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Sistemas 
de
Ecuaciones Lineales 
I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas
Matemáticas
de
2º de Bachillerato
Por Javier Carroquino CaZas
 Catedrático de matemáticas
 del 
 I.E.S. Siete Colinas
Ceuta 2004
 Sistemas 
 de 
Ecuaciones Lineales
 Javier Carroquino Cañas
Matemáticas de 2º de bachillerato
–•–
Ciencias de la Naturaleza y la Salud
Tecnología
Sistemas 
De
Ecuaciones Lineales
Por
Javier Carroquino Cañas
Catedrático de matemáticas
I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)
Departamento de Matemáticas
Ceuta 2004
© Javier Carroquino Cañas
I.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas)
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Depósito Legal : CE & 45 & 2004
ISBN : 84&688&6799&3
Número de Registro :
Ceuta 2004
 Prólogo
E n ocasiones, encontrar la solución a un problemareal, en el que la matemática juega un papelimportante para llegar a ella, se reduce a la
resolución de una ecuación o de un sistema de dos
ecuaciones o de tres, etc, siendo esto la culminación de
todo un proceso en el que dicho problema real (o parte de
este) ha quedado “reducido” a un sistema de ecuaciones.
Es por ello, por lo que la matemática debe afrontar
el estudio de métodos que nos permitan resolver sistemas
de ecuaciones, esto es, encontrar los valores que deben
tomar las incógnitas para que todas las igualdades de que
consta dicho sistema sean verdaderas. 
Veremos en este tema distintos métodos de
resolución de sistemas de ecuaciones lineales (o de primer
grado), dando por supuesto que el alumno conoce los
distintos métodos de resolución de ecuaciones y sistemas
de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (reducción,
igualación y sustitución).
Concluyamos diciendo que estos métodos son de
aplicación en numerosos problemas relacionados con el
estudio de espacio, la arquitectura, la construcción de
máquinas y grandes estructuras, la economía, etc.
Cada método explicado en este cuaderno irá
acompañado de uno o más ejemplos con el objetivo
facilitar la comprensión por parte del alumno.
Matemáticas de 2º de bachillerato Sistemas de Ecuaciones LinealesI
Índice 
 Página
1.Conceptos previos ..................................... 1
1.1.Ecuación lineal................................. 1
Ejemplo 1..................................... 1
1.2.Incógnitas de una ecuación...................... 1
Ejemplo 2 .................................... 2
Ejemplo 3..................................... 2
1.3.Coeficientes de una ecuación ................... 2
Ejemplo 4...................................... 2
1.4.Término independiente de una ecuación ........... 2
Ejemplo 5....................................... 2
1.5.Solución de una ecuación ........................ 2
Ejemplo 6....................................... 3
Ejemplo 7....................................... 3
1.6.Resolución de una ecuación....................... 3
2.Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes reales.. 4
Ejemplo 8............................................ 5
Ejemplo 9............................................ 5
3.Solución de un sistema................................... 5
4.Discusión de un sistema.................................. 6
5.Resolución de un sistema................................. 6
Ejemplo 10 .......................................... 6
6.Expresión de un sistema en forma matricial............... 7
Ejemplo 11 .......................................... 8
Ejemplo 12 .......................................... 9
Ejemplo 13 .......................................... 9
Ejemplo 14 .......................................... 11
Ejemplo 15 .......................................... 11
Ejemplo 16 .......................................... 12
7.Matriz ampliada de un sistema ........................... 12
Ejemplo 17 .......................................... 13
8.Sistemas equivalentes ................................... 13
Ejemplo 18 .......................................... 13
9.Clasificación de los sistemas respecto de sus soluciones .14
10.Propiedades de los sistemas ........................... 15
Propiedad I ......................................... 15
Ejemplo 19 ..................................... 15
Ejemplo 20 ..................................... 15
Ejemplo 21 ..................................... 18
Propiedad II ........................................ 18
Ejemplo 22 ..................................... 18
Propiedad III ....................................... 19
Ejemplo 23 ..................................... 20
11.Resolución de un sistema. Métodos de resolución......... 21
12.Método de la matriz inversa para resolver un sistema ... 21
Ejemplo 24 .......................................... 22
Ejemplo 25 .......................................... 23
Ejemplo 26 .......................................... 24
13.Método de Gauss para la resolución de un sistema ....... 25
Ejemplo 27 .......................................... 26
Matemáticas de 2º de bachillerato Sistemas de Ecuaciones LinealesII
 Página
Ejemplo 28 .......................................... 27
Ejemplo 29 .......................................... 29
14.Método de Gauss para la resolución de un sistema ............ 29
Ejemplo 30 .......................................... 30
Ejemplo 31 .......................................... 31
15.Método de Cramer para la resolución de un sistema ...... 32
15.1.Sistema de Cramer .............................. 32
Ejemplo 32 ..................................... 33
Ejemplo 33 ..................................... 33
Ejemplo 34 ..................................... 34
Ejemplo 35 ..................................... 36
Ejemplo 36 ..................................... 37
Ejemplo 37 ..................................... 37
16.Teorema de Rouché ...................................... 39
16.1.Observaciones y consec. del teorema de Rouché .. 42 
Ejemplo 38 ..................................... 42
Ejemplo 39 ..................................... 43
Ejemplo 40 ..................................... 44
Ejemplo 41 ..................................... 45
Ejemplo 42 ..................................... 47
Ejemplo 43 ..................................... 49
Ejemplo 44 ..................................... 50
Ejemplo 45 ..................................... 54
17.Sistemas homogéneos .................................... 54
Ejemplo 46 .......................................... 55
17.1.Propiedades de los sistemas homogéneos ......... 55
Propiedad I .................................... 55 
Propiedad II.................................... 55
Propiedad III .................................. 56 
Propiedad IV. .................................. 56
17.2.Forma de discutir un sistema homogéneo ......... 57
Ejemplo 47 ..................................... 57
Ejemplo 48 ..................................... 58
18.Los conjuntos ú2,ú3,ú4,ÿÿ,ún ............................ 59
18.1.El conjunto ú2 ................................. 59
Ejemplo 49 .................................... 60
18.2.El conjunto ú3 ................................. 60
Ejemplo 50 ..................................... 60
18.3.El conjunto ú4 ................................. 60
Ejemplo 51 ..................................... 60
18.4.El conjunto ún ................................. 60
19.El conjunto de las soluciones de un sistema ........... 61
Ejemplo 52 .......................................... 62
Ejemplo 53 .......................................... 62
Ejemplo 54 .......................................... 62
Ejemplo 55 .......................................... 63
20.Formas implícita y paramétrica de un subconjunto de ún.. 63
Ejemplo 56 .......................................... 64
21.Eliminación de parámetros ............................. 65
Ejemplo 57 .......................................... 65
Ejemplo 58 .......................................... 66
Ejemplo 59 ..........................................67
Ejemplo 60 .......................................... 68
Matemáticas de 2º de bachillerato Sistemas de Ecuaciones LinealesIII
 Página
Ejercicios resueltos ..................................... 70
Ejercicio nº 1 ...................................... 70
Ejercicio nº 2 ...................................... 71
Ejercicio nº 3 ...................................... 71
Ejercicio nº 4 ...................................... 72
Ejercicio nº 5 ...................................... 73
Ejercicio nº 6 ...................................... 73
Ejercicio nº 7 ...................................... 74
Ejercicio nº 8 ...................................... 77
Ejercicio nº 9 ...................................... 79
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 1 Sistemas de Ecuaciones Lineales
a x a x a x a x cn n1 1 2 2 3 3+ + + + =LL
3
2
5
11 0 73 121 2 3 4 5x x x x x+ − − ′ + = −π
a a a a a c1 2 3 4 53
2
5
11 0 73 12= = = − = − ′ = = −; ; ; ; ;π
Antes del estudio de este tema, el alumno debe afrontar previamente el desarrolladobajo el título “Matrices y determinantes” perteneciente a esta colección deapuntes de matemáticas para 2º de bachillerato (modalidad Ciencias de la
Naturaleza y Salud o Científico Tecnológico).
Hay que suponer que el alumno conoce y maneja distintos conceptos previos, tales como
“ecuación”, “sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas”, métodos de
resolución de “sustitución”, “igualación” y “reducción”, “solución de una ecuación” ,etc.
Veremos en este tema distintos métodos de resolución de ecuaciones lineales (o de primer
grado), tales como Gauss, Matricial, Cramer, Rouche, así como la interpretación y significado
que tiene, en algunos casos, la solución o soluciones de un sistema. Finalicemos diciendo que
en este caso nos dedicaremos a ecuaciones con coeficientes reales.
1.Conceptos previos.-
En el estudio de los distintos métodos de resolución de un sistema de ecuaciones,
aparecen unos términos que el alumno debe conocer y que recordamos en este apartado.
1.1.Ecuación lineal.-
Se llama ecuación lineal o ecuación de primer grado a una expresión algebraica
de la siguiente forma:
en la que a1, a2, a3, ....., an y c son números conocidos, mientras que x1, x2, x3, ...., xn
son números desconocidos 
Ejemplo 1.-
es una ecuación lineal. En este caso es:
 1.2.Incógnitas de una ecuación.-
Hemos visto que en una ecuación lineal hay números conocidos y números
desconocidos. A los números conocidos se les denomina incógnitas de la ecuación.
Por tanto, en la ecuación lasa x a x a x a x cn n1 1 2 2 3 3+ + + + =LL
incógnitas son x1, x2, x3, ...., xn , es decir, es una ecuación con n incógnitas.
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 2 Sistemas de Ecuaciones Lineales
3
2
5
11 0 73 121 2 3 4 5x x x x x+ − − ′ + = −π
a a a a a1 2 3 4 53
2
5
11 0 73= = = − = − ′ =; ; ; ; π
Ejemplo 2.-
Consideremos la ecuación del ejemplo 1.
Se trata de una ecuación lineal con cinco incógnitas: x1, x2, x3, x4, x5
Generalmente, si el número de incógnitas de una ecuación lineal es n = 3, suelen
emplearse las letras x , y, z. 
Ejemplo 3.-
La ecuación lineal tiene tres incógnitas, que son: x , y , z.x y z− + =5 9
En este caso a1 = 1 ; a2 = -1 ; a3 = 5 ; c = 9
1.3.Coeficientes de una ecuación.-
Los números (generalmente conocidos) que “van” multiplicando a las incógnitas
se denominan coeficientes de la ecuación o coeficientes de las incógnitas. 
Es decir, en la ecuación losa x a x a x a x cn n1 1 2 2 3 3+ + + + =LL
coeficientes son los números reales a1, a2, a3, ....., an.
Ejemplo 4.-
Consideremos la ecuación 3
2
5
11 0 73 121 2 3 4 5x x x x x+ − − ′ + = −π
En este caso los coeficientes son :
1.4.Término independiente de una ecuación.-
Es el número real que no multiplica a ninguna de las incógnitas.
En la ecuación , el términoa x a x a x a x cn n1 1 2 2 3 3+ + + + =LL
independiente es c. El término independiente puede aparecer a cualquier lado de la
igualdad, es decir, a la izquierda o a la derecha. Consideraremos como el valor de c
cuando se encuentra aislado a un lado de la igualdad.
Ejemplo 5.-
En la ecuación , el término independiente es c = &45,9 7 3 45 0x y z− + + =
ya que la ecuación es .9 7 3 45x y z− + = −
1.5.Solución de una ecuación.-
Es el conjunto de números reales que al sustituirlos por las incógnitas, convierten
la igualdad en una identidad, esto es, hacen que la igualdad sea verdadera.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales
2 8 2 2 8 2 8⋅ − − + ⋅ = ⋅ + − ⋅ =α α α α( )
Es decir: es una ecuación.a x a x a x a x cn n1 1 2 2 3 3+ + + + =LL
Supongamos que sustituimos la incógnitas x1, x2, x3, ...., xn por los valores
siguientes: α1, α2, α3, ...., αn, es decir, x1=α1, x2 =α2, x3 =α3, ...., xn=αn , de tal
modo que la igualdad esa a a a cn n1 1 2 2 3 3⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =α α α αLL
verdadera.
Pues bien, en este caso se dice que el conjunto de números {α1, α2, α3, ...., αn}
es una solución de la ecuación.
La solución de la ecuación puede expresarse de distintas formas:
Una forma: x1=α1, x2 =α2, x3 = α3, ...., xn= αn es solución de la ecuación.
Otra forma: S = {α1, α2, α3, ...., αn} es solución de la ecuación.
Otra forma: es solución de la ecuación.
r
Ks n= ( , , , , )α α α α1 2 3
Ejemplo 6.-
Dada la ecuación , una solución es S = { 7, &3, &23 } ya que4 5 20x y z− + =
si sustituimos en la ecuación los valores x = 7 ; y = &3 ; z = &23 tenemos que la
igualdad 4·7&5·(&3) & 23 = 20 es verdadera.
Por tanto:
x = 7 ; y = &3 ; z = &23 es una solución de la ecuación
Puede expresarse: o también S = { 7, &3, &23 }.
rs = − −( , , )7 3 23
A una ecuación lineal le puede ocurrir uno de los siguientes apartados:
L Que no tenga solución.
L Que tenga una única solución.
L Que tenga infinitas soluciones.
Ejemplo 7.-
R La ecuación lineal con tres incógnitas no tiene solución0 0 0 3x y z+ + =
ya que no existen tres números reales α1, α2 , α3 que verifique la igualdad
. 0 0 0 31 2 3α α α+ + =
R La ecuación (ecuación con una incógnita) tiene una única54 108x =
solución: x = 2. 
Nótese que cualquier otro número distinto de x = 2 no verifica la
igualdad.
R La ecuación tiene infinitas soluciones. Veamos:2 8x y− =
 es una solución, ya que 2 · 0 &(&8) = 8
rs1 0 8= −( , )
 es otra solución, ya que 2 · 1 &(&6) = 8
rs2 1 6= −( , )
 es otra solución, ya que 2 · (&1) &(&10) = 8
rs3 1 10= − −( , )
Observa que cualquier par (α , &8 + 2α) es una solución. En efecto:
 
1.6.Resolución de una ecuación.-
Resolver una ecuación consiste en emplear un método que nos permita encontrar
la o las soluciones (si las tiene) de esa ecuación.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):
( ):
( ):
( ):
1
2
3
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
m a x a x a x a x c
S
n n
n n
n n
m m m mn n m
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =








LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
{ }a con i mj nij
1
1
≤ ≤
≤ ≤



{ } { }Incognitas x independientes cj j n i i m& : &, , ,...., , , ,....,= =1 2 3 1 2 3Terminos
2.Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes reales.-
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto formado por m
ecuaciones lineales, cada una de ellas con las mismas n incógnitas. 
En forma genérica (es decir, sin concretar) se escribe:
Siendo:
S S el nombre que le hemos dados al sistema.
S (1) , (2), (3) , ...... , (m) la numeración de las ecuaciones que identifica a cada una de
ellas.
S m = número de ecuaciones.
S x1 , x2 , x3 , .... , xn son las incógnitas (en este caso n).
S n = número de incógnitas.
S a11 , a12 , a13 , ....., a1nSon los coeficiente de las ecuaciones. 
a21 , a22 , a23 , .... , a2n Se trata de números reales.
a31 , a32 , a33 , .... , a3n Nótese que aij representa al coeficiente de la 
þþþþþþþþþþþþþþ ecuación i , incógnita xj.
am1 , am2 , am3 , .... , amn
S c1 , c2 , c3 , .... , cm son los términos independientes.
Una forma abreviada e expresar el sistema S de m ecuaciones con n incógnitas sería:
Nótese en la expresión anterior como queda perfectamente determinado el número de
ecuaciones m y el de incógnitas n.
Podemos expresar los coeficientes de las ecuaciones abreviadamente del siguiente modo:
Lo mismo podemos hacer con las incógnitas y los términos independientes:
El tamaño o dimensión de un sistema viene dado por el número de ecuaciones y de
incógnitas. Convenimos en decir que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es de
dimensión m×n (m por n).
( ): , , ,....,i a x c siendo i mij j i
j
n
= =
=
∑
1
1 2 3
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 5 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):i a x c con iij j i
j
= ≤ ≤
=
∑
1
4
1 3
( ): , , ,....,i a x c siendo i mij j i
j
n
= =
=
∑
1
1 2 3
( ):
( ):
( ):
1
2
3
11 1 12 2 13 3 14 4 1
21 1 22 2 23 3 24 4 2
31 1 32 2 33 3 34 4 3
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
S
+ + + =
+ + + =
+ + + =





( ):
( ):
( ):
1 2 5 8
2 6
3 3 11
1 2 3
1 2
3
2 3
5
4 1 2 3
x x x
x x x
x x x
S
− + =
− + + = −
− + =





1 2 5
1 1
3 1
3
2
4
5
, ,
, ,
, ,
.
−
−
−





son los coeficientes
Ejemplo 8.-
Un sistema genérico (es decir, sin determinar o concretar) de tres ecuaciones con cuatro
incógnitas expresado abreviadamente es:
Si queremos expresarlo en forma desarrollada, será:
Ejemplo 9.-
Un sistema concreto de dimensión 3×3 es:
En este caso: x1 , x2 , x3 son las incógnitas.
8, &6, 11 son los términos independientes.
3.Solución de un sistema.-
Supongamos un sistema de orden (dimensión) m×n, es decir:
Supongamos que s1 , s2 , s3, .... , sn son n números reales que al ser substituidos por las
n incógnitas, es decir, x1 = s1 , x2 = s2 , x3 = s3, .... , xn = sn , en las m ecuaciones del sistema,
dichas ecuaciones se convierten en identidades (es decir, las igualdades son verdaderas). En este
caso se dice que los n números s1 , s2 , s3, .... , sn constituyen una solución de ese sistema.
Una solución puede expresarse de distintos modos:
 s = {s1 , s2 , s3, .... , sn } es decir, un conjunto de n números reales.
 es decir, un vector (se llama así) del conjunto ún
rs s s s sn= ( , , ,...., )1 2 3
 x1 = s1 , x2 = s2 , x3 = s3, .... , xn = sn es una solución del sistema.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 6 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ): , , ,....,i a s c siendo i mij j i
j
n
= =
=
∑
1
1 2 3
( ): & , , ,....,i a r c para i mij j i
j
n
≠ =
=
∑
1
1 2 3algun
( ): , , ,....,i a s c siendo i mij j i
j
n
= =
=
∑
1
1 2 3
( ): , , ,....,i a s c siendo i mij j i
j
n
= =
=
∑
1
1 2 3
A un sistema S de dimensión m×n le puede ocurrir alguno de los apartados siguientes:
 Que tenga solución única. Esto significa que únicamente existe un conjunto de
n números S1= { s1 , s2 , s3, .... , sn } que verifican las m ecuaciones del sistema.
Es decir:
Cualquier otro conjunto S2= { r1 , r2 , r3, .... , rn } no verifica alguna (al menos)
de las m ecuaciones. Es decir:
 Que tenga infinitas soluciones. En este caso existen infinitos conjuntos de n
números que verifican las m ecuaciones (es decir, la m igualdades).
Existen infinitos tal que: 
rs s s s sn= ( , , ,...., )1 2 3
 Que no tenga solución. En este caso no existe un vector 
rs s s s sn= ( , , ,...., )1 2 3
que verifique las m igualdades. Es decir:
ò (s1, s2, s3, ...., sn)0 ún * 
4.Discusión de un sistema.-
Discusión o discutir un sistema es utilizar un método para averiguar si ese sistema tiene
solución (una o infinitas) o no tiene solución. Como es lógico, la información para decidir si un
sistema tiene o no solución y si este es única o no, se obtiene del propio sistema. Veremos en este
tema como se obtiene.
5.Resolución de un sistema.-
Resolución o resolver un sistema es emplear un método para encontrar la o las soluciones
de dicho sistema (en caso de que tenga). Generalmente, la resolución se hace después de la
discusión, aunque es posible lo contrario, es decir, que al intentar resolver el sistema nos
encontremos con que no tiene solución, o si la tiene, esta es única.
En este tema veremos distintos métodos de resolución de sistemas.
 
Ejemplo 10.-
P Queremos saber si es solución del sistema S.
rs = −( , , )2 1 3
P Queremos saber si es solución del sistema S
rr = −( , , )5 2 5
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 7 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):
( ):
( ):
( ):
1 2 2 4 26
2 3 3 2
3 4 3 21
4 3 4 6 7
x y z
x y z
x y z
x y z
S
+ + =
− + + = −
− − =
− − = −






( ): ( )
( ): ( )
( ): ( )
( ): ( )
1 2 5 2 2 4 5 10 4 20 26
2 3 5 2 3 5 15 2 15 2
3 4 5 3 2 5 20 6 5 21
4 3 5 4 2 6 5 15 8 30 7
⋅ + ⋅ − + ⋅ = − + =
− ⋅ + − + ⋅ = − − + = −
⋅ − ⋅ − − = + − =
⋅ − ⋅ − − ⋅ = + − = −






Se verifican las cuatro igualdades
( ):
( ):
( ):
( ):
1
2
3
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
m a x a x a x a x c
S
n n
n n
n n
m m m mn n m
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =








LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
x
x
x
x
c
c
c
c
Sistema S
n
n
n
m m m mn n m
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1
2
3
1
2
3
L
L
L
M M M M M
L
M M
















⋅
















=
















siendo :
Veamos:
c Substituimos x = 2 ; y = &1 ; z = 3 en las tres ecuaciones:
 No se verifica la igualdad (1).( ): ( )1 2 2 2 1 4 3 14 26⋅ + ⋅ − + ⋅ = ≠
Por tanto, no es solución del sistema S (no hace falta seguir)
rs = −( , , )2 1 3
c Substituimos x = 5 ; y = &2 ; z = 5 en las cuatro ecuaciones:
Por tanto, es una solución del sistema S.
rr = −( , , )5 2 5
6.Expresión de un sistema en forma matricial.-
Consideremos un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, es decir:
Este sistema se puede expresar utilizando matrices, su producto e igualdad, del siguiente
modo:
A la izquierda de la igualdad tenemos un producto de una matriz de orden m×n por otra
matriz columna de orden n×1. El resultado de este producto es otra matriz de orden m×1.
Obsérvese que la matriz m×n es una matriz que tiene los coeficientes del sistema
ordenados tal y como aparecen en dicho sistema, la matriz n×1 es la de las incógnitas y la matriz
m×1 corresponde a los términos independientes.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 8 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ) ( ) ( )a x c siendo i mj nij j i⋅ =
=
=



1 2 3
1 2 3
, , ,....,
, , ,....,
( ):
( ):
1 4 3 5
2 2 7 8
x y z
x y z S
− + =
+ + =



4 3 1
2 1 7
5
8
−




 ⋅










=






x
y
z
A
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
X
x
x
x
x
C
c
c
c
c
n
n
n
m m m mn n m
=
















=
















=
















11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1
2
3
1
2
3
L
L
L
M M M M M
L
M M
; ;
A es la matriz de los coeficientes
X
x
y
z
es la matriz de las incognitas
C es la matriz de los independientes
=
−





=










=






4 3 1
2 1 7
5
8
& .
& .terminos 
Pongamos nombre a las matrices:
) A es la matriz de los coeficientes. Su orden es m×n
) X es la matriz de las incógnitas. Es de orden n×1, con n = nº de incógnitas
) Y es la matriz de los coeficientes. Su orden es m×1,com m = nº de ecuaciones.
En forma abreviada se expresa: A X C⋅ =
También se puede expresarse : siendo O la matriz cero de orden m×1A X C O⋅ − =
Para la expresión matricial de un sistema, también podemos emplear la forma abreviada:
Ejemplo 11.-
Sea el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas siguiente:
Vamos a expresarlo en forma matricial:
En este caso:
Abreviadamente es A X C⋅ =
Supongamos que es una ecuación de orden m×n y A X C⋅ = r Ks n= ( , , , , )α α α α1 2 3
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 9 Sistemas de Ecuaciones Lineales
2 1 6
1 4 5
8 0 3
7
0
2
1
2
3
− −
−










⋅










=
−










x
x
x
3 2 2
2 1 5
1
29
−
−





 ⋅










=






x
y
z
3 2 2
2 1 5
5
4
3
1
29
−
−





 ⋅
−










=





 debemos ver si esta igualdad es verdad o falsa.
3 2 2
2 1 5
5
4
3
15 8 6
10 4 15
1
29 5 4 3
−
−





 ⋅
−










=
− −
+ +





 =





 = = = −



la igualdad es verdad
x y z es solucion
.
; ; &
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
c
c
c
c
n
n
n
m m m mn n m
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1
2
3
1
2
3
L
L
L
M M M M M
L
M M
















⋅
















=
















α
α
α
α
es una solución del sistema. Esto significa que se verifica la siguiente igualdad matricial:
Ejemplo 12.-
Un sistema viene dado por su expresión matricial siguiente:
Vamos a expresarlo mediante sus ecuaciones.
( ):
( ):
( ):
. & .
1 2 6 7
2 4 5 0
3 8 3 2
1 2 3
1 2 3
1 3
x x x
x x x
x x
S Sistema de tres ecuaciones con tres incognitas
− − =
+ + =
− = −





Ejemplo 13.-
Sea el sistema de orden 2×3 expresado en forma matricial, siguiente:
Queremos saber si x = 5 ; y = 4 ; z = &3 es una solución del sistema.
Veamos:
En la expresión matricial substituimos la matriz de las incógnitas X por 
5
4
3−










Matemáticas de 2º de bachillerato Página 10 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( )A B B At t t⋅ = ⋅
( )
A X C Igualdad matricial
A X C La traspuesta de la izquierda es igual a la de la derecha
X A C Hemos aplicado la propiedad mencionada
t t
t t t
⋅ =
⋅ =
⋅ = .
X A C siendo
X x de orden n
A b de orden n m Siendo b
C c de orden m
at t t
t
j j n
t
ji j n
i m
ji
t
i i m
ij⋅ =
= ×
= ×
= ×








=
=
=
=

=
( )
( ) .
( )
, , ,....,
, , ,....,
, , ,....,
, , ,....,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
( ) ( )x x x x
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
c c c cn
m
m
m
n n n mn
m1 2 3
11 21 31 1
12 22 32 2
13 23 33 3
1 2 3
1 2 3L
K
K
K
L L L L L
K
K⋅
















=
Veamos otra forma de expresar un sistema en forma matricial:
9 Sea el sistema un sistema de orden m×n expresado en forma matricial.A X C⋅ =
Siendo:
( )
( )
( )
A a matriz de los coeficientes m n
X x matriz de lasincognitas n
C c matriz de independientes m
ij i m
j n
j j n
i i m
= ×
= ×
= ×








=
=

=
=
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
, , ,....,
, , ,....,
, , ,....,
, , ,....,
( )
& ( )
& ( )terminos
9 Recordemos la siguiente propiedad del producto de matrices:
Es decir: “La traspuesta de un producto de dos matrices es igual al producto de las
traspuestas de las matrices, pero conmutando ambas”
9 Apliquemos esta propiedad a la expresión matricial del sistema:
9 Tenemos, por tanto:
9 En forma desarrollada será:
Observa como b11 = a11 ; b12 = a21 ; b13 = a31 ; .... ; b1m = am1 ; .... etc.
9 Conclusión:
A X C
X A C
Formas matriciales de un sistemat t t
⋅ =
⋅ =



Matemáticas de 2º de bachillerato Página 11 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):
( ):
( ):
1 4 3 5 8
2 3 5 2 9
3 3 6 9 7
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 4
x x x x
x x x x
x x x
S
− − + =
− + − = −
+ + =





4 3 5 1
1 3 5 2
3 0 6 9
8
9
7
1
2
3
4
− −
− −










⋅












= −










x
x
x
x
( ) ( )x x x x1 2 3 4
4 1 3
3 3 0
5 5 6
1 2 9
8 9 7⋅
− −
−
−












= −
( ) ( )S x y z: ⋅ −
−










=
7
1 0
3
0
1
2
4
5
12
5
( ) :
( ):
&
( ) :
( ):
1 7
2 3 0
1 7
2 0 3 0
4
5
12
5
1
2
4
5
12
5
1
2
x y z
x z
S o tambien
x y z
x y z
S
− + =
− =




− + =
+ − =




Ejemplo 14.-
Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas:
Vamos a expresarlo matricialmente de la forma A · X = C :
Vamos a expresarlo matricialmente de la forma X A Ct t t⋅ = :
Nótese que: 
A M X M C M
A M X M C Mt t t
∈ ∈ ∈
∈ ∈ ∈



× × ×
× × ×
3 4 4 1 3 1
4 3 1 4 1 3
; ;
; ;
Ejemplo 15.-
Dado el sistema S expresado en forma matricial, queremos expresarlo en forma
desarrollada por sus ecuaciones y en la otra forma matricial:
Veamos:
‘ Mediante sus ecuaciones (dos ecuaciones con dos incógnitas):
Obsérvese como las incógnitas con coeficiente 0 pueden escribirse u omitir su escritura,
sin olvidar su presencia.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 12 Sistemas de Ecuaciones Lineales
S
x
y
z
:
7 1
0 3 0
4
5
1
2
12
5−
−





 ⋅










=






( ):
( ):
( ):
( ):
1
2
3
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
m a x a x a x a x c
S
n n
n n
n n
m m m mn n m
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =








LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
( ) ( )x y z ⋅
−
−










=
2 4
3 1
6 2
4 8
( ) ( ) ( )0
2 4
3 1
6 2
0 2 3 6 4 0 1 2 4 8143
5
3
14
3
5
3
14
3
5
3
− ⋅
−
−










= ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − − =( )
A
a a a a c
a a a a c
a a a a c
a a a a c
M
n
n
n
m m m mn m
m n
*
( )=
















∈ × +
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
1 2 3
1
L
L
L
L L L L L L
L
‘ Expresemos el sistema mediante la otra forma matricial:
Ejemplo 16.-
Dado el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas:
averiguar si la matriz es solución del sistema.( )S1 143 530= −
Veamos:
Por tanto, la matriz es solución del sistema.( )S1 143 530= −
7.Matriz ampliada de un sistema.-
Consideremos un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, es decir:
Si a la matriz de los coeficientes (A) le añadimos otra columna (última columna) con los
términos independiente ( elementos ci ), obtenemos otra matriz de orden m×(n+1). Dicha matriz
se denomina matriz ampliada del sistema S. La expresaremos de la forma A* , B*, etc., según
la matriz de los coeficientes sea A , B , etc.
Es decir:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 13 Sistemas de Ecuaciones Lineales
A M* =
−
− −
−










∈ ×
2 1 3 1 14
1 3 0 5 6
3 1 1 0 17
3 5
( ):
( ):
1 8 12 28
2 15 12 45 2
x y
x y
S
+ =
− =



( ):
( ):
1 8 12 28
2 23 45 3
x y
x
S
+ =
=



Ejemplo 17.-
Sea el sistema S
x x x x
x x x
x x x
:
( ):
( ):
( ):
1 2 3 14
2 3 5 6
3 3 17
1 2 2 4
1 2 4
1 2 3
+ − + =
− + = −
+ − =





La matriz ampliada es:
Nótese que la matriz de los coeficientes es de orden 3×4.
8.Sistemas equivalentes.-
Dos sistemas de ecuaciones lineales S1 y S2 se dice que son equivalentes si tienen las
mismas soluciones, es decir, cualquier solución de S1 es solución de S2 y cualquier solución de
S2 lo es de S1.
Se expresa S1 ] S2 o también S1 S2 ≡
Para que dos sistemas sean equivalentes debe ocurrir que tengan el mismo número de
incógnitas, aunque pueden tener distinto número de ecuaciones.
Ejemplo 18.-
Sea el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.S
x y
x y1
1 2 3 7
2 5 4 15
:
() :
( ):
+ =
− =



Vamos a resolverlo por el método de reducción. Veamos:
R Multiplicamos (1) por 4 y (2) por 3 :
Observa que lo que tenemos es otro sistema S2 distinto del original S1, ya que los
coeficientes y términos independientes no coinciden.
R Pues bien, los sistemas S1 y S2 son equivalentes, es decir, tienen las mismas
soluciones. Eso significa que si encontramos la o las soluciones de S2 tendremos
las de S1. Por tanto: S1 S2.≡
R Sumemos las dos ecuaciones de S2 (obtenemos otra ecuación) y consideremos
esta y la (1) de S2 . Tendremos otro sistema S3 :
 
R Pues bien, los sistemas S1, S2 y S3 tiene la o las mismas soluciones, es decir, son
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 14 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):
( ):
1 8 12 28
2
73
23
4
x y
x
S
+ =
=




x substituimos en y
y y y
= ⋅ + =
= − = =
73
23
1 8
73
23
12 28
12 28
584
23
12
60
23
5
23
( ):
; ;
equivalentes: S1 S2 S3≡ ≡
R En el sistema S3 despejamos x en la segunda ecuación y consideramos la
ecuación (1) de S3.
Hemos obtenido otro sistema S4 que es distinto de los anteriores pero equivalente
a ellos, es decir, S1 S2 S3 S4≡ ≡ ≡
R Como S4 tiene la o las mismas soluciones que S1 (que el que queríamos resolver)
y nos resulta fácil resolverlo, lo hacemos:
Es decir, es la solución del sistema S4x y= =
73
23
5
23
;
R Como S1 S4 , la solución de S4 es la solución de S1.≡
Por tanto: 
es la solución del sistema S1 
En general, cuando resolvemos un sistema, vamos construyendo otros sistemas
equivalentes a él que resultan más manejables y fáciles, hasta llegar a uno lo suficientemente
sencillo que nos permita obtener la solución (si las tiene) de forma inmediata. Este proceso se
realiza empleando un método que se denomina método de resolución de sistemas. Existen
diversos métodos que veremos seguidamente.
Es decir:
S S sistema que queremos resolver.
S El método nos lleva a S S1 S2 S3 ÿ S k≡ ≡ ≡ ≡ ≡
S S k es un sistema tan sencillo que nos da la (o las) soluciones de forma inmediata.
Si no tuviese solución, también se aprecia con facilidad. Las soluciones de S k
son las mismas que las de S.
9.Clasificación de los sistemas respectos de sus soluciones.-
Los sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas, según tengan o no solución y
según el número de estas sea finito o infinito, los clasificamos del siguiente modo que recogemos
en el siguiente cuadrante:
x y= =
73
23
5
23
;
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 15 Sistemas de Ecuaciones Lineales
SISTEMA m n
COMPATIBLE
DETERMINADO tiene solucion unica
INDETERMINADO tiene soluciones
INCOMPATIBLE
tiene solucion
no tiene solucion
×









:
( & & )
( )( & )
( & )
infinitas
S
x y z
x y z1
1 4 5 3 7
2 2 5 9:
( ):
( ):
+ − =
− + =



10.Propiedades de los sistemas.-
Dado un sistema S, el objetivo que se persigue generalmente es encontrar su o sus
soluciones, es decir, resolver el sistema. Para ello, vamos a dar una serie de propiedades que
tienen los sistemas y que nos permitirán alcanzar dicho objetivo.
Propiedad I.- Si en un sistema S hay una ecuación que es combinación lineal de otra u otras
ecuaciones, podemos suprimirla y obtenemos otro sistema S1 que es equivalente
a S. La ventaja que tiene S1 sobre S es que tiene una ecuación menos. 
NOTA: Una ecuación es combinación lineal de otra u otras, si se obtiene de ellas
al multiplicarlas por un número y sumándolas o restándolas.
 Ejemplo 19.-
Sea el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.S
x y z
x y z
x y z
:
( ):
( ):
( ):
1 4 5 3 7
2 2 5 9
3 8 10 6 14
+ − =
− + =
+ − =





Obsérvese que la tercera ecuación es la primera multiplicada por 2, es decir, (1)
es el doble de (3). La tercera ecuación es múltiple de la primera. 
Lo expresamos (3) = 2·(1). 
Si suprimimos la tercera ecuación obtenemos el siguiente sistema:
Pues bien, resulta que (Son equivalentes) y por tanto tiene la misma oS S≡ 1
mismas soluciones. 
Ejemplo 20.-
Sea el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.S
x y z
x y z
x z
:
( ):
( ):
( ):
1 2 3 4 8
2 2 5
3 11 1
+ − =
+ + =
− =





Observamos que la ecuación (3) es el doble de la ecuación (1) menos el triple de
la ecuación (2), es decir : (3) = 2·(1) &3·(2).
Esto significa que la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras.
Eliminando la ecuación (3) obtenemos otros sistema S1 equivalente a S, es decir,
un sistema con las mismas soluciones y con una ecuación menos (más fácil).
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 16 Sistemas de Ecuaciones Lineales
S
x y z
x y z1
1 2 3 4 8
2 2 5
:
( ):
( ):
+ − =
+ + =



( ):
( ):
( ):
( ):
( ): ( )
1
2
3
1 1
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
1 2
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
k a x a x a x a x c
k
n n
n n
n n
k k k kn n k
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ ⋅ +
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
λ λ ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
+ + + + =













+( ) ( ) ( )
( ):
2 33 1
1 1 2 2 3 3
λ λLL
LLLLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
k k
m m m mn n m
k c
m a x a x a x a x c
S
( ) ( ) ( )λ λ λ λ λ λ1 11 1 1 2 21 1 2 1 1 1 1 2 2⋅ + + + ⋅ + + + + ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + + ⋅a x a x a x a x a x a x c c cn n n n k k kn n k kL L L L L
λ λ λ λ λ λ λ λ λ1 11 1 1 1 2 21 1 2 2 1 1 1 1 2 2a x a x a x a x a x a x c c cn n n n k k k kn n k k+ + + + + + + + + = ⋅ + ⋅ + + ⋅L L L L L
( ) ( ) ( )λ λ λ λ λ λ λ λ λ1 11 1 1 1 12 2 2 1 1 1 1 2 2a a x a a x a a x c c ck k k k n k kn n k k+ + + + + + + + + = ⋅ + ⋅ + + ⋅L L L L L
 Siendo S S≡ 1
 
Demostración
Imaginemos un sistema S de m ecuaciones con n incógnitas y supongamos que la
ecuación (k+1) es combinación lineal de la k primeras, es decir, de (1), (2), (3), ... , (k&1), (k):
Aclaremos la ecuación (k+1):
Nótese que c c c ck k k+ = ⋅ + ⋅ + + ⋅1 1 1 2 2λ λ λL
Quitando paréntesis:
Sacando como factores comunes a x1 , x2 , x3 , .... , xn :
Esta última igualdad es la ecuación (k+1) del sistema S.
Supongamos que eliminamos la ecuación (k+1) del sistema S. Tendremos otro sistema
S1 que tiene m&1 ecuaciones, es decir, las mismas que S excepto la ecuación (k+1).
Pues bien, aseguramos que el sistema S1 es equivalente al sistema S (S1 S), esto es,⇔
ambos tienen la misma o las mismas soluciones. Vamos a demostrarlo:
û Supongamos que es una solución cualquiera de S. Si
r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3
demostramos que es también una solución de S1, habremos
r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3
demostrado que las soluciones de S lo son de S1, esto es, S S1 ⇒
En efecto:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 17 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ) ( ) ( )λ λ λ λ λ λ1 11 1 1 2 21 1 2 1 1 1 1 2 2⋅ + + + ⋅ + + + + ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + + ⋅a x a x a x a x a x a x c c cn n n n k k kn n k kL L L L L
( ) ( ) ( )λ λ λ λ λ λ1 11 1 1 2 21 1 2 1 1 1 1 2 2
1 2
⋅ + + + ⋅ + + + + ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + + ⋅a s a s a s a s a s a s c c cn n
c
n n
c
k k kn n
c
k k
k
L
1 244 344
L
1 2444 3444
L L
1 2444 3444
L
( ):
( ):
( ):
( ): ( ) ( ) ( ) ( )
1
2
2
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
2 1 1 2 2 2 2 3 3 2
a s a s a s a s c
a s a s a s a s c
k a s a s a s a s c
k a s a s a s a s
n n
n n
k k k kn n k
k k k k n n
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + + =+ + + +
L
L
LLLLLLLLLLLLLLLLLLL
L
L c
m a s a s a s a s c
S
k
m m m mn n m
+
+ + + + =











2
1 1 2 2 3 3
1
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
L( ):
solución de S verifica las
r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3 ⇒
r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3
ecuaciones (1) , (2) , (3) , ÿ , (k) , (k+1) , þ , (m) verifica⇒
r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3
las m&1 ecuaciones (1) , (2) , (3) , ÿ , (k) , (k+2) , þ , (m) del sistema S1 ⇒
 es también solución del sistema S1
r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3
Por tanto: S S1 ( cualquiersolución de S lo es de S1 ).⇒
û Ahora nos preguntamos: ¿Toda solución de S1 lo es de S ? Vamos a demostrar que sí.
Supongamos que es una solución cualquiera de S1. Tenemos
r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3
que demostrar que también lo es de S. Veamos:
solución de S1 verifica las m&1
r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3 ⇒
r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3
ecuaciones (1) , (2) , (3) , ÿ , (k) , (k+2) , þ , (m) de S1 ⇒
r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3
verifica todas las ecuaciones de S, excepto la (k+1). 
Si somos capaces de demostrar que también verifica la
r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3
ecuación (k+1) de S, habremos demostrado que también es
r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3
solución del sistema S.
Veamos:
Como es solución de S1 , podemos poner:
r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3
Anteriormente vimos que la ecuación (k+1) la poníamos de la forma:
Substituimos x1 = s1 ; x2 = s2 ; x3 = s3 ; þþ ; xn = sn en la ecuación (k+1):
Obsérvese que tenemos la identidad :
 λ λ λ λ λ λ1 1 2 2 1 1 2 2⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅c c c c c ck k k kL L
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 18 Sistemas de Ecuaciones Lineales
S
x y
x y1
1 3 5 9
2 2 3 7:
( ):
( ):
+ =
− − = −



Para x e y tenemos S
verifica
verifica
verifica
= = −
⋅ + ⋅ − = − =
− ⋅ − ⋅ − = − + = −
− ⋅ − ⋅ − = − + = −





8 3
1 3 8 5 3 24 15 9 1
2 2 8 3 3 16 9 7 2
3 2 8 2 3 16 6 10 3
:
( ): ( ) ( )
( ): ( ) ( )
( ): ( ) ( )
( )
( )
1 6 10 18
2 6 9 21
2
3 2
×
×
 → + =
 → − − = −




x y
x y
S
Por tanto, se verifica la ecuación (k+1), es decir, es también
r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3
solución del sistema S. Hemos demostrado así que S1 S⇒
Conclusión final: S S1 (ambos sistemas son equivalentes)⇔
Ejemplo 21.-
Sea el sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas S
x y
x y
x y
:
( ):
( ):
( ):
1 3 5 9
2 2 3 7
3 2 2 10
+ =
− − = −
− − = −





Observamos que la ecuación (3) es combinación lineal de las ecuaciones (1) y (2).
En este caso es (3) = 2·(1) + 4·(2).
Según la propiedad anterior, podemos eliminar la ecuación (3) y obtenemos otro sistema
S1 con una ecuación menos:
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Vamos a resolverlo por el método de reducción.
Hemos obtenido otro sistema S2 que es
equivalente a S y a S1, es decir: S]S1]S2
Sumando (1) y (2) en S2 : y = &3
Substituyendo en (1) de S2 : 6x & 30 = 18 ; 6x = 48 ; x = 8
Es decir: es la única solución de S2. También es la única solución de S1
rs = −( , )8 3
y la única solución de S. No olvidemos que el objetivo era encontrar la solución de S. 
Comprobemos:
Propiedad II.- Para resolver un sistema S, debemos eliminar aquellas ecuaciones que sean
combinación lineal de las demás y realizamos sucesivas transformaciones que
nos llevan a obtener sistemas equivalentes a S, hasta conseguir una lo
suficientemente sencilla que nos permita encontrar la o las soluciones.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 22.-
Queremos resolver el sistema . Actuamos del siguiente modo:S
x y
x y:
( ):
( ):
1 4 3 9
2 5 7 10
+ =
− =



L Multiplicamos (1) por 5 y (2) por &4:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 19 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):
( ):
( ):
( ):
1
2
3
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
m a x a x a x a x c
S
n n
n n
n n
m m m mn n m
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =








LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
A
a a a a c
a a a a c
a a a a c
a a a a c
M
n
n
n
m m m mn m
m n
*
( )=
















∈ × +
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
1 2 3
1
L
L
L
L L L L L L
L
S
x y
x y
1
5
4
1 20 15 45
2 20 28 40
:
( )
( ) ( )
×
× −
 → + =
 → − + = −




S
x y
x y
y
2
1 20 15 45
2 20 28 40
3 43 5
:
( ):
( ):
( ):
+ =
− + = −
=





S
x y
y3
1 20 15 45
2 43 5
:
( ):
( ):
+ =
=



 Siendo S ] S1
L En el sistema S1 sumamos las ecuaciones (1) y (2) y obtenemos una nueva ecuación (3),
es decir, (3) = (1) + (2). El nuevo sistema S2 es equivalente a S y S1. 
Siendo S ] S1 ] S2
L En el sistema S2 apreciamos que la ecuación (2) es combinación lineal de la (1)
y la (3), ya que (2) = (3) & (1). Si eliminamos (2) obtenemos otro sistema
equivalente a S2 y, por tanto, equivalente a S y S1.
Siendo S ] S1 ] S2 ] S3
L El sistema S3 es fácil de resolver. Lo hacemos:
Despejamos “y” en la ecuación (2): y = 543
Substituimos en (1): y = 543 20 15 45 20
5
43
1830
43
183
86x x x+ ⋅ = = =; ;
Es decir, es la única solución del sistema S3.( )rs = 18386 543,
Conclusión: La solución del sistema S es 
Propiedad III.- Con esta propiedad aprenderemos a saber si una ecuación de un sistema es
combinación lineal de otra u otras ecuaciones. Veamos:
P Sea S un sistema de m ecuaciones con n incógnitas:
P Consideremos su matriz ampliada :
x y= =18386
5
43;
Obsérvese que cada
fila de la matriz A* se
corresponde con una
ecuación de S.
Es decir, la fila (k) se
corresponde con la
ecuación (k).
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 20 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Una ecuacion k de S
es combinacion lineal
deotras ecuaciones
La fila k de la matriz A es
combinacion lineal de las otras filas
correspondientes a esas ecuaciones
& ( )
&
( )
&
.
*




⇔





( ):
( ):
( ):
( ):
*
1
2
3
4
11 1 12 2 13 3 14 4 15 5 1
21 1 22 2 23 3 24 4 25 5 2
31 1 32 2 33 3 34 4 35 5 3
41 1 42 2 43 3 44 4 45 4
11 12 13 14 15 1
21 22 23
a x a x a x a x a x c
a x a x a x a x a x c
a x a x a x a x a x c
a x a x a x a x a x c
S A
a a a a a c
a a a
n
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =






=
a a c
a a a a a c
a a a a a c
24 25 2
31 32 33 34 35 3
41 42 43 44 45 5












( ):
( ):
( ):
*
1
2
3
11 1 12 2 13 3 14 4 15 5 1
21 1 22 2 23 3 24 4 25 5 2
41 1 42 2 43 3 44 4 45 4
1
11 12 13 14 15 1
21 22 23 24 25 2
41 42 43 44 45 4
a x a x a x a x a x c
a x a x a x a x a x c
a x a x a x a x a x c
S B
a a a a a c
a a a a a c
a a a a a cn
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =





=










M
a a
a a2
11 12
21 22
0= ≠
M
a a
a a2
11 12
21 22
0= ≠
P Queremos saber si una ecuación de S es combinación lineal de otras ecuaciones.
Pues bien:
P Por tanto, operando con matrices podemos averiguar si una ecuación es
combinación lineal de otras. Si ocurre esto, podemos eliminar esa
ecuación y obtenemos un sistema equivalente con una ecuación menos,
cuya matriz ampliada también tendrá una fila menos.
NOTA: Ver tema de matrices y determinantes para recordar como se decide 
sobre si una fila de una matriz es combinación lineal de otras.
Ejemplo 23.-
Imaginemos un sistema de 4 ecuaciones con 5 incógnitas y su matriz ampliada:
Supongamos que ocurre lo siguiente:
 , es decir, el menor principal de orden 2 es igual a 0, y además:
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a c
a a c
a a c
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 14
21 22 24
31 32 34
11 12 15
21 22 25
31 32 35
11 12 1
21 22 2
31 32 3
0 0 0 0= = = =; ; ;
Entonces podemos asegurar que la tercera fila de la matriz A* es combinación lineal de
las dos primeras y, por tanto, la tercera ecuación de S es combinación lineal de las dos
primeras ecuaciones. Si eliminamos esa ecuación, obtenemos:
Los sistemas S y S1 son equivalentes.
Supongamos que ahora ocurre que la fila (3) de S1 es combinación lineal de las filas (1)
y (3), es decir, ocurre que:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 21 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):
( ):
*1
2
11 1 12 2 13 3 14 4 15 5 1
21 1 22 2 23 3 24 4 25 5 2
2
11 12 13 14 15 1
21 22 23 24 25 2
a x a x a x a x a x c
a x a x a x a x a x c
S D
a a a a a c
a a a a a c
+ + + + =
+ + + + =



=






y además:a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a c
a a c
a a c
11 12 13
21 22 23
41 42 43
11 12 14
21 22 24
41 42 44
11 12 15
21 22 25
41 42 45
11 12 1
21 22 2
41 42 4
0 0 0 0= = = =; ; ;
Entonces podemos asegurar que la tercera fila de la matriz B* es combinación lineal de
las dos primeras y, por tanto, la tercera ecuación de S1 es combinación lineal de las dos
primeras ecuaciones. Si eliminamos esa ecuación del sistema S1, obtenemos:
Los sistemas S , S1 y S2 son equivalentes., es decir: S ] S1 ] S2
Así sucesivamente hasta que no encontremos ninguna ecuación combinación lineal de
las demás. En este caso se dice que todas las ecuaciones (y todas las filas de la matriz
ampliada) son linealmente independientes.
Si en el caso que nos ocupa, ninguna de las dos filas de la matriz D* fuese combinación
lineal de la otra, tendremos que Rango D* = 2 y más concretamente:
Rango A* = Rango B* = Rango D* = 2 = 
= nº de filas de A* linealmente independientes = 
= nº de ecuaciones de S linealmente independientes.
11.Resolución de un sistema. Métodos de resolución.-
Cuando planteamos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, generalmente
se pretende conseguir dos objetivos, uno es saber si ese sistema tiene solución (es compatible)
o no tiene solución (es incompatible). En el caso que sea compatible, debemos encontrar la o las
soluciones, es decir, los valores que hacen verdaderas las m ecuaciones del sistema.
El proceso de averiguar si un sistema es o no compatible, se llama discusión del sistema
y al proceso de buscar y encontrar la o las soluciones, resolución o resolver. Para resolver un
sistema existen diversos métodos que nos permiten llegar a la solución. Estos métodos se basan
en las propiedades vistas anteriormente o en las de las matrices y determinantes. Veremos
algunos de ellos, aunque el alumno recuerde los métodos de resolución para sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas: Reducción, Sustitución e Igualación. Es posible que conozca
el método de Gauss para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas e incluso
sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.
12.Método de la matriz inversa para resolver un sistema.-
Este método es válido cuando el sistema original o un equivalente a él tiene el mismo
número de ecuaciones que de incógnitas (la matriz de los coeficientes es cuadrada) y además,
dicha matriz tiene inversa.
Veamos:
4 Imagina un sistema S (o un equivalente a él) tal que en forma matricial es A·X = C,
siendo A una matriz cuadrada de orden n (n = nº ecuaciones = nº de incógnitas).
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 22 Sistemas de Ecuaciones Lineales
S
x y
x y
en forma matricial
x
y
:
4 5 9
3 5
4 5
3 1
9
5
− =
+ = −



−




 ⋅





 = −






A
A
A A
A A
−
−= ⋅





 = ⋅ −





 =





1 11 21
12 22
1
19
5
19
3
19
4
19
1 1
19
1 5
3 4
A A
A A
11
2
12
3
21
3
22
4
1 1 1 1 3 3
1 5 5 1 4 4
= − ⋅ = = − ⋅ = −
= − ⋅ − = = − ⋅ =
( ) ; ( ) ;
( ) ( ) ; ( )
X A C= ⋅ =





 ⋅
−





 =
−
−





 =
−
−





− − −
1
1
19
5
19
3
19
4
19
9
19
25
19
27
19
20
19
16
19
47
19
9
5
4 Resolver este sistema consiste en encontrar la matriz X.
4 Supongamos que la matriz A tiene inversa y la hallamos, es decir, obtenemos A&1 
4 Recordando las operaciones con matrices, tendremos:
A&1 ·(A·X) = A&1 ·C
(A&1 ·A)·X = A&1 ·C
I·X = A&1 ·C
Como A&1 y C son matrices
conocidas, obtenemos la matriz de las incógnitas X.
Nótese com es necesaria la existencia de la matriz inversa de A.
Recuérdese que A&1 existe si y sólo sí * A*…0.
Ejemplo 24.-
Sea el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas siguiente:
 
Observa que:
Ø nº de ecuaciones = nº de incógnitas = 2
Ù
4 5
3 1
4 15 19 0
4 5
3 1
1−
= + = ≠
−





−
, ,es decir existe
Podemos asegurar que este sistema puede resolverse por el método de la matriz inversa.
Hallemos la inversa de la matriz de los coeficientes (matriz A):
Ya que:
Despejamos la matriz X :
La solución del sistema es :
Nota: Se recomienda resolver este sistema por el método de reducción para que el
alumno compruebe el resultado.
X = A&1 ·C
x y=
−
=
−16
19
47
19
;
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 23 Sistemas de Ecuaciones Lineales
S
x y z
x y z
x y z
siendo A la matriz de los coeficientes: .
− + =
+ − = −
− + =





=
−
−
−










3 4 5
3 5 6
2 4 6
1 3 4
3 1 5
2 4 1
A
A
A A A
A A A
A A A
−
−
−
−
=










=
−
− −
− −
− −










=










1
11 21 31
12 22 32
13 23 33
19
36
13
36
11
36
13
36
7
36
17
36
14
36
2
36
10
36
1 1
36
19 13 11
13 7 17
14 2 10
X =










⋅ −










=










=










=










−
−
−
− −
− −
− −
−
−
−
−
−
−
19
36
13
36
11
36
13
36
7
36
17
36
14
36
2
36
10
36
95 78 66
36
65 42 102
36
70 12 60
36
49
36
79
36
2
36
49
36
79
36
1
18
5
6
6
A A A
A A A
A A A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 5
4 1
19
3 5
2 1
13
3 1
2 4
14
3 4
4 1 13
1 4
2 1 7
1 3
2 4 2
3 4
1 5 11
1 4
3 5 17
1 3
3 1 10
=
−
−
= − = −
−
= − =
−
= −
= −
−
−
= − = = − = −
−
−
= −
=
−
−
= = −
−
= =
−
=
; ;
; ;
; ;
− − ⋅ + ⋅ = = =
⋅ − − ⋅ = = = −
⋅ − ⋅ − = = =





− − − + −
− − − − + −
− − − + −
49
36
79
36
1
18
49 237 8
36
180
36
49
36
79
36
1
18
147 79 10
36
216
36
49
36
79
36
1
18
98 316 2
36
216
36
3 4 5
3 5 6
2 4 6
Ejemplo 25.-
Resolvamos el sistema:
 
Veamos si se puede resolver matricialmente:
± nº de ecuaciones = nº de incógnitas = 2
± A =
−
−
−
= − + − − + = − ≠
1 3 4
3 1 5
2 4 1
1 48 30 8 20 9 36 0
Es posible resolverlo matricialmente.
Resolvemos. Para ello necesitamos hallar la matriz inversa de A (recordar tema de
matrices y determinantes).
Ya que:
Resolvemos la ecuación matricial A·X = C :
A&1·A·X = A&1·C ; I·X = A&1 ·C ; X = A&1·C
Por tanto, la solución del sistema es
Comprobemos:
x y z=
−
=
−
=
−49
36
79
36
1
18
; ;
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 24 Sistemas de Ecuaciones Lineales
S
x y
x y
x y
En forma matricial
x
y:
8 2 7
3 5 5
2 12 3
8 2
3 5
2 12
7
5
3
+ =
− =
− − =





−
− −










⋅





 =










Matriz ampliada A: * = −
− −










8 2 7
3 5 5
2 12 3
S
x y
x y
con S S y B como matriz coeficientes1 1
8 2 7
3 5 5
8 2
3 5
:
+ =
− =



⇔ =
−






8 2
3 5
1 0
0 1
40 10
6 10
5 0
0 2
46 0
6 10
5 2
0 2
138 0
138 230
15 6
0 46
138 0
0 230
15 6
15 40
1 0
0 1
1
2 1 2
1
2
2 1
1
1
138
2
1
230
5
2
3
23
15
138
6
138
15
230
40
230
−





  →
−





  →
−





  →  
− −





  →





  →



⋅
⋅ +
⋅
⋅ −
+
⋅
⋅
F
F F F
F
F
F F
F
F
( )



M Rango A o
A
2
8 2
3 5 40 6 46 0 2 3
8 2 7
3 5 5
2 12 3
120 252 20 70 480 18 0
=
−
= − − = − ≠ ⇒ =
= −
− −
= − − − − + − =
*
*
B despues de simplificar− =





1
5
46
1
23
3
46
4
23
&
x
y
x y solucion de S





 =





 ⋅





 =
+
+





 =





 ⇒ = =
5
46
1
23
3
46
4
23
35
46
5
23
21
46
20
23
45
46
61
46
45
46
61
46
7
5
; ( & )
Ejemplo 26.-
Queremos resolver el sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas siguiente:
Veamos si podemos resolverlo matricialmente:
Veamos si alguna fila de A* es combinación lineal de las otras:
De lo
anterior se deduce que la tercera fila de A* es combinación lineal de las dos primeras
(ver tema “Matrices y determinantes”), o lo que es lo mismo, la tercera ecuación de S es
combinación lineal de las dos primeras.
Eliminando la tercera ecuación de Sobtenemos otro sistema S1 equivalente a S.
Observamos que el sistema S1 puede resolverse matricialmente ya que *M2*=*B*…0
Resolvamos S1 matricialmente. Para ello debemos encontrar B&1. Lo haremos por
transformaciones de líneas (ver tema “Matrices y determinantes”).
Por tanto:
Resolvemos la ecuación matricial:
 
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 25 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):
( ):
( ):
( ):
1
2
3
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
n a x a x a x a x c
S Sistema de orden n
n n
n n
n n
n n n nn n n
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =








×
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
n.
( ):
( ):
( ):
( ):
.
1
2
3
11 1 12 2 13 3 1 1
22 2 23 3 2 2
33 3 3 3
b x b x b x b x d
b x b x b x d
b x b x d
n b x d
S Sistema de orden n n
n n
n n
n n
nn n n
+ + + + =
+ + + =
+ + =
=








′ ×
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLLL
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
x
x
x
x
c
c
c
c
Abreviadamente A X C
n
n
n
n n n nn n n
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1
2
3
1
2
3
L
L
L
M M M M M
L
M M
















⋅
















=
















⋅ =:
b b b b
b b b
b b
b
x
x
x
x
d
d
d
d
Abreviadamente B X D
n
n
n
nn n n
11 12 13 1
22 23 2
33 3
1
2
3
1
2
3
0
0 0
0 0 0
L
L
L
M M M M M
L
M M
















⋅
















=
















⋅ =:
13.Método de Gauss para la resolución de un sistema.-
Este método se suele emplear cuando el número de ecuaciones es igual al número de
incógnitas, aunque es válido para cualquier sistema. En esta ocasión lo veremos para el caso en
que nº de ecuaciones = nº de incógnitas. 
Veamos:
S Supongamos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas:
Matricialmente es:
S Mediante sucesivas transformaciones en el sistema S debemos llegar a obtener otro
sistema S´ que sea equivalente a S y tenga la siguiente forma:
En forma matricial es:
Obsérvese que en el sistema S´ todos los coeficientes que hay por debajo de la diagonal
principal de la matriz B son iguales a 0, es decir, la matriz B es una matriz triangular.
Recordemos que debe ser S ]S´.
S Una vez conseguido el sistema S´ (equivalente a S), podemos resolverlo fácilmente.
Veamos como:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 26 Sistemas de Ecuaciones Lineales
S
A x y
B x y1
1
1
20 15 25
20 8 36:
:
:
+ = −
− =



S
A x y
B y
S S S2
2
2
1 2
20 15 25
23 61
:
:
:
+ = −
− =



⇔ ⇔
A x x x x x2 20 15
61
23
25 20 25
915
23
20
340
23
340
23 20
17
23
: ; ; ; ;+ ⋅
−
= − = − + = =
⋅
=
Î Despejamos xn en la última ecuación: . Ya tenemos el valor de xn.x
d
bn
n
nn
=
Ï La penúltima ecuación (n-1) es: b x b x dn n n n n n n( )( ) ( )− − − − −+ =1 1 1 1 1
Substituimos y obtenemos el valor de x
d
bn
n
nn
= x
d b
d
b
bn
n n n
n
nn
n n
−
− −
− −
=
− ⋅
1
1 1
1 1
( )
( )( )
Ya hemos encontrado los valores para las incógnitas xn y xn-1.
Ð La ecuación (n-2) es: b x b x b x dn n n n n n n n n n( )( ) ( )( ) ( )− − − − − − − −+ + =2 2 2 2 1 1 2 2
Substituyendo los valores obtenidos para xn y xn-1 en la ecuación (n.2) y
despejando xn-2 obtenemos el valor de la incógnita xn-2.
Ð Siguiendo el proceso para las ecuaciones (n-3) , (n-4) ,...., (3) , (2) , (1), llegamos
a obtener los valores de x1 , x2 , x3 , ... , xn-1 , xn.
S Pued darse el caso en que la última ecuación del sistema S´ sea: 0 0x d con dn n n= ≠
En este caso, no existe ningún valor posible para xn , es decir, el sistema no tiene
solución (es incompatible).
Ejemplo 27.-
Vamos a resolver por el método de Gauss el sistema S
A x y
B x y:
:
:
4 3 5
5 2 9
+ = −
− =



Veamos:
L Multiplico la primera ecuación por 5 y la segunda por 4. Obtengo otro sistema
 S1
 S ] S1
’ A la segunda ecuación de S1 le resto la primera. Obtengo S2
’ Despejamos la incógnita y en la ecuación B2 : y =
−61
23
’ Substituimos el valor de y en la ecuación A2 y despejamos x :
Conclusión : La solución del sistema S es :
x y= =
−17
23
61
23
;
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 27 Sistemas de Ecuaciones Lineales
S
x b x b x b x b x d
x b x b x b x d
x b x b x d
x b x d
x d
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n n
n n
:
( )
( )
( )
( )
1 12 2 13 3 1 1 1 1 1
2 22 3 2 1 1 2 2
3 3 1 1 3 3
1 1 1
+ + + + + =
+ + + + =
+ + + =
+ =
=










− −
− −
− −
− − −
L
L
L
LLLLLLLLLLLLLLLLLLL
S
A x y z
B x y z
C x y z
:
:
:
:
+ − =
− + =
+ − = −





4 2 8
3 5 10
2 3 2 6
Re :solvemos S
C z
B y y
A x x
4
4
216
29
4
14
13
11
13
216
29
2782
377
4
2782
377
216
29
192
298 4 2
→ =
→ = + ⋅ → =
→ = − ⋅ + ⋅ → = −





S Una forma mas “elegante” de encontrar la solución es llegar a un sistema de S
equivalente al dado cuya expresión sea:
De este modo tenemos el valor de xn ( xn = dn) en la última ecuación y “subiendo” en las
ecuaciones vamos obteniendo los valores de xn&1 ; xn&2 ; þ ; x2 ; x1, siendo los
coeficientes de los x1 , x2 , x3 , ... , xn&1 , xn iguales a 1.
Ejemplo 28.-
Resolver por el método de Gauss el sistema:
Veamos:
4 Construimos el sistema : S
A A
B B A
C C A
1
1
1
1
3
2
:
=
= −
= −





S
A x y z
B y z
C y z
1
1
1
1
4 2 8
13 11 14
5 2 22
:
:
:
:
+ − =
− + = −
− + = −





4 Construimos el sistema : S
A A
B B
C C
2
2 1
2
1
13 1
2
1
5 1
:
=
=
=





−
−
S
A x y z
B y z
C y z
2
2
2
11
13
14
13
2
2
5
22
5
4 2 8
:
:
:
:
+ − =
− =
− =





4 Construimos el sistema : S
A A
B B
C C B
3
3 2
3 2
3 2 2
:
=
=
= −





S
A x y z
B y z
C z
3
3
3
11
13
14
13
3
29
65
216
65
4 2 8
:
:
:
:
+ − =
− =
=





4 Construimos el sistema : S
A A
B B
C C
4
4 3
4 3
4
65
29 3
:
=
=
=





S
A x y z
B y z
C z
4
4
4
11
13
14
13
4
216
29
4 2 8
:
:
:
:
+ − =
− =
=





Como se verifica que y estamos en condiciones de resolver S4 :S S S S S⇔ ⇔ ⇔ ⇔1 2 3 4
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 28 Sistemas de Ecuaciones Lineales
S
x b x b x b x b x d
x b x b x b x d
x b x b x d
x b x d
x d
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n n
n n
:
( )
( )
( )
( )
1 12 2 13 3 1 1 1 1 1
2 22 3 2 1 1 2 2
3 3 1 1 3 3
1 1 1
+ + + + + =
+ + + + =
+ + + =
+ =
=










− −
− −
− −
− − −
L
L
L
LLLLLLLLLLLLLLLLLLL
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
c
c
c
c
n
n
n
n n n nn n
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1
2
3
L
L
L
L L L L L
L
L
















1
0 1
0 0 1
0 0 0 1
12 13 1
23 2
3
1
2
3
b b b
b b
b
d
d
d
d
n
n
n
n
L
L
L
L L L L L
L
L
















Por tanto, la solución del sistema S es :
El proceso anterior puede realizarse de un modo más reducido utilizando únicamente los
coeficientes de las ecuaciones, esto es, sin poner las incógnitas y utilizando expresiones de tipo
matricial de tal modo que vamos realizando transformaciones de líneas hasta alcanzar una matriz
triangular con todo los términos que están debajo de la diagonal principal iguales a cero.
Es decir:
K Partimos de una matriz del tipo:
K Realizando transformaciones en filas (equivalentes a las transformaciones que hacíamos
en las ecuaciones), llegamos a una matriz del tipo:
Es decir, los términos de la diagonal principal son iguales a 1 y los que están por debajo
de ella son iguales a 0. 
K La matriz anterior es equivalente al sistema:
el cual se resuelve como explicamos anteriormente.
K La línea vertical que ponemos en las matrices es simplemente para separar los
coeficientes de las incógnitas(parte izquierda de la igualdad) de los términos
independiente (parte derecha de la igualdad).
K Para realizar las transformaciones de filas en las matrices, emplearemos la siguiente
terminología:
x y z= − = =
192
29
2782
377
216
29
; ;
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 29 Sistemas de Ecuaciones Lineales
F F A la fila i le sumo la fila k a la ecuacion i le sumo la ecuacion k
F F A la fila i le resto la fila k a la ecuacion i le resto la ecuacion k
F La fila i la multiplico por la ecuacion i la multiplico por
F F A la fila i le sumo o resto el producto de la fila k por etc
i k
i k
i
i k
+
−
⋅
± ⋅
: ( & & )
: ( & & )
: ( )
: ( .)
α α α
α α
2 5 3
3 1 4
3 2 5
9
5
4
2 5 3
3 1 4
0 3 1
9
5
9
6 15 9
6 2 8
0 3 1
27
10
9
6 15 9
0 13 17
0 3 1
27
37
9
6 15 9
0 39
3 2
1
2 2 1
2
3
3
2
3
13
−
−
−










 →
−
−
−










 →
−
−
−










 →
−
−
−
−










 → 
−
−
−
⋅
⋅ −
⋅ −
⋅
F F
F
F F F
F
F
( )
51
0 39 13
27
111
117
6 15 9
0 39 51
0 0 38
27
111
228
1
0 1
0 0 1 6
3 2
1
1
6
2
1
39
3
1
38
5
2
3
2
17
13
9
2
37
13
−










 →
−
−
−










 → 
−
−
−










+
⋅
⋅
⋅−F F
F
F
F
S
A x y z
B y z
C z
ya tenemos que z1
1
5
2
3
2
9
2
1
17
13
37
13
1 6
6:
:
:
:
+ − =
− =
= −





= −
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 29.-
Resolver por el método de Gauss el sistema S
x y z
x y z
x y z
:
2 5 3 9
3 4 5
3 2 5 4
+ − =
+ + = −
− + =





Veamos:
La última expresión (la última matriz) es equivalente al sistema :
Substituimos z = &6 en la ecuación B1 : y y y− ⋅ − = = − = −1713
37
13
37
13
102
136 5( ) ; ;
Substituimos z = &6 e y = &5 en A1 : x x x+ ⋅ − − ⋅ − = = + − =
5
2
3
2
9
2
9
2
25
25 6 9 8( ) ( ) ; ;
Por tanto: es la solución del sistema S.x = 8 ; y = &5 ; z = &6
14.Método de Gauss-Jordan para la resolución de un sistema.-
El método de Gauss-Jordan es una mejora del método de Gauss visto anteriormente. En
este caso el objetivo es llegar a una matiz en la que la diagonal principal sean todos 1 y los
demás elementos sean 0 (nos referimos a la matriz de los coeficientes). Es decir:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 30 Sistemas de Ecuaciones Lineales
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
c
c
c
c
n
n
n
n n n nn n
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1
2
3
L
L
L
L L L L L
L
L
















1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
2
3
L
L
L
L L L L L
L
L
d
d
d
dn
















x d
x d
x dn n
1 1
2 2
=
=
=
M
S
A x x x x
B x x x x
C x x x x
D x x x x
:
:
:
:
:
2 4 4
3 2 3 5
3 2 2
2 3 5 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
− + − =
+ − + = −
− + − =
+ − + = −






L Partiendo del sistema:
L Queremos llegar a :
L Expresión que equivale a la solución del sistema, es decir:
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 30.-
Resolvamos por el método de Gauss-Jordan el sistema :
Veamos:
2 1 4 1
1 3 2 3
3 2 1 1
1 2 3 5
4
5
2
4
2 1 4 1
1 3 2 3
0 11 7 10
0 1 1 2
4
5
17
1
2 1 4 1
0 7 8 7
0 11 7 10
0 1 1 2
4
14
17
1
3 2
4 2 2 1
13
2
− −
−
− −
−
−
−












 →  
− −
−
− −
− −
−












 →  
− −
−
− −
− −
−












− ⋅
− ⋅ −
−F F
F F F F
F F4
3 4
4 2
3
4
11
7
5
6
2 0 5 3
0 7 8 7
0 0 18 32
0 1 1 2
3
14
6
1
2 0 5 3
0 7 8 7
0 0 18 32
0 0 15 21
3
14
6
7
2 0 5 3
0 7 8 7
0 0 90 160
0 0 90 126
3
14
30
42
F F
F F
F
F F
− ⋅
⋅ +
⋅
⋅
 →  
−
−
−
− −
−












 →  
−
−
−
−
−
−












 →
−
−
−
−
−
−












4 3+ → F
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 31 Sistemas de Ecuaciones Lineales
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0
1L
L L L L L
L
L L L L L
L
L
L
d
k
d
con k
n
















≠
S
x y z
x y z
x y z
:
2 4 3 6
3 2 3
3 14 10 15
− + =
+ − = −
− + =





2 0 5 3
0 7 8 7
0 0 90 160
0 0 0 34
3
14
30
12
36 0 90 54
0 7 8 7
0 0 90 160
0 0 0 34
54
14
30
12
36 0 0 106
0 7 8 7
0 0 90 160
0 0 0 34
24
14
30
12
36
1 1 3
2
1
7
3
1
90
4
1
3418
−
−
−
−
−
−












 → 
−
−
−
−
−
−












 →
−
−
−
−
−












 → ⋅ −
⋅
⋅
⋅−F F F
F
F
F
0 0 106
0 1 1
0 0 1
0 0 0 1
24
2
36 0 0 0
0 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
24 36 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
8
7
16
9
1
3
6
17
8
7
40
17
49
51
6
17
106
228
17
64
51
49
51
6
17
2 4
3
16
9 4
1 4
2
8
7 3
−
−
−












 →  
− −












 → 
−
−












−
+ ⋅
− ⋅
+ ⋅
F F
F F
F F
F F F
S
x
x
x
x
solucion del sistema S
1
1
36
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
19
51
64
51
49
51
6
17
1
1
19
51
2
64
51
3
49
51
4
6
17
⋅ → 
−
−












⇒
= −
= −
=
=







: & .
Puede ocurrir que al intentar resolver el sistema por el método de Gauss o Gauss-Jordan,
nos encontremos con una fila en la que todos los elementos son ceros, excepto el término
independiente, es decir:
Dicha fila se interpreta como la ecuación , la0 0 0 01 2x x x k con kn+ + + = ≠L ( )
cual puede apreciarse que no tiene ninguna solución, esto es, no existen valores para los xi que
hagan verdadera esa igualdad. Por tanto, en este caso, el sistema no tiene solución.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 31.-
Resolvamos por el método de Gauss-Jordan el sistema:
Veamos:
2 4 3
3 2 1
3 14 10
6
3
15
2 4 3
3 2 1
0 16 11
6
3
18
6 12 9
6 4 2
0 16 11
18
6
18
3 2
1
2 2 1
3
2
−
−
−
−










 →
−
−
−
−










 →
−
−
−
−










 →−
⋅
⋅ −F F
F
F F F
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 32 Sistemas de Ecuaciones Lineales
6 12 9
0 16 11
0 16 11
18
24
18
6 12 9
0 16 11
0 0 0
18
24
6
0 0 0 63 2
−
−
−
−










 →
−
− −
−










⇒ + + = −+F F x y z
Ninguna terna de valores x, y, z verifican esta ecuación. Por tanto, el sistema S es
incompatible, es decir, no tiene solución.
15.Método de Cramer para la resolución de un sistema.-
El método de Cramer se aplica para la resolución de cierto tipo de sistemas de ecuaciones
lineales. Antes de aplicar el método veremos en qué casos es aplicable.
15.1.Sistema de Cramer.-
Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es de Cramer, si el número de ecuaciones
es igual al número de incógnitas y el determinante de la matriz de los coeficientes (que será una
matriz cuadrada) es distinto de cero.
Es decir:
( ):
( ):
( ):
º º
1
2
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
n a x a x a x a x c
S n ecuaciones n incognitas n
n n
n n
n n n nn n n
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =






= =
L
L
LLLLLLLLLLLLLLLLL
L
con como matriz de los coeficientes.A
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
=












11 12 1
21 22 2
1 2
L
L
L L L L
L
Pues bien:
Recordemos (ver tema “Matrices y Determinantes”) que si el determinante de una matriz
cuadrada es distinto de cero, entonces el rango de esa matriz es igual al número de filas (y de
columnas). Es decir:
*A*…0 ] Rango A = n
Por tanto:
No olvidar que un sistema para ser de Cramer debe cumplir como primera condición que
el número de ecuaciones sea igual al número de incógnitas.
 S es sistema de Cramer ]*A*…0
 S es sistema de Cramer ] *A*…0 ] Rango A = n
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 33 Sistemas de Ecuaciones Lineales
A =
−
−
= − − − + + = − =
1 4 3
2 4 2
1 16 7
28 96 8 12 32 56 116 116 0
Ejemplo 32.-El sistema no es de Cramer porque:S
x x x x x
x x x x x
x x
:
− + + − − =
+ + − + =
+ = −





1 2 3 4 5
1
5
4 2 3 4 5
2 4
3 4 2 9
3 5 0
7 5 4
número de ecuaciones = 3 … 5 = número de incógnitas.
Ejemplo 33.-
Veamos si el sistema es de Cramer:S
x y z
x y z
x y z
:
− + =
+ + = −
− + =





4 3 6
2 4 2 3
16 7 21
número de ecuaciones = número de incógnitas = 3
Puede ser de Cramer.
Consideremos la matriz de los coeficientes: A =
−
−










1 4 3
2 4 2
1 16 7
Entonces: S es sistema de Cramer ]*A*…0
Hallemos el determinante de la matriz A (lo hacemos por la regla de Sarrus):
Conclusiones: El sistema S no es de Cramer
RangoA…3
Una fila de la matriz A es combinación lineal de las otras dos.
Una ecuación de S es combinación lineal de las otras dos.
Ejemplo 34.-
Veamos si el sistema es de Cramer:S
x y z
x y z
x y z
:
2 4 15
3 5 6
2 4
− + =
+ − =
− + + = −





número de ecuaciones = número de incógnitas = 3
Puede ser de Cramer.
Consideremos la matriz de los coeficientes: A =
−
−
−










2 4 1
1 3 5
1 1 2
Entonces: S es sistema de Cramer ]*A*…0
Hallemos el determinante de la matriz A (lo hacemos por la regla de Sarrus):
* A* = 12 + 1 &20 + 3 + 10 + 8 = 22 … 0 Y S es de Cramer
También se deduce que RangoA = 3 = nº ecuaciones = nº incógnitas.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 34 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):
( ):
( ):
1
2
0
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
11 12 1
21 22 2
1 2
a x a x a x c
a x a x a x c
n a x a x a x c
S con A
a a a
a a a
a a a
n n
n n
n n nn n n
n
n
n n nn
+ + + =
+ + + =
+ + + =






= ≠
L
L
LLLLLLLLLLLLLL
L
L
L
L L L L
L
a a a
a a a
a a a
x
x
x
c
c
c
n
n
n n nn n n
11 12 1
21 22 2
1 2
1
2
1
2
L
L
L L L L
L
M M












⋅












=












x
x
x
c
c
c
A
A A A
A A A
A A A
c
c
cn
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A n
n
n
n n nn n
n
n
n n nn
1
2
1
2
11 21 1
12 22 2
1 2
1
2
11 21 1
12 22 2
1 2
1
M
L
L
L L L L
L
M
L
L
L L L L
L
M












=














⋅












=












⋅












x
c A c A c A c A
A
c A
A
x
c A c A c A c A
A
c A
A
x
c A c A c A c A
A
c A
n n
i i
i
n
n n
i i
i
n
n
n n n n nn
i in
i
n
1
1 11 2 21 3 31 1
1
1
2
1 12 2 22 3 32 2
2
1
1 1 2 2 3 3 1
=
⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
=
⋅
=
⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
=
⋅
=
⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
=
⋅
=
=
=
∑
∑
∑
L
L
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
L
A
15.2.Resolución de un sistema de Cramer. Regla de Cramer.-
Quede claro que un sistema de Cramer puede resolverse por el método de Gauss. Otro
método para resolver este tipo de sistemas es el método o regla de Cramer. Veamos:
Supongamos un sistema de Cramer de n ecuaciones con n incógnitas:
Resolver este sistema consiste en encontrar los n valores x1 , x2 , x3 ÿÿ , xn que hacen
verdaderas las n igualdades.
Expresemos el sistema matricialmente: A·X = C
Como A es una matriz cuadrada y *A*…0, podemos asegurar que existe A&1.Esto
significa que podemos resolver el sistema matricialmente, es decir, despejar X : 
X = A&1· C
En forma desarrollada:
Operando matricialmente deducimos que:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 35 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Fijémonos en el numerador de x1: c A c A c A c An n1 11 2 21 3 31 1⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅L
Resulta que coincide con el siguiente determinante:
D
c a a a
c a a a
c a a a
c a a a
Desarrollando por columna c D
n
n
n
n n n nn
i i
i
n
1
1 12 13 1
2 22 23 2
3 32 33 3
2 3
1
1
1= = = ⋅
=
∑
L
L
L
L L L L L
L
Ahora bien, observa que ,D A D A D A D An n11 11 21 21 31 31 1 1= = = =; ; ; ;LL
siendo los adjuntos de los elementos de la primera columna de laA A A An11 21 31 1; ; ; ;LL
matriz de los coeficientes A. 
Del mismo modo resulta que el numerador de x2 : , coincide con elc Ai i
i
n
⋅
=
∑ 2
1
determinante:
D
a c a a
a c a a
a c a a
a c a a
Desarrollando por columna c D
n
n
n
n n n nn
i i
i
n
2
11 1 13 1
21 2 23 2
31 3 33 3
1 3
2
1
2= = = ⋅
=
∑
L
L
L
L L L L L
L
Ahora bien, observa que ,D A D A D A D An n12 12 22 22 32 32 2 2= = = =; ; ; ;LL
siendo los adjuntos de los elementos de la segunda columna deA A A An12 22 32 2; ; ; ;LL
la matriz de los coeficientes A. 
Igualmente, el numerador de x3 : , coincide con el determinante :c Ai i
i
n
⋅
=
∑ 3
1
D
a a c a
a a c a
a a c a
a a c a
Desarrollando por columna c D
n
n
n
n n n nn
i i
i
n
3
11 12 1 1
21 22 2 2
31 32 3 3
1 2
3
1
3= = = ⋅
=
∑
L
L
L
L L L L L
L
Ahora bien, observa que ,D A D A D A D An n13 13 23 23 33 33 3 3= = = =; ; ; ;LL
siendo los adjuntos de los elementos de la tercera columna de laA A A An13 23 33 3; ; ; ;LL
matriz de los coeficientes A. 
Así sucesivamente hasta llegara que el numerador de xn : , coincide con:c Ai in
i
n
⋅
=
∑
1
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 36 Sistemas de Ecuaciones Lineales
n ecuaciones n deincognitas
A
S es de Cramer
º º &
.
= =
=
−
= + = ≠





⇒
2
6 5
3 4
24 15 39 0
x
A
y
A
=
−
−
=
−
=
−
= − =
−
=
− −
=
−
= −
8 5
9 4 32 45
39
13
39
1
3
6 8
3 9 54 24
39
78
39
2;
D
a a a c
a a a c
a a a c
a a a c
Desarrollando por columna n c Dn
n n n n
i in
i
n
= = = ⋅
=
∑
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1
L
L
L
L L L L L
L
Ahora bien, observa que ,D A D A D A D An n n n n n nn nn1 1 2 2 3 3= = = =; ; ; ;LL
siendo los adjuntos de los elementos de la última columna de laA A A An n n nn1 2 3; ; ; ;LL
matriz de los coeficientes A. 
En resumidas cuentas: “La solución del sistema podemos obtenerla aplicando las
siguientes fórmula para cada una de las incógnitas”
 D1 se obtiene de substituir la columna 1 de A por la matriz de los términos independientesx
D
A1
1=
 D2 se obtiene de substituir la columna 2 de A por la matriz de los términos independientesx
D
A2
2=
 D3 se obtiene de substituir la columna 3 de A por la matriz de los términos independientesx
D
A3
3=
þþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþ
 Dn se obtiene de substituir la columna n de A por la matriz de los términos independientesx
D
An
n=
Obsérvese como es imprescindible la condición de que * A *…0.
Ejemplo 35.-
Sea el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas S
x y
x y
:
6 5 8
3 4 9
− =
+ = −



Intentemos resolverlo por el método de Cramer.
Veamos:
Podemos resolver por dicho método:
Por tanto, el sistema tiene como única solución 
x y= − = −
1
3
2;
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 37 Sistemas de Ecuaciones Lineales
S
x y z
x z
y z
siendo A:
− + = −
+ =
− + = −





=
−
−










3 5
4 2 8
5 3 6
1 3 1
4 0 2
0 5 3
x
A
y
A
z
A
=
− −
− −
=
− + − − +
= =
=
−
−
=
− + − + +
= =
=
− −
− −
=
+ + − + −
= =
5 3 1
8 0 2
6 5 3 0 40 36 0 50 72
26
18
26
9
13
1 5 1
4 8 2
0 6 3 24 24 0 0 12 60
26
72
26
36
13
1 3 5
4 0 8
0 5 6 0 100 0 0 40 72
26
68
26
34
13
S
x x x
x x
x x x
x x
En este caso A: .
1 2 4
2 3
1 3 4
1 4
2 1
4 2
2 0
2 3 4
1 1 0 2
0 1 4 0
2 0 1 1
2 0 0 3
− + =
− = −
+ − =
+ =






=
−
−
−












Ejemplo 36.-
Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
Queremos saber si es de Cramer y, encaso afirmativo, resolverlo por este método.
Veamos:
Î nº de ecuaciones = nº de incógnitas = 2 Y Puede ser de Cramer.
Ï A =
−
−
= − + − + + = ≠
1 3 1
4 0 2
0 5 3
0 20 0 0 10 36 26 0
Conclusión: El sistema S es de Cramer.
Resolvamos:
Conclusión: La única solución del sistema S es x y z= = =913
36
13
34
13; ;
Ejemplo 37.-
Resolvamos el sistema:
Observamos que nº de ecuaciones