Tema 18 - Análisis combinatorio I - Principios

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51UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO TEMA 20
Una hormiga se introduce en un panal en búsqueda de un
poco de miel, la miel se encuentra en el fondo del panal. ¿De
cuántas maneras diferentes puede la hormiga llegar a la miel,
teniendo en cuenta que no debe retroceder?
I. FACTORIAL DE UN NÚMERO
Se define factorial de un número n al producto de los
números enteros y consecutivos desde la unidad hasta
n inclusive. Se denota por: n!
Se lee: "Factorial de n" o "n factorial"
+
n!=1 x 2 x 3 x 4 x ... x (n –1) n
n Z 
Ejemplo:
6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
20! = 1 x 2 x 3 x ... x 19 x 20
3 !
2
 
 
 
 no existe; (–5)! no existe
Ejemplos de factoriales:
1! = 1
2! = 1 x 2 = 2
3! = 1 x 2 x 3 = 6
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040
8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40 320
9! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 36 2880
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 36 228 800
Nota:
Por convención 0! = 1
II. DESARROLLO PARCIAL DE UN FACTORIAL
8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
7!
6!
8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1


8! = 8 x 7!
8! = 8 x 7 x 6!
n! n(n 1)!
n! n(n 1)(n 2)!
 
  
III. COFACTORIAL O SEMIFACTORIAL DE
UN NÚMERO
a) Si n es un número par positivo.
n!!=2 x 4 x 6 x 8 x ... x (n – 2)n
6!! = 2 x 4 x 6 = 48
8!! = 2 x 4 x 6 x 8 = 384
b) n es un número impar positivo.
n!!=1 x 3 x 5 x 7 x ... x (n –2)n
5!! = 1 x 3 x 5 = 15
7!! = 1 x 3 x 5 x 7 = 105
IV. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE
CONTEO
Veamos el siguiente caso: Carolina desea viajar de Lima a
Tacna y tiene a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas
terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar
el viaje?
DESARROLLO DEL TEMA
ANÁLISIS COMBINATORIO I:
PRINCIPIOS
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
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ANÁLISIS COMBINATORIO I: PRINCIPIOS
TEMA 20
Exigimos más!
Carolina puede elegir viajar por aire o por tierra, pero eviden-
temente no puede viajar por ambas vías al mismo tiempo.
Luego:
 
Actividad A
(viajar por tierra)
5 maneras + 
Actividad B
(viajar por aire)
2 maneras = 7 maneras
o
 Carolina tiene 7 maneras diferentes de realizar su
viaje.
Podemos ahora en base a este ejemplo enunciar el
principio de adición.
V. PRINCIPIO DE ADICIÓN
Si una actividad A ocurre n maneras diferentes y otra
actividad B ocurre de m diferentes, entonces A o B
ocurren de m + n maneras diferentes.
Ejemplo:
Laura desea comprar un televisor a crédito ha pregun-
tado en 3 tiendas comerciales donde le ofrecieron 3, 5
y 6 sistemas de crédito respectivamente. ¿De cuántas
maneras puede Laura comprar el televisor?
Resolución:
El televisor lo podrá adquirir en:
 Se compran de 14 maneras diferentes.
Ejemplo:
Karina tiene 3 faldas: roja, azul y verde; también tiene
2 blusas: blanca y crema. ¿De cuántas formas diferentes
puede vestirse utilizando dichas prendas?
Las formas son:
Se observa que tienen 2 formas a elegir una blusa y para
cada una de éstas tiene 3 formas más de elegir falda.
 Karina tiene 6 formas diferentes de vestirse.
VI. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Si una actividad A se puede realizar de m maneras y
para cada una de estas maneras otra actividad B se
puede realizar de m x n maneras. En el principio de
multiplicación las actividades se realizan una a conti-
nuación de otra o simultáneamente.
Ejemplo:
De un grupo de 10 estudiantes, 4 varones y 6 damas, se
va a elegir una pareja mixta para participar en un concurso
de baile. ¿De cuántas formas diferentes se puede hacer
dicha elección?
Resolución:
Se va a escoger una pareja.
 Se puede elegir de 24 formas una pareja mixta.
Ejemplo:
¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A hacia C?
 
Resolución:
De "A" hacia "C", tengo que ir:
A hacia B
5
B hacia C
3
y
x = 15 maneras
 existen 15 maneras.