Cecilia_Parra_e_Irma_Saiz_comps

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Cecilia Parra e Irma Saiz (comps.)
Luis A. Santaló, Grecia Gal ve/, Roland Chamay, 
Guy Brousseau, Delia Lemer, Patricia Sadovsky
Didáctica 
de matemáticas
Aportes y reflexiones
Cubierta de Gustavo Macri
la. edición, 1994
Impreso en la Argentina - Printed in Argentina 
Queda hecho el depósito que previene la ley 11.723
© Copyright de todas las ediciones en castellano by
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Defensa 599, Buenos Aires
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M ariano C ubí 92, Barcelona
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La reproducción total o parcial de este lib ro , en cua lq u ie r form a que sea, idén tica o 
m odificada, escrita a m áquina, por el sistem a “m ultigraph”, m im eógrafo, im preso por fotoco­
pias, fotoduplicación. etc., no autorizada por los editores, viola derechos reservados. C ualquier 
u tilización debe ser previam ente solicitada.
ISBN 950-12-2112-1
INDICE
Lista de au to re s ................................................................................... 9
Prólogo................................................................................................... 11
1. Matemática para no matemáticos, por Luis A. Santaló........ 21
2. La didáctica de las matemáticas, por Grecia Calvez............... 39
3. A prender (por medio de) la resolución de problemas,
por Roland Charnay....................................................................... 51
4. Los diferentes roles del maestro, por Guy Brousseau........... 65
5. El sistema de numeración: un problem a didáctico,
por Delia Lerner y Patricia Sadovsky............................................. 95
(i. Dividir con dificultad o la dificultad de dividir,
por Irma Saiz................................................................................... 185
7. Cálculo mental en la escuela primaria, por Cecilia Parra.... 219
H. La geometría, la psicogénesis de las nociones espaciales 
y la enseñanza de la geometría en la escuela elemental,
por Grecia Gálvez............................................................................. 273
LISTA DE AUTORES
Luis A. Santaló
Español, matemático, Doctor en Ciencias Exactas.
Desde la finalización de la G uerra Civil Española reside en 
Argentina. Ha realizado significativos aportes en el campo de los 
conocimientos matemáticos y ha sido perm anentem ente convoca­
do a foros nacionales e internacionales sobre educación matemáti­
ca por su constante preocupación y por la claridad de las ideas 
aportadas.
Actualmente es Profesor Emérito de la Universidad de Buenos 
Aires.
Grecia Gálvez
Chilena, psicóloga, Doctora en Ciencias.
Actualmente, integrante del Programa de M ejoramiento de la 
Calidad de las Escuelas Básicas de sectores pobres, Ministerio de 
Educación, Chile.
Roland Charnay
Francés, Profesor de M atemáticas, M iem bro del Equipo de 
Investigación en Didáctica de M atemáticas del INRP (Instituto 
N acional de Investigación Pedagógica), Francia, Profesor en el 
IUFM (Institu to U niversitario de Form ación de Maestros) de 
Bourg-en-Bresse.
Guy Brousseau
Francés, Profesor de Matemática, Doctor en Ciencias. 
Actualmente, Profesor de la Universidad de Burdeos, investiga­
dor del IREM de Burdeos (Instituto de Investigación en Enseñan­
za de la M atem ática), D irector del COREM (C entro de Observa­
ción y de Investigación sobre Enseñanza de la Matemática).
10 DIDACTICA DE MATEMATICAS
Delia Lerner
Argentina, Licenciada en Ciencias de la Educación. 
Actualmente es Supervisora Académica de Proyectos del área 
Lengua en la Dirección de Currículum de la Municipalidad de la 
Ciudad de Buenos Aires y asesora de las investigaciones en las 
áreas de Lengua y Matemática en la Dirección de Educación Espe­
cial del Ministerio de Educación, Venezuela.
Patricia Sadovsky
Argentina, Profesora de Matemática.
Actualmente, integrante del equipo de Matemática de la Direc­
ción de Capacitación de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos 
Aires y del equipo de investigación en Didáctica de la Matemática 
en la Facultad de Ciencias Exactas, UBA.
/ ma Saiz
Argentina, Licenciada en Matemática, Maestría en Ciencias en 
la especialidad de Matemática Educativa, México.
A ctualm ente, asesora en el área de M atemática del Consejo 
General de Educación de la Provincia de Corrientes, Supervisora 
Académica en proyectos del área M atemática en la Dirección de 
C urrículum de la M unicipalidad de la Ciudad de Buenos Aires y 
Profesora de la Universidad Nacional de Misiones.
Cecilia Parra
Argentina, Licenciada en Ciencias de la Educación. 
A ctualm ente, D irectora del Proyecto de Investigación en 
Didáctica de la Matemática en la Dirección de Currículum de la 
Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires.
Susana Wolman
Argentina, Licenciada en Ciencias de la Educación, Licenciada 
en Psicología, actualm ente jefa de trabajos prácticos de la cátedra 
de Psicología y Epistemología Genética de la Facultad de Psicolo­
gía de la UBA.
PROLOGO
La obra que aquí presentam os form a parte de una colección 
de Didácticas de área, didácticas que rem iten a una disciplina 
(Lengua, M atemática, Ciencias Naturales, Ciencias Sociales) 
“didácticas orientadas por el contenido” como en algún momento 
las llamó Vergnaud.
Esto no es casual ni se reduce a una decisión editorial sino que 
expresa un vasto movimiento que se acentuó a lo largo de los últi­
mos 20 años, originado, entre otros factores, en el reconocimiento 
de la especificidad de los contenidos en el proceso de aprendizaje. 
Sobre la base de im portantes desarrollos de las teorías de aprendi­
zaje, particularm ente la teoría genética de la construcción del 
conocimiento, se estuvo en condiciones de abordar nuevos proble­
mas con nuevos supuestos. El avance se produjo, incluso, a raíz del 
reconocimiento de los límites de una teoría general de aprendiza­
je para dar cuenta de un fenóm eno complejo como es la transmi­
sión y adquisición de saberes en el interior del sistema educativo.
El conjunto de esta colección perm itirá al lector tener un 
panorama de los niveles de desarrollo alcanzado por cada una de 
las didácticas. En nuestro caso, nos parece necesario presentar bre­
ves referencias al desarrollo de la Didáctica de M atemáticas y al 
estado de situación en nuestro país, a efectos de contextualizar los 
aportes de cada uno de los autores incluidos en esta obra.
12 DIDACTICA DE MATEMATICAS
La D idáctica de M atem áticas se desarrolla actualm ente en 
varios países, pero es en Francia donde se ha form ulado el cuerpo 
principal de conceptos teóricos propios desde los cuales se recla­
ma actualm ente su reconocim iento como disciplina autónom a en 
el campo científico.
Esta disciplina es definida del siguiente modo en la Enciclopae- 
dia Universalisr.
La D idáctica de la M atemática estudia los procesos de transmi­
sión y adquisición de diferentes contenidos de esta ciencia, particu­
larm ente en situación escolar y universitaria. Se propone describir y 
explicar los fenóm enos relativos a las relaciones entre su enseñanza y 
aprendizaje. N o se reduce a buscar una buena manera de enseñar 
una noción fija aun cuando espera, a término, ser capaz de ofrecer 
resultados que perm itan mejorar el funcionamiento de la enseñan­
za. (La bastardilla es nuestra.)
Michéle Artigue contextualiza del siguiente modo la em ergen­
cia de este cam po científico:
La Didáctica de la Matemática nació en Francia en el marco de 
un vasto m ovim iento de la enseñanza científica de los años 60, pero 
lo ha h ech o , en cierto sentido, rompiendo con los puntos de vista 
que subyacían a las reformas.
Todo el período precedente había estado marcado por una cen- 
tración exclusiva sobre los contenidos: se trataba de reducir la dis­
tancia entre el saber de la disciplina y el saber enseñado, de deter­
minar procesos de elementarización de ese saber que autoricen el 
pasaje, de hacer beneficiar a la enseñanza de la transformación que, 
en el espacio de un siglo, había afectado al edificio matemático.D esde un punto de vista pedagógico reinaba la idea según la cual 
“es suficiente saber matem ática para saber enseñarla” considerando 
algunos principios pedagógicos generales.
D esde un p u n to d e vista psicológico las matemáticas m odernas 
debían ser vivas tanto en su contenido como en su enseñanza, se 
ponía el acento en el rol de la actividad del alumno, desarrollando 
una pedagogía de la acción y del descubrimiento (por ejem plo, los 
trabajos de Z. D ienes, N. Picard y G. Papy).
Las desilusiones, que no tardaron en hacerse sentir, pusieron en 
evidencia la insuficiencia de estos puntos de vista: las matemáticas
PROLOGO 13
no se habían convertido m ilagrosam ente en fáciles de aprender; 
ciertos objetos de enseñanza introducidos, mal adaptados, soporta­
ban transformaciones no previstas por los autores de las reformas; 
las múltiples innovaciones realizadas no perm itieron Constituir un 
cuerpo de conocim iento fiables.
Es desde esta tom a de conciencia que nació de algún m odo la 
Didáctica de la Matemática, tom ando distancia a la vez de la Mate­
mática, y de la Pedagogía para desarrollar un campo teórico especí­
ficamente adaptado a su problemática y a los m étodos de investiga­
ción que estaba en condiciones de utilizar.1
La producción en este campo es ya muy vasta y sólida. Los lec­
tores encontrarán, en el capítulo “La didáctica de las matemáticas” 
de la doctora Grecia Gálvez, referencias más explícitas a los con­
ceptos estructurantes de esta disciplina.
La s it u a c ió n e n l a A r g e n t in a
En nuestro país, com o en otros países de América latina, las 
reform as sucesivas han provocado cambios más o menos profun­
dos en la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática.
La ausencia de políticas educativas coheren tes y sostenidas, 
relativas a la investigación, capacitación, procesos curriculares, 
etc., ha provocado una difusión anárquica de ideas, altam ente 
dependiente de situaciones circunstanciales, produciendo desarro­
llos diferentes en distintos lugares de nuestro país y la coexistencia 
de teorías o concepciones didácticas contradictorias, e incluso 
superadoras unas de otras en sus génesis históricas.
Sin em bargo, en to rno a personas o a instituciones se han 
constituido grupos de trabajo o investigación que, aun en situacio­
nes muy desfavorables, han preservado las condiciones de discu­
sión propias de la producción de conocimientos.
Las investigaciones y elaboraciones teóricas producidas en dis­
tintos lugares del m undo se constituyen en insumos de la búsque­
da de respuestas adecuadas a la problem ádca local.
1 Artigue, M.: “Une introduction á la Didactique des Mathématiques”, confe- 
rencia, 1986.
14 DIDACTICA DE MATEMATICAS
Las producciones de estos grupos e instituciones, necesaria­
m ente heterogéneas, se sitúan en distintos niveles: prescriptivos 
(docum entos curricu lares), propositivos (m ateriales de apoyo, 
libros de tex to), de difusión o de investigaciones de base; pero su 
escasa o inestable inserción en las estructuras educativas impiden 
una difusión coheren te y sistemática que produzca un m ejora­
miento sensible y duradero de la calidad de la educación.
La escasez o desactualización de la bibliografía específica diri­
gida a los maestros o profesores es una variable de fuerte inciden­
cia en la situación descrita. De los textos circulantes muchos han 
sido editados años atrás, y aun algunos más recientes transm iten 
concepciones am pliam ente revisadas y cuestionadas en otros paí­
ses del m undo y en algunos espacios de discusión locales.
Pese a esta situación, los docentes a lo largo de todo el país 
realizan im portantes esfuerzos para capacitarse y defender condi­
ciones de trabajo propicias para el avance y m ejoram iento de su 
tarea.
La constitución de equipos docentes en las escuelas, de equi­
pos de trabajo e investigación en los distintos niveles de gestión 
educativa, en los institutos de formación, universidades, etc., apa­
rece como una condición fundam ental para que sea posible dar 
respuestas orgánicas y reflexivas a los m últiples problem as que 
enfrenta nuestro sistema educativo actual.
Además, es necesario que se libren intensos y sostenidos deba­
tes tanto en torno a cuáles son las prioridades de acción sobre el 
sistema educativo como respecto a cuáles son los medios de acr ¡on 
más eficaces para in terven ir en el sistema. Entre otros aspectos 
deben incorporarse prácticas de evaluación de los proyectos que se 
desarro llen, que b rinden bases más racionales para la tom a de 
decisiones.
El desarrollo de las didácticas de áreas, al que nos referimos al 
inicio, abre posibilidades para abordar ciertos problem as en su 
especificidad, a la vez que se convierte en exigencia y dem anda de 
formación.
Estamos convencidos de que, al menos en nuestros países, la 
investigación en Didáctica no puede contentarse con desarrollos 
teóricos sin preocuparse por la relación investigadores-maestros, 
en una perspectiva de respuesta a la dem anda social de transfor­
PROLOGO IR
mación de la escuela, para una m ejor form ación y para la eleva­
ción del nivel de todos.
Respecto de los m ateriales que se produzcan dirigidos a los 
docentes consideramos que deben incluir:
— La fundam entación teórica necesaria para que el maestro 
conozca el significado de sus opciones y se com prom eta 
con ellas tan to teórica como prácticam ente, conozca las 
dimensiones epistemológicas de lo que está planteando, así 
como la relación de los alumnos con el conocimiento y la 
función de ese saber.
— El análisis didáctico suficiente para que el maestro se apro­
pie de la situación y conserve el control sobre ella. Se 
deben explicitar las variables didácticas que modifican la 
situación, que son al mismo tiempo aquello sobre lo que el 
maestro puede actuar y lo que permite analizar y eventual­
m ente explicar lo que sucede.
— Más conocim ientos de m atem ática, que le perm itan al 
docente precisar su relación con el saber e interpretar, en 
términos más específicos, lo que sucede en el aula.
Los autores que integramos esta obra com partimos estas con­
vicciones, aunque en algún punto sean más algo por lo que se tra­
baja que metas logradas.
P r e s e n t a c ió n d e l a o b r a
Quisimos, al convocar a los autores, que hubiera en este libro 
aportes teóricos que dieran “noticia” del avance en la Didáctica de 
las Matemáticas y también de las preguntas y problemas que están 
m otorizando las investigaciones actuales. Im agen que no puede 
ser más que parcial por las condiciones antes referidas.
Serán necesarios m últiples esfuerzos para lograr tam bién la 
difusión de otros autores, nacionales o extranjeros, no incluidos 
en esta obra y sin em bargo centrales para el desarrollo de la 
Didáctica de Matemáticas. Difusión que será tanto más provechosa 
en cuanto sea requerida y asumida a partir del trabajo y la proble-
16 DIDACTICA DE MATEMATICAS
matización de grupos locales que busquen avanzar en el análisis 
de la realidad de la enseñanza de matemática y en la provisión de 
respuestas válidas y viables en cada contexto.
Quisimos también que los contenidos en torno a los cuales se 
estructuran los trabajos fueran representativos, ya sea porque son 
señalados por los docentes como problem áticos o conflictivos o 
porque resultan prioritarios para la investigación y desarrollo en el 
área.
Los artículos de esta obra son muy diversos pero com parten 
preocupaciones y enfoques. Son diversos incluso en cuanto a su 
nivel de complejidad. Concretam ente el trabajo del doctor Brous- 
seau requiere sin duda un gran esfuerzo para su com prensión, 
pero hay allí tantos elementos riquísimos para la discusión que nos 
pareció una empresa que valía la pena proponer.
Iniciam os este volum en con un trabajo del doctor Santaló, 
matemático de prestigio internacional y form ador de generaciones 
de matemáticos y profesores en nuestro país.
Su trabajo se recorta y diferencia de los dem ás al asum ir elam plio y central problem a de definir cuál es la m atem ática que 
hay que enseñar en la educación obligatoria. Pleno de conoci­
mientos y con la mirada puesta en la entrada del tercer milenio, el 
doctor Santaló señala tanto lo que debe form ar parte de una edu­
cación matem ática bien entendida como aquello que ha perdido 
sentido ante la realidad actual y futura.
Convoca también a establecer cuál es la matemática que puede 
ser útil a los profesionales no matemáticos de nivel terciario, y da 
múltiples ejemplos de conocimientos matemáticos que han resul­
tado útiles a otras ciencias. Estos aportes son interesantes para 
todo lector que quiera tener una representación actualizada del 
desarrollo de la M atemática y de la potencia de su aplicación al 
servicio de problemas definidos por otras disciplinas.
El prim er capítulo sobre Didáctica de Matemáticas correspon­
de a un capítulo de la tesis de D octorado en Ciencias de Grecia 
Gálvez, sobre el aprendizaje de la orientación en el espacio urba­
no.
La autora caracteriza la Didáctica de Matemáticas, describe sus 
principios fundam entales y define el estudio de las situaciones 
didácticas como su objeto central.
PROLOGO 17
La metodología de análisis de las situaciones didácticas es des­
crita a partir de la definición de situación didáctica, de contrato 
didáctico, de análisis a priori y de la clasificación de las situacio­
nes.
Señalando que la finalidad de la Didáctica de Matemáticas es 
el conocim iento de los fenóm enos y procesos relativos a la ense­
ñanza de la Matemática para controlarlos y a través de ese control 
optim izar el aprendizaje de los alumnos, describe brevem ente la 
metodología de investigación conocida con el nom bre de Ingenie­
ría Didáctica.
Como compiladoras solicitamos a la doctora Gálvez la autoriza­
ción para incluir esta presentación de la Didáctica de Matemáticas, 
realizada en 1985, porque facilita una prim era toma de contacto 
con los conocimientos didácticos, aun cuando algunos conceptos 
ya han sido revisados o reform ulados por los investigadores en 
Didáctica en los años siguientes y se han producido nuevos desa­
rrollos teóricos. El doctor Brousseau, en su trabajo, se refiere a 
algunas de estas revisiones.
Roland Charnay, en su capítulo “A prender (por medio de) la 
resolución de problem as”, a partir de la definición del sentido de 
un conocim iento matem ático, objetivo esencial de la enseñanza, 
describe tres modelos de aprendizaje: normativo (centrado en el 
con ten ido ), incitativo (centrado en el alum no) y aproximativo 
(centrado en la construcción del saber por el alumno).
El estudio de esos modelos provee una buena herram ienta de 
análisis de las situaciones de clase y de reflexión para los docentes 
en formación.
El autor analiza el rol otorgado a la resolución de problemas 
en cada uno de los modelos y presenta argum entos para justificar 
la elección del tercer modelo.
F inalm ente caracteriza los problem as, la puesta en m archa 
pedagógica y las relaciones entre alumnos-maestro-problemas.
El objetivo central de este libro de dar a conocer los avances 
de la Didáctica de Matemáticas no se lograría y estaríamos en clara 
deuda con los lectores si no incorporáram os al menos un trabajo 
de Guy Brousseau, quien se encuentra entre los fundadores de la
IM DIDACTICA DE MATEMATICAS
Didáctica francesa en los años setenta y es frecuentem ente citado 
por los autores de los capítulos de este libro.
Durante 20 años, el doctor Brousseau se ha dedicado a experi­
m entar con los objetos de enseñanza que él mismo produce, den­
tro del marco general de su teoría de la transmisión de los conoci­
m ientos m atem áticos, teoría que constantem ente som ete a 
revisión y que día a día se enriquece con nuevos aportes, suyos o 
de miembros de la com unidad didáctica que en los últimos años 
se ha ido configurando en distintos lugares del mundo.
En el capítulo “Los diferentes roles del m aestro”, centra su dis­
cusión en las devoluciones y las institucionalizaciones, principales 
intervenciones del maestro sobre la dupla alumno-situación, desti­
nadas a hacer funcionar las situaciones a-clidácticas y los aprendiza­
jes que ellas provocan.
Las profesoras Delia Lerner y Patricia Sadovsky presentan un 
trabajo de interés tanto por el problema que abordan como por el 
proceso de investigación que van refiriendo y que el lector puede 
seguir en el diálogo entre las preguntas, las indagaciones, las refle­
xiones y las propuestas.
Definido que el acceso de los niños al sistema de num eración 
constituye un problem a, las autoras buscan establecer cóm o se 
aproximan los niños a dicho conocimiento, cuáles son las concep- 
tualizaciones que los niños elaboran acerca de este sistema de 
representación.
Realizan un análisis crítico de las propuestas de enseñanza 
vigentes y com parten las prim eras exploraciones de situaciones 
didácticas a través de las cuales buscan dar opo rtun idad a los 
alumnos de poner en juego sus conceptualizaciones, a la vez que 
propician que los alumnos cuestionen y reform ulen sus ideas para 
aproxim arse progresivam ente a la com prensión de la notación 
convencional.
En “Dividir con dificultad o la dificultad de dividir”, la licencia­
da Irm a Saiz presenta los resultados de un trabajo llevado a cabo 
ju n to a m aestros que participaron en un curso de perfecciona­
miento en la Asesoría Técnico-pedagógica del Consejo General de 
Educación, de Corrientes.
PROLOCO 19
El análisis realizado tanto sobre la resolución de problem as 
com o sobre la ejecución del algoritmo de la división muestra las 
dificultades que los alumnos, aun de 59 y 62 grado, enfrentan y no 
resuelven en su totalidad, sobre este tem a tan clásico y de tanto 
interés en la escolaridad primaria.
Provee líneas de trabajo y de reflexión por donde em pezar a 
repensar el aprendizaje de la división, así como recursos de análi­
sis para interpretar las producciones de los niños.
La Licenciada Cecilia Parra aborda la discusión sobre el signi­
ficado y el rol del cálculo mental en la escuela primaria.
Incluye para su análisis la perspectiva de las demandas sociales 
actuales, pero busca, sobre todo, desarrollar argumentos relativos 
a una dem anda matemática para la enseñanza del cálculo mental, 
señalando algunas de las relaciones de este contenido con otros 
aspectos centrales del aprendizaje de la matemática.
Definidas las finalidades de la enseñanza del cálculo mental, 
provee orientaciones didácticas para llevar adelante el trabajo pro­
puesto en los distintos ciclos de la escuela primaria.
El capítulo titulado “La geometría, la psicogénesis de las nocio­
nes espaciales y la enseñanza de la geom etría en la escuela ele­
m ental”, de Grecia Gálvez, forma parte también de su tesis de doc­
torado sobre la orientación en el espacio urbano.
En la prim era parte, presenta el desarrollo histórico de la geo­
metría como rama de la Matemática desde sus inicios, fuertem ente 
ligada a problem as prácticos, hasta su “m uerte” absorbida por la 
teoría de las estructuras de naturaleza algebraica.
Luego de exponer la psicogénesis de las nociones espaciales 
basada en los trabajos de Piaget, presenta un breve análisis de la 
enseñanza de la geometría en la escuela primaria mexicana a par­
tir de la información obtenida en textos y programas.
La sim ilitud de los fenóm enos descritos en su estudio y los 
identificados en nuestro país o en otros de América latina, acre­
cienta el interés de la inclusión de este artículo en esta obra.
La reflexión sobre la enseñanza de la geometría la lleva a plan­
tearse una serie de problemas acerca de la medición y de las repre­
sentaciones gráficas de las form as geom étricas, del pasaje de la
20 DIDACTICA DE MATEMATICAS
geom etría de la observación a la geom etría deductiva, y del len ­
guaje natural, espontáneo en los alum nos, al lenguaje matemático 
sin rupturas violentas y sin pérdidas de significación.
Cecilia Parra e Irma Saiz
Luis A. Santaló
C a pít u l o I
MATEMATICA PARA NO MATEMATICOS 1
La misión de los educadores es preparar a las nuevas genera­
ciones para el m undo en que tendrán que vivir. Es decir, im partir­
les las enseñanzas necesarias para que adquieran las destrezas y 
habilidades que van a necesitar para desem peñarse con com odi­
dad y eficiencia en el seno de la sociedad con que se van a encon­
trar al term inar el período escolar.
Por esto, como el m undo actual es rápidam ente cam biante, 
tam bién la escuela debe estar en continuo estado de alerta para 
adaptar su enseñanza, tanto en contenidos como en metodología, 
a la evolución de estos cambios, que afectan tanto a las condicio­
nes materiales de vida como al espíritu con que los individuos se 
van adaptando a ellas. En caso contrario, si la escuela se descuida 
y sigue estática^ o con m ovim iento lento en com paración con la 
velocidad exterior, se origina un desfase o divorcio entre la escuela 
y la realidad ambiental, que hace que los alumnos se sientan poco 
atraídos por las actividades del aula y busquen adquirir por otros 
medios los conocim ientos que consideran necesarios para com ­
prender, a su manera, el m undo de la calle que perciben directa­
m ente o a través de los medios masivos de comunicación.
1. C o n feren c ia in augural d e l I C o n g re so Ib ero a m erica n o d e E d u cac ió n 
M atem ática, Sevilla, España, setiem bre d e 1990.
22 DIDACTICA DE MATEMATICAS
Como la educación inform al de esos medios extraescolares 
sigue su curso de m anera cada vez más fuerte, si la escuela se 
desentiende de ellos y piensa únicam ente en una educación para 
un m undo ideal que se va alejando de la realidad, el resultado es 
lo que se ha llam ado la paradoja de Icaro, consistente en que los 
alum nos se irán apartando de las enseñanzas del m aestro para 
creer más en el m undo sim plificado de la ciencia-ficción que 
encuentran en las historietas de las revistas o en las películas del 
cine o la televisión, con lo cual, al querer actuar en la sociedad, 
se estrellarán lo mismo que Icaro al ser derretidas por el Sol sus 
alas de cera, por falta de la base firme de un conocim iento orga­
nizado, que precisam ente es lo que la escuela debe p roporcio ­
narles.
Es decir, lo prim ero que deben tener los educadores es un 
buen conocimiento del m undo exterior y de su posible evolución 
en los próximos años, para luego ver cómo sus enseñanzas pueden 
ayudar a una mejor manera de actuar en él, lo que será provecho­
so no sólo para los alumnos, futuros interesados, sino para el con­
ju n to de toda la sociedad. El ideal sería que la escuela pudiera 
influir sobre ese m undo exterior para moldearlo según criterios 
bien estudiados científica y moralmente, pero en cualquier caso su 
conocim iento previo es indispensable, y lo peor que se puede 
hacer es ignorarlo y seguir educando para un m undo cruzado con 
el real. Conviene, por lo tanto, analizar brevem ente cómo es y 
cómo marcha ese m undo exterior.
No hay duda de que, debido a los progresos científicos del 
siglo actual, los conocimientos del hom bre de hoy son muy supe­
riores a los de hace tan sólo pocas décadas. A través de la televi­
sión, la radio y gracias a los satélites artificiales, hoy pod&mos ver 
lo que ocurre en cualquier lugar de la Tierra a miles de kilómetros 
de distancia, y a través de fotografías y diagramas enviados por son­
das que viajan por el espacio podem os tam bién ver objetos de 
otros p lanetas y analizar fenóm enos procedentes de estrellas o 
nebulosas situadas a miles de millones de kilómetros de nosotros. 
Por el otro extrem o de lo infinitamente pequeño, los físicos tienen 
elementos para m edir y registrar magnitudes atómicas de milloné­
simos de milímetros y también tiempos de millonésimos de segun­
do. Entre los dos extremos, al nivel del hom bre, se dispone tam­
MATEMATICA PARA NO MATEMATICOS
bién de dispositivos que perm iten ver sobre una pantalla cualquier 
detalle del corazón, del cerebro o de una parte cualquiera del 
cuerpo hum ano, órganos hasta hace poco tiempo inobservables. 
Por otra parte, los radiotelescopios perm iten registrar sonidos pro­
cedentes de espacios remotos, como una ampliación inm ensa de 
nuestras posibilidades auditivas. Parecería que la arm onía de los 
mundos o la música de las estrellas de que hablaba Kepler (1571- 
1630) y que según él se podían captar por la razón, pero no por 
los oídos, actualmente se pueden captar a través de esos especiales 
audífonos de que dispone la m oderna astronomía. Incluso el radio 
de acción hasta donde es posible p rend er con las m anos ha 
aum entado fuera de todo límite con los actuales robots, capaces 
de llegar y traernos materiales de otros planetas.
Todas estas posibilidades hacen que, para su actuación en el 
m undo y para aum entar su conocimiento, el hom bre de hoy dis­
ponga de una plataform a básica y de unos depósitos culturales 
m ucho más poderosos de los que tenía el hom bre griego y aun el 
hom bre de principios de siglo. En los mismos quehaceres diarios, 
las comunicaciones de hoy sobrepasan en velocidad y distancia a 
lo imaginable unas décadas atrás, y los ordenadores o com putado­
ras actuales perm iten almacenar y suministrar información en can­
tidad y rapidez que han vuelto obsoletas las bibliotecas y demás 
fuentes de información tradicionales.
El problem a está en decidir cómo educar a ese hom bre infor­
mático, que tiene tan poderosas bases y tan grandes posibilidades y 
que se va adaptando a una tecnología que le perm ite potentes y 
variadas maneras de accionar, pero que le exigen también distinto 
com portamiento y distinta preparación en sus habilidades y destre­
zas. La vida se ha vuelto más difícil, y la escuela debe evolucionar 
para preparar a individuos con capacidad para actuar en este mun­
do complejo y diversificado.
No se trata de que al incorporar a su m anera de vivir una téc­
nica refinada de la que ya no podrá prescindir, el hom bre se vaya 
robotizando, pasando a ser una m áquina que actúa por reflejos 
program ados. Es seguro que el hom bre conservará siem pre el 
aliento que le infundió su creador y seguirá teniendo un alma y un 
espíritu, con sus sentimientos, sus miedos, sus pasiones y sus creen­
cias, tal vez distintas de las actuales, pero igualmente rectoras de su
24 DIDACTICA DE MATEMATICAS
conducta y que igualm ente hay que considerar y tener presentes 
<•11 lodo sistema educativo.
De la misma o análoga m anera que Platón, cuatro siglos antes 
de nuestra era, trataba de d iseñar cóm o debía ser la enseñanza 
para los futuros dirigentes de su República, lo educadores de hoy 
deben plantearse el problem a de cómo educar al hom bre de estos 
fines del segundo milenio, para que pueda entrar con buen pie y 
justificado optimismo en el tercero, lleno de incógnitas pero tam­
bién de esperanzas.
En cuanto a la m atem ática se refiere, Platón expone buenas 
razones para prescribir como primeras las enseñanzas del cálculo y 
de la geom etría, observando que “ningún arte y n ingún conoci­
m iento pued en prescindir de la ciencia de los núm eros” y que 
“hay una diferencia absoluta entre el que es versado en geometría 
y el que no lo es, y hasta los que no lo son, cviando se han educado 
y ejercitado en el cálculo, aunque no deriven de él ninguna otra 
ventaja sí obtienen, al menos, volverse más. sutiles de lo que eran 
antes”. Platón señala motivos trascendentes para enseñar la mate­
mática, com o “a traer el alm a hacia la verdad” y “elevar nuestras 
miradas a las cosas de lo alto, haciendo pasar de las tinieblas a la 
luz”, motivos que convencieron a todas las generaciones sucesivas y 
han hecho que la matemática haya figurado siempre en todos los 
sistemas educativos.
En la actualidad los motivos tal vez no sean los trascendentes 
que señalaba Platón, sino más bien las necesidades prácticas de 
poder en tender y utilizar con provecho las m odernas tecnologías. 
Debido a ello, parece unánim em ente aceptado que la enseñanza 
de lam atem ática debe seguir prescrita para todos, tan to en los 
niveles superiores para los creadores en el m undo de las ideas o 
en la esfera tecnológica, com o en los niveles del llano, para el 
hom bre com ún, que sin ser creador necesita los conocim ientos 
m atem áticos para su actuación en el campo laboral y para com­
prender, aunque sea superficialmente, las bases y las posibilidades 
de la m oderna tecnología sin necesidad de recurrir a la creencia 
en mitos o milagros.
Platón distingue entre lo que hoy llamamos matem ática pura, 
que “facilita al alm a los m edios de elevarse desde la esfera de la 
generación hasta la verdad y la esencia”, y la m atem ática aplicada,
MATEMATICA PARA NO MATEMATICOS 25
“la matemática de los comerciantes y traficantes, que se utiliza con 
vistas a las compras y a las ventas”, y recom ienda para su Academia 
únicam ente la primera. En cambio hoy, pensando tanto en educar 
el pensam iento como en im partir reglas para la acción, se opina 
que la m atem ática que necesitan todos los ciudadanos debe ser 
una mezcla coordinada y bien equilibrada de matem ática pura y 
aplicada, o de m atem ática como filosofía y de matem ática como 
instrum ento de cálculo. Ninguno de los dos aspectos es prescindi­
ble, entre otras cosas porque la vida es pensam iento y es acción, 
exige razonar para dirigir las aplicaciones y exige actuar para no 
perderse en virtuosismos ideales, alejados de la realidad circun­
dante. Hay que tener en cuenta que las aplicaciones de la matemá­
tica han invadido campos que antes eran considerados ajenos a 
ella, principalm ente en la biología y en las ciencias del hom bre, 
por lo cual la escuela no puede desentenderse de esas aplicaciones 
tanto por su valor informativo como motivador.
Cuando se habla de matemática y de la necesidad de su ense­
ñanza, hace falta puntualizar a qué matemática se hace referencia. 
En la época de los griegos se podía hablar del cálculo y de la geo­
m etría com o partes únicas de un cuerpo de conocim ientos bien 
delimitado y no muy extenso. Hoy día, en cambio, la cantidad de 
matemática que se conoce es inmensa y crece constantemente, por 
lo cual no es cosa fácil decidir cuál debe ser la matemática que se 
recom iende enseñar y cóm o debe ser p resentada para su m ejor 
com prensión y su mejor utilidad para el futuro de los alumnos.
La revista Mathematical Reviews, que registra y com enta todos 
los trabajos de matemática que se publican en el m undo y que pre­
tenden ser originales, se inició en 1939 y en 1989 llegó al millón 
de trabajos registrados. Es decir, que si se supone una extensión 
prom edio de cinco páginas por trabajo y se agruparan todos ellos 
en volúmenes de 1000 páginas cada uno, resultaría que en los últi­
mos 50 años se han producido en el m undo 5000 de tales volúme­
nes. Es una producción gigantesca que p resenta grandes pro­
blemas de alm acenam iento y de ordenación para poder encontrar 
lo que a cada uno pueda interesar dentro de tan ingente cantidad 
de nuevos conocimientos adquiridos por la hum anidad.
A los profesores de matem ática nos corresponde seleccionar 
entre toda la matemática existente, la clásica y la m oderna, aquella
26 DIDACTICA DE MATEMATICAS
que pueda ser útil a los educandos en cada uno de los distintos 
niveles de la educación. Para la selección hay que tener en cuenta 
que la matemática tiene un valor formativo, que ayuda a estructu­
rar todo el pensam iento y a agilizar el razonam iento deductivo, 
pero que tam bién es una herram ien ta que sirve para el accionar 
diario y para muchas tareas específicas de casi todas las actividades 
laborales. Es decir, como ya dijimos antes en otras palabras, la 
enseñanza de la matemática debe ser un constante equilibrio entre 
la matem ática formativa y la matem ática informativa. La prim era 
más estable y la segunda muy variable con el tiempo y aun con el 
lugar y la finalidad perseguida para los alumnos. Hay que formar, 
pero al mismo tiempo inform ar de las cosas útiles adecuadas a las 
necesidades de cada día y de cada profesión. Por otra parte, cada 
aspecto informativo tiene un substrato formativo, de m anera que 
la regla puede ser “form ar in form ando” o “inform ar fo rm ando”.
La elección de la matemática para quienes van a ser matemáti­
cos profesionales es relativam ente fácil, pues basta m ostrar las 
grandes líneas generales y enseñar a aprender, dejando que cada 
educando vaya seleccionando según sus gustos y su vocación la 
matemática que más le interese, pues tiene toda la vida por delan­
te para ir com pletando la form ación recibida en la escuela.
El problem a radica en la selección de la m atem ática para la 
educación de quienes no tienen interés particular por ella y sólo ¡a 
aceptan com o una necesidad que les ayude a desem peñar m ejor 
sus ocupaciones y a en tender mejor su sostén básico. Para ellos es 
fundam ental que los encargados de diseñar los planes de estudio 
tengan en cuenta el valor formativo de la m atem ática y tam bién 
los tem as de los que es necesario inform ar en cada ciclo de la 
enseñanza y en cada particular carrera profesional.
Pensemos primero en la matemática para todos, es decir, en la 
m atem ática de la escuela obligatoria que deben seguir todos los 
ciudadanos. Hasta hace pocos años esta enseñanza com prendía en 
la mayoría de los países a los alum nos entre 5 y 10 o 12 años de 
edad, y la matemática consistía esencialmente y de m anera univer­
sal en las operaciones con los núm eros enteros y racionales, con 
mucha práctica de los decimales, y después iniciar e insistir en la 
proporcionalidad en sus diversos aspectos de la regla de tres, por­
centajes, semejanza de figuras planas, escalas e interpretación de
MATEMATICA PARA NO MATEMATICOS
mapas y gráficos, sistema métrico decimal, definiciones y propieda­
des simples de las figuras geométricas más usuales. Actualmente, 
vista la com plejidad creciente de la sociedad, se considera que 
estos conocimientos resultan insuficientes y, en la mayoría de los 
países, la enseñanza obligatoria se ha extendido entre los 5 y los 15 
años de edad, es decir, incluyendo en ella el prim er ciclo de tres 
años que figuraba en la enseñanza media. Con ello han aum enta­
do los conocim ientos m atem áticos que se pueden incluir en la 
enseñanza para todos.
Es muy im portante reflexionar y experim entar sobre estos 
conocimientos que supuestam ente van a adquirir todos los ciuda­
danos y que, para m uchos de ellos, van a ser los únicos que la 
enseñanza formal va a suministrarles, con el supuesto de que ellos 
deben bastarles para actuar en el m undo con que se van a encon­
trar al salir de la escuela. Hay que decidir sobre los contenidos y 
tam bién sobre la m etodología más conveniente. Además de los 
contenidos tradicionales, ya m encionados, es m ucho lo que se 
puede y debe añadir, suprim iendo en compensación muchas cosas 
que por costumbre han seguido form ando parte de los programas 
pero que han devenido inútiles en el día de hoy. Hay que crear 
organismos que se ocupen de analizar constantemente los conteni­
dos y la metodología adecuada, introduciendo las novedades nece­
sarias y suprimiendo los temas que vayan resultando obsoletos. En 
otras épocas, los programas y libros de texto duraban siglos, mien­
tras que en la actualidad rápidam ente quedan fuera de uso y nece­
sitan ser reemplazados por otros más acordes con las necesidades 
del medio.
Como regla general, se puede recom endar que siempre es pre­
ferible saber poco y bien que m ucho y mal. Es más recomendable 
hacer cabezas bien hechas que cabezas bien llenas, aunque en la 
actualidad, con los m odernos mecanismos com putacionales y su 
memoria, se pueden lograr cabezas bien llenas que al mismo tiem­
po sean bien hechas. Los conceptos fundamentales deben repetir­
se desde distintos enfoques, indicando el camino para sus posibles 
extensiones y aplicaciones que el alumno tendrá que buscar en el 
fu turo por su propia cuenta, cuando las necesite. Puestoque el 
aprendizaje va a ser perm anente, ya que el campo del conocimien­
to no se detiene, es im portan te enseñar a aprender, cosa que el
28 DIDACTICA DE MATEMATICAS
alumno tendrá que hacer por sí solo cuando term ine la escuela. Y 
sea dejado de la m ano del m aestro. Hay cosas que actualm ente 
figuran en los program as y que en sus ideas generales deben 
seguir dándose, pero en form a muy simplificada. Por ejemplo, es 
im portante instru ir cuanto antes en las m anipulaciones simples 
del cálculo literal y en la interpretación y m anipuleo de fórmulas, 
pero basta limitarse a expresiones simples de uso común, sin nece­
sidad de aburrir con fatigosos cálculos con monomios, polinomios 
y expresiones algebraicas complicadas. La función exponencial y 
los logaritmos son importantes, pero estos últimos con pocos deci­
males y a través de calculadoras de bolsillo, más que con las clási­
cas tablas, que han pasado a ser referencias históricas. Los sistemas 
de ecuaciones lineales y cuadráticas deben darse a través de su 
representación gráfica, y sus soluciones, en general, m ediante 
métodos aproximados con el uso de calculadoras simples.
Aunque en muchos países ya se han introducido, vamos a m en­
cionar algunos temas que forzosamente deben figurar entre aque­
llos acerca de los que todo ciudadano debe haber sido inform ado 
durante el período de la escuela obligatoria y que, sin embargo, 
hasta fechas muy recientes se consideraban pertenecientes a nive­
les superiores de la enseñanza. Tal vez alguno de los contenidos 
que vamos a m encionar no sea fácil de exp oner al nivel de la 
escuela elemental, pero precisamente éste es el desafío actual para 
los educadores, y constituye el principal p roblem a que hay que 
estudiar en los centros de investigación pedagógica, para luego 
experim entar en escuelas piloto convenientem ente preparadas 
para ello.
En prim er lugar hay que introducir las ideas básicas de la pro­
babilidad y de la estadística. La m atem ática en la escuela se ha 
pensado siem pre como determ inista, en la cual los problemas se 
debían resolver exactam ente, hasta cualquier cifra decimal. Hay 
que cambiar este pensar determ inista por el pensar probabilista o 
estadístico, basado en valores medios, grandes núm eros, extrapola­
ciones e inferencias, pues los fenóm enos y las situaciones aleato­
rias son los que más aparecen en la naturaleza y en la vida de rela­
ción. Sobre esta cuestión son muy interesantes las sugerencias y 
experiencias que figuran en la revista inglesa Teaching Statistics
MATEMATICA PARA NO MATEMATICOS 29
(Universidad de Scheffield) y en las actas de las Conferencias Inter­
nacionales sobre la Enseñanza de la Estadística (ICOTS) que se cele­
bran cada 4 años a partir de 1982, la última en Nueva Zelanda, en 
agosto de 1990. El problema de la enseñanza de las probabilidades 
y de la estadística en niveles cada vez más bajos de la educación 
preocupa en todos los países y se va avanzando m ucho al respecto.
Para no citar más que un ejemplo, m encionarem os la im por­
tancia didáctica y práctica de las tablas de núm eros al azar. Ellas 
ayudan a la simulación de problemas y a com prender el papel del 
azar, y a la importancia de saber elegir un modelo adecuado para 
el tratam iento de cada problema. Es la base del m étodo de Monte 
Cario, de m ucho interés conceptual y práctico. También hay que 
pensar en la m anera más conveniente de presentar problemas de 
investigación operativa y program ación lineal. U na idea sobre la 
m anera de tratar problemas de colas o filas de espera basada en la 
sim ulación y confección de estadísticas es muy im portan te y de 
aplicación muy generalizada, por lo que debe incluirse en la ense­
ñanza obligatoria.
O tro tem a esencial es la in troducción lo antes posible de la 
computación, no solamente en cuanto a la calculatoria, sino tam­
bién en el uso de las calculadoras como com putadoras y fuentes 
de inform ación. Es decir, hay que educar tam bién en el pensar 
informático, pues no es lo mismo actuar en un m undo sin compu­
tadoras que en el m undo actual, plagado de botones y teclados 
para apretar y pantallas para ver, más que de libros y catálogos o 
formularios para leer.
Es muy posible que el hombre informático pierda en precisión 
i azonadora y capacidad de reflexión para el análisis detallado de 
los problemas, por estar obligado a actuar con mucha velocidad en 
sus decisiones y actos. Por lo tanto, la educación actual debe inge­
niarse para ayudar a la simbiosis hom bre-máquina del futuro, des­
pertando y educando los reflejos necesarios para una acción casi 
automática en muchas situaciones de la profesión y de la vida dia­
na I Iay que educar en el planteo de los problemas en programas 
i aI< ulables, sin dem asiada preocupación para econom izar el 
num ero de operaciones o la cantidad de parám etros, pues la velo- 
< hI.kI de las m áquinas m odernas hace inútiles tales preocupacio­
n e s I sta misma velocidad hace practicable m ucho más que antes
30 DIDACTICA DE MATEMATICAS
el método de ensayo y error, probando soluciones tentativas hasta 
encontrar y ajustar la verdadera con suficiente aproximación, sin 
pretensiones de exactitud inútil.
Desde los primeros grados hay que ir educando no sólo en la 
matemática propiam ente dicha, sino también en el razonamiento 
lógico V deductivo, que es la base de la m atem ática, pero que es 
tam bién im prescindible para o rd en ar y asim ilar toda clase de 
conocimiento. Es decir, hay que ir educando al alumno en el len­
guaje apropiado para com prender la nom enclatura y funciona­
m iento de la actual tecnología, así como la base científica que la 
sustenta.
Por lo tanto, hay ciertos conocim ientos de lógica que deben 
usarse con frecuencia en la clase, para que vayan siendo asimilados 
como parte natural del lenguaje y del pensar cotidianos, más que 
como conceptos adquiridos a través de un aprendizaje especial. 
No hace falta incluir en los program as una parte de lógica, con 
silogismos, cuantificadores y tablas de verdad como conocimientos 
básicos a los que se hará referencia cuando llegue el momento. Es 
mejor ir aprendiendo las leyes del razonam iento de manera natu­
ral, como algo inherente al lenguaje, de la misma manera como se 
aprende a hablar sin conocer la etim ología de las palabras. Por 
ejemplo, las ideas de inducción, demostración por el absurdo, con­
dición necesaria y suficiente o “si y sólo si” hay que aprenderlas 
con ejemplos referentes a casos concretos a medida que van apare­
ciendo, sin pretender filosofar sobre su significado abtracto.
Lo mismo puede decirse de la^teoría de conjuntos, que a este 
nivel de la enseñanza para todos debe ser tan sólo un lenguaje, de 
aplicación continua sobre la m archa del curso y muy útil para 
m ejor com prender y expresar razonam ientos y resultados, pero 
por tratarse de un medio y no de un fin, la parte de teoría de con­
juntos que no se vaya a utilizar puede y debe suprimirse. O tra cosa 
es, naturalm ente, para los estudios de nivel terciario y para alum­
nos de carreras matemáticas, para los cuales la teoría de conjuntos 
es esencial en sí misma.
Otros puntos que deben ir incluyendo el ciclo de la enseñanza 
para todos son los siguientes: a) Elementos de la teoría de mues- 
treo para poder entender las bases de las encuestas de opinión o 
de los grados de audiencia de ciertos program as de la televisión
MATEMATICA PARA NO MATEMATICOS 31
(rating) y apreciar su grado de confíabilidad. b) Puesto que la vida 
es un continuo de decisiones que cada uno debe tom ar con fre­
cuencia y que influyen o pueden influir m ucho en su futuro, la 
escuela debe inform ar sobre la existencia de una teoría de la deci­
sión, construyendo algunas matrices simples referentes a proble­
mas elementales que llamen la atención del alumno, c) También 
va siendo de uso generalizado la medida de la cantidad de infor­
mación de los mensajes (entropía, códigos, ruido) y, por lo tanto, 
sin pretender form ar técnicosespecializados, la idea de la unidad 
de inform ación (bit) y su aplicación a ejem plos simples deben 
incluirse entre los contenidos de la enseñanza obligatoria para 
todos.
Habría que buscar otros temas posibles de tratar matemática­
m ente que sean de actualidad y uso en el m undo de hoy, para 
estudiar su posible exposición elemental, y luego introducirlos en 
el ciclo de la enseñanza para todos. Es una tarea para educadores 
y matemáticos que debe ser alentada y estimulada.
En cuanto a la didáctica, en cualquier nivel, la enseñanza de la 
matemática debe incitar la creatividad, m ostrando cómo la mate­
mática es un edificio en construcción que necesita de continuos 
aportes y remodelados. Actualmente se insiste mucho en la meto­
dología basada en la resolución de problemas. En realidad no es 
n inguna novedad, pues la verdadera m atem ática ha consistido 
siempre en la resolución de problemas: nunca puede ser una siste­
mática de definiciones y descripción de propiedades. De todas 
maneras no está de más repetirlo muchas veces para que el énfasis 
en ello no disminuya. Pero, además, pensando en la creatividad 
que conviene desarrollar, no solamente hay que resolver problemas, 
sino que es muy im portante proponer problemas. Hay que interesar 
a los alum nos para que aprendan a extraer el p lanteo en form a 
m atem ática de situaciones reales o imaginadas, y luego llevar el 
resultado, como problem a propuesto, a la consideración del aula. 
11 hecho de proponer problemas que tengan sentido es tan impor­
tante en m atem ática com o el de resolver problem as planteados 
por otros. Es a través de esta acción alternada en tre p roponer y 
resolver que la matemática avanza y crece.
Nos hemos referido al problema de decidir acerca de la mate­
mática necesaria para todos, como parte integrante de una cultura
32 DIDACTICA DE MATEMATICAS
general para los miembros de la sociedad actual. Se trata posible­
m ente del problem a más im portante que tiene planteado la educa­
ción m atem ática en el día de hoy y en el que están involucrados 
matemáticos, educadores, psicólogos y sociólogos.
Pero queda otro problema, tam bién im portante, que consiste 
en la matemática necesaria para aquellas profesiones en las que la 
matemática no es un fin sino un medio para su m ejor ejercicio. Es 
decir, averiguar cuál es la matemática que puede ser útil a los pro­
fesionales no m atem áticos de nivel terciario. Se puede suponer 
que ellos tienen ya los conocimientos básicos del ciclo obligatorio 
e incluso es posible que hayan realizado estudios matemáticos pre­
paratorios para su ingreso en el tercer nivel. Todos estos conoci­
mientos adquiridos debe suponerse que están en su memoria (en 
el sentido de las computadoras) para el m om ento en que los nece­
siten. Pero a partir de esta plataforma de conocimientos, hay que 
analizar cuáles pueden ser los nuevos conocimientos que los mate­
máticos pueden ofrecerles para su m ejor form ación superior.
Desde luego, hay la parte de matemática clásica (esencialmen­
te las nociones de cálculo infinitesimal) que ya es tradicional y de 
la cual solamente hay que decidir sobre el más o el menos que les 
pueda in teresar y sobre la influencia en su presentación de los 
actuales medios computacionales. Pero, actualmente, entre la gran 
producción m atem ática de los últim os años a la que ya hicimos 
referencia, es seguro que habrán surgido nuevos resultados y nue­
vas ideas que podrían ser de utilidad en ciertas ramas del saber, 
como física, ingeniería, biología, econom ía, ciencias sociales y 
muchas otras, pero cuyos usuarios no tienen tiempo de enterarse 
de su existencia. Sería urgente que las universidades y los centros 
de investigación involucrados se dispusieran a organizar cursos o 
seminarios para la divulgación de las nuevas adquisiciones y consi­
deraran la posibilidad de incluirlas en los programas de las asigna­
turas de matemáticas de la carrera correspondiente, en sustitución 
de muchas cosas obsoletas que, sin ningún perjuicio para los estu­
diantes, pueden suprim irse. Se trata de un esfuerzo difícil, pero 
valioso y necesario. Hay que simplificar los detalles técnicos, que 
deben dejarse para los matemáticos profesionales, y procurar que 
los resultados, asegurada su validez p o r estos últimos, lleguen a 
hacerse intuitivos y comprensibles para quienes los necesiten.
MATEMATICA PARA NO MATEMATICOS 33
Las palabras siguientes de O rtega y Gasset en su M isió n de la 
U niversidad (1930) cobran para la matemática de hoy plena actua­
lidad:
Todo aprieta para que se intente una nueva integración del saber 
que hoy anda hecho pedazos por el mundo... Ha llegado a ser un 
asunto urgentísimo e inexcusable que la humanidad invente una 
técnica para habérselas adecuadam ente con la acumulación del 
saber que hoy posee. Si no encuentra maneras fáciles para dominar 
esa vegetación exuberante quedará el hombre ahogado por ella... 
el movimiento que lleva la investigación a disociarse indefinidamen­
te en problemas particulares, a pulverizarse, exige una regulación 
compensatoria — como sobreviene en todo organismo saludable— 
m ediante un movim iento de dirección inversa que contraiga y 
retenga en un riguroso sistema de ciencia centrífuga.
Podem os citar algunos ejem plos relativam ente recientes de 
conocimientos matemáticos que han resultados útiles a otras cien­
cias y que, por lo tanto, valdría la pena poner al alcance de los cur­
sos de ciertas carreras no matemáticas, aunque fuera como mate­
rias optativas para determinados grupos o especialidades.
En varias ramas de las ciencias sociales y de la biología, medici­
na (diagnóstico por com putadoras), ingeniería (seguridad de las 
estructuras) y otros lugares, han resultado de interés los llamados 
conjuntos borrosos, o conjuntos para los cuales la pertenencia o no 
de un elem ento está definida con cierta probabilidad. Se trata en 
general de llegar a resultados con algún grado de confiabilidad a 
partir de resultados imprecisos. Su im portancia ha sido discutida 
muchas veces, pero su conocimiento parecería ser útil.
La biología es la ciencia que más ha asimilado parte de la 
matemática contemporánea, dando lugar a la biología matemática, 
cuyos cultivadores no son en general ni biólogos ni matemáticos, 
de aquí las dificultades que suelen encontrar para que sus trabajos 
sean valorizados. Habría que conseguir que la matemática utiliza­
da fuera conocida por los biólogos clásicos, de manera análoga a 
como los físicos experimentales acuden a la física teórica para jus- 
liflcar y mejor com prender sus resultados. Una obra im portante es 
la de René Thom, E stab ilidad estru ctura l y morfogénesis (1972), segui­
da de la teoría muy discutida del mismo autor sobre Catástrofes, a
34 DIDACTICA DE MATEMATICAS
la que se buscaron aplicaciones a la econom ía y otras ciencias, así 
como la teoría de la bifurcación, con análogos fines. Son teorías 
cuyo futuro es todavía incierto, pero que sería interesante buscar 
de las mismas exposiciones elementales que las hicieran com pren­
sibles a los posibles usuarios, sin los conocim ientos matemáticos 
utilizados en su tratam iento original. Los matemáticos profesiona­
les deben cuidar el rigor ciento por ciento de las teorías, pero 
quienes las necesitan únicam ente por sus aplicaciones basta que 
tengan de ellas una com prensión intuitiva que les perm ita ver cla­
ro en qué casos y de qué m anera pueden aplicarse.
O tros ejem plos pueden ser la teoría de grafos, muy útil en 
muchas ram as de la ciencia, y la teoría de la form a (shape) con 
aplicaciones a la arquitectura, a la ingeniería.y al arte. En el Apén­
dice m encionarem os alguna bibliografía al respecto, a partir de la 
cual se puede tener m ucha más información.
U nicam ente querem os referirnos, para term inar, a los llama­
dos fractales introducidos por M andelbrot, como ejemplo de obje­
tos geométricos relativamente recientes cuyo estudio ha desperta­
do m ucho interés por su amplioespectro de aplicaciones, desde 
las artes plásticas hasta la física, la biología y la astronomía, y que 
tiene muchas vinculaciones con la com putación y, además, con las 
teorías “caóticas” que se están desarrollando a caballo entre la físi­
ca y la filosofía.
Desde siem pre, la geom etría ha estudiado curvas regulares, 
constituidas por arcos que son imágenes de un segmento de recta 
o de una circunferencia, por funciones que adm iten muchas deri­
vadas, de m anera que responden a la idea intuitiva de la trayecto­
ria de un punto en movimiento. Así fueron la recta, la circunferen­
cia, las cónicas y todas las curvas especiales estudiadas en la 
antigüedad y en los siglos sucesivos (cicloide, astroide, lemniscatas, 
catenoide,...). Sólo en el siglo pasado, con el progreso de la teoría 
de funciones reales, se consideraron curvas sin tangente en n in­
gún punto (Weierstrass) y curvas que llenan áreas (Peano). Estas 
curvas, que eran im ágenes continuas de un segm ento y podían 
tener puntos dobles, fueron consideradas como ejemplos patológi­
cos, in teresantes para los matem áticos, pero lejos de cualquier 
posible aplicación. Un obstáculo para ello era la dificultad de su 
construcción aproxim ada para poder visualizar su form a o la for­
MATEMATICA PARA NO MATEMATICOS 35
ma de sus sucesivas aproximaciones. Después, ya en las décadas de 
los años 50 y 60 del presente siglo, se vio que objetos geométricos 
de ese estilo aparecían al estudiar las interacciones sucesivas de 
transformaciones no lineales del plano sobre sí mismo, como fron­
teras entre las zonas cuyos puntos dan lugar a sucesiones periódi­
cas o convergentes y las zonas cuyos puntos, por interacciones 
sucesivas, no convergen. Resultaron unos objetos form ados por 
conjuntos de puntos para los cuales cabe definir una medida, al 
estilo clásico, pero también una dimensión, convenientem ente defi­
nida, que vale 2 cuando llenan un área, y vale 1 para curvas pro­
piam ente dichas, pudiendo tom ar cualquier valor entre 1 y 2 para 
otros conjuntos del tipo considerado. Como muchas veces la 
dim ensión resulta un núm ero fraccionario, M andelbrot llamó 
“fractales” a esos objetos. Con las com putadoras se han podido 
representar estos fractales y han resultado sorprendentes sus for­
mas y posibilidades tipológicas, de m anera que han surgido pro­
blem as interesantes tanto desde el pun to de vista m atem ático 
como de las aplicaciones a la física y la biología entre otras ramas 
de la ciencia, y también m ediante coloraciones especiales se han 
obtenido cuadros competitivos con pinturas de artistas plásticos 
actuales.
Es un campo interesante que con el auge de las computadoras 
resulta de mucho interés por ayudar al desarrollo de la creatividad 
y la fantasía, con sólo tom ar al azar transformaciones cuadráticas 
del plano en sí mismo y estudiar su com portamiento por repeticio­
nes, cosa que sin com putadora conduce a cálculos imposibles de 
realizar a mano, pero que con ellas se hacen rápidamente. Como 
ha observado M andelbrot, los fractales aparecen en la naturaleza 
con m ucha más frecuencia que las curvas regulares, las cuales 
resultan solamente al tomar la realidad en prim era aproximación. 
En el m ovim iento browniano, la distribución de las galaxias, las 
formas del relieve terrestre, los fenómenos de turbulencia... apare­
cen los fractales de manera natural. Según M andelbrot “la geome­
tría de la naturaleza es caótica y está mal representada por el 
orden perfecto de las formas usuales de Euclides o del cálculo infi­
nitesimal”.
Se trata de un ejemplo típico en la evolución de las realizacio­
nes matemáticas: prim ero aparecen casos aislados como gérm enes
36 DIDACTICA DE MATEMATICAS
de ideas nuevas cuyo alcance no se conoce; surgen luego nuevos 
conocim ientos o nuevas técnicas que perm iten el desarrollo del 
germ en y su mayor comprensión; finalmente, aparecen las aplica­
ciones que perm iten una m ejor com prensión de los fenóm enos 
naturales. La misión de los matemáticos es ayudar a los especialis­
tas de otras ramas a quienes las nuevas concepciones puedan ser 
útiles, simplificando las dificultades para su com prensión para que 
puedan ser intuidas y utilizadas sin mayores dificultades.
Como los fractales, seguram ente existen en la m atem ática 
actual muchos conocimientos listos para las aplicaciones más diver­
sas, que sólo esperan ser identificados y puestos a disposición de 
los científicos no matemáticos que puedan aplicarlos con éxito.
B ib l i o g r a f í a
Vamos a m encionar algunas obras referentes a temas diversos de la 
matemática actual que han resultado de interés en otros capítulos de las 
ciencias naturales o humanas.
Conjuntos borrosos
Azorín, F.: Algunas aplicaciones de los conjuntos borrosos a la Estadística, 
Madrid, Instituto Nacional de Estadística, 1979.
Kaufmann, A.: Introduction á la théorie des sous ensembles jlous, Tomos I y II, 
París, Masson, 1975.
Zimmermann, H. J.: Fuzzi set theory and its applications, Boston, Kluwer Nij- 
h off Publishing, 1985.
Aplicaciones a la biología y afines
Roberts, F. (comp.): Applications of Combinatorios and Graph theory to the bio- 
logical and social sciences, The í M A Volumes in Mathematics and its 
Applications, Berlín, Springer, 1989.
Mathematics in Biology and Medicine, Lecture Notes in Biomathematics, 
nB 57, Berlín, Springer, 1985.
MATEMATICA PARA NO MATEMATICOS 37
Teoría de las catástrofes y bifurcación
Structural stability, the theory o f catastrophes and applications in the sciences, 
Lecture Notes in Mathematics, 525, Berlín, Springer, 1976.
Lu, Yung Chen: Singularity theory and introduction to Catastrophes, Berlín, 
Springer, 1976.
Wiggins, S.: Global bifurcation and chaos; anályticál methods, Berlín, Springer, 
1988.
Chow, S. N. y Hale, J.K.: Methods o f bifurcation theory, Berlín, Springer, 
1982.
Poston, T. y Stewart, J.: Catastrophe Theory and its applications, Londres, Pit- 
man, 1978.
Teoría de grafos
Berge, C.: Graphs, Amsterdam, North Holland, 1985.
Chen, Wai Kai: Applied Graph theory, Amsterdam, North Holland, 1971.
Harary: Graph theory, Reading, Mass., Addison Wesley, 1969.
Random graphs 85, Amsterdam, North Holland, 1987.
Fractales-caos
Mandelbrot, B.: Los objetos fractales, Barcelona, Tusquets, 1987.
Chaos and fractales, Proceedings Symposia in Applied Mathematics, vol. 
39, American Mathematical Society, 1988.
Proceedings International Conference honouring B. Mandelbrot on his 65th birth- 
day, Amsterdam, North Holand, 1989.
Barnskey, M. F. y Demko, S. G. (com ps.): Chaotic dynamics and fractals, 
Orlando, Academic Press, 1986.
Devaney, R. L.: A n introduction to chaotic dynam ical systems, Menlo-Park, 
Benjamín, 1986.
Estereología. Tomografía computarizada
El objetivo es averiguar el interior de un cuerpo a partir de sus sec­
ciones por planos o por rectas. La estereología es de un carácter más 
elemental, en cuanto a la matemática se refiere, y tiene aplicaciones 
a la metalurgia, petrografía, fisiología, botánica... Como técnica usa 
la microscopia. La tomografía se usa principalmente en medicina y su 
base es una matemática más superior y delicada.
38 DIDACTICA DE MATEMATICAS
Underwood, E. E.: Quantitative stereology, Reading, Addison Wesley, 1970.
Acta Stereologica, vol. 6, Proceedings o f the 7th International Congress for 
Stereology, J. L. Chermant (comp.), Caen, 1987.
Stoyan, D., Kendall, W. S. y Mecke, J.: Stochastic Geometry and its applica­
tions, Berlín, Akademie Verlag, 1987.
Computed Tomography, Proceedings o f Symposia in Applied Mathematics, 
American Mathematical Society, L. A. Shepp (comp.), 1983.
Teoría de la decisión
Lindley, D. V.: M aking decisión, Londres, John Wiley, 1985.
Rios, S.: Análisis de decisiones, Madrid, Ediciones ICE, 1976.
Rios, S. y otros: Procesos de decisión muticriterio, Madrid, Eudema, 1989.
Teoría de la información
Gil Alvarez, P.: Teoría matemática de la información, Madrid, Ediciones ICE, 
1981.
Raisbeck, G.: Théorie de l'information,París, Masson, 1964.
Teoría de la forma
Shaping Spac.es, Proceedings o f the C onference held in Northam pton, 
Mass., Boston, Birkhauser, 1988.
Kendall, D. G.: “Shape manifolds, Procrustean metrics and complex pro- 
jective space”, Bulletin London M athematical Society, 16, 1984, 81-121.
Disciplinas varias
Advances in Cryptology, Lecture Notes in Computer Science, Berlín, Sprin­
ger, 1988.
Applied Cryptology, Cryptographic Protocols and Computer Security Moldéis, 
American Mathematical Society, Proceedings o f Symposia in Applied 
Mathematics, 1983.
Current trends in geomathematics, Nueva York, Plenum Press, 1988.
Mazundar, J.: A n introduction to mathematical physiology and biology, Cam­
bridge University Press, 1989.
C.lass, L. y Mackey, M. C.: From Clocks to Chaos, Princeton University Press, 
1988.
Ortega y Gasset: Misión de la Universidad, 1930.
Greda Gálvez
C a p í t u lo II
LA DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS >
Nuestro trabajo se inscribe en una perspectiva teórica que pro­
pone el desarrollo de una ram a del conocim iento relativamente 
autónoma, designada como Didáctica de las Matemáticas. Esta pro­
puesta tuvo su origen a raíz de la actividad desplegada, básicamen­
te por m atem áticos, en los Institutos de Investigación sobre la 
Enseñanza de las Matemáticas (IREM) creados en Francia luego 
de la Reform a Educativa de fines de los años 60, con la que se 
impuso la enseñanza de la “Matemática m oderna”.
Inicialmente, los IREM se dedicaron a com plem entar la forma­
ción matemática de los maestros, incidiendo tanto en el reciclaje 
de los maestros en servicio com o en los program as y la p repara­
ción de nuevos maestros, en las escuelas norm ales. O tro ámbito 
im portante de su actividad fue la producción de materiales de apo-
1. Capítulo I de la tesis de doctorado “El aprendizaje de la orientación en el 
espacio urbano. Una proposición para la enseñanza de la geometría en la escuela 
primaria”, presentada por la autora para obtener el grado de doctor en Ciencias 
en la Especialidad de Educación en el Departamento de Innovaciones Educativas 
del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacio­
nal, México, en 1985. El director de Tesis fue el profesor Cuy Brousseau.
La bibliografía correspondiente a este capítulo se incluye en el capítulo 8 
“La geom etría, la psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la 
geometría en la escuela elem ental”, de la misma autora.
40 DIDACTICA DE MATEMATICAS
yo para el trabajo de los maestros en el aula: texto de matemáticas, 
fichas de trabajo para los alum nos, juegos y juguetes didácticos, 
colecciones de problemas y de ejercicios, secuencias de lecciones, 
etcétera. La producción de estos materiales solía acompañarse de 
una experimentación rudim entaria, concebida como prueba de su 
factibilidad y como antecedente para introducir ajustes mínimos, 
antes de p roceder a su difusión den tro del sistema educativo, 
urgentem ente requerida.
Las prácticas descritas más arriba han sido rotuladas como 
“innovación”, térm ino que genera peligrosas confusiones, como lo 
advierte Chevallard (1982), con los procesos de socialización de 
adquisiciones científicas y técnicas que tienen lugar en otros cam­
pos de la actividad hum ana. En educación, cualquier transforma­
ción de las norm as vigentes puede ser catalogada com o “innova­
ción”, aun m a ndo su único aval sea el prestigio social de quien la 
propone. Chevallard atribuye este fenóm eno a la ausencia de una 
historia en el dominio educativo, de un tiempo endógeno que per­
mita constituir en progresión la simple sucesión cronológica de los 
hechos, lo que equivale a m encionar la ausencia de tradición en la 
elaboración científica de la problemática.
A partir de la reflexión sobre la validez de las acciones desarro­
lladas, en los propios IREM fue surgiendo otra clase de activida­
des, destinadas ya no a la producción de medios para actuar sobre 
la enseñanza, sino a la producción de conocimientos para contro­
lar y p roducir tales acciones sobre la enseñanza. Se plantea, en 
otros términos, la investigación científica de los procesos que tie­
nen lugar en el dom inio de la enseñanza escolar de las m ate­
máticas.
U no de los investigadores que han liderado tanto la prom o­
ción como el desarrollo de este proyecto ha sido Guy Brousseau, 
profesor e investigador del IREM de Burdeos. Brousseau propone 
el estudio de las condiciones en las cuales se constituyen los cono­
cimientos; el control de estas condiciones perm itirá reproducir y 
optim izar los procesos de adquisición escolar de conocim ientos.
Se parte de la base de que el conocimiento de los fenómenos 
relativos a la enseñanza de las matemáticas no es un resultado de 
la simple fusión de conocimientos provenientes de dominios inde­
pendientes, como son las matemáticas, la psicología y la pedago­
LA DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS 41
gía, sino que requiere de investigaciones específicas. Jean Brun
(1980) p lan tea que la idea de aplicar m odelos generales de los 
procesos de aprendizaje o del desarrollo intelectual para organizar 
ya sea la adquisición de conocimientos matemáticos o la de cuales­
quiera otros contenidos escolares, indistintamente, conlleva un ais­
lam iento de los modelos psicológicos de la realidad a partir de la 
cual fueron construidos. Se los traspone a otra realidad, como si 
fuesen entidades autónom as, asignándoles un funcionam iento 
ideológico y no científico. En otro texto, el mismo Brun (1981) 
previniendo sobre la aplicación deductiva de una teoría psicológi­
ca a la educación, afirma:
No se trata de una mera precaución, sino que es el centro del 
problema, dado que la enseñanza de las matemáticas se ha mostra­
do particularmente sensible a la confusión de niveles, a m enudo 
provocada por una concepción estructuralista en la que las matemá­
ticas y la psicología aparecen mezcladas.
Por otra parte, la investigación de los fenóm enos relativos a la 
enseñanza de las matemáticas tampoco puede reducirse a la obser­
vación y análisis de los procesos que tienen lugar cotidianamente 
en las aulas, puesto que su objetivo es la determ inación de las con­
diciones en las que se produce la apropiación del saber por los 
alumnos, y para esto necesita ejercer un cierto grado de control 
sobre ellas, lo que implica que el investigador debe participar en 
la producción (o diseño) de las situaciones didácticas que analiza. 
De aquí la necesidad de constituir montajes experimentales o, en 
la terminología de Chevallard (1982), de desarrollar una “ingenie­
ría didáctica” subordinada a la investigación, en Didáctica de las 
Matemáticas:
El control de nuestro conocim iento del fenóm eno pasa por el 
proyecto de su producción, y esta producción compromete nuestra 
teoría del fenóm eno en una técnica de su producción.
El objeto de estudio de la Didáctica de Matemáticas es la situa­
ción didáctica, definida por Brousseau (1982b) como
42 DIDACTICA DE MATEMATICAS
Un conjunto de relaciones establecidas explícita y /o implícita­
mente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio 
(que comprende eventualmente instrumentos u objetos) y un siste­
ma educativo (representado por el profesor) con la finalidad de 
lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en 
vías de constitución.
Estas relaciones se establecen a través de una negociación 
entre maestro y alumnos cuyo resultado ha sido designado como 
contrato didáctico. Este contrato , con com ponentes explícitos e 
implícitos, define las reglas de funcionamiento dentro de la situa­
ción: distribución de responsabilidades, asignación de plazos tem­
porales a diferentes actividades, permiso o prohibición del uso de 
determ inados recursos de acción, etcétera.
La presencia de un contexto escolar no es esencial en la defini­
ción de una situación didáctica; lo que sí es esencial es su carácter 
intencional, el haber sido construida con el propósito explícito de 
que alguien aprenda algo.
Elobjetivo fundamental de la Didáctica de las Matemáticas es 
averiguar cómo funcionan las situaciones didácdcas, es decir, cuáles 
de las características de cada situación resultan determ inantes para 
la evolución del com portam iento de los alumnos y, subsecuente­
m ente, de sus conocimientos. Esto no significa que sólo interese 
analizar las situaciones didácticas exitosas. Incluso si una situación 
didáctica fracasa en su propósito de enseñar algo, su análisis puede 
constituir un aporte a la Didáctica, si permite identificar los aspec­
tos de la situación que resultaron determ inantes de su fracaso.
Siendo las situaaiones didácticas el objeto de estudio de la 
Didáctica de las M atemáticas ha sido necesario desarro llar una 
metodología para analizarlas.
Es frecuente que los investigadores que han llegado a la expe­
rim entación educativa con una form ación previa en psicología 
d iseñen situaciones didácticas, las pongan a p ru eb a en una o 
varias aulas, y luego cen tren su interés en los com portam ientos 
manifestados por los alumnos, dentro de la situación experim en­
tal. No in tentan explicar estos com portam ientos, o su evolución, 
en función de las características particulares de la situación en la 
que se produjeron. Ignoran si, variando algunas condiciones de la 
situación, volverían a aparecer los mismos comportamientos.
LA DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS 43
Para Brousseau, en cambio, un m om ento fundam ental de la 
investigación en Didáctica lo constituye el análisis a priori de la 
situación. El investigador en Didáctica debe ser capaz de prever los 
efectos de la situación que ha elaborado, antes de ponerla a prue­
ba en el aula; sólo posteriorm ente podrá contrastar sus previsiones 
con los comportamientos observados.
Para analizar las situaciones didácticas, Brousseau las modeli- 
za, utilizando elem entos de la teoría de los juegos y de la teoría 
de la inform ación. Para una situación didáctica determ inada se 
identifica un estado inicial y el conjunto de los diversos estados 
posibles, entre los que se encuentra el estado final que correspon­
de a la solución del p roblem a involucrado en la situación. Se 
explicitan las reglas que perm iten pasar de un estado a otro. La 
situación es descrita, entonces, en térm inos de las decisiones que 
los jugadores (alumnos) pueden tom ar en cada m omento y de las 
diferentes estrategias que pueden adoptar para llegar al estado 
final.
Otro aspecto que facilita el análisis de las situaciones didácticas 
es su clasificación. Brousseau distingue, entre las situaciones que él 
produce para su estudio experim ental, cuatro tipos, cuya secuen­
cia, en los procesos didácticos que organiza, es la siguiente:
1. Las situaciones de acción, en las que se genera una interac­
ción en tre los alum nos y el m edio físico. Los alum nos 
deben tom ar las decisiones que hagan falta para organizar 
su actividad de resolución del problema planteado.
2. Las situaciones de formulación, cuyo objetivo es la com uni­
cación de informaciones, entre alumnos. Para esto deben 
modificar el lenguaje que utilizan habitualm ente, precisán­
dolo y adecuándolo a las informaciones que deben com u­
nicar.
3. Las situaciones de validación, en las que se trata de conven­
cer a uno o varios interlocutores de la validez de las afirma­
ciones que se hacen. En este caso, los alumnos deben ela­
borar pruebas para dem ostrar sus afirmaciones. No basta la 
comprobación em pírica de que lo que dicen es cierto; hay 
que explicar que, necesariamente, debe ser así.
4. Las situaciones de institucionalización, destinadas a estable­
44 DIDACTICA DE MATEMATICAS
cer convenciones sociales. En estas situaciones se in ten ta 
que el conjunto de alumnos de una clase asuma la signifi­
cación socialmente establecida de un saber que ha sido ela­
borado por ellos en situaciones de acción, de formulación 
y de validación.
Una parte im portante del análisis de una situación didáctica lo 
constituye la identificación de- las variables didácticas y el estudio, 
tanto teórico como experim ental, de sus efectos. Lo que interesa 
son los intervalos de valores de estas variables que resultan deter­
m inantes para la aparición del conocim iento que la situación 
didáctica pretende enseñar. Se trata de precisar las condiciones de 
las que depende que sea ése el conocimiento que interviene y no 
otro. Entre las variables que intervienen en una situación hay algu­
nas, denom inadas variables de comando, que pueden ser manipu­
ladas por el maestro para hacer evolucionar los com portam ientos 
de los alumnos. Su identificación resulta particularm ente im por­
tante. Artigue (1984) destaca el rol de la m anipulación de varia­
bles en Didáctica, en relación con el estudio del desarrollo psico- 
genético del niño:
Para el especialista en didáctica, determ inar cóm o el uso de 
variables de com ando de la situación puede provocar, en la clase, 
cambios de estrategia, cóm o se podría controlar en el seno de un 
proceso, por la manipulación de estos comandos, una genésis esco­
lar del concepto, aparece com o mucho más importante que tratar 
de precisar en sus m enores detalles las etapas del desarrollo psico- 
genético.
El análisis de una situación didáctica pasa por su comparación 
con otras situaciones didácticas, obtenidas m ediante transform a­
ciones de la prim era. Por ejemplo, el esfuerzo de modelización de 
una situación didáctica está subordinado al propósito de identifi­
car los elementos que podrían variarse para lograr efectos didácti­
cos diferentes de los que se obtendrían con la situación original. 
Se constituye así toda una familia de situaciones didácticas, relati­
vas al conocimiento específico que se quiere enseñar, en la hipóte­
sis de que cada u na de ellas hará funcionar dicho conocim iento
LA DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS 45
bajo una modalidad diferente. Se postula que entre estas situacio­
nes existe una, a la que se designa como situación fundam ental, 
que es capaz de engendrar a todas las demás, a través de la asigna­
ción de diversos rangos de variación o valores particulares a las 
variables que la caracterizan. U na situación es fundam ental, res­
pecto del conocim iento que interesa enseñar, cuando es posible, 
mediante el juego de las variables presentes en ella, hacerla coinci­
d ir con cualquier situación en la cual intervenga ese conoci­
miento.
Como ya ha sido señalado, la finalidad de la Didáctica de las 
Matemáticas es el conocimiento de los fenóm enos y procesos rela­
tivos a la enseñanza de las matemáticas para controlarlos y, a través 
de este control, optim izar el aprendizaje de los alum nos. No se 
plantea, de ninguna manera, promover a priori un cierto tipo de 
pedagogía, por razones ideológicas, sin el aval de los resultados 
experim entales correspondientes. Sin em bargo, las situaciones 
didácticas diseñadas y sometidas a experim entación obedecen a 
ciertas características en función de los presupuestos epistemológi­
cos subyacentes a su producción.
En efecto, se considera que todo conocimiento es una respues­
ta, una adaptación que la hum anidad ha logrado ante situaciones 
que ha enfren tado o ante problem as que se ha planteado. Los 
conocimientos, que han surgido en contextos funcionales, como 
útiles o instrum entos para la adaptación, son transformados poste­
riorm ente con el propósito de relacionarlos con otros conocimien­
tos, de conservarlos y de transmitirlos, adoptando la modalidad de 
objetos culturales. Un saber cultural que se encuentre desligado 
de su génesis, constituye un producto descontextualizado y desper­
sonalizado. Es a partir de esta modalidad que los conocimientos 
ingresan en los programas escolares.
La forma como los sistemas educativos organizan la enseñanza 
de los temas incluidos en los program as escolares implica una 
determ inada concepción de los procesos de adquisición de los 
conocim ientos. Hasta la fecha ha predom inado una concepción 
según la cual basta con descom poner un saber, en