De la Mecánica Clásica a la Mecánica Cuántica

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# Au: Engel / Reid Pg. No. 275
Título: Química Física. Traducción : Requena / Zuñiga / Bastida
C/M/Y/K
Short / Normal / Long
C A P Í T U L O 1 2
De la Mecánica Clásica a la
Mecánica Cuántica
E S Q U E M A D E L C A P Í T U L O
12.1 ¿Por qué estudiar Mecánica
Cuántica?
12.2 La Mecánica Cuántica proviene
de la interacción de experimentos
y teoría
12.3 Radiación del cuerpo negro
12.4 El efecto fotoeléctrico
12.5 Las partículas se comportan como
ondas
12.6 Difracción por una doble rendija
12.7 Espectros atómicos
Conforme los científicos fueron capaces de investigar el reino atómico, se desarrolló la
Mecánica Cuántica para explicar las inconsistencias encontradas entre los resultados
de las medidas y las predicciones de la Física Clásica. Esta última predice que todos
los cuerpos a una temperatura distinta de cero grados kelvin irradian una cantidad
infinita de energía. También predice incorrectamente que la energía cinética de los
electrones producidos al iluminar una superficie metálica en el vacío es proporcional a
la intensidad de la luz, y no puede explicar la difracción de un electrón por un sólido
cristalino. Los investigadores conocían por los experimentos, que los átomos constan
de un núcleo pequeño, cargado positivamente, rodeado por una nube de electrones
difusa. La Física Clásica, sin embargo, predice que el átomo es inestable y que los
electrones caerán en espiral hacia el núcleo irradiando energía al entorno. Estas
inconsistencias entre la teoría clásica y las observaciones experimentales proporcionó
el estímulo para el desarrollo de la Mecánica Cuántica. �
12.1 ¿Por qué estudiar Mecánica Cuántica?
Imaginemos lo difícil que sería para los humanos desenvolvernos en un mundo gober-
nado por principios subyacentes que no se reconocen. No seríamos capaces de calcular
la trayectoria de un proyectil, ni comprender por qué una trompa girando permanece
recta , o diseñar un automóvil que recorra más distancia para una cantidad dada de com-
bustible. Del mismo modo, no podríamos lanzar un satélite sin saber cómo depende la
fuerza gravfitacional de la distancia o construir un espectrómetro de masas sin saber
cómo depende la fuerza que actúa sobre un ión, del campo magnético. Esto aboga por
una amplia comprensión de los principios científicos.
La Química es una ciencia molecular; la meta de los químicos es comprender el compor-
tamiento macroscópico en términos de las propiedades de las móleculas individuales. Por
ejemplo, el H
2
es un buen combustible, porque la energía liberada en la formación de H
2
O es
mucho mayor que la necesaria para romper los enlaces de los reactantes O
2
y H
2. 
Como vere-
mos en este capítulo, en la primera década del siglo XX, llegó a estar claro que la Física Clá-
sica era incapaz de explicar por qué era inestable la estructura atómica de un núcleo cargado
positivamente rodeado por electrones. La Física Clásica también fue incapaz de explicar por
qué el grafito conducía la electricidad y el diamante no lo hace, por qué la luz emitida por una
lámpara de descarga de hidrógeno aparece solamente a un número de ondas pequeño y por
qué el ángulo de enlace en el H
2
O es diferente al del H
2
S.
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Título: Química Física. Traducción : Requena / Zuñiga / Bastida
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Estas deficiencias de la Física Clásica pusieron de manifiesto que era necesario otro mo-
delo físico para describir los átomos y las moléculas. En un periodo de unos 20 años, se de-
sarrolló la Mecánica Cuántica y los científicos descubrieron que todos los fenómenos
citados anteriormente que no se podían comprender con la Física Clásica, se podían expli-
car usando la Mecánica Cuántica. Como veremos, el hecho central que distingue la Mecá-
nica Clásica de la Mecánica Cuántica es la dualidad onda-corpúsculo. A nivel atómico,
electrones, protones y luz se comportan todos como ondas o como partículas. Es el experi-
miento el que determina si se observará un comportamiento ondulatorio o corpuscular.
Aunque no lo sepamos, estamos preparados para usar la Mecánica Cuántica. Damos por
sentada la estabilidad del átomo con su núcleo central cargado positivamente rodeado de una
nube electrónica, el láser del reproductor de CD, el circuito integrado de la computadora y el
enlace químico. Sabemos que la espectroscopía infrarroja proporciona una vía útil para iden-
tificar los compuestos químicos y que la espectroscopía de resonancia magnética nuclear
proporciona una herramienta poderosa para obtener la imagen de los órganos internos de los
humanos. Sin embargo, las técnicas espectroscópicas no serían posibles si los átomos y las
moléculas pudieran tener cualquier valor de la energía como predice la Física Clásica. La
Mecánica Cuántica predice que los átomos y las moléculas solamente pueden tener energías
discretas y por tanto, proporciona una base para comprender todas las espectroscopías.
La tecnología se basa, de forma creciente, en la Mecánica Cuántica. Por ejemplo, la com-
putación cuántica, en que un estado puede describirse por cero y uno en lugar de cero o uno,
es un área de investigación muy activa. Si las computadoras cuánticas se pueden construir fi-
nalmente, serán mucho más poderosas que las computadoras actuales. Los cálculos mecano-
cuánticos de las propiedades químicas de las moléculas biológicamente importantes ahora son
lo suficientemente precisos como para que se puedan diseñar moléculas para una aplicación
específica antes de que se comprueben en el banco del laboratorio. Amedida que muchas cien-
cias, como la Biología, cada vez están más focalizadas a nivel molecular, mayor número de
científicos necesitan ser capaces de pensar en términos de modelos mecanocuánticos. Por
tanto, la Mecánica Cuántica es una parte esencial del conocimiento químico básico.
12.2 La Mecánica Cuántica proviene de la
interacción de experimentos y teoría
Las teorías científicas ganan aceptación si pueden hacer más comprensible el mundo alrededor de
nosotros. Un hecho clave de la validación de las teorías como modelos útiles es comparar el resul-
tado de un experimento nuevo con la predicción de las teorías comúnmente aceptadas. Si el expe-
rimento y la teoría están de acuerdo, ganamos confianza en el modelo subyacente en la teoría, si no,
el modelo necesita ser modificado. Al final del siglo XIX, la teoría electromagnética de Maxwell
unificaba el conocimiento existente en las áreas de electricidad, magnetismo y ondas. Esta teoría,
combinada con el bien establecido campo de la mecánica clásica, abrió una nueva era de madurez
de las Ciencias Físicas. Muchos científicos de esa era creían que quedaba poca cosa por entender
en las ciencias naturales. Sin embargo, la creciente capacidad de los científicos para sondear los
fenómenos naturales a nivel atómico pronto demostró que no era así. El campo de la Mecánica
Cuántica se inició a principios de 1900 cuando los científicos fueron capaces de investigar los fenó-
menos naturales a esta novedosa escala atómica. Varios experimentos claves demostraron que las
predicciones de la Física Clásica eran inconsistentes con los resultados experimentales. Varios de
esos experimentos se describen con más detalle en este Capítulo con objeto de demostrar el im-
portante papel que tuvieron los experimentos —y continúan teniendo— para estimular el desarro-
llo de las teorías que describen el mundo natural. Esos experimentos estimularon a los científicos
prominentes de la era para formular la Mecánica Cuántica.
En el resto del capítulo, se presenta la evidencia experimental de dos propiedades
clave que distinguen la Físicia Clásica de la Cuántica. El primero de estos es la cuanti-
zación. La energía a nivel atómico no es una variable continua, sino que va en paquetes
discretos llamados cuantos. La segunda propiedad clave es ladualidad onda-partícula.
A nivel atómico, las ondas de luz tienen propiedades de ondas, y los átomos, como las
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partículas subatómicas, tales como los electrones, tienen propiedades de ondas. Ni la
cuantización ni la dualidad onda-partícula eran conceptos conocidos hasta que se lle-
varon a cabo los experimentos descritos en las secciones 12.3 a 12.7.
12.3 Radiación del cuerpo negro
Pensemos en el calor que se percibe del rescoldo de una hoguera en una noche fría. La energía
que absorbe el cuerpo es irradiada por el carbón ardiente. Una idealización de este sistema que
es más útil para el estudio teórico es un bloque de metal caliente al rojo con una cavidad esfé-
rica en su interior que se puede observar a través de un orificio lo suficientemente pequeño
como para que no se vean perturbadas las condiciones de su interior. En la Figura 12.1 se mues-
tra un cuerpo negro ideal. Bajo condiciones de equilibrio entre el campo de la radiación dentro
de la cavidad y la pieza de materia ardiente, la teoría electromagnética clásica puede predecir
qué frecuencias de la luz, , son irradiadas y sus magnitudes relativas. El resultado es
(12.1)
En esta ecuación, es la densidad espectral, que tiene unidades de energía
× (volumen)-1 × (frecuencia)-1. La densidad espectral es función de la temperatura, T, y la fre-
cuencia . La velocidad de la luz es c, y es la energía promedio de un dipolo oscilante en
el sólido. En otras palabras, la densidad espectral es la energía a la frecuencia por unidad de
volumen y unidad de frecuencia almacenada en el campo electromagnético del cuerpo negro
radiante. La base de este modelo es que los dipolos eléctricos oscilantes, como pueden inter-
pretarse los núcleos atómicos y sus electrones asociados son la fuente de la energía irradiada.
El factor aparece en ambos miembros de esta ecuación debido a que nos pre-
guntamos por la densidad de energía observada en el intervalo de frecuencias de anchura
centrada en la frecuencia . La teoría clásica predice, además, que la energía media
de un oscilador está relacionada con la temperatura simplemente por
(12.2)
donde k es la constante de Boltzmann. Combinando estas dos ecuaciones obtenemos una
expresión para , la cantidad de energía por unidad de volumen en el intervalo
de frecuencia entre n y n + dn en equilibrio con un cuerpo negro a la temperatura T:
(12.3)
Es posible medir la densidad espectral de la radiación emitida por un cuerpo negro, y el re-
sultado es el que se muestra en la Figura 12.2 para varias temperaturas, junto al resultado
predicho por la teoría clásica. Las curvas experimentales tienen un comportamiento simi-
lar. La densidad espectral tiene un máximo relaticamente ancho y disminuye tanto a bajas
como a altas frecuencias. El desplazamiento del máximo a altas frecuencias al aumentar la
temperatura concuerda con nuestra experiencia de que si se suministra más potencia a una
estufa eléctrica, su color cambia desde rojo apagado hasta amarillo (frecuencia creciente).
La comparación de la distribución de densidad espectral predicha por la teoría clásica, con la
observada experimentalmente para T = 6000 K, es particularmente instructiva. Las dos curvas
muestran un comportamiento similar a bajas frecuencias, pero la curva teórica sigue creciendo con
la frecuencia como muestra la Ecuación (12.3). Como el área bajo las curvas da
la energía total por unidad de volumen del campo del cuerpo negro, la teoría clásica predice que
¡un cuerpo negro emitirá una cantidad infinita de energía a toda temperatura por encima del cero
absoluto! Está claro que esta predicción es incorrecta, pero a comienzos del siglo XX los científi-
cos estaban muy confundidos sobre dónde estaba equivocada la teoría.
Mirando los datos como los que se muestran en la Figura 12.2, el físico alemán Max Planck
fue capaz de desarrollar algunas ideas iluminadoras que finalmente dieron lugar a la compren-
sión de la radiación del cuerpo negro. Se comprendió entonces que el origen de la radiación
r n n( , )T frente a
r n n
p n
n( , )T d
kT
c
d= 8
2
3
r n n( , )T d
E kTosc =
ndn
dn
n
Eoscn
r
r n n
pn
n( , )T d
c
E dosc=
8 2
3
n
12.3 Radiación del cuerpo negro 277
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• • •
WWW
• • •
2 4 6 8 10
5000 K
6000 K
4000 K
3000 K
6000 K Clásica
10–14 Frecuencia (Hz)
D
e
n
si
d
a
d
 e
sp
e
ct
ra
l
F I G U R A 1 2 . 2
Las curvas rojas muestran la intensidad
de la luz emitida por un cuerpo negro
ideal en función de la frecuencia a
diferentes temperaturas. La curva de
trazos muestra las predicciones de la
teoría clásica para T = 6000 K.
F I G U R A 1 2 . 1
Un cuerpo negro idealizado. Un sólido
cúbico a alta temperatura emite fotones
desde el interior de una superficie esférica.
Los fotones se reflejan varias veces antes de
emerger a través de un canal estrecho. La
reflexión asegura que la radiación está en
equilibrio térmico con el sólido.
12.1 y 12.2 Radiación del cuerpo negro 
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del cuerpo negro era la vibración de los dipolos eléctricos que emitían la radiación a la fre-
cuencia a la que oscilaban. Planck vió que la discrepancia entre el experimento y la teoría clá-
sica ocurría a alta y no a bajas frecuencias. La ausencia de radiación de alta frecuencia a baja
temperatura evidenciaba que los osciladores dipolares de alta frecuencia solamente estaban ac-
tivos a altas temperaturas. Como altas temperaturas se corresponden con altas energías, Planck
razonó que la Ecuación (12.2) no era correcta. Esto le llevó a postular que la energía de la ra-
diación era proporcional a la frecuencia. Esto supuso una desviación radical de la teoría clásica,
en la que la energía almacenada en el campo de la radiación es proporcional al cuadrado de la
amplitud, pero independiente de la frecuencia. Podemos seguir la línea de razonamiento de
Planck comprobando que salvo que se ponga una gran cantidad de energía en el cuerpo negro
(alta temperatura) no es posible excitar los osciladores de alta energía (alta frecuencia).
Planck encontró que se podía lograr una concordancia entre la teoría y el experimento
solamente si se suponía que la energía irradiada por los dipolos venía dada por la relación
(12.4)
La constante de Planck, h, inicialmente fue una constante de proporcionalidad descono-
cida y n un entero positivo (n = 0, 1, 2, . . . ). La frecuencia es continua, pero a una dada,
la energía está cuantizada, de acuerdo con la Ecuación (12.4). Fue la introducción de esta
relación entre la energía y la frecuencia la que dio paso a la nueva era de la Física. La energía
en la teoría clásica es una cantidad continua, lo que significa que puede tomar todos los va-
lores. La Ecuación (12.4) establece que las energías irradiadas por un cuerpo negro no son
continuas, sino que pueden tomar sólo una serie discreta de valores para cada frecuencia.
Esta suposición supuso una separación radical de la teoría clásica, y su principal justifica-
ción fue el acuerdo que se podía obtener entre teoría y experimento. Usando la Ecuación
(12.4) y algo de Física Clásica, Planck obtuvo la siguiente relación:
(12.5)
Conviene obtener un valor aproximado de a partir de esta ecuación para dos límites, a sa-
ber, a altas temperaturas, donde , y a bajas temeraturas, donde . A altas
temperaturas, la función exponencial de la Ecuación (12.5) se puede desarrollar mediante una
serie de Taylor-Mclaurin (Véase el suplemento de Matemáticas, Apéndice A), dando
(12.6)
justamente lo que predice la teoría clásica. Sin embargo, para bajas temperaturas, corres-
pondientes a , el denominador de la Ecuación(12.5) se hace muy grande y 
tiende a cero. Como los osciladores de alta frecuencia tienen una energía media que tiende
a cero a temperaturas bajas y moderadas, no contribuyen a la energía irradiada.
Usando la Ecuación (12.5), Planck obtuvo en 1901 la siguiente fórmula general para
la densidad de radiación espectral de un cuerpo negro:
(12.7)
El valor de la constante h no era conocido y Planck lo usó como parámetro para ajustar los
datos. Fue capaz de reproducir los datos experimentales a todas las temperaturas con un
solo parámetro ajustable, h, que mediante medidas más precisas tiene el valor de h = 6.626
× 10–34 J s. Pese a que obtener este grado de acuerdo fue un logro notable, la explicación
de Planck, que se basaba en la suposición de que la energía de la radiación llega en pa-
quetes discretos o cuantos, inicialmente no fue aeptada. Sin embargo, poco después la ex-
plicación de Einstein del efecto fotoeléctrico vino en apoyo a la hipótesis de Planck.
r n n
p n
n
n
( , )T d
h
c e
d
h kT
=
−
8 1
1
3
3
Eosch kTn >> 1
E
h
h kT
kTosc = + + −
=n
n( ...)1 1
h kTn >> 1h kTn << 1
Eosc
E
h
eosc h kT
=
−
n
n 1
nn
E nh= n
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12.4 El efecto fotoeléctrico 279
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e-
e-
+ -
I
V
Foto-
cátodo
metálico
Colector 
de
electrones
Cámara
de vacío
Ventana
de cuarzo
Luz
incidente
Fuente de alimentación
F I G U R A 1 2 . 3
Los electrones emitidos por la superficie bajo
iluminación inciden en el colector, que está a
un potencial eléctrico apropiado para atraerlos.
El experimento se lleva a cabo en una cámara
de vacío para impedir las colisiones y la captura
de electrones por las moléculas de gas.
E
 (
e
le
ct
ró
n
 v
o
lti
o
s)
1.0
5.0 10.0 15.0
2.0
3.0
4.0
10–14 ν(s-1)
F I G U R A 1 2 . 4
Se muestra la energía de los electrones
fotoejectados en función de la frecuencia
de la luz. Como se observa, los datos
individuales se ajustan bien a una línea
recta.
12.4 El efecto fotoeléctrico
Imaginemos una placa de cobre en el vacío. La luz que incide sobre la placa puede ser ab-
sorbida, dando lugar a una excitación de los electrones a niveles de energía desocupados.
Se puede transferir suficiente energía a los electrones de forma que algunos de ellos aban-
donen el metal y sean expulsados al vacío. Si se añade otro electrodo, llamado colector,
en el sistema de vacío, se pueden recoger los electrones que se han emitido del cobre ilu-
minando. Esto se denomina efecto fotoeléctrico. En la Figura 12.3 se muestra un es-
quema del aparato. Invocando la conservación de la energía, concluimos que la energía
de la luz absorbida debe equilibrarse con la energía cinética de los electrones emitidos y
la energía requerida para arrancar un electrón en equilibrio, debido a que la energía del
sistema es constante. La teoría clásica hace las siguientes predicciones:
• La luz incide como una onda plana sobre toda la placa de cobre. Por tanto, la luz es
absorbida por los numerosos electrones del sólido. Cualquier electrón puede
absorber solamente una pequeña fracción de la luz incidente.
• Los electrones son emitidos al colector para todas las frecuencias de la luz,
suponiendo que la luz sea suficientemente intensa.
• La energía cinética por electrón aumenta con la intensidad de la luz.
Los resultados del experimento se pueden resumir como sigue:
• El número de electrones emitidos es porporcional a la intensidad de la luz, pero su
energía cinética es independiente de la intensidad de la luz.
• No se emiten electrones a menos que la frecuencia ν esté por encima de una
frecuencia umbral incluso para altas intensidades de luz.
• La energía cinética de los electrones emitidos depende de la frecuencia de la forma
descrita en la Figura 12.4.
• Los electrones se emiten incluso a intensidades tan bajas tales que toda la luz
absorbida por la placa entera de cobre solamente es capaz de arrancar un sólo
electrón, basado en consideraciones de conservación de la energía.
Como en el caso de la radiación del cuerpo negro, la incapacidad de la teoría cláasica
de corregir la predicción de los resultados experimentales estimuló una nueva teoría. En
1905, Albert Einstein formuló la hipótesis de que la luz era proporcional a su frecuencia:
(12.8)
donde es una constante a determinar. Esto supone una discrepancia marcada con la
Termodinámica clásica, en la que no hay relación entre la energía de una onda de luz y
su frecuencia. A partir de consideraciones de conservación de la energía, la energía del
electró, , está relacionada con la de la luz por
(12.9)
La energía de enlace del electrón en el sólido, que es análoga a la energía de ionización
de un átomo, se designa por en esta ecuación y se denomina función de trabajo. En
otras palabras, esta ecuación dice que la energía cinética del fotoelectrón que ha esca-
pado del sólido es más pequeña que la energía del fotón, en la cuantía en la que electrón
está enlazado al sólido. La teoría de Einstein predice una dependencia de la energía
cinética de los fotoelectrones con la frecuencia de la luz para un sólido dado que se
puede comparar directamente con el experimento. Debido a que se puede determinar
independientemente, solamente desconocemos . Esta cantidad puede obtenerse ajus-
tando los datos de la Figura 12.4 a la Ecuación (12.9). El resultado que muestra la lí-
nea roja de la Figura 12.4 no sólo reproduce muy bien los datos, sino que proporcionan
b
f
f
Ee = −bn f
Ee
b
E = bn
n0
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280 C A P Í T U L O 1 2 De la Mecánica Clásica a la Mecánica Cuántica
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Podemos extraer otra importante conclusión de la observación de que, incluso a intensi-
dades de luz muy bajas, se emiten fotoelectrones desde un sólido. Más precisamente, los fo-
toelectrones se detectan incluso a intensidades tan bajas que la intensidad de radiación
integrada total incidente sobre una superficie sólida es sólo ligeramente mayor que el umbral
de energía requerido para dar lugar a un solo fotoelectrón. Este resultado no es consistente con
el concepto de que la luz que libera el fotoelectrón está uniformemente distribuida sobre la su-
perficie. Si esto fuera cierto ningún electrón individual recibiría suficiente energía para esca-
par al vacío. La sorprendente conclusión que se puede extraer de este resultado es que toda la
energía de la luz incidente se puede concentrar en la excitación de un solo electrón. Esto dio
lugar a que se acuñara el término fotón para describir un paquete de luz espacialmente loca-
lizado. Debido a que así es como están conceptualizadas las partículas, la conclusión es que
la luz puede exhibir un comportamiento como una partícula bajo ciertas circunstancias.
Muchos experimentos han demostrado que la luz tiene un comportamiento ondulatorio. Es
conocido que la luz se puede difractar por una abertura o ventana. Sin embargo, el fotón que en
el efecto fotoeléctrico muestra propiedades como partícula y el fotón que en un experimento de
difracción muestra propiedades ndulatorias es único y es el mismo. Esto nos fuerza a concluir
que la luz muestra una dualidad onda-partícula, que significa que, dependiendo del experimento,
puede manifestarse como onda o como partícula. Este importante reconocimiento nos lleva a la
descripción de un tercer experimento: la difracción de electrones por un sólido cristalino. Debido
a que la difracción es claramente un comportamiento ondulatorio, si las partículas se pueden di-
fractar, entonces tienen también una dualidad onda-partícula, justamente como la luz.
P R O B L E M A E J E M P L O 1 2 . 1
Luz con una longitud de onda de 300 nm incide sobre una superficie de potasio
para la que la función de trabajo, ,es 2.26 eV. Calcule la energía cinética y la
velocidad de los electrones deyectados.
Solución
Usando la Ecuación (12.9), escribimos y convertimos las
unidades de de eV a julios: .
Los electrones sólo serán deyectados si la energía del fotón, , es mayor que .
La energía del fotón se calcula del siguiente modo 
que es suficiente para deyectar los electrones.
Usando la Ecuación (12.9), obtenemos .
Usando E
e
= 1/2mv2, obtenemos que
v = = ×
×
= ×
−
−
2 2 2 99 10
9 109 10
8 10 10
19
31
5
E
m
e ( .
.
.
J)
kg
m s 1−
E hce = − = × −( / ) .l f 2 99 10 19 J
hc
l
= × ×
×
− −( . ( . )6 626 10 2 998 10
300 10
34 8J s) m s 1
−−
−= ×
9
196 62 10
m
J.
fhn
f = × = ×− −( . ( . ) .2 26 1 602 10 3 62 1019 19eV) J eV Jf
E h hce = − = −n f l f( )
f
el valor de , la pendiente de la línea, idéntica a la constante de Planck, h. Este re-
sultado, que relaciona la energía de la luz con su frecuencia
(12.10)
es una de las ecuaciones más ampliamente usadas en Mecánica Cuántica e hizo mere-
cedor a Albert Einstein del Premio Nobel de Física. En el Problema ejemplo 12.1 se lleva
a cabo un cálculo que implica al efecto fotoeléctrico.
El acuerdo entre la predicción teórica y los datos experimentales valida la suposición fun-
damental efectuada por Einstein, a saber, que la energía de la luz es proporcional a su frecuen-
cia. Este resultado también sugiere que hes una “constante universal” que aparece en fenómenos
aparentemente si relación. Su aparición en este contexto hizo que las suposiciones de Planck
usadas para explicar la radiación del cuerpo negro fueran aceptadasmás ampliamente.
E h= n
b
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12.6 Difracción por una doble rendija 281
# Au: Engel / Reid Pg. No. 281
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E J E M P L O P R O B L E M A 1 2 . 2
Los electrones se usan para determinar la estructura de las superficies cristalinas.
Para que haya difracción, la longitud de onda, , de los electrones debe ser del
orden de la constante de red, que típicamente es 0.30 nm. ¿Qué energía,
expresada en electrón-voltio y julios, hará que los electrones la tengan?
Solución
Usando la Ecuación (12.11) y la expresión E = p2/2m para la energía cinética,
obtenemos 
E
p
m
h
m
= = = ×
×
−
−
2 2
2
34 2
32 2
6 626 10
2 9 109 10l
( .
( .
J s)
11 10 2
18
3 0 10
2 7 10
kg) m)
J 17 eV
( .
.
×
= ×
−
− o
l
El experimento de Davisson-Germer fue crucial en el desarrollo de la Mecánica
Cuántica, porque demostró que las partículas exhiben comportamiento ondulatorio. Si
este es el caso, debe haber una ecuación que relacione las dependencias espaciales y tem-
porales de la amplitud de la onda para la partícula (ondulatoria). Fue Erwin Schrödinger
quien formuló esta ecuación de ondas, que discutiremos en el Capítulo 13.
12.6 Difracción por una doble rendija
No hay, probablemente, un experimento sencillo que muestre la sorprendente naturaleza de la
medida en los experimentos de Mecánica Cuántica, mejor que la difracción de partículas por
una doble rendija. Describimos una versión idealizada del experimento, pero todos los resulta-
dos de la siguiente explicación se han confirmado en experimentos llevados a cabo con partícu-
las tales como los neutrones. Primero revisamos brevemente la difracción clásica de ondas.
La difracción es un fenómeno ampliamente explotado en ciencia. Por ejemplo, la estruc-
tura a nivel atómico del ADN se determinó, en gran parte, analizando la difracción de rayos X
de las muestras cristalinas de ADN. La difracción es un fenómeno que puede ocurrir con
cualquier onda, incluyendo las ondas sonoras y las ondas electromagnéticas (luz). La Figura 2.5
ilustra la difracción de la luz en una rendija estrecha practicada en una pared opaca.
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WWW
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12.3 Difracción de la luz
12.5 Las partículas se comportan como ondas
En 1924, Louis de Broglie sugirió que una relación que se había deducido para rela-
cionar el momento y la longitud de onda de la luz también podía aplicarse a las partícu-
las. La relación de de Broglie establece que
(12.11)
donde h es la, por ahora, familiar constante de Planck y p es el momento de la partícula, dado
por p = mv, donde el momento se expresa en términos de la masa y la velocidad de la partícula.
Esta relación fue confirmada en 1927 por Davisson y Germer, quienes llevaron a cabo un ex-
perimento de difracción. Recordemos de los cursos de Física que la difracción se observa bajo
condiciones en las que la dimensión característica de la red de difracción es del orden de una
longitud de onda. Haciendo números en la Ecuación (12.11) deberíamos convenceremos de que
es difícil obtener longitudes de onda mucho mayores de 1 nm, incluso con partículas tan lige-
ras como un electrón, como se muestra en el Problema Ejemplo 12.2. Por tanto, la difracción
requiere una red con dimensiones atómicas, y un candidato ideal es un sólido cristalino. Da-
visson y Germer difractaron electrones en NiO cristalino en sus clásicos experimentos para ve-
rificar la relación de de Broglie. También se ha observado difracción de He y H
2
en superficies
cristalinas en años posteriores.
l = h
p
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282 C A P Í T U L O 1 2 De la Mecánica Clásica a la Mecánica Cuántica
# Au: Engel / Reid Pg. No. 282
Título: Química Física. Traducción : Requena / Zuñiga / Bastida
C/M/Y/K
Short / Normal / Long
D
is
ta
n
ci
a
Intensidad
b
a
F I G U R A 1 2 . 5
La difracción de la luz de longitud de
onda en una rendija cuyo eje
longitudinal es perpendicular a la
página. Las flechas de la izquierda
indican rayos paralelos de luz incidente
sobre una placa opaca conteniendo la
rendija. En lugar de aparecer una imagen
nítida de la rendija sobre la pantalla, se ve
un patrón de difracción. Esto se indica
esquemáticamente en una representación
de la intensidad frente a la distancia. En
ausencia de difracción, se observaría la
intensidad frente a la distancia indicada
por las líneas azules. 
l
(a) (b) (c)
F I G U R A 1 2 . 6
Cada segmento de una rendija a través de la
cual se difracta la luz se puede ver como una
fuente de ondas que interfieren entre sí. (a) Las
ondas que emergen perpendiculares a la
rendija están todas en fase y dan lugar al
máximo principal en el patrón de difracción.
(b) Las ondas sucesivas que emergen al ángulo
mostrado están exactamente fuera de fase.
Interferirán destructivamente y se observará un
mínimo en la intensidad. (c) Cada una de las
otras ondas está fuera de fase y la interferencia
destructiva se observará con un mínimo en la
intensidad. La longitud de onda y la anchura
de la rendija no están dibujadas a escala
El análisis de este problema resulta ser mucho más simple si la pantalla sobre la que se pro-
yecta la imagen está bastante lejos de la rendija. Matemáticamente, esto requiere que b >> a.
En óptica de rayos, que se usa para determinar la capacidad de focalización de una lente sobre
la luz, la luz incidente desde la izquierda sobre la rendija en la Figura 12.5 daría una imagen de
la rendija sobre la pantalla. En este caso se supone que incide sobre la rendija luz paralela y, por
tanto, la imagen y las dimensiones de la rendija son idénticas. Esto daría lugar a un patrón de
intensidad sobre la pantalla como el mostrado por las líneas azules de la figura. En lugar de ello,
cuando la longitud de onda de la luz es comparable a la anchura de la rendija, se observa una
distribuión de intensidad como la mostrada por la curva roja.
El origen de este patrón de máximos y mínimos alternantes (distinto del perfil espe-
rado según la óptica de rayos) es la interferencia de las ondas. Su origen se puede com-
prender tratando cada punto del plano de la rendija como una fuente de ondas cilíndricas
(construcción de Huygens). Los máximos y mínimos resultan de la diferencia de camino
existente entre la fuente de ondas cilíndricas y la pantalla,como muestra la Figura 12.6.
La condición que debe satisfacer el mínimo es
(12.12)sen , , , , ...u = = ± ± ± ±
n
a
n
l
1 2 3
engel_cap12.qxp 16/07/2006 20:22 Página 282
12.6 Difracción por una doble rendija 283
# Au: Engel / Reid Pg. No. 283
Título: Química Física. Traducción : Requena / Zuñiga / Bastida
C/M/Y/K
Short / Normal / Long
• • •
WWW
• • •
12.4 Difracción en una doble rendija
Intensidad Intensidad
Fuente
Doble rendija Pantalla
D
is
ta
n
ci
a
D
is
ta
n
ci
a
a
b
caso 1 caso 2
F I G U R A 1 2 . 7
El experimento de difracción de la doble
rendija. El caso 1 describe el resultado de
la difracción cuando se bloquea una de las
rendijas. El caso 2 describe el resultado
cuando ambas rendijas están abiertas.
Esta ecuación nos ayuda a comprender bajo qué condiciones podríamos observar la difracción.
La longitud de onda de la luz en la mitad del espectro visible es, aproximadamente, de 600 nm
o 6.00 × 10–4 mm. Si esta luz pasa a través de una rendija de anchura 1.00 mm y calculamos el
ángulo al que aparece el primer mínimo, el resultado es para n = 1. Este mínimo no
es fácilmente observable porque está muy próximo al máximo, y esperamos ver una imagen
definida de la rendija sobre la pantalla, como dice la óptica. Sin embargo, si la anchura de la
ventana disminuye a 1.00 × 10-2 mm, entonces . Este mínimo es fácilmente observa-
ble y se apreciarán sucesivas bandas de luz y zonas oscuras en lugar de una imagen nítida. Nó-
tese que no hay una demarcación clara entre la óptica de rayos y la difracción. La conexión entre
las dos es continua y depende de la resolución de nuestras técnicas experimentales. El mismo
comportamiento se observa exactamente en la dualidad onda-partícula en la Mecánica Cuán-
tica. Si la rendija es mucho mayor que la longitud de onda, entonces la difracción no se observa
y la óptica de rayos es válida. Esta conclusión se obtiene de los experimentos llevados a cabo
usando ondas de luz, pero se aplica también a partículas. En este caso, la longitud de onda viene
dada por la relación de de Broglie, definida por la Ecuación (12.11).
Consideremos el montaje experimental diseñado para detectar la difracción de partí-
culas mostrado en la Figura 12.7. El rasgo esencial del aparato es una placa metálica en
la que se han cortado dos rendijas rectangulares de anchura a. El eje más largo de los
rectángulos es perpendicular al plano de la página. ¿Por qué dos rendijas? En lugar de de-
tectar la difracción de las rendijas individuales, el aparato se diseña para detectar la di-
fracción de la combinación de las dos rendijas. La difracción sólo se observará en el Caso
2 si la partícula pasa a través de ambas rendijas simultáneamente. Veamos más de cerca
la difracción para determinar qué tiene la frase anterior que es difícil de aceptar desde el
punto de vista de la Física Clásica.
En primer lugar, necesitamos una fuente de partículas, por ejemplo, una escopeta de
electrones. Controlando la energía de los electrones, se varía la longitud de onda. Cada
electrón tiene un ángulo de fase al azar con respecto a los electrones restantes. Conse-
cuentemente, dos electrones nunca pueden interferir entre sí para producir un patrón de
difracción. Un electrón da lugar a un patrón de difracción, pero son necesarios muchos
electrones, para amplificar la señal de forma que podamos ver fácilmente el patrón de
difracción. Una forma más exacta de decir esto es que se suman las intensidades de las
ondas, en lugar de las amplitudes.
u = °3 4.
u = °0 03.
engel_cap12.qxp 16/07/2006 20:22 Página 283
284 C A P Í T U L O 1 2 De la Mecánica Clásica a la Mecánica Cuántica
# Au: Engel / Reid Pg. No. 284
Título: Química Física. Traducción : Requena / Zuñiga / Bastida
C/M/Y/K
Short / Normal / Long
Montamos una pantalla fosforescente que se ilumina cuando una onda o partícula in-
cidente le transfiere su energía (como el tubo de una televisión) detrás de la placa con las
rendijas. La energía del electrón se ajusta de forma que la difracción por las rendijas indi-
viduales de anchuar a, sea máxima con el primer mínimo de intensidad a un ángulo de di-
fracción grande. La distancia entre las dos rendijas, b se elige de forma que se vean varias
oscilaciones de la intensidad para pequeños ángulos de difracción. Los patrones de di-
fracción de la Figura 12.7 (caso 2) se calcularon para la ratio b/a = 5.
Ahora hablemos de los resultados. Si se cierra una rendija y un observador mira la panta-
lla, verá el patrón a amplia intensidad frente a la distancia mostrado en el caso 1 de la Figura
12.7. Dependiendo de qué rendija se haya cerrado, el observador verá una de las dos curvas
mostradas. El observador ve la difracción de la rendija, lo que demuestra que el electrón actúa
como una onda. Si el dispositivo usado para cerrar la rendija, también mide la corriente
electrónica y encontraremos que para un gran número de electrones que pasen a través de la
placa con rendijas, exactamente el 50% alcanzan la pantalla y el 50% alcanzan el dispositivo
que bloquea una de las rendijas. Además si trabajamos con fósforos muy sensibles, se detecta
la llegada de cada electrón individual a la pantalla mediante un flash de luz, localizado en una
pequeña área de la pantalla. Visto desde la Física Clásica, ¿cuál de esos tres resultados es con-
sistente con ambos comportamientos de onda y de partícula, y cuál es solamente consistente
con comportamientos de onda o partícula?
En el siguiente experimento, ambas rendijas se dejan abiertas. El resultado de este ex-
perimento se muestra en la Figura 12.7 como caso 2. Para corrientes de electrones muy pe-
queñas, el observador de nuevo ve los flashes de luz localizados en pequeñas áreas de la
pantalla con un patrón al azar. Esto implica un comportamiento como partícula. La Figura
12.8 muestra lo que el observador vería si se almacenaran los resultados de varios de esos
experimentos con electrones individuales. Sin embargo, se ven rasgos de difracción indis-
cutibles si se acumulan resultados de muchos flashes de luz individuales. Esto demuestra
que una onda (un único electrón) incide en ambas ventanas simultáneamente.
¿Cómo pueden interpretarse los resultados de este experimento? El hecho de que la difrac-
ción se vea con una sola rendija así como con la doble rendija demuestra el comportamiento
ondulatorio del electrón. Con todo, se observan flahses de luz individual en la pantalla, que es
lo que esperamos a partir de las trayectorias de las partículas, en lugar del patrón de difracción
mostrado en el panel inferior de la Figura 12.8. Para más complejidad, la distribución espacial
de los flahses individuales en la pantalla es la que se espera de las ondas, más que de las partí-
culas. La medida de la corriente electrónica en el bloqueador de la rendija parece indicar que el
electrón va a través de una rendija o a través de la otra. Sin embargo, esta conclusión es incon-
sistente con la aparición de un patrón de difracción debido a que ¡un patrón de difracción sola-
mente puede darse si un electrón y uno solo pasa a través de ambas rendijas!
Encontraremos que todos ellos son inconsistentes con la lógica, con independencia de como ha-
yamos obtenido este resultados, los químicos están acostumbrados de la Mecánica Clásica, a saber,
o bien el electrón pasa a través de una rendija y no de la otra o pasa a través de ambas. ¡Esta lógica
no puede explicar el resultado! En términos mecanocuánticos, la función de onda del electrón es una
superposición de funciones de onda que pasan a través de la rendija de arriba y de la de abajo, lo cual
es equivalente a decir que el electrón pasa a través de ambas rendijas. Tendremos mucho más que
decir acerca de las funciones de onda en los próximos capítulos. El acto de la medida, tal como ta-
par una rendija, cambia la función de onda de forma tal que el electrón pasa a través de la rendija de
arriba o de la de abajo. El resultado representa una mezcla de comportamientocomo partícula y como
onda. Los electrones individuales se mueven a través de las rendijas y generan puntos de luz en la
pantalla. Este comportamiento es particular. Sin embargo, la localización de los puntos de luz en la
pantalla no es lo que se espera de las trayectorias clásicas; está gobernada por el patrón de difracción.
Este comportamiento es ondulatorio. Mientras que en Mecánica Clásica, la palabra operativa que
concierne a los varios modos posibles de comportamiento es o, en Mecánica Cuántica es y. Si todo
esto parece extraño a primera vista, ¡bienvenido al bordo! En 1997, este experimento clásico de do-
ble rendija se llevó a cabo usando un haz colimado de átomos de He. El patrón de difracción ob-
servado fue exactamente el descrito anteriormente, sugiriendo que el átomo de He
también pasa a través de ambas rendijas.
engel_cap12.qxp 16/07/2006 20:22 Página 284
12.7 Espectro atómico 285
# Au: Engel / Reid Pg. No. 285
Título: Química Física. Traducción : Requena / Zuñiga / Bastida
C/M/Y/K
Short / Normal / Long
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
F I G U R A 1 2 . 8
Simulación del patrón de difracción
observado en el experimento de la doble
rendija para (de arriba a abajo) (a) 60, (b)
250, (c) 1000, y (d) 3000 particulas. El
panel de abajo muestra lo que se esperaría
de una onda incidente sobre el aparato. El
brillo rojo corresponde a alta intensidad y
el azul corresponde a baja intensidad.
Nótese que el patrón de difracción sólo
llega a hacerse obvio después de que un
gran número de partículas hayan pasado a
través del aparato, pese a que la intensidad
mínima se aprecie incluso con 60
partículas incidentes.
12.7 Espectro atómico
La evidencia más directa de la cuantización de la energía proviene del análisis de la luz emitida
por átomos altamente excitados en un plasma. La estructura del átomo no se conoció hasta que
se llevaron a cabo estudios fundamentales usando dispersión de partículas alfa en el laborato-
rio de Ernest Rutherford a comienzos de 1910. Estos experimentos mostraron que las cargas
positiva y negativa del átomo estaban separadas. La carga positiva está contenida en un pequeño
volumen llamado núcleo, mientras que la carga negativa de los electrones ocupa un volumen
mucho mayor que está centrado en el núcleo. En analogía con nuestro sistema solar, la primera
descripción que se dió del átomo fue la de los electrones dando vueltas en torno al núcleo.
Sin embargo, esta descripción del átomo es inconsistente con la teoría electrodinámica. Un
electrón orbitando está acelerando constantemente y, por tanto, debe irradiar energía. En una
descripción clásica, el electrón continuaría irradiando sin cesar su energía cinética y caería al
núcleo. Esto, claramente, no ocurría, pero ¿por qué? Responderemos a esta cuestión cuando
discutamos el átomo de hidrógeno en el Capítulo 20. Incluso antes de los experimentos de
Rutherford, se sabía que si un arco eléctrico se situaba en un tubo de vacío con una pequeña
presión parcial de un gas como el hidrógeno, se emitía luz. Nuestra descripción actual de este
fenómeno es que el átomo toma energía del campo electromagnético y efectúa una transición
a un estado excitado. El estado excitado tiene un tiempo de vida limitada, y cuando ocurra la
transición a un estado de energía más baja se emite luz. En la Figura 12.9 se muestra esquemá-
ticamente el aparato que se usa para obtener un espectro atómico y un espectro típico.
¿Qué hicieron los científicos en 1890 para explicar esos espectros? La observación experi-
mental más importante que esos científicos realizaron es que en un amplio intervalo de longitu-
des de onda, la luz solamente se observaba a ciertas longitudes de onda discretas, esto es, estaba
cuantizada. Esto no podía comprenderse sobre la base de la teoría clásica porque en Física Clá-
sica, la energía es una variable continua. Más inconprensible para estos primeros espectroscopis-
tas fue que pudieron obetner una relación sencilla para explicar todas las frecuencias que aparecían
en el espectro de emisión. En el espectro de emisión observado, la inversa de la longitud de onda,
de las líneas del espectro del hidrógeno atómico vienen dadas por ecuaciones del tipo
(12.13)%n( ) ( ) ,cm cm− −=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
>−1 1
1
2 2 1
1 1
R
n n
n nH
1/ l n= %
engel_cap12.qxp 16/07/2006 20:22 Página 285
286 C A P Í T U L O 1 2 De la Mecánica Clásica a la Mecánica Cuántica
# 43463 Cust: BC Au: Engel / Reid Pg. No. 286
Title: Physical Chemistry
C/M/Y/K
Short / Normal / Long
Película fotográfica
Elemento dispersante
Rendija
Alto
voltaje
Hα
Hβ
Hγ
Hδ
H∞
Tubo
de descarga
de hidrógeno
F I G U R A 1 2 . 9
Luz emitida por una lámpara de descarga
de hidrógeno que pasa a través de una
rendija estrecha y separada en sus
longitudes de onda componentes por un
elemento dispersivo. Como resultado, se
ven en la película fotográfica imágenes
múltiples de la rendija, cada una
correspondiente a una longitud de onda
diferente. Se muestra una de las series
diferentes de líneas espectrales para el H.
El término representa la inversa de la
longitud de onda [Véase la Ecuación
(12.13)].
%n
∼
donde aparece sólo un parámetro, n
1
. En esta ecuación, n es un número entero que toma los
valores n
1 
+ 1, n
1 
+ 2, n
1 
+ 3, . . . , y RH es la llamada constante de Rydberg. Para el hidró-
geno, RH tiene el valor de 109,677.581 cm-1. ¿Qué es lo que da lugar a dicha relación sencilla
y por qué n toma sólo valores enteros? Veremos cuando discutamos el átomo de hidrógeno en
el Capítulo 20 que es el carácter ondulatorio del electrón el que da lugar a esta ecuación.
ángulo de fase al azar
constante de Planck
constante de Rydberg
cuantización
cuerpo negro ideal
densidad espectral
dualidad onda-partícula
efecto fotoeléctrico
fotón
función de trabajo
radiación del cuerpo negro
relación de de Broglie
Cuestiones sobre conceptos
C12.1 ¿Cómo concluyó Planck que la discrepancia entre los
experimentos y la teoría clásica para la radiación del cuerpo
negro era a altas y no a bajas frecuencias?
C12.2 La incapacidad de la teoría clásica de explicar la
distribución de la densidad espectral de un cuerpo negro se llamó
catástrofe ultravioleta. ¿Por qué es apropiado este nombre?
C12.3 ¿Por qué el análisis del efecto fotoeléctrico basado en
la Física Clásica predice que la energía cinética de los
electrones aumenta con el aumento de la intensidad de la luz?
C12.4 ¿Qué postuló Einstein para explicar que la energía
cinética de los electrones emitidos en el efecto fotoeléctrico
depende de la frecuencia? ¿Cómo difiere este postulado de las
predicciones de la Física Clásica?
C12.5 ¿Cuál de los resultados experimentales del efecto
fotoeléctrico sugiere que la luz puede presentar un
comportamiento ondulatorio?
Vocabulario
engel_cap12.qxp 16/07/2006 20:22 Página 286
Problemas 287
# 43463 Cust: BC Au: Engel / Reid Pg. No. 287
Title: Physical Chemistry
C/M/Y/K
Short / Normal / Long
C12.6 En la difracción de electrones en cristales, el volumen
muestreado por los electrones difractados, es del orden de 3 a 10
capas atómicas. Si inciden átomos de He sobre la superficie, sólo
se muestrea la capa atómica de más arriba. ¿Cómo se explica esta
diferencia?
C12.7 En el experimento de la doble rendija, los
investigadores encontraron que pasa la misma cantidad de
energía a través de cada rendija. ¿Nos permite distinguir este
resultado entre el comportamiento puramente corpuscular y
puramente ondulatorio?
C12.8 ¿Es la intensidad observada en el experimento de
difracción descrito en la Figura 12.6 la misma para los
ángulos de los apartados (b) y (c)?
C12.9 ¿Qué rasgo de la distribución descrita en el caso 1 en
la Figura 12.7 nos dice que la ancha distribución proviene de
la difracción?
C12.10 ¿Por qué fueron necesariaslas investigaciones a
niveles atómico y subatómico para detectar la naturaleza
ondulatoria de las partículas?
Problemas
P12.1 La distribución de las longitudes deonda de la luz
emitida por un cuerpo negro radiante es una función
dependiente de la temperatura. Esta dependencia se usa para
medir la temperatura de los objetos calientes, sin establecer
contacto físico con esos objetos, en una técnica denominada
óptica pirométrica. El máximo de una representación de
, en el límite , viene dado por
. ¿A qué longitud de onda aparece el máximo
de para T = 450, 1500 y 4500 K?
P12.2 Para un gas monoatómico, una medida de la
“velocidad media” de los átomos es la raiz de la velocidad
cuadrática media, , en la que m es la
masa molecular y k es la constante de Boltzmann. Usando
esta fórmula, calcular la longitud de onda de de Broglie
para los átomos de He y Ar a 100 y a 500 K.
P12.3 Usando la raíz de la velocidad cuadrática media,
, calcule las temperaturas del gas He y
Ar para los que 5 0.20 nm, un valor típico necesario para
resolver la difracción de la superficie de un cristal metálico.
Sobre la base del resultado, explique por qué los haces
atómicos de Ar no son adecuados para experimentos de
difracción atómica.
P12.4 Se han usado los electrones para determinar la
estructura molecular por difracción. Calcule la velocidad de
un electrón para el que la longitud de onda es igual a una
longitud de enlace típica, a saber, 0.150 nm.
P12.5 Calcular la velocidad que tendría una molécula de
oxígeno en fase gaseosa si tuviera la misma energía que un
fotón infrarrojo ( = 104 nm), un fotón visible ( = 500 nm),
un fotón ultravioleta ( = 100 nm), y un fotón de rayos X ( =
0.1 nm). ¿Qué temperatura tendría el gas si tuviera la misma
energía que esos fotones? Usar la raíz de la velocidad
cuadrática media, , para este cálculo.
P12.6 Los láseres pulsados son fuentes poderosas de radiación
casi monocromática. Se dispone comercialmente de láseres que
emiten fotones en un pulso de 10-ns de duración, con una
energía total en el pulso de 0.10 J a 1000 nm.
a. ¿Cuál es la potencia media (energía por unidad de tiempo)
en unidades de watios (1 W = 1 J/s) asociada a tal pulso?
b. ¿Cuántos fotones de 1000-nm se emiten en tal pulso?
v vrms kT m= =2
2 3〈〈 1
ll
ll
l
v vrms kT m= =2
2 3〈〈 1
v vrms kT m= =2
2 3〈〈 1
r l( , )T
lmáx = hc kT5
( )hc kTl >> 1r l l( , )T frente a
P12.7 Suponga que el agua absorbe luz de longitud de onda
3.00 × 10-6 m con una eficiencia del 100%. ¿Cuántos fotones
se requiere para calentar 1.00 g de agua 1.00 K? La capacidad
calorífica del agua es 75.3 J mol-1 K-1.
P12.8 Una lámpara de descarga de gas de 1000-W, emite 3.00 Wde
radiación ultravioleta en un intervalo estrecho centrado cerca de los 280
nm. ¿Cuántos fotones de esta longitud de onda se emiten por segundo?
P12.9 Una nueva sustancia producida que emite 225 W de
fotones de una longitud de onda de 225 nm se monta en un
pequeño cohete de forma que toda la radiación se libera en la
misma dirección. Debido a que el momento se conserva, el
cohete resultará acelerado en el sentido opuesto. Si la masa
total del cohete es 5.25 kg, ¿cómo de rápido viajará al cabo de
365 días en ausencia de fuerzas de fricción?
P12.10 ¿Qué velocidad tiene una molécula de H
2
si tiene el
mismo momento que un fotón de longitud de onda 280 nm?
P12.11 Se observaron los siguientes datos en un
experimento del efecto fotoeléctrico en el potasio:
1019 Energía 4.49 3.09 1.89 1.34 0.700 0.311
Cinética (J)
Longitud de 250 300 350 400 450 500
onda (nm)
Evalúe gráficamente estos datos para obtener valores de la
función de trabajo y la constante de Planck.
P12.12 Demuestre que la densidad de energía irradiada por
un cuerpo negro
depende de la tempeartura como T4. (Pista: hacer la sustitución de
variables .) La integral definida
. Usando el resultado calcule la densidad
de energía irradiada por un cuerpo negro a 800 y 4000 K.
P12.13 es la
potencia por unidad de área emitida por un cuerpo negro.
Calcule la energía irradiada por un cuerpo negro esférico de
radio 0.500 m a 1000 K por segundo. ¿Cuál sería el radio de
un cuerpo negro a 2500 K si emite la misma energía que el
cuerpo negro esférico de radio 0.500 m a 1000 K?
P T= = × − − −s s4 85 67 10con W m K2 4.
[ ( )]x e dxx3 4
0
1 15− =
∞
∫ p
x h kT= n
E T
V
T d
h
c e
dtotal
h kT
( )
( , )= =
−
∞ ∞
∫ ∫r n n
p n
n
n0
3
30
8 1
1
engel_cap12.qxp 16/07/2006 20:22 Página 287
288 C A P Í T U L O 1 2 De la Mecánica Clásica a la Mecánica Cuántica
# Au: Engel / Reid Pg. No. 288
Título: Química Física. Traducción : Requena / Zuñiga / Bastida
C/M/Y/K
Short / Normal / Long
P12.14 En nuestra discusión de la radiación del cuerpo
negro, es la energía media de un
oscilador que se aproximó por 
para . Calcule el 
haciendo esta aproximación para = 4 × 1012 s21 a las
temperaturas de 6000, 2000 y 500 K. ¿Se puede predecir cuál
es el signo relativo sin un cálculo detallado?
P12.15 La potencia (energía por unidad de tiempo) irradiada por
un cuerpo negro por unidad de área de la superficie, expresada en
unidades de W m-2 viene dada por P = σ T 4 con σ = 5.67 3 10-8W
m-2K-4. El radio del sol es 7.00 × 105 km y la temperatura de su
superficie es 6000 K. Calcule la energía total irradiada por segundo
por el Sol. Suponer un comportamiento de cuerpo negro ideal.
P12.16 Se podría obtener una expresión más precisa para
incluyendo términos adicionales en la serie de Taylor-Mclaurin.
El desarrollo en serie de Taylor-Mclaurin de f (x) en torno a x
0
viene dado por (Véase Suplemento de Matemáticas) 
Use este formalismo para aproximar mejor mediante el de-
sarrollo de en potencias de hasta . en
torno a . Calcule el error relativo, , si
no incluimos los términos adicionales para = 1.00 × 1012 s-1
a temperaturas de 800, 500, y 250 K.
P12.17 Las líneas observadas en el espectro de emisión del
hidrógeno atómico vienen dadas por 
En la notación usada por los espectroscopistas, 
y . Las series de Lyman, Balmer y Paschen
se refieren a n
1
= 1, 2 y 3, respectivamente, para la emisión
del hidrógeno atómico. ¿Cuál es el valor más alto de 
en cada una de estas series?
�n y E
RH = 109 677, cm 1−
%n l= =1 E hc
%n( ) ( ) ,cm cm cm1 1 1− − −= −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
>R
n n
n nH
1 1
1
2 2 1
n
( )E kT Eosc osc−h kTn = 0
( )h kTn 3h kT�eh kT�
Eosc
f x f x
d f x
d x
x x
d f x
x x
( ) ( )
( )
( )
!
(= +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− +
=
0 0
2
0
1
2
))
( )
!
( )
d x
x x
d f x
d x
x x
x
2
0
2
3
3
0
1
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
=xx
x x
0
0
3( ) ...− +
Eosc
n
error relativo (= −E E Eaprox )h kTn << 1
E h h kT kTosc = + − =n n[( ) ]1 1
E h eosc
h kT= −� �( )1
P12.18 Un haz de electrones con una velocidad de 3.50 ×
104 m/s incide sobre una rendija de anchura 200 nm. La
distancia al plano del detector se elige de tal modo que la
distancia entre el máximo central del patrón de difracción y el
primer mínimo de difracción es 0.500 cm. ¿Cuán lejos está el
plano del detector de la rendija?
P12.19 Si un electrón pasa a través de una diferencia de
potencial eléctrico de 1 V, tiene una energía de 1 electrón
voltio. ¿Qué diferencia de potencial debe atravesar para tener
una longitud de onda de 0.100 nm?
P12.20 ¿Cuál es el número máximo de electrones que se
pueden emitir si una superficie de potasio con una función de
trabajo de 2.40 eV absorbe 3.25 × 10-3 J de radiación a una
longitud de onda de 300 nm? ¿Cuál es la energía cinética y la
velocidad de los electrones emitidos?
P12.21 La función de trabajo del platino es 5.65 eV. ¿Cuál
es la mínima frecuencia de luz requerida para observar el
efecto fotoeléctrico en el Pt? Si la luz con una longitud de
onda de 150 nm se absorbe por la superficie, ¿cuál es la
velocidad de los electrones emitidos?
P12.22 Los rayos X se pueden generar acelerando
electrones en el vacío y haciéndoles impactar sobre átomos
de una superficie metálica. Si la energía cinética de 1000
eV de los electrones se convierte completamente en la
energía del fotón, ¿cuál es la longitud de onda de los rayos
X producidos? Si la corriente de electrones es 1.50 × 10-5
A, ¿cuántos fotonesse producen por segundo?
P12.23 Cuando una molécula absorbe un fotón, tanto la
energía como el momento se conservan. Si una molécula de
H
2
a 300 K absorbe un fotón ultravioleta de longitud de onda
100 nm, ¿cuál es el cambio en su velocidad ? Dado que su
velocidad media es , ¿qué es ?�v vrmsv rms kT m= 3
�v
Simulaciones, animaciones y problemas basados en la Web 
W12.1 El máximo de una representación de la densidad espectral de
la radiación del cuerpo negro frente a T se determina para varios valo-
res de T usando métodos numéricos. Con esos resultados, se com-
prueba gráficamente la validez de la aproximación .
W12.2 La energía total irradiada por el cuerpo negro se calcula
numéricamente para las temperaturas de W12.1. Usando estos re-
sultados, se determina gráficamente el exponente de la relación
.
W12.3 Se simula la difracción de la luz visible por una rendija
La anchura de la rendija y la longitud de onda de la luz se varían
E CT= a
lmáx = hc kT5
usando deslizadores. Al estudiante se le pide que saque conclu-
siones acerca de cómo depende de esos parámetros el patrón de
difracción.
W12.4 Se simula la difracción de una partícula por una
rendija simple y doble. La distribución de la intensidad en la
placa del detector se renueva conforme cada partícula pasa a
través de las rendijas. La anchura de la rendija se varía usando
deslizadores. Se le pide al estudiante que saque conclusiones
acerca de cómo depende el patrón de difracción de esos
parámetros.
engel_cap12.qxp 16/07/2006 20:22 Página 288
	Capítulo 12 De la Mecánica Clásica a la Mecánica Cuántica