Tema 12 - Funciones III

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33UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 12
FUNCIONES III
ÁLGEBRA
I. FUNCIONES PARES, IMPARES Y PERIÓ-
DICAS
A. Función par
Una función f se llama función par si:
i) x Domf x Dom f  
ii) f (–x) = f(x)
En este caso la regla de correspondencia y = f(x)
no varía si se reemplaza x por –x. Geométricamente,
la gráfica es simétrica respecto al eje y.
Así tenemos que las funciones f(x) = x2, f(x) = Cosx,
f(x) = x4, son funciones pares.
B. Función impar
Una función f se llama función impar, si:
i) x Domf x Dom f   
ii) f (–x) = –f(x)
Aquí la regla de correspondencia y = f(x) no varía si
se reemplaza simultáneamente tanto x por – x como
y por – y. Por lo tanto, su gráfica es simétrica res-
pecto al origen.
y
x
f(x)
0 x
-x
f
f(-x)=-f(x)
Son funciones impares:
a) f(x) = x3
b) f(x) = sen x
c) (x) = 1/x
Una función que es a la vez par e impar es, por
ejemplo:
f(x) = 0, x 5 , 2 2,5       .
x0-2-5 2 5
y
C. Funciones periódicas
Una función f, en R, se denomina función periódica
si existe un número real T 0 , tal que:
i) x Domf x T Dom f   
ii) f (x + T) = f(x) . x Domf 
Tal número T es llamado un periodo de T.
 
xx
y
0
f(x)
x+T x+2T x+3T
T
Note que f(x+T) = f(x)
Toda función periódica con periodo T tiene su grá-
fica de modo tal que la misma forma que tiene en
un intervalo de longitud T se repite horizontal y
periódicamente en el siguiente intervalo consecuti-
vo de longitud T.
Note que si T es un periodo de f, entonces 2T, 3T...
también son periodos de f.
Las funciones seno y coseno tienen periodo T = 2 :
Sen(x + 2 ) = Senx . Cos(x + 2 ) = Cosx; x R 
DESARROLLO DEL TEMA
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FUNCIONES III
TEMA 12
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También vemos que: 2 . 4 .6 ...2k     
 con k entero 0 , son periodos de seno y coseno,
siendo 2  el menor periodo positivo.
Definición
Se llama periodo mínimo de una función periódica
al menor de sus periodos positivos.
II. ÁLGEBRA DE FUNCIONES
A. Igualdad de funciones
Dos funciones f y g son iguales si:
i) Dom f = Dom g
ii) f(x) = g (x), x  Dom f
En tal caso se denota f = g.
Así tenemos que las funciones:
f(x) = x2 –x, 2x 0,4 ; g(x) x x, x 0,5         
No son iguales, pues aunque tienen la misma regla
de correspondencia, sus dominios no coinciden.
B. Adición de funciones
Recordemos que una función está completamente
definida cuando se especifica su dominio y su regla
de correspondencia.
Definición: si f y g tienen dominios Dom f y Dom g,
se define una nueva función llamada.
Función Suma
"f + g", tal que:
i)  Dom f g Domf Domg  
ii) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
C. Sustracción y multiplicación de funciones
Si f y g tiene dominios Dom f y Dom g, se definen
las funciones:
1. Diferencia "f – g"
i)  Dom f g Domf Domg  
ii) (f – g)(x) = f(x) – g(x)
2. Multiplicación "f . g"
i) Dom (fg) = Dom f  Dom g
ii) (f . g)(x) = f(x) g(x)
     f g x f x g x / x Domf Domg     
      f g x, f x g x / x Dom f Dom g  
Notación
La multiplicación de una función por sí misma:
2 nf f : f : f f.f...f (n veces), n  
Donde:
     nDom(f ) Domf Domf ... Domf Domf    
Por lo tanto: el dominio de cualquier potencia
entera positiva de f tiene el mismo dominio de
la función f.
Así:
     2f x, f x .f x / x Dom f 
Asimismo:
   c .f x,c f x / x Dom f 
para cualquier constante real c.
C. División de funciones
Si f y g son funciones con dominios Dom f y Dom g,
se define la nueva función "cociente" denotada por
"f/g", tal que:
i) Dom (f/g) =  Dom f x Dom g / g(x) 0  
 =    Dom f Domg x Domg / g(x) 0   
ii)       
f x
f / g x ,
g x
 x Dom (f / g) 
La condición (i) exige que el dominio de f/g no
debe contener los valores de x que hagan que
g(x) = 0.
Es así, que:
 
   
f x
f / g x, / x Dom f / g
g x
          
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FUNCIONES III
Problema 1
Indique la secuencia correcta después
de determinar si la proposición es ver-
dadera (V) o falsa (F):
I. La composición de una función par
con una función impar es una fun-
ción par.
II. El producto de dos funciones im-
pares es una función impar.
III. La suma de dos funciones pares
es una función par.
UNI 2011 - I
A) VFV
B) VVV
C) FVV
D) FFV
E) VFF
Resolución:
Ubicación de incógnita
Valor de verdad
Operación del problema
I. F par :F( x) F(x) 
G impar : G( x) – G (x) 
(FoG)(x) F(G(x))
Ahora:
(FoG)( x) F(G( x))  
(FoG)( x) F( G(x))  
(FoG)( x) (FoG)(x) 
F o G es par _ _ _ _ _ _ _ _ _ (V)
II. F impar: F(–x) = –F(x)
G impar: G(–x) = –G(x)
(F.G)(x) F(x) G(x) 
(F.G)( x) F( x) G( x)   
(F.G)( x) – F(x) – G(x)  
(F.G)( x) F(x) G(x)  
(F.G)( x) (F.G)(x) 
 F. G es par _ _ _ _ _ _ _ _ _ (F)
III. F par: F(–x) = F(x)
G par: G(–x) = –G(x)
(F G)(x) F(x) G(x)  
(F G)( x) F( x) G( x)     
(F G)( x) F(x) G(x)   
(F G)( x) (F G)(x)   
 F G es par _ _ _ _ _ _ _ (V)
Respuesta: A) VFV
Problema 2
Dadas las funciones f, g:  , de-
finidas por:
   f(x) x 2 2 y g(x) = –(x2 + 2)
Determine f + g.
UNI 2010 - II
A)
       
  

        
2
2
1 7x , x 2
2 4
1 9x , x 2
2 4
B)
       
  

        
2
2
1 1x , x 2
2 4
1 5x , x 2
2 4
C)
    
 

     
2
2
1 9x , x 2
2 4
1 7x , x 2
2 4
D)
 
 
   

   

2
2
7x 1 , x 2
4
1x 1 , x 2
4
E)
       
  

        
2
2
1 1x , x 2
2 4
1 7x , x 2
2 4
Resolución:
Ubicación de incógnita
Determinar f + g
Análisis de los datos o gráficos

    
    
 f : y f(x) x 2 2
x ; x 2y f(x) x 4 ; x 2
       2g y g(x) x 2
Operación del problema
     
   



2x x 2 ; x 2y f(x) g(x) 2x x 2 : x 2
   
   
   
  
   






21 7x ; x 2
2 4
y f(x) g(x) 21 9x ; x 2
2 4
Respuesta: A) 
 
 

   



   
2
2
1 7x ;x 2
2 4
1 9x ; x 2
2 4
Problema 3
Sea f una función tal que:
   f(x 2 x) 2(x 4 x), x 4
entonces Dom(f) Ran(f) es igual a:
UNI 2009 - II
A)  0;
B)  1;
C) 0;
D)  4;
E) 1;
Resolución:
Ubicación de incógnita
Dom(f); Ran(f)
Análisis de los datos o gráficos
      
 

RangoDo minio
f x 2 x 2 x 4 ; x 4
problemas resueltos
36UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA
FUNCIONES III
TEMA 12
Exigimos más!
Operación del problema
Esbozando la gráfica de: x 2 x
(por álgebra de funciones)
La expresión:
 x 2 x
es inyectiva.
 Dom(f ) =  0;
Analógicamente la expresión:
 2 x 4 x ,
es inyectiva:
     2 x 4 x 4;
 Ran(f ) =   4;
Dom(f)nRan(f ) =  0;
Respuesta: A)  0;