Tema 07 - Puntos Notables

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27UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 7 - 8
PUNTOS NOTABLES
GEOMETRÍA
I. BARICENTRO
Es el punto de concurrencia de las medianas de un
triángulo. Dicho punto determina en cada mediana dos
segmentos cuya razón de longitudes es de 2 a 1.
G: baricentro de la región triangular ABC.
II. ORTOCENTRO
Es el punto de concurrencia de las alturas de un trián-
gulo; tendrá una ubicación característica, dependiendo
del tipo de triángulo.
El ABC es acutángulo
H: ortocentro del triángulo ABC.
El ABC es obtusángulo, obtuso en B.
T: ortocentro del triángulo ABC.
ABC es rectángulo recto en B.
B: ortocentro del triángulo ABC.
III. INCENTRO
Es el punto de concurrencia de las bisectrices interiores
de un triángulo. El incentro pertenece a la región
triangular, equidista de los lados del triángulo, motivo
por el cual es el centro de la circunferencia inscrita en
dicho triángulo.
DESARROLLO DEL TEMA
28UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA
PUNTOS NOTABLES
TEMA 7 - 8
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I: incentro del ABC
r: inradio del ABC
A. Circunferencia inscrita en el triángulo
Es aquella circunferencia cuyo centro es el incentro
del triángulo y es tangente a los lados del triángulo.
: Circunferencia inscrita en el triángulo ABC.
M, Q y T: puntos de tangencia
Se cumple:
Donde: p: semiperímetro de la región triangular
ABC.
B. Teorema de Poncelet
En todo triángulo rectángulo, la suma de las lon-
gitudes de los catetos, es igual a la longitud de la
hipotenusa más el diámetro de la circunferencia ins-
crita en dicho triángulo.
En el ABC, r: inradio.
Se cumple: a + c = b + 2 r
IV. CIRCUNCENTRO
Es el punto de concurrencia de las mediatrices de los
lados de un triángulo, su ubicación respecto al trián-
gulo, dependerá de la naturaleza de dicho triángulo.
El circuncentro equidista de los vértices del triángulo,
motivo por el cual es el centro de la circunferencia cir-
cunscrita a dicho triángulo.
ABC : acutángulo
O: circuncentro del ABC .
O: centro de la circunferencia circunscrita al ABC .
R: circunradio del ABC .
ABC : obtusángulo, obtuso en B
O : circuncentro del ABC .
O : centro de la circunferencia cicunscrita al ABC .
R : circunradio del ABC .
29UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 7 - 8
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PUNTOS NOTABLES
Problema 1
Del gráfico que punto notable es P del
triángulo ABC.
Nivel fácil
A) Incentro B) Circuncentro
C) Ortocentro D) Baricentro
E) Punto brocard
Resolución:
ABC : rectángulo, recto en B.
O : circuncentro del ABC .
O : centro de la circunferencia cicunscrita al ABC .
R : circunradio del ABC .
V. EXCENTRO
Es el punto de concurrencia de dos bisectrices exte-
riores y una bisectriz interior trazada desde el tercer
vértice, el excentro petenece a la región exterior
equidista de los lados del triángulo motivo por el cual
es el centro de la circunferencia ex inscrita a dicho
triángulo. El triángulo tiene un excentro relativo a cada
lado, es decir tiene tres excentros.
Circunferencia exinscrita al ABC , relativa a BC.
Ea : excentro del ABC , relativo al lado BC.
ra : exradio del ABC , relativo a BC.
A. Propiedad
Q, S y L son puntos de tangencia.
Donde: p: semiperímetro de la región triangular ABC.
B. Teorema de Pithot
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunfe-
rencia, la suma entre las longitudes de los lados
opuestos son iguales.
ABCD circunscrito se cumple:
AB + CD = BC + AD
Se prolonga AP y CP hasta S y T res-
pectivamente.
Se observa:
AS: altura
CT: altura
P : ortocentro ABC 
Respuesta: C) Ortocentro
Problema 2
Del gráfico, O y R son ortocentro y
circuncetro del ABC ; hallar " ".
Nivel intermedio
A) 30° B) 45°
C) 60° D) 15°
E) 20°
Resolución:
 
Piden: 
Se traza RH AC
Por teorema: BO = 2(RH)
RHC: notable 30° y 60°
problemas resueltos
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PUNTOS NOTABLES
TEMA 7 - 8
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Como:
R: circuncentro ABC
m ARC 120 
120 2(3 )  
20  
Respuesta: E) 20°
Problema 3
En el gráfico, hallar  ; AM = MC y
m BMC 45 .
Nivel difícil
A) 10° B) 15°
C) 20° D) 21°
E) 18°
Resolución:
Piden 
Por M se traza AC
Como QA = QC
m QAB m BAC    
Luego:
AQM : B es excentro relativo a QM.
Entonces:
m ZQB m BQM 4   
Luego:
12 180  
15  
Respuesta: B) 15°