Tema 28 - Estudio de la elipse

Vista previa del material en texto

95UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 29
ESTUDIO DE LA ELIPSE
TRIGONOMETRÍA
I. LA ELIPSE
A. Definición
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que
se mueve en forma tal que la suma de las distancias
del punto a otros dos puntos fijos, sea una constante.
Cada uno de los puntos fijos de una elipse es un
foco y el punto medio del segmento que une los focos
es el centro de la elipse.
B. Elementos de la elipse
1 2D D
L y L : Directrices
LF : Efe focal
LN : Eje normal
C : Centro
V1 y V2 : Vértices
F1 y F2 : Focos
LR : Lado recto
EE' : Cuerda focal
DD' : Diámetro
PF1 y PF2 : Radio vector
V1 V2 : Eje mayor
B1 B2 : Eje menor
F1 F2 : Segmento focal
C. Relaciones fundamentales
D. Excentricidad
ce
a

Como: cc a 1
a
  
Luego: e 1
E. Longitud del lado recto
F. Distancia entre las rectas directrices
DESARROLLO DEL TEMA
96UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
ESTUDIO DE LA ELIPSE
TEMA 29
Exigimos más!
Problema 1
Sea la elipse E, cuya ecuación es:
22
2 2
yx 1,
a b
  se le pide determine la
longitud de su lado recto.
A) b/a B) b2/a C) b/a2
D) 2b2/a E) b/2a2
Resolución:
P(c; y0)
FR(c; 0)
x
y
F1 (–c; 0)
Q
22
2 2
yx 1
a b
 
Lado recto: LR PQ
Evaluamos el punto P(C; y0) en la
ecuación.
22 2 22 20
02 2 2
yc a – c1 y b
a b a
 
      
 
Pero como: 2 2 2a b c 
2 2 22
0 02
b b by y
aa
   
22bLR
a
 
Respuesta: D) 
22b
a
Problema 2
Determine las coordenadas de los
vértices de la elipse.
x2 + 2x + 2y2 – 4y = 1
A) (–3,1) (1,1)
B) (–1– 2;1) (–1 2;1) 
C) (–3;0) (–3; 4)
D) (2 2 1) (2 2 2;1)  
E) (3;1) (7;1)
Resolución:
E: x2 + 2x + 2y2 – 4y = 1
Completamos cuadrados:
2 2(x 1) 2(y – 1) 4  
 2 2(y – 1)x 1E 1
4 2
  
Graficamos:
Centro :(–1;1)
Longitud del eje mayor :2(2)
Longitud del eje menor :2 2





Y
X
V1(–3; 1) V2(1; 1)
2
(–1; 1)
2
Del gráfico:
Coordenados de sus vértices.
1 2V (–3;1) V (1;1)
Respuesta: A) (3–1)  (1;1)
Problema 3
Halle sobre la recta x + 5 = 0, un punto
que sea equidistante del foco izquierdo
y del punto superior de la elipse:
x2 + 5y2 = 20
A) (–5; –7) B) (–5; 0) C) (–5; 5)
D) (–5; 7) E)(5; 7)
Resolución:
Q(–5; y–)
P(0; b)
F1(–c; 0) F2(c; 0)
x
x = –5
y
22 yx f
20 4
 
De la ecuación:
2 2a 20 a – 2 5 b 4 b 2     
Como: 2 2 2a b c c 4   
Luego como: 1QF QP
 22 2 20 0(y – 0) (–5 4) y – 2 (–5 – 0)   
0y 7 Q(–5; 7)  
Respuesta: D) (–5; 7)
G. Ecuaciones de la elipse
1. Eje focal paralelo al eje x
• Forma cónica
LD2
LD1
OF2 F1 V1V2
x
y
x
a
2
2
y
b
2
2
+ = 1
• Forma ordinaria
 
F2 F1
V2 V1
k
y
x0 h
(x – h)
a
2
2
(y – k)
b
2
2
+ = 1
C
• Forma general
2 2Ax Cy Dx Ey F 0    
2. Eje focal paralelo al eje y
• Forma canónica
O
y
x
V1
V2
F2
F1
LD2
LD1
x
b
2
2
y
a
2
2+ = 1
• Forma ordinaria
V1
V2
F2
F1
C
O h x
k
y
(x – h)
b
2
2
(y – k)
a
2
2+ = 1
• Forma general
2 2Ax Cy Dx Ey F 0    
problemas resueltos