algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-107

Vista previa del material en texto

De los datos (3) y (4) se obtiene:
P(x) ÷ (x - 2)(x - 1), R = 0
En toda división:
D = dq + R
si R = 0, la división es exacta, para este problema,
por lo tanto:
P(x) ≡ (x - 2)(x - 1) q(x)
Por dato (1), P(x) es de tercer grado:
P(x) ≡ (x - 2)(x - 1) q(x)
123 14243 123
3er.grado 2do.grado 1er.grado
se concluye que q(x) es de primer grado y es de
la forma:
q(x) = ax + b
Luego: P(x) ≡ (x - 2)(x - 1)(ax - b)
Por dato (2) el primer coeficiente es 1, luego:
a = 1
Por lo tanto se puede escribir:
P(x) ≡ (x - 2)(x - 1)(x + b) (α)
Por dato (5); P(3) = 20
Sustituyendo x = 3 en (α) e igualando a 20:
(3 - 2) (3 - 1) (3 + b) = 20
b = 7
El polinomio buscado es:
P(x) ≡ (x - 2)(x - 1)(x + 7)
P(0) = (0 - 2)(0 - 1)(0 + 7) = 14
9.- Un polinomio P(x) divisible entre:
(xn-1 + 1)
tiene como T.I. -3 y grado “n”. Calcular el valor
de “n” si se sabe que al dividirlo separadamente
entre (x - 1) y (x - 3), los restos que se obtienen
son: -2 y 732 respectivamente.
Solución:
Datos:
i) P(x) ÷ (xn-1 + 1), R = 0
ii) P(x) es de grado “n”
iii) P(x) ÷ (x - 1), R = -2
iv) P(x) ÷ (x - 3), R = +732
v) T.I. de P(x) es -3
Incógnita: n
Por el dato (1):
P(x) ≡ (xn-1 + 1) q(x)
Por el dato (2):
P(x) ≡ (xn-1 + 1) q(x)
123 14243 123
grado n grado (n-1) grado (1)
144424443
grado n
por lo tanto, q(x) es de primer grado y de la forma:
q(x) = ax + b
y, el polinomio adopta la forma:
P(x) ≡ (xn-1 + 1) (ax + b)
Por dato 5:
T.I. = P(0) = -3 (α)
P(0) ≡ (0 + 1)(0 + b) (β)
Igualando (α) y (β)
(0 + 1)(0 + b) = -3
b = -3
Con lo cual el polinomio hasta este momento
tiene la forma:
P(x) ≡ (xn-1 + 1) (ax - 3)
Por el dato (3):
P(1) = -2
P(1) = (1n-1 + 1)(a - 3) = -2
Á L G E B R A
- 119 -
Algebra 27/7/05 16:04 Página 119