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[TÍTULO DEL 
DOCUMENTO] 
[Subtítulo del documento] 
 
 
[FECHA] 
GP 
[Dirección de la compañía] 
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 2 
PRESENTACIÓN 
 
Ante la coyuntura de salud que vive la humanidad entera; la educación como una 
actividad dinámica y continua de los recursos humanos no puede quedar en un statu quo, 
lo que sugiere es plantear alternativas y brindar los medios necesarios que permitan 
llegar a los educandos para posibilitar la continuidad en su desarrollo armónico de 
capacidades, valores, aptitudes y el crecimiento personal. 
La presente edición bibliográfica, elaborada con el concurso y trabajo organizado de 
todos los docentes del área de matemática del distrito, en función de encarar un Plan de 
Contingencia Educativa, tiene la finalidad de llegar a todos los estudiantes de la frontera 
del municipio de Villazón, de la niña de ojos de estrella, para encaminar una educación 
acorde a estos tiempos de pandemia, que facilite la continuidad formativa en el área de 
matemática con un enfoque dinámico y de interacción entre el estudiante y el profesor 
viabilizados a través de los medios tecnológicos para el desarrollo de una variedad de 
actividades de aprendizaje y trabajo individual en cada uno de los contenidos propuestos 
y los momentos metodológicos que conlleva la práctica educativa según el actual modelo 
educativo. 
En este sentido, el presente módulo de aprendizaje de la matemática se constituye para 
el estudiante un instrumento ordenado que guie de manera secuencial y objetiva cada 
una de las acciones a desarrollarse durante el abordaje de los contenidos y así mismo 
sea para el docente un medio didáctico que le permita acompañar de manera sistemática 
al estudiante. 
Finalmente, todos los docentes que regentan la especialidad de la Matemática en el 
Distrito, la Asociación de Profesores y la Comisión Multidisciplinaria del área de 
Matemática, ante las probables dificultades que se puedan experimentar en el reto de 
encarar un educación distinta a lo acostumbrado, creemos que la perseverancia y 
esfuerzo principalmente de nuestros estudiantes se consolidará en logros importantes y 
la satisfacción de lograr la continuidad formativa de todas las señoritas y jóvenes 
estudiantes pese a las adversidades que nos asecha el Covid 19. 
 
 
 
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 3 
EQUIPO DE ELABORACIÓN DEL MÓDULO 
COMISIÓN DE PROFESORES 
1.- Prof. Roberto Sarzuri López COORDINADOR 
2.- Prof. María Estela Colque Tolaba 
3.- Prof. Lula Angulo Cari 
4.- Prof. Cixta Corzo Santos 
5.- Prof. Valencia Carlo Morales 
6.- Prof. Zenón Romero Diaz 
7.- Prof. Edgar Jacinto Calle Villegas 
 
ASOCIACIÓN DE PROFESORES DEL ÁREA DE MATEMÁTICA 
Prof. Ramiro Mayorga Basilio PRESIDENTE 
Prof. Moisés Flores Puma VICEPRESIDENTE 
Prof. Freddy Ramírez Chuquisea STRIO. DE HACIENDA 
Prof. Franz Gallardo Paredes STRIO. DE ACTAS 
Prof. Fernando Flores Laura VOCAL 
 
COORDINADORES ÁREA DISPERSA 
 
Prof. Raul Quispe Meguillanes 
Profa. Sofía Gómez Tangara 
Prof. Carlos George Quispe Leandro 
 
COORDINADORES DEL ÁREA DE MATEMÁTICA 
EQUIPO MULTIDISCIPLINARIO DISTRITAL 
Prof. Franz Paz Aly Bello 
Prof. J. José Bautista Rivas 
 
 
 
 
Villazón, Julio de 2020 
 
 
 
 
 
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 4 
ÍNDICE 
EL NÚMERO, LA FORMA Y EL CÁLCULO EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS O 
SITUACIONES DE CONTEXTO ............................................................................................9 
LOS NÚMEROS RACIONALES Y SU UTILIDAD EN LA VIDA COTIDIANA .............11 
Fracciones equivalentes. ......................................................................................................12 
Operaciones de números racionales, aplicados en situaciones productivas. ....................13 
SUMA O RESTA DE FRACCIONES RACIONALES CON IGUAL DENOMINADOR.
 ...............................................................................................................................................13 
SUMANDO Y RESTANDO EXPRESIONES RACIONALES CON DENOMINADOR 
DISTINTO. ...........................................................................................................................14 
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS MIXTOS .....................................................................15 
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES. .....................................................................16 
DIVISIÓN DE FRACCIONES RACIONALES. ...............................................................17 
 ...................................................................................................................................................22 
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES .................................22 
POTENCIACIÓN ................................................................................................................23 
LEY DE SIGNOS .................................................................................................................24 
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN ......................................................................24 
RADICACIÓN ........................................................................................................................27 
NÚMEROS IRRACIONALES Y SU CLASIFICACIÓN .....................................................30 
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES ...............................................31 
NÚMEROS IRRACIONALES FAMOSOS .......................................................................32 
LOS NÚMEROS REALES (ℝ) Y SU RELACIÓN DE ORDEN..........................................34 
OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES (ℝ): APLICADA A LA 
PRODUCCIÓN EN GENERAL .........................................................................................35 
ADICIÓN DE NÚMEROS REALES ..................................................................................35 
ORIGEN DE LOS NÚMEROS REALES ..........................................................................39 
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES .................................................................45 
Propiedades: .........................................................................................................................45 
DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES .................................................................................47 
OPERACIONES EN (ℝ): POTENCIACIÓN ........................................................................49 
Término de la potenciación: ...................................................................................................49 
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES ..........................49 
Operaciones combinadas de las propiedades de la potencia .............................................50 
OPERACIONES EN (ℝ): RADICACIÓN .............................................................................53 
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 5 
La radicación y sus términos: ..................................................................................................53 
Propiedades de la radicación ...................................................................................................53 
Raíz de un cociente ...................................................................................................................53 
Exponentes racionales ..............................................................................................................53 
Raíz de un producto .................................................................................................................53 
Raíz de una potencia ................................................................................................................53 
POTENCIA DE UNA RAÍZ ................................................................................................54 
LOS NÚMEROS Y LAS FORMAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y LOS 
PRODUCTOS TECNOLÓGICOS .........................................................................................58CUERPOS GEOMÉTRICOS .............................................................................................58 
CLASIFICACIÓN DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS .............................................58 
1. POLIEDROS: ...........................................................................................................58 
2. CUERPOS REDONDOS: ........................................................................................58 
POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS .........................................................................59 
ESQUEMA GENERAL DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS .....................................59 
DEFINICIÓN Y ELEMENTOS DE UN POLIEDRO.......................................................59 
PROPIEDADES DE LOS POLIEDROS ............................................................................60 
POLIEDROS REGULARES ...............................................................................................61 
POLIEDROS IRREGULARES ..........................................................................................62 
PRISMA ................................................................................................................................63 
ELEMENTOS DE UN PRISMA .........................................................................................63 
CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMAS .............................................................................63 
PIRÁMIDE ...........................................................................................................................64 
PIRÁMIDES SEGÚN SU BASE .....................................................................................64 
CUERPOS REDONDOS .........................................................................................................66 
CILINDRO ...........................................................................................................................66 
ELEMENTOS DEL CILINDRO ....................................................................................66 
CONO ...................................................................................................................................66 
ELEMENTOS DEL CONO .............................................................................................67 
ESTERA................................................................................................................................67 
ELEMENTOS DE LA ESFERA .....................................................................................68 
PARA PRACTICAR ................................................................................................................69 
ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS ..............................................70 
ÁREAS DE POLIEDROS ...................................................................................................70 
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 6 
ÁREAS DE PRISMAS Y PIRÁMIDES RECTAS .........................................................71 
ÁREAS DE CILINDROS Y CONOS .................................................................................73 
CONO ...................................................................................................................................75 
ESFERA ................................................................................................................................77 
EL LENGUAJE MATEMÁTICO EN LA RELACIÓN CON LAS ACTIVIDADES DE LA 
VIDA COTIDIANA .................................................................................................................80 
NOCIONES BÁSICAS DE ALGEBRA: ............................................................................83 
GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO .....................................................................90 
GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO ....................................................................90 
VALOR NUMÉRICO. .........................................................................................................94 
TÉRMINOS SEMEJANTES. - ...........................................................................................95 
REDUCCIÓN DE VARIOS TÉRMINOS. .........................................................................96 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 7 
ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIANTE 
 
• PRESENTACIÓN DEL MÓDULO 
 
• Aprendemos explorando nuestro contexto y el diario vivir 
(PRÁCTICA) 
 
• Construimos y consolidamos nuestros conocimientos 
(TEORIZACIÓN) 
 
• Analizamos y reflexionamos la importancia de los 
conocimientos formados y consolidados (VALORACIÓN) 
 
• Detectamos, Desarrollamos e implantamos propuestas de 
solución para diversas amenazas o debilidades dentro de 
nuestra comunidad educativa (PRODUCCIÓN) 
 
• Aprendemos juntos mediante la participación y atención en la 
clase (EXPLICACIÓN E INSTRUCCIÓN DEL DOCENTE) 
 
• Realizamos la auto reflexión y análisis de los nuevos 
conocimientos (ANÁLISIS Y REFLEXIÓN) 
 
 
• Pongo en práctica los conocimientos adquiridos en el proceso 
de aprendizaje (TRABAJO INDIVIDUAL) 
 
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 8 
 
• Reforzamos los conocimientos mediante videos tutoriales 
(VIDEOS DE APOYO) 
 
• Desarrollamos espacios para despejar dudas de los contenidos entre 
los actores de la educación, dentro de los momentos metodológicos 
en el proceso de aprendizaje (RETROALIMENTACIÓN) 
 
• Presentamos los productos obtenidos durante el proceso de 
aprendizaje (PRODUCCIÓN) 
 
 
• Practicamos en casa los conocimientos adquiridos 
(PRACTICAS) 
 
• Demostramos las capacidades desarrolladas después del proceso de 
Aprendizaje (EVALUACIÓN) 
 
• Desarrollamos actividades en cronometradas (PRACTICAS 
DENTRO DE CLASE) 
 
• Escaneamos el codigo QR para complementar y consolidar los 
conocimientos adquiridos(CODIGO QR) 
 
• Reforzamos y consolidamos los conocimientos visitando la 
siguiente página web (SITIOS WEB) 
 
 
 
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 9 
EL NÚMERO, LA FORMA Y EL CÁLCULO EN LA SOLUCIÓN DE 
PROBLEMAS O SITUACIONES DE CONTEXTO 
 
OBJETIVO HOLÍSTICO: Desarrollamos la conciencia crítica en la convivencia de los 
estudiantes y su relación con la naturaleza, a través del análisis de las relaciones, sociales 
y económicas con el manejo de propiedades y operaciones de números racionales, 
aplicando en operaciones combinadas procedimientos heurísticos y algorítmicos, para 
generar decisiones en el proceso tecnológico y productivo unidos en la comunidad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-¿Sabías que solo ¼ de la superficie del planeta es tierra firme? 
-¿Qué fracción de esa tierra es cultivable? 
Conversa con tu familia. 
RECUERDA 
Si tenemos 1/4, el 4, ¿Qué representa? 
 El 1, ¿Qué representa? 
 
Este planeta tiene las ¾ 
partes de su superficie 
cubiertas de agua…. 
Debería llamarse ´planeta 
agua´ 
Pero se llama 
planeta tierra 
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 10 
 
 
 
PREGUNTAS ACTIVADORAS 
1. ¿Qué entiendes por números racionales? 
 
 
 
 
2. ¿Los números decimales serán también números racionales? 
 
 
 
 
GLOSARIO 
Equivalencia. 
Relación de igualdad en cantidad, función, valor, potencia o eficacia entre personal o 
cosas. 
Heterogéneo. 
Que está formado por elementos de distinta clase o naturaleza. 
Homogéneo. 
Que está formado por elementos con características comunes referidas a su clase o 
naturaleza lo permite establecer entre ellos una relación de semejanza y uniformidad. 
 
PRACTICA... 
Respuesta: 
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_____________ 
Respuesta: 
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_____________ 
PARA RECORDAR15043971504397 
 11 
Simplificar. 
Convertir una expresión matemática en otra más simple pero equivalente. 
 
LOS NÚMEROS RACIONALES Y SU UTILIDAD EN LA VIDA COTIDIANA 
Definición. 
Un numero racional (Q) es todo aquel que puede representarse como el cociente de dos 
números enteros, es decir, una fracción con numerador a y denominador distinto de 0. 
Esto quiere decir que los números enteros positivos y los números enteros negativos, junto 
con los números fraccionario puros, forman todo el conjunto de los números racionales y 
se representa con la letra Q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORÍA... 
Números Racionales 
CERO 
NÚMEROS 
ENTEROS 
NEGATIVOS 
NÚMEROS 
ENTEROS 
POSITIVOS 
NÚMEROS 
FRACCIONARIOS 
PUROS 
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 12 
Representación gráfica de números racionales: 
 
 
Fracciones equivalentes. 
-Dos o más fracciones son equivalente cuando representa la misma cantidad y se escribe 
distinto. 
Dos fracciones son equivalentes se puede obtener una a partir de la otra, multiplicando o 
(dividiendo) el numerador y el denominador por el mismo número. 
Convertimos la fracción 2/4 a una fracción equivalente. 
 
 
Simplificación. 
Se divide numerador, denominador por el mismo número. 
Amplificación. 
Se multiplica el numerador y denominador por el mismo número. 
 
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 13 
Operaciones de números racionales, aplicados en situaciones productivas. 
Ejemplo: 
La familia Rocha del salario que perciben gastan en alimentación una tercera parte, en 
ropa un cuarto y en transporte un sexto del salario. 
a) ¿Qué parte del salario son los gastos? 
b) ¿Qué parte es el ahorro? 
 
-Gastos: 
1
3
+
1
4
+
1
6
=
4+3+2
12
=
9
12
=
3
4
 
 
Los gastos en todas son los ¾ del salario. 
 
-Ahorro: 1 −
3
4
=
4−3
4
=
1
4
 
 
El ahorro es la cuarta parte del salario. 
SUMA O RESTA DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR. 
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador. 
Escanea este codigo QR para aprender mas sobre suma y 
resta de fracciones con denominador igual. 
 
Ejemplo: 
2
3
+
1
3
=
2 + 1
3
=
3
3
= 1 
 
5
11
−
1
11
=
5 − 1
11
=
4
11
 
 
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 14 
 
PRODUCCIÓN: resuelve los siguientes ejercicios con fracciones. 
 
 
 
SUMANDO Y RESTANDO EXPRESIONES RACIONALES CON 
DISTINTO DENOMINADOR. 
Antes de sumar y restar expresiones racionales con denominadores distintos, necesitamos 
encontrar un común denominador. Este proceso es similar al que usamos para sumar y 
restar fracciones numéricas con denominadores distintos. Veamos un ejemplo numérico 
para empezar. 
 Escanea este codigo QR para aprender mas sobre suma y resta 
de expresiones racionales con denominador distinto. 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
15043971504397 
 15 
 
PRODUCCIÓN: resuelve los siguientes ejercicios con fracciones. 
 
 
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS FRACCIONARIOS MIXTOS. 
 Escanea este codigo QR para aprender mas sobre suma y resta 
de numero mixtos metodo 1. 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
15043971504397 
 16 
 
 Escanea este codigo QR para aprender mas sobre suma y 
resta de numero mixtos metodo 2. 
 
PRODUCCIÓN: Resuelve los siguientes ejercicios, convertimos 
los números mixtos a fracciones simples, luego operamos. 
 
 
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES. 
El producto entre dos o más números racionales es otro número racional, cuyo numerador 
y denominador son los productos de los numeradores y denominadores de cada uno de 
los factores. 
 Escanea este codigo QR para aprender mas sobre 
multiplicacion de numeros racionales. 
 
Ejemplo: 
 
15043971504397 
 17 
 PRODUCCIÓN: resuelve los siguientes ejercicios con 
fracciones. 
 
 
DIVISIÓN DE RACIONALES. 
La división de dos números racionales es otro número racional que tiene: 
Por numerador el producto de los extremos. 
Por denominador el producto de los medios. 
 Escanea este codigo QR para aprender mas sobre division de 
fracciones racionales. 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
15043971504397 
 18 
 
 PRODUCCIÓN: resuelve los siguientes ejercicios con fracciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escanea este codigo QR para reflexionar sobre: 7 consejos 
para el aprendizaje de la matematica. 
 
 
 
VALORACIÓN… 
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 19 
 
1. Analiza y conversa con tus padres sobre el video y como este te ayudara en una 
mejor comprensión de la matemática y haz un comentario personal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fortaleciendo nuestros saberes y conocimientos. 
Analiza y responde. 
1: ¿Qué indican el numerador y el denominador en una fracción? 
 
 
 
 
 
 
 
 
EVALUACIÓN… 
Respuesta: 
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
___________ 
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 20 
Responde con falso o verdadero. 
2: Para sumar fracciones de igual denominador, si o si debemos de hallar el mínimo 
común múltiplo. 
 
 
 
3: Si la fracción es negativa en la recta numérica se encuentra lado derecho del 0. 
 
 
4: El resultado de la siguiente suma. 
9
4
−
10
4
= 
1
4
 
 
 
5: El mínimo común denominador se debe de dividir entre el numerador de cada 
fracción cuando realizamos la suma de fracciones con diferentes denominadores. 
 
 
A partir de los consejos que te dimos, resuelve los siguientes problemas: 
PROBLEMA N° 1 
Patricia utiliza 
1
4
 de leche de una botella 
para hacer un pastel. ¿Qué cantidad de 
leche le queda en la botella? 
PROBLEMA N° 2 
Ema se comió 
5
12
 de los pasteles y Olga 
3
12
 
de los mismos ¿Qué fracción de los 
pasteles se comieron? 
F V 
F V 
F V 
F V 
15043971504397 
 21 
PROBLEMA N° 3 
Julio comió 
1
2
 de pastel y Juan 
1
3
del mismo 
pastel. ¿Qué fracción de pastel han comido 
entre los dos? , ¿Qué fracción de pastel 
queda aun para comer? 
PROBLEMA N° 4 
En una clase, la novena parte de los 
estudiantes son zurdos. Si la clase tiene 27 
alumnos. ¿Cuántos son diestros? 
PROBLEMA N° 5 
Un campo mide 2000 m2. ¿Se desea saber 
cuántos metros tiene la cuarta parte del 
campo? 
PROBLEMA N° 6 
Juana tiene 300 Bs. Que es fruto de sus 
ahorros y decide ir a la tienda a comprar 
zapatos, el cual le costó la tercera parte de 
sus ahorros. ¿Cuánto le costó los zapatos? 
PROBLEMA N° 7 
La camiseta de un bebe se fabrica con 
4
5
 
metros de tela. ¿Cuántas camisetas se 
pueden hacer con 48 metros de tela? 
PROBLEMA N° 8 
Un labrador dividió su campo en 8 
parcelas iguales. ¿Cuántas parcelas 
contienen los 
3
4
 del campo? 
 
 
 
 
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 22 
 
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO HOLÍSTICO 
Desarrollamos valores de solidaridad y responsabilidad a partir del estudio y análisis de la 
potenciación y radicación de números racionales aplicando en la resolución de ejercicios y 
problemas de nuestra vida cotidiana, con sentido crítico y reflexivo en nuestra comunidad 
APRENDEMOS EXPLORANDO NUESTRO CONTEXTO Y EL 
DIARIO VIVIR 
1. ¿QUÉ ENTIENDES POR POTENCIA DE UN NÚMERO RACIONAL? 
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………….…………………………………………………………………………………………………………………… 
………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 
2. ¿ En qué situaciones de la vida cotidiana podemos observar la potenciación o 
radicación de números racionales ? 
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………….…………………………………………………………………………………………………………………… 
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….15043971504397 
 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) (
𝟏
𝟐
)
𝟑
= (
𝟏
𝟐
) . (
𝟏
𝟐
) . (
𝟏
𝟐
) =
𝟏
𝟖
 
 
b) (
𝟓
𝟐
)
𝟐
= 
 
c) (
𝟕
𝟑
)
𝟒
= 
 
 
 
 
 
 
La potencia de un número 
racional se obtiene 
multiplicando la base por sì 
misma tantas veces como 
indique el exponente. 
POTENCIACIÓN 
 
CONSTRUIMOS Y CONSOLIDAMOS NUESTROS 
CONOCIMIENTOS 
HALLAMOS EL VALOR DE LAS SIGUIENTES POTENCIAS 
 
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 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BASE EXPONENTE POTENCIA 
+ Par o impar + 
 
- 
Par 
 
+ 
 
Impar 
 
- 
DESCRIPCIÓN PROPIEDAD OPERATORIA EJEMPLO 
 
POTENCIA DE 
EXPONENTE 1 
 
(
𝒂
𝒃
)
𝟏
=
𝒂
𝒃
 
Exponente 1 no se 
escribe (
𝟏
𝟐
)
𝟏
=
𝟏
𝟐
 
 
POTENCIA DE 
EXPONENTE 0 
 
 
(
𝒂
𝒃
)
𝟎
= 𝟏 
 
Toda potencia de 
exponente cero es 
igual a 1 
 
(
𝟑
𝟒
)
𝟎
= 𝟏 
POTENCIA 
NEGATIVA 
 
 
(
𝒂
𝒃
)
−𝒏
= (
𝒃
𝒂
)
𝒏
 
El exponente 
negativo obliga a 
transformar la 
potencia en su 
fracción inversa con 
el exponente 
opuesto 
 
 
(
𝟒
𝟓
)
−𝟐
= (
𝟓
𝟒
)
𝟐
=
𝟐𝟓
𝟏𝟔
 
APRENDEMOS JUNTOS MEDIANTE LA PARTICIPACIÓN Y 
ATENCIÓN EN LA CLASE 
 
El signo de la potencia depende del signo de la 
base y del exponente par o impar 
 
 
LEY DE SIGNOS 
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN 
 
15043971504397 
 25 
 
 
 
 
 
a) (
𝟏𝟐
𝟔
)
𝟏
= 
b) (
𝟐𝟎
𝟏𝟏
)
𝟏
= 
c) (
𝟗
𝟓
)
𝟎
= 
d) (
𝟏
𝟓
)
𝟎
= 
e) (
𝟏𝟖
𝟗
)
−𝟒
= 
f) (−
𝟔
𝟖
)
−𝟑
=
 
 
 
 
 
 
 
Nº DEFINICIÓN EN SIMBOLOS EJEMPLO 
1. Producto de potencias de 
la misma base. Se añota 
la base y se suman los 
exponentes 
 
(
𝑎
𝑏
)
𝑛
⋅ (
𝑎
𝑏
)
𝑚
= (
𝑎
𝑏
)
𝑛+𝑚
 
 
(
3
5
)
2
⋅ (
3
5
)
5
. (
3
5
)
1
= (
3
5
)
2+5+1
= (
3
5
)
8
 
 
2. Cocientes de potencias e 
la misma base.Se anota 
la misma base y se restan 
los exponentes. 
 
(
𝑎
𝑏
)
𝑛
÷ (
𝑎
𝑏
)
𝑚
= (
𝑎
𝑏
)
𝑛−𝑚
 
(
2
3
)
6
÷ (
2
3
)
4
= (
2
3
)
6−4
= (
2
3
)
2
 
3. Potencia de una 
potencia.Se anota la base 
y se multiplican los 
exponentes. 
 
[(
𝑎
𝑏
)
𝑛
]
𝑚
= (
𝑎
𝑏
)
𝑛⋅𝑚
 
[(
2
4
)
2
]
−3
= (
2
4
)
2⋅(−3)
= (
2
4
)
−6
 
4. Potencia de un 
producto.El exponente se 
distribuye a cada factor. 
 
(
𝑎
𝑏
⋅
𝑐
𝑑
)
𝑛
= (
𝑎
𝑏
)
𝑛
⋅ (
𝑐
𝑑
)
𝑛
 
 
(
1
2
⋅
1
3
)
3
= (
1
2
)
3
⋅ (
1
3
)
3
 
 
5. Si las bases son iguales 
entonces los exponentes 
son iguales. 
 
(
𝑎
𝑏
)
𝑚
= (
𝑎
𝑏
)
𝑛
⇒ 𝑚 = 𝑛 
 
(
1
5
)
𝑥
= (
1
5
)
3
⇒ 𝑥 = 3 
 
HALLAMOS EL VALOR DE LAS SIGUIENTES POTENCIAS 
 
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN 
 
15043971504397 
 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) (
1
8
)
2
⋅ (
1
8
)
3
= 
b) (
2
5
) ⋅ (
2
5
)
3
= 
c) (
7
14
)
4
÷ (
7
14
)
−3
= 
d) (
4
25
)
5
÷ (
4
25
)
5
= 
e) [(
1
4
)
4
]
3
= 
 
 
 
 
 
 
Completemos el siguiente cuadro 
 
 
a b a2 b2 a3 b3 (a-b)2 
𝟏
𝟐
 
𝟏
𝟑
 
 
𝟓
𝟐
 
 𝟗
𝟏𝟔
 
 
𝟑
𝟖
 
𝟖
𝟑
 
 
 𝟑
𝟐
 
𝟏𝟔
𝟗
 
 
PRÁCTICA LOS CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS EN EL 
PROCESO DE APRENDIZAJE 
CONSTRUIMOS Y CONSOLIDAMOS NUESTROS 
CONOCIMIENTOS 
15043971504397 
 27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) √
𝟒
𝟗
= 
b) √
𝟏
𝟏𝟒𝟒
= 
c) √
𝟖
𝟐𝟓
𝟑
= 
d) √
−𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟏𝟔
𝟑
= 
 
 La radicación es una operación 
contraria a la potenciación, 
consiste en buscar un número que 
multiplicado tantas veces como 
indica el índice de la raíz nos de la 
cantidad sub radical o radicando. 
RADICACIÓN 
 
 
HALLAMOS EL VALOR DE LAS SIGUIEN RAICES 
 
15043971504397 
 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√
𝟗
𝟏𝟔
= 
 
√
𝟐𝟓
𝟔𝟒
= 
 
√
𝟐𝟕
𝟔𝟒
𝟑
= 
 
√
𝟏
𝟏𝟓
𝟒
= 
 
√
𝟏𝟔
𝟖𝟏
𝟒
= 
 
CALCULAMOS LAS SIGUIENTES RAÍCES 
 
Si el índice es impar y el 
radicando negativo entonces la 
es raíz es también negativa. 
Si el índice es par y el radicando 
negativo, la raíz no tiene 
solución en el conjunto de los 
números racionales. 
 
3√
−8
27
=
ξ−8
3
ξ2
3
7
=
−2
3
= −
2
3
 
REALIZAMOS LA AUTO REFLEXIÓN Y ANÁLISIS DE LOS 
NUEVOS CONOCIMIENTOS 
15043971504397 
 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENCONTREMOS EL RESULTADO DE CADA UNO DE LAS SIGUIENTES 
EXPRESIONES 
 
a) (√
𝟑
𝟓
⋅
𝟏
𝟔
)
𝟐
÷ (−
𝟓
𝟒
) = b) [
𝟏
𝟏+(−𝟑)
]
𝟎
− [
𝟏+(−𝟑)
𝟏−(−𝟑)
]
𝟐
 
c) [√
𝟓
𝟑
(
𝟑
𝟓
)
𝟐
]
𝟐
÷ 𝟓𝟑 d) √
𝟏
𝟑
⋅ √
𝟏
𝟏𝟐
+ [
𝟏−
𝟏
𝟑
(−𝟏)𝟑
]
𝟐
 
e) [√
𝟏
𝟐
⋅
𝟏
𝟐
]
𝟐
[
𝟓
𝟑
+ 𝟏]
𝟑
= f) √(
𝟑
𝟓
)
−𝟐
− 𝟏 − [𝟏 ÷ (
𝟏
𝟐
)
−𝟏
] 
 
 
 
DEMOSTRAMOS LAS CAPACIDADES DESARROLLADAS 
DESPUÉS DEL PROCESO DE APRENDIZAJE 
 
 
15043971504397 
 30 
 
NÚMEROS IRRACIONALES Y SU 
CLASIFICACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO HOLÍSTICO 
Asumimos y valoramos las expresiones simbólicas del arte de nuestras culturas desarrollando 
el razonamiento lógico concreto y abstracto de propiedades, conceptos de números irracionales 
y su utilidad en la vida cotidiana, a través de procedimientos y reglas operatorias para 
promover procesos productivos en la comunidad 
APRENDEMOS EXPLORANDO NUESTRO CONTEXTO Y EL 
DIARIO VIVIR 
3. ¿QUÉ SON LOS NÚMEROS IRRACIONALES? 
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………….…………………………………………………………………………………………………………………… 
………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 
4. ¿CÓMO SE LLAMAN LOS NÚMEROS πY е? 
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………….…………………………………………………………………………………………………………………… 
………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 
15043971504397 
 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas 
cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. 
PROPIEDADES DE LOS 
NÚMEROS IRRACIONALES 
 
PROPIEDAD CONMUTATIVA 
 en la suma y la multiplicación se 
cumple la propiedad conmutativa 
según la cual el orden de los 
factores no altera el resultado, por 
ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en 
la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π. 
PROPIEDAD ASOCIATIVA 
donde la distribución y agrupación de 
los números da como resultado el 
mismo número, de manera 
independiente a su agrupación, siendo 
(ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma 
manera con la multiplicación, (ϕ×π) 
×e=ϕ× (π×e). 
Elemento opuesto 
Existe un inverso aditivo, para la suma de 
números irracionales, es decir que para cada 
número tiene su negativo que lo anula, por 
ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso 
multiplicativo que da como resultado 1, es decir 
ϕ×1/ϕ=1. 
CONSTRUIMOS Y CONSOLIDAMOS NUESTROS 
CONOCIMIENTOS 
15043971504397 
 32 
NÚMEROS IRRACIONALES FAMOSOS 
 
 
 
 
 
Ejemplos 
 
1 + ξ3
2
 
√1 + ξ3
4
 
Aquí tienes más ejemplos: 
Números En fracción ¿Racional o 
irracional? 
5 5/1 Racional 
1,75 7/4 Racional 
.001 1/1000 Racional 
√2 
(raíz cuadrada de 2) 
? ¡Irracional! 
 
 
 
 
 
 
a) ξ10 = ξ2.5 = ξ2 ⋅ ξ5 
 
ξ10 = ξ2.5 = ξ2 ⋅ ξ5 
3ξ18 − 11ξ2 + 2ξ50 
3ξ2 ⋅ 3𝑧 − 11ξ2 + 2ξ2.9
2
 
3ξ2 ⋅ √32 − 11ξ2 + 2ξ2 ⋅ √52 
3ξ2 ⋅ 3 − 11ξ2 + 2ξ2 ⋅ 5 
9ξ2 − 11ξ2 + 10ξ2 
19ξ2 − 11ξ2 
 8ξ2 
Pi 
 Se lo conoce mejor con su símbolo π, este 
es el más conocido de los números 
irracionales, y se utiliza en su mayoría para 
matemáticas, física e ingeniería. 
e 
Es otro número irracional famoso, utilizado 
en cálculo más que nada, es llamado 
también número de Euler, y de él también 
se han calculado infinidad de decimales sin 
llegar a encontrar una repetición periódica.APRENDEMOS JUNTOS MEDIANTE LA PARTICIPACIÓN 
Y ATENCIÓN EN LA CLASE 
15043971504397 
 33 
 
 
 
 
(√
𝟑
𝟓
⋅
𝟏
𝟔
)
𝟐
÷ (−
𝟓
𝟒
) = 
 
 
 
 
 
 
 
a) ξ10 = ξ2.5 = ξ2 ⋅ ξ5 
b) 3ξ2 + 2ξ2 = 
c) 3ξ3 − 2ξ2 + 2ξ3 + 4ξ2 = 
d) 2ξ5 ⋅ 3ξ3 = 
e) 
6ξ18
3ξ2
= 
HALLAMOS EL VALOR DE LAS SIGUIENTES POTENCIAS 
 
15043971504397 
 34 
LOS NÚMEROS REALES (ℝ) Y SU RELACIÓN DE ORDEN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Iniciamos con una lectura, sobre algunas curiosidades de números irracionales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analizaremos la lectura. 
Operaciones con los números 
reales (ℝ): aplicada a la 
producción en general: 
Adición 
Sustracción 
Multiplicación 
División 
Potenciación y sus propiedades 
Radicación y sus propiedades 
¿QUÉ APRENDEREMOS? 
¿QUÈ LOGRAREMOS? 
¡¡PARA ANALIZAR Y RESPONDER!! 
 
 
PRÁCTICA 
 
CURIOSIDADES DE NÚMEROS IRRACIONALES 
• El número designado con la letra griega π = 3,14159… (pi) 
relaciona la longitud de la circunferencia con su radio (longitud = 2 • 
π • r ). 
• El número e = 2,71828…, inicial del apellido de su descubridor 
Leonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII). 
• El número designado con la letra griega F = 1,61803… (fi), 
llamado número de oro, es la inicial del nombre del escultor griego 
Fidias, que lo utilizó en sus obras. 
Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos 
(sus cifras decimales no se repiten periódicamente). Son, por tanto, 
números irracionales. 
Desde el punto de vista matemático, existe una diferencia importante 
entre los dos primeros y el tercero: mientras que π y e no son 
solución de ninguna ecuación polinómica, el número de oro, F = 1 + 
√ 5, es una de las soluciones de la ecuación de segundo grado x 2 – x 
– 1 = 0. Compruébalo. 
15043971504397 
 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES (ℝ): APLICADA A LA 
PRODUCCIÓN EN GENERAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el conjunto de los números reales se define la operación 
de adición y a partir de esta, la operación de sustracción. 
ADICIÓN DE NÚMEROS REALES. -A cualquier par de números reales, a y 
b, le corresponde un número real a + b llamado suma. o también: 
 
EJEMPLOS. - a. 4 + 5 = 9 b. 12 + 9 = 21 c. 34 + 20 = 54 
 
Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) 
Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma. 
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos 
números negativos será un número negativo. 
Ejemplo. 5 + 9 = 
Solución; Como ambos números son positivos, la suma será positivo. 5 + 9 = 14 
Ejemplo. (-5) + (-9) = 
Solución: Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa. 
Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un 
signo negativo antes del valor. (-5) + (-9) = -14 
Recordamos algunos 
conocimientos 
previos. 
15043971504397 
 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUSTRACCIÒN DE NÙMEROS REALES.- Sustracción de a – b de números reales, a 
y b se define como la suma de a y el universo aditivo o negativo de b, es decir: 
 a – b = a + (-b) 
EJEMPLOS.- 9 – 5 = 4 o 9+(-5) = 4 
PROPIEDADES DE LA ADICIÒN DE NÙMEROS REALES. 
Como la adición de dos números reales produce un número real se dice que esta 
operación es cerrada en los conjuntos de los reales. 
En la siguiente tabla se indica algunas propiedades referidas a la adición de números 
reales (en la tabla: a, b y c representan números reales). 
 
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo) 
Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del 
número con el valor absoluto más grande. 
La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o 
cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor 
absoluto. 
Ejemplo. 3 + (-8) 
Solución: Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor 
absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto. 
Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto 
mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa. 3 + (-8) = -5 
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio de 
la regla siguiente. a – b = a + (-b) 
Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a 
Ejemplo. 5 - 8 significa 5 – (+8). 
Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -8, a 5. Entonces: 5 – (+8) = - 3 
5 – 8 = 5 + (-8) = -3 
 
15043971504397 
 37 
 
PROPIEDAD SIMBOLIZACIÓN EJEMPLOS 
Conmutativa a + b = b + a 3 + 4 = 4 + 3 
Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) 
Elemento neutro a + 0 = a o 0 + a 8 + 0 = 8 o 0 + 8 = 8 
Elemento simétrico 
(opuesto) 
a + (-a) = 0 7 + (-7) = 0 
Cancelativa a = b => a + c = b + c 6 = 4 + 2 => 6 + 1 = (4 + 2) 
+ 1 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLOS PROPIEDAD 
6 + 5 =………. 
…... = ……. 
……………………….. 
(4 + 7) + 3 = 4 + (7 + 3) 
11+ 3 = 4+ 11 
 14 = 14 
Asociativa 
10 + 0 =…… …………………….. 
 
9 + (-9) =……… ……………………. 
 
8 = 6 + 2 =>…+…=…….+… 
 ……=……. 
…………………….. 
 
 
 
 
 
 
 
Resuelve 
aplicando las 
propiedades 
15043971504397 
 38 
 
 
. 
1 4 + 7 = 7 + 4 conmutativa 
2 5 + 8 = 
3 c + d = 
4 √2 - √2 = 
5 (3 + 4) + 4 = 
6 (a + d) + c = 
7 √2 + (2 √3 + √5) = (√2 + 2 √3) + √5 asociativa 
8 b + 0 = 
9 0 + 10 = 10 Elemento neutro 
10 2 √3 + 0 = 
11 π + 0 = 
12 8 – (8) = 0 Elemento opuesto 
13 b - b = 
14 π - π = 
15 √2 - √2 = 
 
 
 
 
Desarrolla, 
aplicando 
las 
propiedades 
de adición y 
sustracción 
de números 
reales 
15043971504397 
 39 
 
 
 
Conocemos su origen y algunas definiciones importantes de Números Reales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMEROS REALES. 
El conjunto de los números reales ℝ es la unión de los números racionales 
con los números irracionales. Se representa con la letra ℜ. ℝ = Q ᴗ ii 
ORIGEN DE LOS NÚMEROS REALES 
El descubrimiento de los números reales se atribuye al matemático griego 
Pitágoras. Para él no existía un número racional cuyo cuadrado sea dos: 
n² = 2 => n = √2 
Entonces, los antiguos griegos vieron la necesidad de llamar a estos números 
irracionales. 
La palabra real se usa para distinguir estos números del 
número imaginario i, que es igual a la raíz cuadrada de -1, 
o √-1. Esta expresión se usa para simplificar la 
interpretación matemática de efectos como los fenómenos 
eléctricos. 
PARA CONOCER 
TEORÍA 
15043971504397 
 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recordando los signos de relación 
Los números reales pueden ser 
representados en la recta real 
15043971504397 
 41 
 
 
 
Observa la siguiente lista de números reales y coloca cada uno en el recuadro 
correspondiente. (Observa que puede estar un mismo número en más de un recuadro): 
 
 
Naturales(N) 
Enteros(Z) 
Racionales(Q) 
Irracionales(I) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5;8;9;2;10;10;001.0;2.43;43;
6
84
;
3
5
;
5
3
;3.0;13;1.0;11.0;11 333 −−−−−− −

SABER-HACER 
Resuelva las siguientes operaciones de adición 
y sustracción de números reales. 
a). 5 + 12= b).30 + (-30) = 
c). (-5) + (-2) = d). 43 + (-23) = 
e). 4 + (-4) f) 10 + 0 = 
g) (-8) + (– 4) = h) (-5) + (-3) = 
i) 
3
2
 +
2
5
 = j) 
4
3
 + (-
3
4
) = 
a)………………. 
b)……………….. 
c)……………….. 
d)………………. 
e)……………….. 
f)………………… 
g)………………… 
h)………………… 
i)…………………. 
j)………………… 
RESPONDA 
AQUI 
VALORACIÓN 
Logre 
15043971504397 
 42 
 
 
Deberás practicar en el diario vivir del contexto de la Comunidad Educativa, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¡Así que a practicar se dijo! 
PRODUCCIÓN 
15043971504397 
 43 
FORTALECIENDO NUESTROS SABERES Y CONOCIMIENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SABER - HACER 
Resolver las siguientes operaciones de adición y sustracción de 
números reales: 
a). 7 + 9 = b). (-9) + (-4) = c). 23 + (-9) = 
d). 15 – 0 = e). 9 + (-9) = 
f). 
3
4
 +
1
2
 = g). 
8
7 
 - 
1
2
 = h). 
1
2
 + 
1
5
 + 
1
10
 = 
i). 2
1
3
 + 
8
3
 = j). 5
2
4
 - 2
1
3
 = 
 
 
 
¡¡Ahora demuestra todo lo aprendido!! 
15043971504397 
 44 
EVALUACIÓN DE NÚMEROS REALES 
I. Analiza y responda las siguientes preguntas. 
1.- En el siguiente cuadro realice el conjunto de números reales: 
 
 
NÚMEROS 
REALES 
(ℝ) 
Subconjunto de (ℝ) EJEMPLO 
 
 
 
 
 
 
2.- Grafica y representa el conjunto de números reales en la RECTA REAL. 
 
 
 
 
 
3.- Escriba la propiedad y propiedades de la adición y sustracción de números reales, 
que se aplica en cada proceso ilustrado en el siguiente cuadro 
20 + 0 = 20 
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 
π+ 0 = π 
√2 + (2 √3 + √5) = (√2 + 2 √3 )+ √5 
√2 - √2 = 0 
c + d = d + c 
8 + (-8) = 0 
5 + 7 = 7 + 5 
 
15043971504397 
 45 
 
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES 
 
 
Propiedades: 
1. Interna. - El resultado de multiplicar dos números enteros y racionales se 
sigue 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠. 
 
 
2. Asociativa. - Modo de agrupar los factores no varían el resultado. Si a, b y c 
son números reales cualquiera, entonces se cumple. 
 
 
El producto o el cociente de dos números reales de igual signo es un número real 
positivo. 
 Ej. a) –2. (-3)=6 b) -2/-4=1/2 c) 2.4=8 
 
El producto o cociente de dos números reales de diferente signo es siempre un 
número real negativo. 
Ej. a) 2.(-4)=-8 b) -6.2=-12 c) 6/-3=-2 d) –8/2=-4 
3. Conmutativa. - El orden de los factores no altera el producto. 
 
 
 
Ejemplo. 2.5 = 10 =5.2 = 10 
4. Elemento neutro: El (uno) es el elemento neutro de la multiplicación, porque 
todo 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑑𝑎 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 
 
 
Ejemplo.: a) 6.1=6 b) . 7.1= 7 
5. Elemento opuesto. - Un número es inverso de otro si al multiplicar obtenemos 
como resultado la unidad. 
 
 
Sí; a , b ∈⟹ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑐 Donde: 𝑎, 𝑏 ⟹ 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 
 𝑐 ⟹ 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 
a∙ 𝑏 ∈ ℝ 
(𝑎 , 𝑏). 𝑐 = 𝑎(𝑏, 𝑐) 
Ejemplo: 
(ξ2 .𝜋). 𝑒 = ξ2 ∙ (𝜋 ∙ 𝑒) 
 
𝑎, 𝑏 = 𝑏. 𝑎 
Ejemplo 
ξ2 ∙ ξ3
3
= ξ3
3
∙ ξ2 
𝑎. 1 = 𝑎 
Ejemplo 
𝜋 ∙ 1 = 𝜋 
15043971504397 
 46 
6. Distributiva. -El producto de un número por una suma es igual a la suma de los 
productos de dicho número por cada uno de los sumandos. 
 
 
 
 
 
SACAR FACTOR COMÚN: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva, pues si 
varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en un producto 
extrayendo dicho factor. 
 
 
 De acuerdo a las anteriores definiciones complementa el siguiente cuadro 
 A que propiedad corresponde. 
 
 
Regla de los signos: La regla de los signos del producto de un número entero racionales 
se sigue manteniendo con los números reales 
 
 
 
 
PRACTICA 
Escriba la propiedad de la multiplicación se aplica en cada proceso ilustrado en el 
respectivo 
Cuadro. 
 
𝜋 ∙
1
𝜋
= 1 
 
ξ7 ∙
2
3
=
2
3
∙ ξ7 
 
𝑒
6
∙ 1 =
𝑒
6
 
(
𝑒
2
∙ 𝜋) ∙ 2ξ3 =
𝑒
2
∙ (𝜋 ∙ 2ξ3) 
ξ3 ∙ (
2
5
 + 𝑒) = ξ3 ∙
2
5
+ ξ3 ∙ 𝑒 
 
ξ11 ∙ 𝑏 + ξ11. 𝑐 = ξ11(𝑏 + 𝑐) 
3
7
∙ (4 ∙ 𝜋) = (
3
7
 ∙ 4) ∙ 𝜋 
 
𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎. 𝑐 
Ejemplo 
ξ2 ∙ (ξ2 + 1) = ξ2 ∙ ξ2 + ξ2 ∙ 1 = 2 + ξ2 
𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑎(𝑏 + 𝑐) 
𝜋 ∙ 𝑒 + 𝜋 ∙ ∅ = 𝜋(𝑒 + ∅) 
+ 𝑝𝑜𝑟+= + 
− 𝑝𝑜𝑟−= + 
+ 𝑝𝑜𝑟−= − 
− 𝑝𝑜𝑟+= − 
 
15043971504397 
 47 
 DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES 
 La división de dos números reales se define como el producto del 
dividendo 
 Por el inverso del divisor. 
 
 
 
 
El cociente de número reales cumple la misma ley de los signos que la multiplicación 
 Resuélvenos la división de números reales 
 
a) (−6) ÷ (3) = −2 b) (−40) ÷ (−5) = 8 
b) (
1
7
) ÷ (−
4
5
) = (
1
7
) ∙ (−
5
4
) = −
5
28
 d)(−9) ÷ (−
2
3
) = (−9) ∙ (−
3
2
) =
27
2
= 13
1
2
 
 
¿Este preparado?… pues ¡adelante!, yo sé que tú puedes 
 Así que ha resolver las divisiones de los números reales: 
 
a) (−12) ÷ (4) = b) (−18) ÷ (− 9) = 
c) (
4
7
) ÷ (−
3
5
) = d) (−6) ÷ (−
3
5
) = 
 f) ξ35
6
 ÷ ξ711
6
16 𝑔) ξ6 ÷ 2ξ3 
PRÁCTICA 
a) (−20) ÷ (−15) = b) (−
3
8
) + (−
1
4
) 
 c) (−12) + (7) d) −
5
4
− 10 
 e) (−7.5) + (−10.2) f) (−
1
9
) ÷ (
4
27
) 
 
 
 
 
Si: 𝑎 ∈ ℝ 𝑦 𝑏 ∈ ℝ; 𝑎, 𝑏 ≠ 0 → 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎 ⟹ 𝑎: 𝑏 =
𝑎
𝑏
=c 
 Donde:𝑎 ⟹ 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 
 b⟹ 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 
 c⟹ 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
15043971504397 
 48 
 
EVALUACIÓN 
Responde las siguientes preguntas: 
a) ¿Cuáles son los números irracionales más conocidos? 
 
b) ¿Cómo se define los números reales? 
 
 
c) ¿a qué se refiere el valor absoluto de un muero real? 
 
 
Multiplicar las operaciones de números reales 
a) (−10)(−5) = 𝑏) 5.6 + 5.4 = 
 
 
 
División de números reales. 
a) (
9
12
) ÷ (
8
40
) b) (50) ÷ (
200
8
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15043971504397 
 49 
 OPERACIONES EN (ℝ): POTENCIACIÓN 
POTENCIAS Y SUS TÉRMINOS 
 
 
 
 
 Término de la potenciación: los términos de la potenciación son: base, exponente y 
potencia 
Para resolver potencia con base fraccionaria el exponente afecta al numerador y 
denominador, es decir la base fraccionaria se multiplica las veces que indica el exponente. 
 
(
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝒂
𝒃
∙
𝒂
𝒃
∙
𝒂
𝒃
… …
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
 
 
 
 
 
 
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES 
 
PROPIEDAD EXPRESIÓN EJEMPLO 
Producto de 
potencias de la 
misma base 
𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 (2)2 ∙ (2)3 = 22+3 = 25 = 32 
Cociente de 
potencias de la 
misma base 
𝒂𝒎
𝒂𝒏
 = 𝒂𝒎−𝒏 (−3)
6
(−3)3
= (−3)6−3 = (−3)3 = 27 
Potencia de potencia (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛×𝑚 
[(−4)2]3 = (−4)2∙3 = (−4)6 
Potencia de un 
producto 
(𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐)𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 ∙ 𝑐𝑛 [(−4)2]3 = (−4)2∙3= (−4)9 ∙ 56 
Potencia de un 
cociente 
 (
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 (
2
−5
)
2
=
22
(−5)2
=
4
25
 
Potencia de 
exponente cero 
 𝑎0 = 1, 𝑎 ≠ 0 
20 = 1; (
14
125
)
0
= 1 
Potencia de 
exponente negativo 
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
 2−3 =
1
23
=
1
8
= 
(
2
3
)
−2
=
1
(
2
3
)
2 =
1
22
32
=
32
22
=
9
4
 
 
La potenciación es una operación que permite escribir en 
forma abreviada una multiplicación de factores iguales. 
Base: es el número que se debe multiplicar las veces que indica el exponente. 
Exponente: es el número que indica cuantas veces se debe multiplicar la base. 
Potencia: es el resultado de la multiplicación 
Exponente 
Base 
n factores 
Potencia 
15043971504397 
 50 
 
 
 
. 
 
a) (5 + 3)2 = 52 + 32 
b) 34 = 12 
c) (8 − 4)2 = 82 
 
d) (8 − 4)2 = 82 − 42 
 
e) 23 = 32 
 
f) (27)2 = 27. 22 
 
g) (43)2 = 43.2 
 
 
 Operaciones combinadas de las propiedades de la potencia 
Resolvemos aplicando las propiedades estudiadas: 
Propiedad de la potencia de un cociente de la misma base: 
(
𝒂
𝒃
)
𝒎
(
𝒂
𝒃)
𝒏 = (
𝒂
𝒃
)
𝒎−𝒏
 
(
𝟑
𝟒
)
𝟗
(
𝟓
𝟐
)
𝟏𝟏
(
𝟑
𝟒)
𝟗
(
𝟓
𝟐)
𝟏𝟎 
 = (
𝟑
𝟒
)
𝟗−𝟗
(
𝟓
𝟐
)
𝟏𝟏−𝟏𝟎
 
 
 Potencia de exponente cero = (
𝟑
𝟒
)
𝟎
(
𝟓
𝟐
)
𝟏
 
 (
𝒂
𝒃
)
𝟎
= 𝟏 = (𝟏) (
𝟓
𝟐
) 
 Potencia de exponente 1 = (
5
2
) 
 
 
 
 
Teniendo en cuenta las propiedades de la potencia, completen V 
(verdadero) o F (falso). Si es falso justifique con la propiedad 
correcta y si es verdadero coloque la propiedad que usó. 
F 
Porque la potencia no es distributiva con respecto 
a la suma 
15043971504397 
 51 
Resolvemos aplicando las propiedades 
 
[
(
3
2
)
4
(
5
7
)
5
(
3
2
)
6
(
5
7
)
6
(
3
2
)
3
(
5
7
)
6
(
3
2
)
7
(
5
7
)
4] 
= [
(
3
2
)
4+7
(
5
7
)
5+6
(
3
2
)
3+7
(
5
7
)
6+4]
2
= [
(
3
2
)
10
(
5
7
)
11
(
3
2
)
10
(
5
7
)
10]
2
[(
3
2
)
10−10
(
5
7
)
11−10
]
2
= [(
3
2
)
0
(
5
7
)
1
]
2
= [1 (
5
7
)]
2
= (
5
7
)
2
=
5∙5
7∙7
=
25
49
 
 PRÁCTICA 
Producto de potencia de la misma base 
1) (
2
3
)
2
∙ (
2
3
)
3
= 2) (
1
10
)
4
 ∙ (
1
10
)
2
= 
Potenciación de una multiplicación. 
1) (
2
5
 ∙
3
4
)
2
= 2) (
4
7
∙
3
2
)
4
= 
3) (
8
5
∙
7
2
)
5
= 4) (
9
6
∙
5
3
)
8
= 
Potencia de una potencia. 
1) [(
2
3
)
2
]
3
= 3) [(
1
5
)
3
]
3
= 
 
2) [(
1
10
)
2
]
2
= 4) [(
3
6
)
2
]
3
= 
Potenciación de exponente negativo 
1) (
4
3
)
−2
= 2) (
6
5
)
−6
= 
3) (
7
3
)
−5
= 4) (
9
4
)
−4
= 
Producto de potencia de la misa base 
(
𝑎
𝑏
)
𝑚
∙ (
𝑎
𝑏
)
𝑛
= (
𝑎
𝑏
)
𝑚+𝑛
 
Propiedad de la potencia de un cociente de 
la misma base. 
(
𝑎
𝑏
)
𝑚
(
𝑎
𝑏
)
𝑛 = (
𝑎
𝑏
)
𝑚+𝑛
 
Potencia de exponente cero 
 (
𝑎
𝑏
)
0
 =1 
Potencia de exponente 1 
(
𝑎
𝑏
)
1
=
𝑎
𝑏
 
15043971504397 
 52 
EVALUACIÓN 
1. Resuelve los siguientes ejercicios utilizando las propiedades de la potenciación 
con números reales. 
Calcula la potencia indicada. 
52 = 
(
3
4
)
4
 
 
𝜋1 = (
2
3
)
−3
 
 
(
𝑒
3
)
0
 
 (ξ2)
2
 
 
2. Escriba verdadero (V) o falso (F) para el resultado de cada operación. Justifica 
tu respuesta en los casos en los casos en que responda falso. 
OPERACIÓN VERDADERO FALSO JUSTIFIQUE 
 (−6)3 . (3) = 64 
 
(
1
2
)
−2
. (
1
2
)
−3
. 25 
 
(𝜋3)2. (
1
𝜋
)
2
= 𝜋4 
 
(
𝑒
2
)
−3
∙ (
2
𝑒
)
−𝑒
= 𝑒 
 
 
 
 
 
 
 
15043971504397 
 53 
Índice de la raíz 
Radicando Raíz 
 OPERACIONES EN (ℝ): RADICACIÓN 
La radicación y sus términos: 
Es la operación inversa de la potenciación, que consiste en calcular la base cuando se 
conoce el exponente y la potencia. 
Al igual que la radicación de números enteros encontremos la raíz de números 
irracionales. 
√
𝑎
𝑏
𝑛
=
𝑐
𝑑
→ (
𝑐
𝑑
)
𝑛
 
 
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN 
Raíz de 
un 
cociente 
√
𝒂
𝒃
𝒏
=
ξ𝒂
𝒏
ξ𝒃
𝒏 
Exponentes 
racionales √(
𝒂
𝒃
)
𝒎𝒏
= (
𝒂
𝒃
)
𝒎
𝒏
 
Raíz de 
un 
producto 
√
𝒂
𝒃
∙
𝒄
𝒅
𝒏
=
ξ𝒂
𝒏
ξ𝒃
𝒏 ∙
ξ𝒄
𝒏
ξ𝒅
𝒏 
Raíz de 
una 
potencia 
√ √
𝒂
𝒃
𝒏𝒎
= √
𝒂
𝒃
𝒎∙𝒏
 
 
RAÍZ DE UN PRODUCTO: 
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores nombrados 
anteriormente. 
 √
𝑎
𝑏
∙
𝑐
𝑑
𝑛
= √
𝑎
𝑏
𝑛
∙ √
𝑐
𝑑
𝑛
 
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 
• ξ32 ∙ 24 = ξ32 ∙ ξ24 = ξ9 ∙ ξ16 = 3 ∙ 4 = 12 
Se llega a igual resultado de la siguiente manera: 
• √
4
16
∙
9
25
= √
4
16
 ∙ √
9
25
= 
2
4
∙
3
5
=
3
6
20
10
=
3
10
 
RAÍZ DE UN COCIENTE 
La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del 
denominador. 
• √
𝑎
𝑏
𝑛
 =
𝑎
1
𝑛
𝑏
1
𝑛 
=
ξ𝑎
𝑛
ξ𝑏
𝑛 
 
15043971504397 
 54 
Ejemplo 
• √
9
4
 =
ξ9
ξ4 
=
3
2
 
Cuando esta propiedad se aplica a números, no hace falta pasar la raíz a potencias de 
exponentes racional, aunque si cuando se hace con variables. 
Ejemplos 
• √
𝑋3
𝑌9
 
3
=
𝑋
3
3
𝑌
9 
3
 =
𝑋
𝑌3
 
RAÍZ DE UNA RAÍZ 
Para calcular la raíz de una raíz se multiplica los índices de las raíces y se conserva el 
radicando. 
• √ √ 
𝑎
𝑏
 
𝑚
 
𝑛
= √
𝑎
𝑏
𝑛.𝑚
 
Ejemplo 
• √√
5
25
43
 = √
5
25
3.4
= √
1
5
12
 
 
POTENCIA DE UNA RAÍZ 
Para calcular la potencia de una raíz se eleva el radicando a esa potencia 
• ( √
𝑎
𝑏
𝑛
)
𝑚
= (
𝑎
𝑏
)
𝑚
𝑛
 
Ejemplo 
Si 3 y 4 
• (ξ𝑥
4 )
3
 = ξ𝑥3
4
 = 𝑥
3
4 
La radicación e distributiva respetando el producto y el cociente excepto en aquellos casas 
donde la radicando sea negativo y el índice de la raíz sea par. 
ξ𝑎 ∙ 𝑏
𝑛
= ξ𝑎
𝑛 ∙ ξ𝑏
𝑛
 𝐸𝑗. ξ4 ∙ 9
2
= ξ36
2
= ξ4
2
∙ ξ9
2
= ±2 ∙ 3 = ±6 
La radicación de índice n se puede expresar como una potencia donde el exponente es 
1
𝑛
 
ξ𝑎 
𝑛 = 𝑎
1
𝑛 a) ξ8
3
= 8
1
3 b) ξ92
4
 = 9
2
4 = 9
1
2 = 3 
ξ𝑎𝑚 
𝑛
 = 𝑎
𝑚
𝑛 c) ξ34
2
 = 3
4
2 = 32 = 9 
15043971504397 
 55 
IMPORTANTE: La potenciación y la radicación no son distributivas ni asociativas 
con respecto a la suma y la resta. 
PROPIEDADES DE LA 
RADICACIÓN 
EJEMPLOS 
• La radicación es distributiva con 
respecto a la multiplicación y a la 
división 
ξ9 ∙ 16 = ξ9 ∙ ξ16 
 
ξ64 ∙ 16 = ξ64 ∙ ξ16 
• Para multiplicar o dividir raíces 
de igualdad índice. 
• Se escribe una raíz con el mismo 
índice y con el radicando igual a 
la multiplicación o división de lis 
radicandos dados, según 
corresponda. 
 
 
ξ8 ∙ ξ2 = ξ8 ∙ 2 
 
ξ243
3
∙ ξ9
3
= ξ243 ∙ 9
3
 
 
Completen V (verdadero) o F (falso). Justifique su respuesta con la 
propiedad correcta que usó. 
ξ100
2
 = 50 
 (3 + 2 + 5)2 = 32 + 22 + 52 
 
ξ9
2
+ξ16
2
 = ξ25
2
u 
ξ8
2
∙ ξ2
2
 = ξ16
2
 
ξ16
2
∙ ξ2
2
 = ξ16 ∙ 2
2
 
ξ16
2
+ξ2
2
 = ξ16 + 2
2
 
Resuelve aplicando las propiedades cuando seaposible: 
a) 218 . (25)4 : (230 . 27) . 2= 
b) ξ5
5
∙ ξ53
5
∙ ξ54
5
∙ ξ53
5
 = 
c) ξ16
6
∙ ξ8
6
∙ ξ2
6
 = 
d) ξ81 ∙
2
64 ∙ 144 
e) 4∙(5∙7 + 10) + 270∙30 − (18 − 4∙2)= 
f) 58 ∙ 513 ∙ 519 + (4 ∙ 9 - 12)0-ξ45 ∙ ξ5 
15043971504397 
 56 
PRACTICA 
Raíz de un cociente 
1. √
8
27
3
 = 
 
2. √
−125
27
3
= 
 
3. √
81
1000
4
= 
 
4. √
1
32
5
= 
Raíz de un producto 
1. √
4
16
∙
9
25
= 
 
2. √
8
27
∙
125
64
3
= 
 
3. √−
1
32
∙
243
100000
5
= 
Raíz de una raíz 
 
1. √√
35
60
3
= 
 
2. √√
48
169
74
= 
 
 
 
 
15043971504397 
 57 
EVALUACIÓN 
Determina si cada una de las afirmaciones es “falsa” o “verdadera”. En 
cada caso justificar la respuesta. 
a) Un número irracional puede ser un decimal infinito. 
 
b) Un número irracional entre 1 y 2 esξ2 
 
c) Un numeroξ32 es un numero irracional 
 
Completen V (verdadero) o F (falso). Justifique su respuesta con la propiedad correcta que usó 
a) 38. (32)4 : (33 . 27) . 2 
 
 
 
b) ξ8
2
∙ ξ2
2
 = ξ16
2
 
 
 
 
c) ξ47
2
 = 50 
Resuelve las operaciones indicadas 
5. √
8
27
3
 = 
 
 
6. √
−125
27
3
= 
Resuelve aplicando las propiedades de la radicación de números racionales 
4. Propiedad raíz de un producto:√
4
16
∙
9
25
= 
5. Aplique a cuál de las propiedades corresponde √√
48
169
74
 
 
 
 
15043971504397 
 58 
 
 
 
CUERPOS GEOMÉTRICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los cuerpos geométricos son los elementos que ocupan un volumen en el espacio 
desarrollándose por lo tanto en las tres dimensiones de alto, ancho y largo; y están 
compuestos por figuras geométricas. Fig. 1 
CLASIFICACIÓN DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS 
De acuerdo a la forma de sus caras se clasifican 
en poliedros y cuerpos redondos. 
1. POLIEDROS: los poliedros son cuerpos 
solidos geométricos que están compuestos 
exclusivamente por figuras geométricas 
planas que se llaman caras del poliedro. 
2. CUERPOS REDONDOS: Los cuerpos 
redondos son sólidos geométricos que 
tienen por los menos una de sus caras o 
superficies en forma de curva. 
 
 
 
 
LOS NÚMEROS Y LAS FORMAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y LOS 
PRODUCTOS TECNOLÓGICOS 
 
Fig. 1 Cuerpos Geométricos 
15043971504397 
 59 
POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS 
ESQUEMA GENERAL DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINICIÓN Y ELEMENTOS DE UN POLIEDRO 
Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos. 
En un poliedro podemos distinguir los siguientes elementos: 
• Caras: son los polígonos que forman el poliedro 
• Aristas: son los segmentos donde hacen intersección las caras. 
• Vértices: son los puntos donde hacen intersección las aristas. 
• Ángulo diedro es el ángulo que forman dos caras que se 
cortan. Hay tantos como número de aristas. 
• Ángulo poliedro, determinados por las caras que inciden en un 
mismo vértice. Hay tantos como número de vértices. 
 
15043971504397 
 60 
 
 
PROPIEDADES DE LOS POLIEDROS 
1. Teorema de Euler: En todo 
poliedro se cumple que el 
número de vértices mas el 
numero de caras, es igual al 
número de aristas más dos 
unidades. 
2. En todo poliedro la suma de las 
medidas de los ángulos internos 
de todas sus caras es igual a 
360° multiplicado por el 
número de vértices menos 2. 
 
 
 
 
 
 
V + C = A + 2 
෍ ∠ 𝒊 = 𝟑𝟔𝟎°(𝑽 − 𝟐) 
Donde: 
V: número de vértices 
C: número de caras 
A: número de Aristas 
 
Donde: 
V: número de vértices 
15043971504397 
 61 
POLIEDROS REGULARES 
 
 
 
 
Existen solo cinco poliedros regulares. 
 
1. Verifica la relación de Euler en los cinco poliedros regulares 
 
 
Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro 
N° de Caras 
N° de Vértices 
N° de Aristas 
 
 
 
 
 
 
Un poliedro regular es un cuerpo geométrico que tiene las siguientes características: 
• Las caras son polígonos regulares, iguales en forma y tamaño. 
• En cada vértice concurre un mismo número de aristas. 
15043971504397 
 62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLIEDROS IRREGULARES 
Se dice que un poliedro irregular es aquel que tiene caras o ángulos desiguales. 
Los principales poliedros irregulares son el prisma y la pirámide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. En un poliedro de seis caras y doce aristas, 
hallar la suma de los ángulos que las aristas 
forman en los vértices. 
Datos 
C=6 
A= 12 
Calculamos del número de vértices 
Por el Teorema de Euler: 
V + C = A + 2 
Despejamos V: 
V=A + 2 - C 
Reemplazamos datos. 
V= 12 +2-6 
V = 8 
Entonces la suma de los ángulos que forma las 
aristas y los vértices es: 
෍ ∠ 𝒊 = 𝟑𝟔𝟎°(𝑽 − 𝟐) 
Reemplazamos datos. 
෍ ∠ 𝒊 = 𝟑𝟔𝟎°(𝟖 − 𝟐) 
෍ ∠ 𝒊 = 𝟐𝟏𝟔𝟎 ° 
 
 
2. Encontrar la suma de ángulos internos de un 
tetraedro. 
 Datos: 
C=4 
A=6 
Calculamos del número de vértices 
Por el Teorema de Euler: 
V + C = A + 2 
Despejamos V: 
V=A + 2- C 
Reemplazamos datos. 
V=6+ 2 - 4 
V= 4 
Entonces la suma de los ángulos que 
forma las aristas y los vértices es: 
෍ ∠ 𝒊 = 𝟑𝟔𝟎°(𝑽 − 𝟐) 
Reemplazamos datos. 
෍ ∠ 𝒊 = 𝟑𝟔𝟎°(𝟒 − 𝟐) 
෍ ∠ 𝒊 = 𝟕𝟒𝟎°∢ 
 
 
15043971504397 
 63 
PRISMA 
Un prisma es un poliedro que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus 
caras laterales son paralelogramos. 
ELEMENTOS DE UN PRISMA 
 
 
 
 
 
 
 
Los prismas se nombran de acuerdo al número de lados que tiene el polígono de la base. 
• Prisma triangular: las bases son triángulos (3 lados). 
• Prisma cuadrangular: las bases son cuadriláteros (4 lados). 
• Prisma pentagonal: las bases son pentágonos (5 lados). 
• Prisma hexagonal: las bases son hexágonos (6 lados). 
 
 
 
 
 
CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMAS 
Los prismas se clasifican según a la forma de sus caras laterales en: 
• Prismas rectos: son cuyas caras laterales rectangulares o cuadradas y sus aristas 
laterales son perpendiculares a las bases 
• Prismas oblicuos: son cuyas caras laterales paralelogramos que no son 
rectángulos ni cuadrados y sus aristas laterales no son perpendiculares a las 
bases. 
A su vez, los prismas rectos se clasifican en: 
• Prismas regulares: son aquellos cuyas bases son de polígono regular. 
• Prismas irregulares: son aquellos cuyas bases son de polígonos irregulares. 
 
 
 
Observa el prisma de la izquierda y sus elementos. 
- Las bases son pentágonos 
- Las caras laterales son rectángulos 
- La altura del prisma es la distancia entre las bases 
 
15043971504397 
 64 
 
 
 
 
 
 
 
PARALELEPÍPEDO 
Los paralelepípedos son prismas que tienen seis 
caras, las seis caras son paralelogramos. 
Un paralelepípedo se llama rectangular o 
rectoedro cuando sus seis caras son 
rectángulos. 
 
 
PARALELEPÍPEDO ROMBOIDAL 
 
 
PIRÁMIDE 
La pirámide es un poliedro irregular cuya base es un polígono sus caras laterales son 
triángulos que tienen un vértice común llamado vértice de la pirámide 
Altura: Es la perpendicular que se traza del vértice de la 
pirámide al plano de su base 
PIRÁMIDES SEGÚN SU BASE 
• Pirámide triangular: su base es un triángulo. 
• Pirámide cuadrangular: su base es un cuadrado 
• Pirámide pentagonal: su base es un pentágono 
• Pirámide hexagonal: su base es un hexágono 
 
 
Prisma recto - Prisma oblicuo - Prisma regular - Prisma irregular 
15043971504397 
 65 
PIRÁMIDE REGULAR Una pirámide es regular 
cuando el polígono de su base es un polígono regular 
y el pie de la altura es el centro de la base 
Apotema: La apotema de una pirámide regular es la 
perpendicular que se traza del vértice de la pirámide a 
una de las aristas 
Nota: el número de caras laterales es igual al número 
de lados de la base 
REFUERZA TUS CONOCIMIENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Indica que es un poliedro irregular. 
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 
2. ¿Qué es una pirámide? 
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… 
3. ¿Qué es un prisma? 
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… 
4. Menciona cinco ejemplos de cubo 
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… 
5. ¿Qué es la apotema de una pirámide? 
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… 
6. ¿Cuántas caras laterales tiene una pirámide de base heptagonal? 
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… 
 
15043971504397 
 66 
CUERPOS REDONDOS 
Los cuerpos redondos son sólidos geométricos que tienen al menos, una de sus caras o 
superficies en forma de curva, tales como el cilindro, el cono y la esfera. Estos tres 
cuerpos se generan al hacer girar una línea alrededor de un eje. La línea que gira recibe 
el nombre de generatriz y los puntos que ella describe, forman una circunferencia. 
 
 
 
 
 
CILINDRO 
Compuesto por dos bases circulares y una superficie curva continua, equivalente a un 
rectángulo. 
ELEMENTOS DEL CILINDRO 
• Eje: lado BC, alrededor del cual gira el rectángulo. 
• Base: son los círculos paralelos y congruentes que 
se generan al girar los lados AB y CD del 
rectángulo. Cada uno de estos lados es el radio de 
su círculo y también, el radio del cilindro. Altura: 
Corresponde al mismo eje. AD; es perpendicular a 
las bases y llega al centro de ellas. Esta es la razón 
por la que el cilindro es recto. 
• Generatriz: es el lado DA, congruente con el lado 
CB, y que al girar forma la cara lateral o manto del cilindro. 
 
CONO 
 
 Es el cuerpo geométrico redondo que se obtiene al girar una recta oblicua desde un punto 
fijo del eje. A ese punto se le llama cúspide. La recta, llamada generatriz, gira a lo largo 
de una circunferencia – directriz - que se encuentra en el otro plano. 
 
 
 
 
15043971504397 
 67 
ELEMENTOS DEL CONO 
• Eje: es el cateto AC. Alrededor de él gira el triángulo rectángulo 
• Base: Es el circulo que genera la rotación del cateto AB. Por lo tanto, AB es el 
radio del cono. La base se simboliza O (A, AB). 
• Altura: Corresponde al eje del cono, porque, une el centro del circulo con la 
cúspide siendo perpendicular a la base. 
• Generatriz: Es la hipotenusa del triángulo rectángulo, BC, que genera la región 
lateral conocida como manto del cono. 
 
 
 
 
 
 
 
ESTERA 
Es el cuerpo redondo que se genera al rotar un semicírculo alrededor de su diámetro Al 
girar el semicírculo alrededor del diámetro AB, se genera una superficie esférica donde 
se determinan los siguientes elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15043971504397 
 68 
ELEMENTOS DE LA ESFERA 
• Generatriz: es la semicircunferencia que genera la superficie esférica. Centro: es 
el punto central de la circunferencia y corresponde al punto O. 
• Radio: es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto 
cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro. 
• Diámetro: es el segmento que une dos puntos opuestos de la superficie esférica, 
pasando por el centro: AB 
• La circunferencia máxima: es el circulo de mayor área que puede inscribirse 
dentro de la esfera, también se denomina la sección que se obtiene sobre un plano 
secante que contiene al centro de la esfera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
G
en
era
triz
 
A 
B 
15043971504397 
 69 
PARA PRACTICAR 
 
Nº 1.- Escribe el nombre de cada uno de los elementos de este poliedro: 
 
 
 
 
 
 
 
Nº 2.- ¿Cuáles de las siguientes figuras son poliedros? ¿Por qué? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº 3.- Indica qué tipo de poliedro es cada uno de estos: 
 
A Prisma ……… 
B Prisma cuadrangular 
C Pirámide ……….. 
 
 
 
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 
15043971504397 
 70 
ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 
Área: es la superficie que esta incluida dentro de una figura cerrada, medida por unidades 
cuadradas necesarias para cubrir la superficie. 
Volumen: Es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un objeto. La 
unidad de medida de volumen en el sistema internacional de unidades es el metro cubico, 
aunque temporalmente también el litro (que equivale a un decímetro cubico), que se 
utiliza comúnmente en la vida práctica. 
ÁREA Y VOLUMEN DE LOS POLIEDROS REGULARES 
ÁREAS DE POLIEDROS 
 
 
 
 
ÁREA DE LOS POLIEDROS REGULARES 
El área total de un poliedro se determina calculando el área de una cara y multiplicando 
por el número de caras. 
Hallemos las áreas de los poliedros regulares en función de la arista a. Para aquellos cuyas 
caras son triángulos equiláteros (tetraedro, octaedro e icosaedro) recordemos que el área 
de un triángulo equilátero de lado 𝒂 es 𝑨 =
𝒂𝟐ξ𝟑
𝟒
 
Ejemplo. Calculemos las áreas de los poliedros regulares de arista 5 cm 
 
 
El área de un poliedro se obtiene sumando las áreas de todas 
las caras que lo forman. Para las pirámides y prismas se pueden 
obtener fórmulas sencillas que permitan calcular el área 
15043971504397 
 71 
ÁREAS DE PRISMAS Y PIRÁMIDES RECTAS 
1. El desarrollo de un prisma recto es un rectángulo (formado por las caras laterales) 
y los dos polígonos de las bases. Uno de los lados del rectángulo es el perímetro 
del polígono de la base (PB) y el otro lado es la altura del prisma. 
 
• El área lateral es igual al 
perímetro de la base por la altura: 
 
 
• El área total es igual al área lateral 
más el área de las dos bases 
 
 
EJEMPLO: 
Una caja de galletas con forma de paralelepípedo mide lo 
mismo de largo que de alto y su ancho es doble que el largo. Si 
la diagonal de una de sus caras más grandes mide 20 cm, 
encuentra la cantidad de cartón necesaria para su construcción. 
• Llamamos x al largo o alto de la caja, su ancho es entonces 2x 
• Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el valor de x: 
 
• Con este valor obtenemos las áreas: 
 
• Por tanto, el cartón empleado en la construcción de la caja es: 
 
2. El desarrollo de una pirámide recta lo forman varios triángulos isósceles (caras 
laterales) y el polígono de la base. 
AL=PB∙h 
AT =AL+2∙AB 
15043971504397 
 72 
1. El área lateral se obtiene sumando el 
área de todas las caras laterales: 
 
 
2. El área total se obtiene sumando al 
área lateral el área de la base: 
 
 
 
EJEMPLO: 
La siguiente figura representa la torre de la iglesia de un pueblo. Sus dimensiones son las 
siguientes: la longitud de la arista básica del prisma hexagonal regular es de 6 m, la de 
su altura es de 9.7 m y la de la arista lateral de la pirámide hexagonal regular es de 13 m. 
Con estos datos, halla la superficie externa de la torre. 
 El área lateral del prisma es: 
El área lateral de la pirámide es la suma de las áreas de sus caras laterales 
(triángulos isósceles), por lo que necesitamos conocer la apotema lateral, 
al. Para ello, utilizamos el triángulo rectángulo que se forma en cada una 
de las caras de la pirámide y por medio del teorema de Pitágoras 
obtenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15043971504397 
 73 
ÁREAS DE CILINDROS Y CONOS 
1. El desarrollo de un cilindro es un rectángulo y dos círculos. El rectángulo tiene 
por base la longitud de la circunferencia y por altura la generatriz 
 
- El área lateral es, por tanto: 
 
- El área total es igual al área lateral más la 
suma de las áreas de los dos círculos: 
 
- El volumen del cilindro es igual al área de la 
base por su altura. 
 
EJEMPLO 1: 
Calcular el volumen en 𝑐𝑚3 de un recipiente cilíndrico cuyo radio es de 10 cm y altura 
de 40 cm. 
Datos: 
r = 10 cm. 
h = 40 cm 
EJEMPLO 2: 
se tiene un cilindro de radio 5cm y una altura de 15 cm. Calcular el área lateral,área basal, 
área total y el volumen del cilindro 
AL= 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h 
El volumen de un cilindro es: 
V cilindro = 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 ∙ 𝒉 
Reemplazando datos: 
V cilindro = 𝝅 ∙ (𝟏𝟎𝒄𝒎)𝟐 ∙ 𝟒𝟎𝒄𝒎 
V cilindro = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝝅 ∙ 𝒄𝒎𝟑 
 
h 
Datos: 
r = 5 cm. 
h = 15 cm 
Cálculo del área lateral: 
AL= 𝟐𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉 
Reemplazamos datos: 
AL= 2 ∙ 3.1416 ∙ 5𝑐𝑚 ∙ 15𝑐𝑚. 
AL= 471.24𝑐𝑚2 
 
Cálculo del área basal: 
AB= 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 
Reemplazamos datos: 
AB= 3.1416 ∙ (5𝑐𝑚)2 
AB= 78.54𝑐𝑚2 
 
Cálculo del área total: 
A T cilindro = 2𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉 + 𝟐 = 2𝝅 ∙ 𝒓𝟐 
Reemplazamos datos: 
 A T = 471.24𝑐𝑚2 + 2 ∙ 78.54cm2 
 A T = 628.32𝑐𝑚2 
 
Cálculo del volumen 
 V cilindro = 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 ∙ 𝒉 
Reemplazamos datos: 
V cilindro = 3.1416 ∙ (5𝑐𝑚)2 ∙ 15𝑐𝑚 
V cilindro = 1178.1𝑐𝑚3 
 
15043971504397 
 74 
EJEMPLO 3: 
el area de la base de un cilindro mide 8cm. y la altura es el doble del diametro. Halla el 
area lateral en 𝑐𝑚2y el volumen en 𝑐𝑚3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO 4: 
¿Cuál es la diferencia de areas laterales de los siguientes cilindros? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h 
Datos: 
r = 8 cm. 
h = 2 d 
AL = ¿? 
V cilindro = ¿? 
Cálculo del diámetro: 
D= 2∙ 𝝅 
Reemplazamos datos: 
D= 2∙ 8 𝑐𝑚 
D= 16 𝑐𝑚 
 
Por la condición del problema la 
altura del cilindro será igual a: 
h= 2 ∙ 𝑑 
Reemplazamos datos: 
h= 2 ∙ 16 𝑐𝑚. 
h= 32 𝑐𝑚. 
 
Cálculo del área lateral: 
A L = 2𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉 
Reemplazamos datos: 
 A L = 2 ∙ 3.1416 ∙ 8𝑐𝑚 ∙ 32𝑐𝑚 
 A L = 1608.5𝑐𝑚2 
 
Cálculo del volumen 
 V cilindro = 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 ∙ 𝒉 
Reemplazamos datos: 
V cilindro = 3.1416 ∙ (8𝑐𝑚)2 ∙ 32𝑐𝑚 
V cilindro = 6434𝑐𝑚3 
 
Datos: 
h1 = 13 cm. 
r1 = 4 cm. 
h2 = 8 cm. 
r2 = 4 cm 
Cálculo del área lateral 1: 
A L1 = 2𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉 
A L1= 2 ∙ 3.1416 ∙ 4𝑐𝑚 ∙ 13𝑐𝑚 
A L1= 326.73𝑐𝑚2 
 
Cálculo del área lateral 2: 
A L2 = 2𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉 
A L2= 2 ∙ 3.1416 ∙ 4𝑐𝑚 ∙ 8𝑐𝑚 
A L2= 201.06 𝑐𝑚2 
 
Cálculo de la diferencia de áreas laterales 
∆A L = A L1 - A L2 
∆A L 326.73𝑐𝑚2 − 201.06 𝑐𝑚2 
∆A L = 125.67 𝑐𝑚2 
 
h = 13 cm 
r = 4 cm 
h = 8 cm 
r = 4 cm 
15043971504397 
 75 
CONO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1: 
Se tiene un cono de generatriz 15 cm, altura 9 cm y radio 12 cm. calcular el área total y 
el volumen. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREA LATERAL 
DE UN CONO (AL) 
El área lateral de un 
cono es el área de un 
sector circular 
ÁREA BASAL DE 
UN CONO (AL) 
El área basal es el 
área del circulo. 
ÁREA TOTAL DE 
UN CONO (AL) 
El área total de un cono 
es la suma de sus 
laterales 
VOLUMEN DE UN 
CONO (AL) 
El volumen de un cono 
esa divido por el tercio 
del área de la base y por 
su altura. 
AL del cono = 𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒈 
g= generatriz 
AB = 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 
AT CONO = AL + AB 
AT CONO = 𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒈 + 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 
AT CONO = 𝝅 ∙ 𝒓 ∙ (𝒈 + 𝒓) 
V CONO = 
1
3
𝜋 ∙ 𝑟2 ∙ ℎ 
Datos: 
g = 15 cm. 
h = 9 cm. 
r = 12 cm 
Cálculo del área total: 
AT CONO = 𝝅 ∙ 𝒓 ∙ (𝒈 + 𝒓) 
Reemplazamos datos: 
AT CONO = 3.1416 ∙ 12𝑐𝑚 ∙ (15𝑐𝑚 + 12𝑐𝑚) 
AT CONO = 3.1416 ∙ 324𝑐𝑚2 
AT CONO = 1017.9 𝑐𝑚2 
Cálculo del volumen del cono: 
 V CONO = 
1
3
𝜋 ∙ 𝑟2 ∙ ℎ 
Reemplazamos datos: 
 V CONO = 
1
3
3.1416 ∙ (12𝑐𝑚)2 ∙ 9𝑐𝑚 
 V CONO = 
1
3
3.1416 ∙ 144𝑐𝑚2 ∙ 9𝑐𝑚 
 V CONO = 1357.2𝑐𝑚3 
 
15043971504397 
 76 
Ejemplo 2: 
Un artesano en artículos de cotillón desea fabricar 2000 gorros de 2 cm. de radio y de 18 
cm de generatriz, sin contar lo que se desperdicie al cortar la cartulina. Se desea saber 
cuantos metros cuadrados de cartulina se necesita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 3: 
Un grupo de exploradores decide construir una carpa de forma cónica de 1 m de altura y 
3 m de diámetro. ¿Cuántos metros cuadrados de tela serán necesarios? ¿Cuántos metros 
cuadrados de lona para la base? y ¿Cuál será el volumen de la carpa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESFERA 
 
 
Datos: 
g = 18 cm. 
r = 2 cm 
Cálculo del área lateral: 
AL = 𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒈 
Reemplazamos datos: 
AL = 3.1416 ∙ 2𝑐𝑚 ∙ 18𝑐𝑚 
AL = 113.1𝑐𝑚2 
Un solo cono necesita 113.1cm2 de cartulina y 
los 2000 gorros necesitaran 
 113.1𝒄𝒎𝟐 × 𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟔𝟏𝟎𝟎𝒄𝒎𝟐 
Convertimos a metros cuadrados 
𝟐𝟐𝟔𝟏𝟎𝟎𝒄𝒎𝟐 ×
𝟏𝒎𝟐
(𝟏𝟎𝟎𝒄𝒎)𝟐
= 𝟐𝟐. 𝟔𝟐𝒎𝟐 
Datos: 
h = 1 m. 
d = 3 m 
Cálculo del radio: 
r = 
𝒅
𝟐
 ⟹ r = 
3𝑚
2
 ⟹ 𝒓 = 1.5𝑚 
Cálculo de generatriz por medo de 
Pitágoras: 
𝒈 = √𝒉𝟐 + 𝒓𝟐 
Reemplazamos datos 
𝑔 = √(1𝑚)2 + (1.5𝑚)2 
𝑔 = √(1𝑚)2 + 2.25𝑚2 
𝑔 = √3.25𝑚2 
𝑔 = 1.8 𝑚 
 
Cálculo del área lateral: AL = 𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒈 
Reemplazamos datos: 
AL = 3.1416 ∙ 1.5 𝑚 ∙ 1.8 𝑚 
AL = 8.48𝑚3 
∴ 𝒔𝒆 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒊𝒕𝒂 𝟖. 𝟒𝟖𝒎𝟑 𝒅𝒆 𝒕𝒆𝒍𝒂 
Cálculo del área basal: AB = 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 
AB = 3.1416 ∙ (1.5𝑚)2 ⟹ AB = 7.07𝑚2 
Cálculo del volumen: 
V CONO = 
1
3
𝜋 ∙ 𝑟2 ∙ ℎ 
Reemplazamos datos 
V CONO = 
1
3
3.1416 ∙ (1.5𝑚)2 ∙ 1𝑚 
V CONO = 
1
3
3.1416 ∙ 2.25𝑚2 ∙ 1𝑚 
V CONO = 2.36𝑚3 
d=3m 
h=1m 
15043971504397 
 77 
 
ESFERA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1 
Calcular cuantos kilómetros cuadrados tiene la superficie de la Tierra si su radio mide 
6300 km, además calcular el volumen. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREA DE LA ESFERA 
El área de una superficie 
esférica es cuatro veces el 
área de un círculo 
máximo 
VOLUMEN DE LA ESFERA 
El volumen de la esfera esta 
dado por cuatro tercios del 
producto del numero 𝜋 por el 
cubo del radio. 
A esfera = 𝟒 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 V esfera = 
𝟒
𝟑
∙ 𝝅 ∙ 𝒓𝟑 
Datos: 
r = 6300 km. 
A Tierra = ¿? 
V Tierra = ¿? 
Cálculo del área: 
A esfera = 𝟒 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 
Reemplazamos datos: 
A esfera = 4 ∙ 3.1416 ∙ (6300𝑘𝑚)2 
A esfera = 49876041𝑘𝑚2 
Cálculo del volumen: 
V esfera = 
𝟒
𝟑
∙ 𝝅 ∙ 𝒓𝟑 
Reemplazamos datos 
V Tierra = 
4
3
∙ 3.1416 ∙ (6300𝑘𝑚)3 
V Tierra = 1.05 × 1012𝑘𝑚3 
15043971504397 
 78 
Ejemplo 2 
Encontrar el área total del solido mostrado en la figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Datos: 
r = 6 cm. 
Se sabe 
A Total = A Semiesfera + A Círculo (1) 
A Semiesfera = 
𝟏
𝟐
𝟒𝝅 ∙ 𝒓𝟐 
Reemplazamos datos 
A Semiesfera = 
1
2
4𝜋 ∙ (6𝑐𝑚)2 
A Semiesfera = 
1
2
4𝜋 ∙ 36𝑐𝑚2 
A Semiesfera = 72𝜋 𝑐𝑚2 
Cálculo del área del circulo 
A círculo = 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 
Reemplazamos datos 
A círculo = 𝜋 ∙ (6𝑐𝑚)2 
A círculo = 36 ∙ 𝜋 𝑐𝑚2 
Reemplazamos en la ecuación (1) 
A Total = A Semiesfera + A Círculo 
 A Total = 72 𝜋 𝑐𝑚2 + 36 ∙ 𝜋 𝑐𝑚2 
A Total = 108 𝜋 𝑐𝑚2 
 
15043971504397 
 79 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15043971504397 
 80 
EL LENGUAJE MATEMÁTICO EN LA RELACIÓN CON LAS ACTIVIDADES 
DE LA VIDA COTIDIANA 
La habilidad matemática es la capacidad de comprender conceptos, proponer y efectuar 
algoritmos y desarrollar aplicaciones a través de la resolución de problemas. En éstas se 
consideran tres aspectos: 
• En Aritmética, operaciones fundamentales (adición, sustracción, 
multiplicación, división, potenciación y radicación) con números enteros y 
racionales, cálculos de porcentajes, proporciones y promedios, series 
numéricas y comparación de cantidades. 
• En Álgebra, operaciones fundamentales con expresiones lineales, 
simplificación de expresiones algebraicas, simbolización de expresiones, 
operaciones con potencias y raíces, factorización, ecuaciones y funciones 
lineales y cuadráticas. 
• En Geometría, perímetros y áreas de figuras geométricas, propiedades de los 
triángulos (principales teoremas), propiedades de rectas paralelas y 
perpendiculares, y Teorema de Pitágoras. 
Nociones