Semestral Uni - Álgebra semana 12

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FUNCIÓN INVERSA
Semana 12
ÁLGEBRA
Ingeniería inversa
A lo largo de la historia la técnica de la ingeniería
inversa ha estado presente en los seres humanos y en
el acto común de pensar. El tema de descubrir los
secretos que guardan todas las cosas ha sido una
preocupación constante en la humanidad.
¿Qué es la ingeniería inversa?
La ingeniería inversa es un proceso mediante el cual
se observa cómo está construido y cómo funciona un
objeto, proceso, programa o sistema con la intención
de mejorarlo o duplicarlo. La observación se puede
basar en aspectos muy diversos, como averiguar
cuáles son sus componentes, cómo estos interactúan
entre sí o se fabricó el producto.
FUNCIÓN INYECTIVA O UNIVALENTE 
(UNO A UNO)
Una función es inyectiva ,si dos elementos diferentes
cualesquiera tienen imágenes diferentes; es decir:
Si 𝑎 ≠ 𝑏 entonces 𝑓 𝑎 ≠ 𝑓 𝑏
Ejemplo:
𝑨 𝑩
2
4
−1
0
3
5
7
8
𝒇
A continuación, se tiene la forma equivalente de la
definición de función inyectiva
𝑨 𝑩
6
1
9
12
3
5
7
𝐠
Si 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 entonces 𝑎 = 𝑏
Dada la función 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 − 𝑥 para
0 ≤ 𝑥 ≤ 1, demuestre si es inyectiva
Sean 𝑎 y 𝑏 dos elementos de su dominio tal que
∴ 𝑓 es inyectiva
∀𝑎; 𝑏 ∈ Dom𝑓
𝒇 es inyectiva 𝐠 no es inyectiva 
∀𝑎; 𝑏 ∈ Dom𝑓
Aplicación:
Resolución
Si: 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 ⟶ 𝑎 = 𝑏
3 𝑎 − 𝑎 = 3 𝑏 − 𝑏
3 𝑎 − 𝑏 − 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 0
𝑎 − 𝑏 3 − 𝑎 − 𝑏 = 0
Como: 0 ≤ 𝑎 ≤ 1 ∧ 0 ≤ 𝑏 ≤ 1 ⟶ 3 − 𝑎 − 𝑏 ≠ 0
⟶ 𝑎 = 𝑏Entonces 𝑎 − 𝑏 = 0
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏; 𝑎 ≠ 0 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 1; 𝑔 𝑥 = 2 − 𝑥
𝑓 𝑥 =
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑
; 𝑎𝑑 ≠ 𝑏𝑐
𝑓 𝑥 =
2𝑥 + 1
𝑥 − 3
; 𝑦 =
𝑥
2𝑥 + 5
𝑥 ≠ 3 𝑥 ≠ −2.5
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 ; 𝑔 𝑥 = 3 − 2𝑥
A continuación, mostramos algunas funciones
inyectivas importantes
Nota
Prueba de la recta horizontal 
Una función es inyectiva si y solo si no hay
una recta horizontal que corte su grafica mas
de una vez.
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
Función no 
inyectiva
Función inyectiva
Ejemplo:
Dada la funciónAplicación:
Resolución
• Si la función 𝑓 es creciente ∀𝑥 ∈ Dom 𝑓
entonces 𝑓es inyectiva.
• Si la función 𝑓 es decreciente ∀𝑥 ∈ Dom 𝑓
entonces 𝑓es inyectiva.
𝑓(𝑥) =
3𝑥 + 5
𝑥 − 2
, 𝑥 > 2
¿𝑓 es inyectiva?
⟶ 𝑓 𝑥 =
3𝑥 + 5
𝑥 − 2
= 3 +
11
𝑥 − 2
Si: 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) ⟶ 3 +
11
𝑎 − 2
= 3 +
11
𝑏 − 2
⟶ 𝑎 = 𝑏
∴ 𝑓 es inyectiva
FUNCIÓN SOBREYECTIVA O SURYECTIVA
Son aquellas funciones tales que su rango es
igual al conjunto de llegada
Ejemplo:
𝑨 𝑩
6
4
1
0
2
5
7
𝑓
𝑨 𝑩
8
1
9
12
6
5
7
g
10
Definición :
𝑓 es sobreyectiva
Ran𝑓 =B 
g no es sobreyectiva
Rang≠ 𝐵
𝑓: 𝐴 → 𝐵 es sobreyectiva (Ran𝑓 = 𝐵) si y solo si
∀𝒚 ∈ 𝑩 existe 𝒙 ∈ 𝑨 tal que 𝑦 = 𝑓 𝑥
Ejemplo:
• 𝑓 𝑥 = 𝑥
2 − 6𝑥; Dom𝑓 = 2; 4
Entonces 𝑓 es sobreyectiva, por que no
indican quien es el conjunto de llegada
• 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1; Dom𝑓 = [ 1; 3
¿La siguiente función 𝑓es sobreyectiva?Aplicación:
𝑓: [−2; 3 → [1; 10
𝑥 → 𝑥2 + 1
Resolución:
−2 ≤ 𝑥 < 3 → 0 ≤ 𝑥2 < 9
Nota
Si en una función solo nos brindan la regla de
correspondencia y el dominio, entonces queda
entendido que el rango es el conjunto de llegada, es
decir será sobreyectiva.
→ 1 ≤ 𝑥2 + 1 < 10
⟶ Ran𝑓 = [1; 10
Por lo tanto, si es sobreyectiva
( es igual al conjunto de llegada)
FUNCIÓN BIYECTIVA 
Son aquellas funciones que cumple con las dos
condiciones de ser inyectivas y sobreyectiva.
Ejemplo:
𝑨 𝑩
9
2
1
0
4
5
7
8
𝑓
𝑨 𝑩
8
6
9
12
1
5
2
g
Se tiene la función biyectiva
𝑓: 3; 𝑛 ⟶ 4;𝑚 como se muestra
en el gráfico. Halle 𝑓(𝑥).
Del gráfico:
Aplicación:
Resolución
𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑎; 5 = 3; 𝑛 ⟶ 𝑎 = 3 ∧ 𝑛 = 5
𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 14
5𝑎
𝑏
8
𝑋
𝑌
Como 𝑓 es biyectiva, entonces
Ran𝑓 = 𝑏; 8 = 4;𝑚 ⟶ 𝑏 = 4 ∧ 𝑚 = 8
Luego,
Se observa que:
• 𝑓 es inyectiva y
• 𝑓es sobreyectiva,
⟶ 𝑓 es biyectiva
Se observa que:
• g es inyectiva y
• g no es sobreyectiva
⟶ g no es biyectiva
b) Sea 𝑓 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 / 𝑥 ∈ −2; 3 ∧ 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1
Entonces
Ran𝑓
−2 < 𝑥 ≤ 3 Por 2 y luego más 1
−3 < 2𝑥 + 1 ≤ 7
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Como el Ran𝑓 = −3; 7 ∴ Dom𝑓−1 = −3; 7
Regla de correspondencia de la función inversa 𝑓 𝑥
−1
Paso1: Despejar 𝑥 a partir de 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑦 = 2𝑥 + 1 ↔ 𝑦 − 1 = 2𝑥
↔
𝑦 − 1
2
= 𝑥
Paso2: intercambiar 𝑥 con 𝑦
𝑥 − 1
2
= 𝑦 ↔
𝑥 − 1
2
= 𝑓(𝑥)
−1
𝑓 𝑦
−1
𝑓 2 = 5 ↔ 2 = 𝑓 5
−1
𝑓 1 = 6 ↔ 1 = 𝑓 6
−1
𝑓 4 = 7 ↔ 4 = 𝑓 7
−1
Se cumple que:
FUNCIÓN INVERSA 
Sea 𝑓 una función inyectiva con dominio A y rango 
B. Entonces la función inversa 𝑓−1 tiene dominio B 
y rango A y esta definida por
𝑓 𝒚
−1 = 𝑥 ↔ 𝒚 = 𝑓 𝒙
Siempre que 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 en B
Ejemplos:
a) Sea 𝑓 = 2; 5 ; 1; 6 ; 4; 7 ; 3; 8
→ 𝑓−1 = 5; 2 ; 6; 1 ; 7; 4 ; 8; 3
Dom𝑓 = 2; 1; 4; 3 =Ran𝑓−1
Ran𝑓 = 5; 6; 7; 8 = Dom𝑓−1
Dom𝑓−1 =
Gráfica de la función inversa 
La gráfica de 𝑓−1 se puede obtener, al reflejar la
gráfica de 𝑓, en la función identidad (𝑦 = 𝑥) .
𝑦
𝑥
𝑓 𝑦 = 𝑥
𝑓−1
Las gráficas de 𝑓 y 𝑓−1son equidistantes respecto a 
la gráfica de la función identidad.
PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN INVERSA
Sea 𝑓 una función inyectiva con dominio A y rango
B. La función inversa 𝑓−1 cumple las siguientes
propiedades.
• Dom𝑓−1=Ran𝑓 ∧ Ran𝑓−1=Dom𝑓
• 𝑓 𝑎
−1 = 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑓 𝑏 𝑓 3
−1 = 𝑛 ↔ 3 = 𝑓 𝑛
• 𝑓 𝑓 𝑎
−1 = 𝑎; ∀𝑎 ∈A
• 𝑓
𝑓 𝑏
−1 = 𝑏; ∀𝑏 ∈ B
𝑓 𝑓(5)
−1 = 5; 5 ∈ Dom𝑓
𝑓
𝑓 7
−1 = 7; 7 ∈ Ran𝑓
Otra forma de enunciar estas dos últimas
propiedades:
Sea 𝑓: 𝐴 → 𝐵 = Ran𝑓
𝑓 ∘ 𝑓−1 = 𝐼𝐵 donde 𝐼𝐵 es la función identidad en B
𝑓−1 ∘ 𝑓 = 𝐼𝐴 donde 𝐼𝐴 es la función identidad en A
PROPIEDADES:
• Si 𝑓 es creciente entonces 𝑓−1 es creciente
• Si 𝑓 es decreciente entonces 𝑓−1 es decreciente
𝒚
𝒙
𝑦 = 𝑥
Si 𝑓 y 𝑔 son inyectivas, y Dom 𝑓 ∘ 𝑔 ≠ ∅
𝑓 ∘ 𝑔 −1 = 𝑔−1 ∘ 𝑓−1
𝑓
𝑓−1
Ejemplo:
Determine la gráfica de la función inversa de
𝑓 𝑥 = 𝑥
3 + 𝑥 + 1; si se tiene la gráfica de 𝑓
𝑦
𝑥
𝑦 = 𝑥
𝑓
1
𝑓−1
1
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