Tema 25 - Sistema de ecuaciones I y II

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SISTEMA DE ECUACIONES I Y II
ÁLGEBRA
I. CONCEPTO
Es un conjunto de dos o más ecuaciones que se veri-
fican simultáneamente para un mismo conjunto de va-
lores atribuidos a sus letras o incógnitas.
Ejemplo: 
3x y 7
5x 2y 8
 

 
Vemos que se verifica simultáneamente para = 2, y = 1.
Ejemplo: 
2 2x y 13
xy 6
  


Estas ecuaciones se verifican cuando:
(x = 3, y = 2) ó (x = –3, y = –2) ó (x = 2, y = 3) ó
(x = –2, y = –3) es decir se verifican para 4 pares de
valores de sus incógnitas.
Ejemplo en :
2 2x y 2
x y 5
  

 
No existe "x" e "y" alguno en  que verifique simultá-
neamente.
II. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UN SISTE-
MA DE ECUACIONES
Es el conjunto de todas las soluciones de un sistema.
III. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE
ECUACIONES
Consiste en hallar el conjunto solución.
Ejemplo:
Resolver 
 
   
x 3y 9
x y 3
Vemos que sólo se verifica para x = 0, y = 3.
 C.S.:  (0, 3)
Ejemplo:
Resolver 
  


2 2x y 13
xy 6
Su conjunto solución está integrado por 4 pares orde-
nados, debido a que se tiene 4 soluciones, así:
        C.S. (3,2) ( 3, 2) (2,3) ( 2, 3)
IV. CLASES DE SISTEMAS
A. De acuerdo a su solución
1. Compatible
Es aquel sistema que tiene solución que a su vez
puede ser:
• Compatible determinado: Cuando su con-
junto solución tiene un número finito de so-
luciones.
x y z 5
x y z 3
x 2y z 0
  
   
   
Dicho sistema sólo se verifica si: x = 1, y = 1,
z = 3. En tal caso:  C.S. (1,1,3) , por tener
una solución se dirá compatible determinada.
• Compatible indeterminada: Cuando su
conjunto solución tiene un número infinito
de soluciones, así:
x 3y 6 (1)
2x 6y 12 (2)
 

 


Estas 2 ecuaciones se simplifican a una sola
ecuación de donde resulta: x 6y
3
 
 C.S. (0.2),(3,1), (6.0),....
Vemos que tendrá infinitas soluciones.
2. Incompatible
Son aquellos s istemas que no presentan
solución, su conjunto solución es el vacío. Así:
3x 2y 7
6x 4y 1
 
  
DESARROLLO DEL TEMA
78UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA
SISTEMA DE ECUACIONES I - II
TEMA 27 - 28
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No existe x, y alguno que verifique simultánea-
mente a las ecuaciones.
En tal caso se dirá que el sistema no tiene so-
lución. Entonces:  C.S. ó C.S.  
B. De acuerdo al grado de las ecuaciones
1. Sistemas lineales
Son aquellos sistemas donde cada una de las
ecuaciones son de primer grado, así:
 

 
2x 3y 16.......(1)
8x 2y 36.......(2)
Cuyo conjunto solución es: ((5,2))
2. Sistemas no lineales
Son aquellos sistemas donde al menos una de
las ecuaciones no es lineal.
2 2x y 25.....(1)
x y 7.......(2)
  

 
cuyo conjunto solución es {(3; 4), (4; 3)}
V. ESTUDIO DEL SISTEMA LINEAL
En forma general: Consideramos un sistema lineal de
"m" ecuaciones con "n" incógnitas.
11 1 12 2 13 3 m n 1
21 1 22 2 23 3 2n n 2
m1 1 m2 2 m3 3 mn n m
a x a x a x .......a x b
a x a x a x .......a x b
a x a x a x .......a x b
   

   




    


Donde los a1 son coeficientes y  1 2 3 nx x x ..... x son las
incógnitas.
En tal caso el conjunto solución es:
 1 2 3 nC.S. (x x x .......x )  
Para la resolución del sistema utilizaremos los si-guientes
métodos:
• Método de Gauss
Conocido como los métodos de eliminación, susti-
tución, igualación consiste en ir eliminando incóg-
nitas hasta llegar a una ecuación de una sola incóg-
nita.
Así, resolver:
  
   
   
2x y 2z 10.....(1)
3x 2y 2z 1.....(2)
5x 4y 3z 4.....(3)
(2) – 2(1): –x + 6z = –19......... (1')
(3) – 4(1): –3x + 11z = –36........ (2')
2' – 3(1'): –7z = 21  z = 3  z 3 
 C.S. (1, 2 3) 
• Usando matrices
El sistema:
 
   

   




    
    
    
11 1 12 2 13 3 1n n 1
21 1 22 2 23 3 2n n 2
m1 1 m2 2 m3 3 mn n n
a x a x a x ........a x b
a x a x a x ........a x b
a x a x a x ......a x b
es equivalente al sistema matricial:

11 12 1n 1 1
21 22 2n 2 2
m1 m2 mn n n
X BA
a a .... a x b
a a .... a x b
a a ... a x b
     
     
     
     
     
          
    

AX B 
Si  m n A no es una matriz singular..
Se puede definir A–1 (matriz inversa de A), luego:
1X A B
Ejemplo:
  

 
2x 5y 4
Resolver
3x 2y 13
Solución:
Es equivalente al sistema matricial:
     
          
2 5 x 4
3 2 y 13
Donde:
12 5 2 51A A
193 2 3 2
              
     
1 2 51A
3 219
como:     
 
1 4X A
13
 
2 5 4 571 1X
3 2 13 3819 19
     
             
 
3
X
2
 
    
Luego: x = 3, y = –2  C.S. (3, 2)
• Método de los determinantes
Se utiliza cuando el sistema es determinado.
Sea el sistema:
    

    


    


   

11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
m1 1 m2 2 mn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
....(*)
a x a x a x b
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SISTEMA DE ECUACIONES I - II
Dicho sistema siempre es compatible donde una de
sus soluciones es la trivial {(0, 0, 0 … 0)}.
Así mismo puede tener otras soluciones las llamadas
no triviales.
TEOREMA
Un sistema homogéneo (**) tiene soluciones aparte
a la trivial, si y sólo sí:
 
 
 
  
 
 
 
 
   
   
11 12 1 1n
21 22 2 2n
n1 12 n mn
a a b a... ...
a a b a... ...
 0
a a b a... ...
Ejemplo 1: Resolver 3x + 2y = 0
 5x – y = 0
Solución:
 
      
3 2
3 10 13
5 1
implica que la solución seria única, la solución trivial (0,0).
Ejemplo 2: Resolver 
 

 
2x 5y 0
6x 15y 0
Solución:
Como 
2 5
30 30 0
6 15
 
   
 
 La solución del sistema no sólo es la trivial (0,0); si
no que tendrá infinitas soluciones.
Veamos que ambas ecuaciones se reducen a una
sola 2x – 5y = 0.
  2y x
5
Asi: Si x = 5t, y = 2t
   (x, y) (5, 2)t / t
VI. ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES
Sea el sistema:
   
    


    
   
11 1 12 1 1n 1 1
21 1 22 2 2n n 2
n1 1 n2 2 mn n n
a x a x a x b...
a x a x a x b...
 
a x a x a x b...
Sabemos que la solución viene dado por:
 ii
i
 determinante del sistema
x
 determinante respecto a x


Llamaremos:
– Determinantes del sistema
 
 
 
  
 
 
 
 
   
   
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 mn
a a a... ...
a a a... ...
 
a a a... ...
– Determinante con respecto a alguna incógnita
Se conseguirá a partir del determinante anterior
reemplazando los elementos de la columna de
coeficientes de la incógnita en referencia por los
términos independientes.
11 12 1 1n
21 22 2 2n
n1 n2 n mn
a a b a... ...
a a b a... ...
 
a a b a... ...
 
 
 
  
 
 
 
 
    
    
TEOREMA DE CRAMER
La solución del sistema (*) puede determinarse ha-
llando cada incógnita como sigue:

 

i
1x , i 1...n
Ejemplo: Resolver: 2x 5y 4
3x 2y 13
  
 
Solución:
Calculando los determinantes:
 
        
2 5
4 15 19
3 2
 
       
x
4 5
8 65 57
13 2
 
     
 
y
2 4
26 12 38
3 13
De donde:
    
 
x 57x x 3
19

    
 
y 38y y 2
19
  C.S. (3, 2)
• Sistema homogéneo
Es un sistema de ecuaciones lineales se llamará
homogéneo si todos los términos independientes
son nulos, así:
   
   


   
 
  
11 1 12 2 11 1
21 1 22 2 12 1
n1 1 n2 2 mn n
a x a x a x 0...
a x a x a x 0...
 ...( )
a x a x a x 0...
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SISTEMA DE ECUACIONES I - II
TEMA 27 - 28
Exigimos más!
Diremos que el sistema tendrá:
A. Solución única
Esto sucede si y sólo si 0  .
B. Infinitas soluciones
Si y sólo si i0 0,    i 1,2, ...n
C. No tiene solución
Si y sólo si 10 0    para algún i.
Ejemplo 1:
3x y 2 3 1
9 2 11 0
2x 3y 3 2 3
 
      
  
 El sistema tiene solución única.
Ejemplo 2:
 
 
3x 4y 5
6x6y 10
Como:  3 4 5
6 8 10
Entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
Ejemplo 3:
 
 
2x 5y 7
6x 15y 30
Como:   2 5 7
6 15 30
 el sistema no tiene solución.
Problema 1
Al resolver el siguiente sistema:
3 x y 2 2x 3y 7 3      
32 x y 2 3 2x 3y 7 14     
se obtiene que el valor de (x + y) es:
UNI 2008 - II
Nivel fácil
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden: x + y
Análisis de los datos o gráficos
Llamemos:
3 x y 2 m  
2x 3y 7 q  
Operación del problema
3
3
x y 2 2x 3y 7 3
2 x y 2 3 2x 3y 7 14
       

      
Reemplazando el cambio de variable:
m q 3 ... I
2m 3q 14 ... II
  

 
De: 3 + 
Tenemos: 5m = 5
De donde: m = 1
Reemplazando:
3 x y 2 1  
 x + y = –1
Respuesta: B) –1
Problema 2
Determinar k de manera que el siste-
ma tenga solución no trivial, dar como
respuesta la suma de los valores de K.
   
   
    
(1 k)x y z 0
2x ky 2z 0
x y (1 k)z 0
UNI
Nivel intermedio
A) 4 B) 5 C) 0 D) 6 E) 1
Resolución:
Tenemos:
   
   
    
(1 k)x y z 0
2x ky 2z 0
x y (1 k)z 0
Dato: Sistema homogéneo con solu-
ción trivial se cumple:
 
  
 
1 k 1 1
2 k 2 0
1 (1 k)
(1 – k)(– k)(– k –1) –2 + 2 – k + 2 (k + 1)
+ 2(k – 1) = 0
Luego: k3 – 4k = 0
De donde:      1 2 3k 0 k 2 k 2
   1 2 3k k k 0
Respuesta: C) 0
Problema 3
Dado el sistema de ecuaciones:
4 5 5
x y 1 2x y 3 2
  
   
3 1 7
x y 1 2x y 3 5
  
   
El valor de x + y es igual a:
A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
UNI 2007 - II
Nivel difícil
Resolución:
Haciendo un cambio de variable:
1 1a b
x y 1 2x y 3
  
   
Reemplazando en cada ecuación:
 
54a 5b ... ( )
2
73a b ... ( )
5
    

    

Sumando  + 5 
Tenemos 1919a 2
 
de donde: 1 1a b
2 10
   
Luego 
x y 1 2 ...(I)
2x y 3 10 ...(II)
   

  
Sumando:
I  II
3x + 2 = 8
x = 2  y = –3
Piden x + y = –1
Respuesta: A) –1
problemas resueltos