Semestral Uni - Aritmética semana 17

Vista previa del material en texto

POTENCIACION Y RADICACIÓN
- Cuadrados y Cubos Perfectos
- Raíz Cuadrada, exacta e inexacta
- Raíz Cubica, exacta e inexacta
ARITMÉTICA – SEM 17
OBJETIVOS DE LA SESIÓN 
INTRODUCCIÓN
La raíz cuadrada de 2 fue posiblemente el primer número irracional conocido.
Geométricamente equivale a la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado es igual a la
unidad, lo cual se comprueba aplicando el llamado teorema de Pitágoras, también conocida
como constante pitagórica.
La raíz cuadrada de 2 no es un número racional. Pero satisface la ecuación de segundo grado en
una incógnita de coeficientes racionales​.
12 + 12 = 2
2
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
Ejemplos:
Teorema Fundamental:
Toda potencia perfecta de grado “𝑛”, tiene por
condición necesaria y suficiente que los
exponentes de su Descomposición Canónica sean
múltiplos de “𝑛” .
Es una operación matemática que consiste en multiplicar un
mismo número varias veces.
POTENCIACIÓN EN ℤ+
Ejemplos:
3 = 34 = 81•
(81 es una potencia perfecta de grado 4)
12 = 123 = 1728•
(1728 es una potencia perfecta de grado 3)
21 = 212 = 441•
(441 es una potencia perfecta de grado 2)
En general
× 21
× 12 × 12
𝑎 × 𝑎 × ⋯× 𝑎P =
𝑛 veces
𝑎 ∈ ℤ+
Donde: 𝑎 ∶ base de la potencia
exponente de la potencia
potencia perfecta de grado 𝑛
= 𝑎𝑛
𝑛 ∈ ℤ+
𝑛 ∶
𝑃 ∶
3 3 3× × ×
• 324
ambos exponentes son 2 
324 es una potencia perfecta 
de grado 2
• 1728 1728 es una potencia perfecta 
de grado 3
ambos exponentes son 3 
= 22 34×
= 26 33×
• 𝐵 es una potencia perfecta 
de grado 2; 3 y 6
𝐵 = 318 724 1130× ×
• Potencia Perfecta de grado 2 
Casos Particulares
Tambien llamado Cuadrado Perfecto y se denota por 𝒌𝟐
Sea: …(D.C.)
Entonces: 𝑘2 …(D.C.)
…(D.C.)𝑘2 = 𝑎2 𝑏2 𝑐2
° ° °
× ×
= 𝑎2𝛼 𝑏2𝛽 𝑐2𝜃× ×
𝑘 = 𝑎𝛼 𝑏𝛽 𝑐𝜃× ×
𝑁 = 𝑘2 ↔ 𝐶𝐷(𝑁) = 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
todos los exponentes son 2 
Ejemplos:
• 784 = 282
• 99225 = 3152
• Potencia Perfecta de grado 3 
Tambien llamado Cubo Perfecto y se denota por 𝒌𝟑
Sea: …(D.C.)
Entonces: 𝑘3 …(D.C.)
…(D.C.)𝑘3= 𝑎3 𝑏3 𝑐3° ° °× ×
= 𝑎3𝛼 𝑏3𝛽 𝑐3𝜃× ×
𝑘 = 𝑎𝛼 𝑏𝛽 𝑐𝜃× ×
todos los exponentes son 3 
Ejemplos:
• 1728 = 123
• 9261 = 213
= 24 72× = ( 22 71 )
2
×
= 34 52 72× × = ( 32 51 71 )
2
× ×
= 26 33× = ( 22 31 )
3
×
= ( 31 71 )
3
×= 33 73×
Sea: N = 2𝑎𝑏 + 6𝑎𝑏 + 12𝑎𝑏 + 20𝑎𝑏 + ⋯+ 72𝑎𝑏, si la
cantidad de divisores de N es impar. ¿Cuántos valores
puede tomar 𝑎𝑏 ? (UNI 2011-II)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
APLICACIÓN 1
RESOLUCIÓN:
Piden: cantidad de valores de 𝑎𝑏
N = 2𝑎𝑏 + 6𝑎𝑏 + 12𝑎𝑏 + 20𝑎𝑏 + ⋯+ 72𝑎𝑏
Luego:
= 𝑎𝑏(240)
∴ 𝑎𝑏 toma 2 valores.
N = 𝑎𝑏(1 2 + 2 3+ 3 4+⋯+ 8 9)× × × ×
N = 𝑎𝑏
8 9 10
3
× ×
= 𝑘2
Cantidad impar
de divisores
N = ab 24 31 51× × 𝑎𝑏 = 31 51 𝑝2× ×
𝑎𝑏 = 15 𝑝2×
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝟏𝟓
𝟔𝟎
= 𝑘2
Criterios de inclusión y exclusión para
cuadrados y cubos perfectos:
…0 …1 …2 …3 …4 …5 …6 …7 …8
…0 …1 …4 …9 …6 …5 …6 …9 …4
…0 …1 …8 …7 …4 …5 …6 …3 …2
…9
…1
…9
𝑘2
𝑘
𝑘3
• Por su última cifra
 Si un número termina en las cifras: 0; 1; 4; 5; 6 𝑦 9;
entonces puede ser cuadrado perfecto
 Si un número termina en las cifras: 2; 3; 7 𝑢 8; entonces no
es cuadrado perfecto
 No hay restricción por ultima cifra para un cubo perfecto
• Por su terminación en cifra cinco
 Para un cuadrado perfecto
𝑎𝑏𝑐𝑑5 = 𝑘2Si = 𝑝𝑞52
Entonces: 𝑑 = 2
𝑎𝑏𝑐 = 𝑝𝑞 × 𝑝𝑞 + 1
𝑐 ∈ 0,2,6
 Para un cubo perfecto
𝑎𝑏𝑐𝑑5 = 𝑘3Si = 𝑝53
además
𝑑 = 2
𝑑 = 7si p es impar, entonces:
si p es par, entonces:
• Por su terminación en cifra cero
 Para un cuadrado perfecto
𝑎𝑏𝑐 …𝑥𝑦𝑧 = 𝐴2
Si:
Entonces:
 Para un cubo perfecto
“n” ceros
𝑛 = 2
𝑎𝑏𝑐 … 𝑥𝑦𝑧00. . 00 = 𝑘2
𝑎𝑏𝑐 …𝑥𝑦𝑧 = 𝐴3
Si:
Entonces:
“n” ceros
𝑛 = 3
𝑎𝑏𝑐 … 𝑥𝑦𝑧00. . 00 = 𝑘3
• Por divisibilidad
 Respecto del modulo 4
𝑘2
4
4 + 1
𝑘3
9
≠ 4 + 2
 Respecto del modulo 9
𝑘2
9
9 + 1
𝑘3 9 + 1
9 + 4
9 + 7
9 + 8
Aplicación 2
Resolución
Acotando: 8000 < 1𝑐8𝑎𝑏 < 27000
203 < 𝑎𝑏
3
< 303
20 < 𝑎𝑏 < 30 𝑎 = 2
Además 𝑎𝑏 y 𝑎𝑏
3
terminan en la misma cifra
Evaluando:
𝑎𝑏
3
= 1𝑐8𝑎𝑏
𝟐𝟏𝟑 = 𝟗𝟐𝟔𝟏
𝟐𝟒𝟑 = 𝟏𝟑𝟖𝟐𝟒
𝟐𝟓𝟑 = 𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓
𝟐𝟔𝟑 = 𝟏𝟕𝟓𝟕𝟔
𝟐𝟗𝟑 = 𝟐𝟒𝟑𝟖𝟗
∴ 𝟐𝒃 − 𝒂 − 𝒄 = 𝟑
Sean 𝑎; 𝑏; 𝑐 ∈ ℕ tales que 𝑎𝑏
3
= 1𝑐8𝑎𝑏 . Entonces
el valor de 2𝑏 − 𝑎 − 𝑐 es: (UNI 2016-2)
𝑏 = 4 𝑐 = 3
𝐴
Si 6𝑎𝑏𝑐𝑐5 tiene una cantidad impar de divisores, halle
el menor valor de 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.
Aplicación 3
Resolución
Piden: El menor valor de 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
Por dato: 6𝑎𝑏𝑐𝑐5 = 𝑘2
6𝑎𝑏2 = 𝑝𝑞 × (𝑝𝑞 + 1)
6𝑎𝑏225 = 𝑘2 = 𝑝𝑞5
2
𝟖𝟏 𝟖𝟐
𝟕𝟖 𝟕𝟗
𝟖𝟑 𝟖𝟒
𝟔𝟔𝟒𝟐 =
𝟔𝟏𝟔𝟐 =
𝟔𝟗𝟕𝟐 =
(𝒂 + 𝒃 + 𝒄 ):
𝟏 + 𝟔 + 𝟐 = 𝟗
𝟔 + 𝟒 + 𝟐 = 𝟏𝟐
𝟗 + 𝟕 + 𝟐 = 𝟏𝟖
∴ 𝒆𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒆𝒔 𝟗
La potenciación tiene dos operaciones inversas, la radicación y la
logaritmación, nosotros abordaremos la radicación
índice
radicando = raíz enésima
3
343 = 7 porque 343 = 73
5
𝑎𝑏 = 2
porque
𝑎𝑏 = 25
4
81 = 3
entonces
81 = 34
Si la raíz enésima de un número es exacta, entonces dicho 
número es una potencia perfecta de grado “𝑛”
Radicación en ℤ+
𝑐 = 2
Cantidad impar
de divisores
Reemplazando: 
×
×
×
9 ; 12 ; 18
Ejemplos:
Raíz Cuadrada
• Raíz Cuadrada Exacta:
49 7
0
49 = 72 𝑁 k
0
𝑁 = 𝑘2
• Raíz Cuadrada Inexacta
Por Defecto
52 7
3
52 = 72 + 3
𝑁 k
𝑟𝑑
𝑁 = 𝑘2 + 𝑟𝑑
Por Exceso
52 8
12
52 = 82 − 12
𝑁 𝑘 + 1
𝑟𝑒
𝑁 = 𝑘 + 1 2 − 𝑟𝑒
Propiedades de la Raíz Cuadrada
𝑟𝑚𝑖𝑛 = 1
𝑟𝑚𝑎𝑥 = 2𝑘
𝑟𝑑 + 𝑟𝑒 = 2𝑘 + 1
Casos Particulares
•
•
•
Raíz Cúbica 
• Raíz Cúbica Exacta:
343 7
0
343 = 73 𝑁 k
0
𝑁 = 𝑘3
• Raíz Cúbica Inexacta
Por Defecto
352 7
9
352 = 73 + 9
𝑁 k
𝑟𝑑
𝑁 = 𝑘3 + 𝑟𝑑
Por Exceso
352 8
160
352 = 83 − 160
𝑁 𝑘 + 1
𝑟𝑒
𝑁 = 𝑘 + 1 3 − 𝑟𝑒
Propiedades de la Raíz Cúbica 
𝑟𝑚𝑖𝑛 = 1
𝑟𝑚𝑎𝑥 = 3𝑘(𝑘 + 1)
𝑟𝑑 + 𝑟𝑒 = 3𝑘
2 + 3𝑘 + 1
Casos Particulares
•
•
•
𝟑 𝟑
𝟑 𝟑
𝟑 𝟑
Aplicación 4 UNI 2018-1 Resolución
2 × 2 = 44
0 9
1
6
1 8 0
7 4 9
24
254
11 6 2 5 4 2 7 3
2
4 4
1 7 2 9
5
6
7 6 2 9
2 0
2
7 × 7 = 1729
3 × 3 = 7629
1 + 6 + 2 + 0 + 5 + 4 + 9 = 27
∴ Por lo tanto, la suma de cifras del radicando es 27
0 9
1
6
1 8 0
7 4 9
∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗
∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗
∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗
Halle la suma de los dígitos del radicando, donde la
diferencia de los dígitos del residuo es 2, además se
tiene la siguiente información:
Donde cada ∗ indica un dígito.
Aplicación 5
Por propiedad:
𝑟𝑑𝑒𝑓 + 𝑟𝑒𝑥𝑐 = 3𝑘
2 + 3𝑘 + 1
Resolución
Piden: El valor de 𝑎 × 𝑏
Por dato:
𝟑
𝒂𝒃𝒄 𝑘
𝟏𝟐
Defecto
𝑘 + 1
𝟐𝟓𝟗
Exceso
Reemplazando:
12 + 259 = 3𝑘2 + 3𝑘 + 1
270 = 3𝑘2 + 3𝑘
90 = 𝑘(𝑘 + 1)
𝑘 = 9
Luego:
𝑎𝑏𝑐 = 𝑘3 + 12
𝑎𝑏𝑐 = 93 + 12 = 741
∴ 𝒂 × 𝒃 = 𝟐𝟖
𝑎 = 7 𝑏 = 4
𝟑
𝒂𝒃𝒄
Al extraer la raíz cúbica de 𝑎𝑏𝑐 se obtuvo como
residuo por exceso 259 y residuo por defecto 12.
Calcule 𝑎 × 𝑏.
BIBLIOGRAFÍA
 Asociación Fondo de Investigadores y Editores.
Aritmética. Análisis razonado del número y sus
aplicaciones. Lumbreras Editores, 2020.
 Asociación Fondo de Investigadores y
Editores. Aritmética: Colección compendio
académico UNI. Lumbreras Editores, 2018.
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e