de números 𝒙𝟏 y 𝒙𝟐
de dicho intervalo se cumple
𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2
𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2
FUNCIÓN CRECIENTE
FUNCIÓN DECRECIENTE
Teorema:
Sea 𝑓 una función continua y creciente.
Si Dom 𝑓 = 𝑎; 𝑏 entonces 
𝑎 𝑏
𝑓 𝑎
𝑓 𝑏
𝑓
Ran 𝑓 = 𝑓 𝑎 ; 𝑓 𝑏
Teorema:
Sea 𝒇 una función continua y decreciente.
Si Dom 𝑓 = 𝑎; 𝑏 entonces Ran 𝑓 = 𝑓 𝑏 ; 𝑓 𝑎
𝑎 𝑏
𝑓 𝑏
𝑓 𝑎
𝑓
0
ÁLGEBRA DE FUNCIONES
Notación
Regla de correspondencia
Dominio
𝑓 + 𝑔
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)
𝐷𝑜𝑚 𝑓 + 𝑔 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)
𝑓 − 𝑔
𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)
𝐷𝑜𝑚 𝑓 − 𝑔 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)
𝑓. 𝑔
𝑓. 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥)
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∙ 𝑔 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)
𝑓
𝑔
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 − 𝑥/𝑔 𝑥 = 0
𝑓𝑛
𝐷𝑜𝑚 (𝑓𝑛)= 𝐷𝑜𝑚𝑓
𝑓𝑛(𝑥)= 𝑓 𝑥 𝑛
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Sean f y g son dos funciones, se denota y define
su composición (f compuesta con g) por :
𝑓𝑜𝑔 ൝
𝐷𝑜𝑚(𝑓𝑜𝑔)= 𝑥/𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 ; 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 )
En forma gráfica, tenemos:
𝑔 𝑓
𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑅𝑎𝑛𝑔 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑅𝑎𝑛𝑓
𝑓𝑜𝑔
𝑥 𝑔 𝑥 𝑓(𝑔 𝑥 )
¡Gracias!