Tema 31 - Esfera

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105UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 32
GEOMETRÍA
ESFERA
I. ESFERA
Es el sólido que se genera cuando se hace girar 360° un
semicírculo alrededor de su diámetro.
Volumen de la esfera
34V R
3

Al trazar cualquier plano secante a una esfera, en dicha
esfera se determina una sección plana el cual es un
círculo. Si dicho círculo tiene por centro el centro de la
esfera, entonces se denomina círculo máximo y si no
contiene al centro se denomina círculo menor.
O: Centro de la esfera, también es centro del círculo máximo.
O1:Centro del círculo menor.
H: Plano tangente a la superficie esférica en P.
P y Q: Planos secantes a la esfera.
A. Porciones notables de la esfera
(Sólidos de revolución)
1. Sector esférico
Es el sólido que se genera cuando se hace girar
360° un sector circular alrededor del diámetro de
su respectivo círculo.
(Según el gráfico)
Volumen del sector esférico
2
S.E
2 RV H
3
  
 

H: longitud de la proyección del arco AB sobre el
eje de giro.
DESARROLLO DEL TEMA
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ESFERA
TEMA 32
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2. Anillo esférico
Es el sólido que se genera cuando se hace girar
360° un segmento circular alrededor del diáme-
tro de su respectivo círculo.
Volumen del anillo esférico
2
A.EV (AB) H6
 
II. SEGMENTO ESFÉRICO DE DOS BASES
Es la porción de esfera comprendida entre dos planos
paralelos y secantes a la esfera.
Volumen del segmento esférico de dos bases
2 23
1 2
S.E
r rHV H H
6 2 2
          
   
III. SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE
Volumen del segmento esférico de una base
3 2
S.E.
H rV H
6 2
  
También por relaciones métricas: r2 = H(2R – H)
Luego:
2
S.E
HV (3R H)
3
 
IV. CUÑA ESFÉRICA
Es la porción de esfera comprendido entre dos círculos
máximos que tienen su diámetro común.
Volumen de la cuña
 C.E. C.E esfera
Esfera
V
V V
360360 V
    
 
También:
3
C.E.
R
V
270



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ESFERA
Problema 1
Determine, en la siguiente figura, el
volumen generado al rotar la región
sombreada alrededor del eje x.
 
y
2
O
R

R
2
X
UNI 2011 - I
A) 3R B) 
3R
3

C)
3R
4
 D) 
3R
6

E)
3R
9

Resolución:
Ubicación de incógnita
Vx: volumen del anillo esférico
Análisis de los datos o gráficos
OB : proyección de AB sobre eje de
giro.
OB R; AB R 2 
Operación del problema
   2AB . OBVx
6

 2R 2 .RVx
6

Conclusiones y respuesta
22R .RVx
6

3RVx
3
 
Respuesta: B)  3R
3
Problema 2
La razón entre los volúmenes de dos
esferas es 8
27
. Calcular el volumen de
la cuña esférica del ángulo diedro 15°
de la esfera mayor.
UNI 2012 - I
A) 3,5  B) 3 
C) 2,5  D) 2 
E) 1,5 
Resolución:
Ubicación de incógnita
Vcuña esférica = Vx
Análisis de los datos o gráficos
1
2
Vesfera 8
Vesfera 27

Operación del problema
 
3
3
r 8
27R

r 2
R 3

3R (15)Vx
270

Observación:
Se debe cons iderar R = 3 para
encontrar una alternativa.
3(3) (15)
Vx
270


 
Conclusiones y respuesta
Vx = 1,5 
Respuesta: E) 1,5 
Problema 3
Una semiesfera está inscrita en un
paralelepípedo de base cuadrada. Si
el paralelepípedo tiene una superficie
de área total igual a 64 u2, entonces
el volumen (en u3) de la semiesfera
es:
problemas resueltos
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A) 
16
3
 B) 
19
3

C) 
23
3
 D) 
29
3

E) 
32
3

Resolución:
Piden volumen de la semiesfera.
Análisis de los datos o gráficos
2
sup.totalA 64 
Operación del problema
Del gráfico
 2 2 2sup. totalA 2 2R 2R 4R  
2 264 16R
R 2
 
 
Luego:
3
semi esf.
2V R
3
 
semi esf.
16V
3
 
Respuesta: A) 

16
3