Tema 15 - Función exponencial y logaritmos

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43UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 15
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Y LOGARITMOS
ÁLGEBRA
I. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
A. Definición
Dado un número real b (b 0;b 1)  llamamos
función logarítmica de base b a la función de f de
R+ en R que asocia a cada x el número de Logbx.
En símbolos:
bF : | y f(x) log (x)
    
Ejemplos:
A) f(x) = Log2x B)  1
2
g(x) Log x
C) h(x) = Logx D) p(x) = Ln x
Observaciones
a) yby Log x x b  
De donde concluimos que las funciones expo-
nenciales y logarítmicas son inversas una de
la otra.
b) Para la función   by f x Log x 
Dominio Df 0, x 0    
Rango bRf R y Log x R    
B. Gráfico de la función logaritmo
1. Caso I
Si b > 1.
Ejemplos:
A) f(x) = Log2x
B) g(x) = Logx
C) h(x) = Log4x
D) 
2
p(x) Log x
Graficaremos:
  2y f x Log x 
 
x
+1/4
1/2
1
2
4
8
0
+1
-2
y=Log x2
1
2
3
 
1
3
2
4
-4
-2
-3
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(5,Log 5)
2
Log 5
2
Log 8
2
(8,Log 8)
2
y
x
Nótese que: 5 < 8 y Log25 < Log28
En general si b > 1 la gráfica tiene la forma
siguiente:
Log m
Log r
b
m
r
b
b
Log s
es una 
función
creciente
y=Log x
b
s1
Propiedades
1. f(1) = Logb1 = 0, es decir el par ordenado
(1,0) pertenece a la función.
2. Si: r < s entonces Logbr < Logbs.
3. Si: r > 1 entonces Logbr > 0.
4. Si: 0 < m < 1 entonces Logbm < 0.
2. Caso II
Si 0 < b < 1.
Ejemplos:
A) 1
2
f(x) Log x B) 1
3
g(x) Log x
C) 3
4
h(x) Log x D) 1
5
p(x) Log (2x)
DESARROLLO DEL TEMA
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FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARITMOS
TEMA 15
Exigimos más!
Graficaremos:
  1
2
y f x Log x 
 
x
8
4
2
1
1/2
1/4
-1
-2
-3
y=Log x2
0
1
2
 
En general: si 0 < b < 1, la gráfica tiene la forma
siguiente:
 
m
y
x
Log m
b
es una función
decreciente
1
r
Log r Log s
b b
s
Log x
b
y=
Propiedades
1. f(1) = Logb1 = 0, es decir el par ordenado
(1,0) pertenece a la función.
2. Si: r < s entonces Logbr > Logbs.
3. Si: r > 1 entonces Logbr < 0.
4. Si: 0 < m < 1 entonces Logbm < 0.
II. FUNCIÓN EXPONENCIAL
A. Definición
Dado un número real a, tal que 0 a 1  ; se llama
función exponencial de base a la función que asocia
a cada x real el número ax . y = f(x) = ax.
Ejemplos:
A) xf(x) 2 B) 
x1g(x)
2
    
C) xh(x) 3 D) xp(x) 10
E) xq(x) ( 2) F) 
x
1r(x)
3
 
   
 
• El dominio de esta función es todos los reales,
es decir: Df , R    .
• Por propiedad: si x R y a 0 .
entonces: ax > 0, por tanto el rango es:
Rf 0, 
B. Gráfico de la función exponencial
1. Caso I
Si a > 1.
Ejemplos:
A) xf(x) 2 B) xg(x) 3
C) xh(x) ( 3) D) xp(x) 10
E) 
x3q(x)
2
    
F) 
x5r(x)
4
    
Graficaremos: y = f (x) = 2x
x y = 2x
-3
-2
-1
0
1
2
3
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
 
01 2 3 4-4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
x
y=2x
En general
Si a > 1 la gráfica tiene la forma siguiente:
0 r sm
1
y
x
y=a (a 1)
ar
as
x
Es una función
creciente
am
Propiedades
1. f(0) = a° = 1, es decir el par ordenado (0,
1) pertenece a la función.
2. Si r < s entonces ar < as, ó si s > r entonces
as > ar.
3. Si r < 0 entonces ar < 1.
4. Si m < 0 entonces am < 1.
2. Caso II
Si 0 < a < 1.
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Exigimos más!
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARITMOS
Problema 1
Sea S el conjunto solución de la ecua-
ción, en R:
3 2
x
1x 7x 15x 9
3log
5
   
   
Halle la cantidad de elementos de S.
UNI 2010 - I
Nivel fácil
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Resolución:
Analizando:
3 2
x
1x 7x 15x 9 ;x 0 x 1
3log
5
      
 
 
 
Operando:
3 2
3
f(x) 5
g(x)
x 7x 15x 9 Log x  
 
   

Tenemos: f(x) = x3 – 7x2 + 15x – 9
Factorizando: f(x) = (x – 1)(x – 3)2
Cuya gráfica:
También: g(x) = 3
5
Log x  
 
Cuya gráfica:
Luego:
Ejemplos:
A) 
x1f(x)
2
    
B) 
x1g(x)
10
    
C) 
x
1h(x)
3
 
   
 
D) xp(x) (0, 8)
Graficaremos: 
x
x1y f(x) 2
2
     
 
x
-3
-2
-1
0
1
2
3 1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
x1
y
2
    
 
01 2 3 4-4 -3 -2 -1
1
4
8
y
x
y=2x
x1
y
2
    
En general
Si 0 < a < 1 la gráfica tiene la forma siguiente:
mr s
1
y
x
as
ar
0
y=ar ; 0 a 1 
Es una función
creciente
Propiedades
1. f(0) = a0 = 1, es decir el par ordenado (0, 1)
pertenece a la función.
2. Si r < s entonces ar > as, ó si s > r entonces
as < ar.
3. Si r < s entonces ar > 1.
4. Si m > s entonces am < 1.
C. La función exponenciaL de Base "e"
• La función y = ex donde "e" es número irracional
trascendente juega un rol muy importante en
las matemáticas.
• Las aproximaciones del número "e" se pueden de-
terminar con la expresión:
1 1 1 1 1e 1
1! 2! 3! 4! n!
        
• El valor de "e" con siete decimales de aproxi-
mación es: e = 2,7182818...
La gráfica de y = ex es:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3 20,09
7,39
2,72
1
0,37
0,14
0,05
y=ex
 
0 1 2 3-3 -2 -1
4
8
y
x
y=ex
problemas resueltos
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FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARITMOS
TEMA 15
Exigimos más!
 Número de soluciones de la ecua-
ción se encuentra a partir del número
de intersecciones de las gráficas de f(x)
y g(x) no encontrándose intersecciones
entre estas dos gráficas.
Respuesta: A) 0
Problema 2
Determine el conjunto solución de la
inecuación: 4x – 4–x < 1.
UNI 2008 - II
Nivel intermedio
A) 4
1 50;Log
2
  
 
B) ; 0
C) 4
1 5;Log
2
   
 
D) 1 5;
2

E) 4
5 1;Log
2
   
 
Resolución:
Piden: 4x = m; m > 0
Tenemos:
x x4 4 1 
x
x
14 1
4
 
Reemplazando el cambio de variable:
1m 1
m
 
Efectuando:
2m m 1 0; m 0
m
   
Reduciendo:
2m m 1 0  
1 5 1 5V.C. ;
2 2
   
 
  
Entonces:
1 5 1 5m ; m 0
2 2
   
1 50 m
2
 
Luego:
4
1 5log
2x4 4
   
 
4
1 5x log
2
      
Respuesta: C) 4
1 5- ; log
2
     
Problema 3
Si {x1; x2} es el conjunto solución de:
x 1 x x3 3 1 3 2    
entonces la suma de x1 y x2 es:
UNI 2008 - I
Nivel difícil
A) –4 B) –2 C) 0
D) 2 E) 4
Resolución:
x 1 x x3 – 1– 3 23
  
Si: x 0
Eliminando los valores absolutos:
3x+1 – (3x – 1)= 3x + 2
Reduciendo: x x3 3 2 3 1 0    
Tenemos: 3x = 1 x 0 
Si: –1 x 0 
Eliminando los valores absolutos:
3x+1 + 3x – 1 = 3x + 2
Reduciendo: 3x+1=3
Tenemos: x + 1 = 1 de donde: x = 0
0 1 x 0   
Si: x < –1
Eliminando los valores absolutos:
–x–13 3 x –1 3
x
2
Reduciendo: 3–x–1 = 3
Tenemos: –x – 1 = 1
De donde: x –2 \ C.S. {–2;0}
Piden: –2 + 0 = –2
Respuesta: B) –2