Semestral Uni - RM semana 03

Vista previa del material en texto

DISTRIBUCIONES
NUMÉRICAS
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Introducción
• La Fachada de la Pasión del Templo Expiatorio de la
Sagrada Familia en Barcelona, escultura del "beso
de Judas" por el escultor Josep María Subirachs,
muestra un cuadrado mágico de orden 4.
• La constante mágica del cuadrado es 33, la edad de
Jesucristo en la Pasión.
• También se ha atribuido la elección de este número
como una velada alusión a la supuesta pertenencia
masónica, que nunca ha sido demostrada, de
Antonio Gaudí, ya que 33 son los grados
tradicionales de la masonería.
OBJETIVO
Ubicar, colocar o distribuir números sobre un
esquema gráfico teniendo en cuenta ciertas
condiciones establecidas.
Nociones previas
Casillas adyacentes o vecinas
Por lo general dos casillas son adyacentes si estas tienen
por lo menos un punto en común.
Por lado
Casillas vecinas
Por vértice
Casilla común
En algunos problemas es importante identificar las
casillas comunes cuando existe dos líneas de igual suma.
Sumas notables
En muchos problemas es necesario conocer el resultado
de algunas series.
1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
Suma de los n primeros números naturales
2 + 4 + 6 +⋯+ 2𝑛 = 𝑛 𝑛 + 1
Suma de los n primeros números pares
1 + 3 + 5 +⋯+ (2𝑛 − 1) = 𝑛2
Suma de los n primeros números impares
Arreglos con condición de suma constante
Arreglos con condición de suma constante 
no conocida
Cuadrado Mágico de orden 3
Cuadrado Mágico de orden 4
DISTRIBUCIONES
NUMÉRICAS Arreglos con condición de suma máxima 
y mínima
Aplicación 01:
Los números enteros consecutivos
del 1 al 10 se van a distribuir en los
vértices y en las aristas de un
tetraedro, de tal manera que la
suma de los 6 números que
conforman cada cara del tetraedro
es 30. Determine el valor de la
suma de los números que van en
los vértices.
A) 10
B) 12
C) 18
D) 20
E) 24
Resolución
x + y + z + w = 10
Arreglos con condición de suma constante
Nos piden:“El valor de la suma de los vértices”
30
4(30) =
24 números
1+2+3+…+102( ) +
6
1 2 3 4 5
7 8 9 10
x + y + z + w
x + y + z + w = 120 - 110
120 = 2( 55 ) + ( x + y + z + w )
Aplicación 02:
Ubique en las casillas los números
enteros del 1 al 9, sin repetir, de modo
que la suma en cada línea de tres
casillas circulares sea S.
Halle el valor de S.
A) 11 B) 12 C) 16 D) 15 E) 21
Resolución
Luego el valor de S es 15.
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9
S
S SS S
S
Cada número en cada casilla
se ha sumado 2 veces
Suma total
9(10)
2
= 45
6 S = 2 (45)
Se observa que hay 6 sumas
constantes e iguales a S.
S = 15
Arreglos con suma constante no conocida
Números a distribuir:
6 S = 2 (1+2+3+…+9)
Aplicación 03:
¿Cuántos de los números del gráfico,
por lo menos, deben ser cambiados
de ubicación para que la suma de los
3 números contenidos en casillas
circulares unidas por una línea recta
sea la misma y la máxima posible?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución
Deben ser cambiados dos números.
4
9
5 8
67
1
3 2
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 8 , 9
9
9
9
3
1
7
8
6
4
2
5
Para obtener la máxima
suma el mayor valor debe
ubicarse al centro
Hay que intercambiar de
lugar el 9 con 5.
Arreglos con condición de suma máxima y mínima
Números a distribuir:
Los demás números se
ubican a los extremos de
manera que sumen igual.
Cuadrado Mágico de orden 3
En estas distribuciones cuadriculadas, la suma de los números ubicados en las casillas de cada fila, columna y
diagonal es constante. Esta suma constante se denomina constante mágica..
Cuadrado mágico de orden 3
Coloque los números naturales del 1 al 9 en cada casilla de la figura de modo que cada fila, columna y
diagonal presente igual suma.
Paso 1 Paso 2 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Paso 3
1
24
68
5
9
73
En un cuadrado mágico de orden 3, se cumple las siguientes propiedades:
1
24
68
5
9
73
15
15
15
15
15151515
Propiedad 1
x
S = 3x• Constante mágica = 3(5) = 15
Propiedad 2
a + b = 2x
x ba
• 3 + 7 = 2(5)
Propiedad 3
x
n
m
m + n = 2x
• 3 + 1 = 2(2)
Propiedad 4
a
b
c d
a + b = c + d
Aplicación 04:
En el siguiente cuadrado mágico. Halle
el valor de x + y.
A) 106 
B) 104 
C) 138 
D) 120
E) 124
Resolución
x + y = 106
10 y 12
30
x
Vamos a igualar sumas:
10 y 12
30
x
a
10 + 30 = a + 12
a = 28
x + 12 = 2a
x = 44
10 y 12
30
x
x + 30 = y + 12
44 + 30 = y + 12
y = 62
Piden x + y = 44 + 62 = 106
* *
*
Coloque los números naturales del 1 al 16 en cada casilla de la figura de modo que cada fila, columna y
diagonal presente igual suma.
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10
13
11
1514
12
16
Paso 1 Paso 2 Paso 3
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10
13
11
1514
12
16 1
2 3
4
5
67
8
9
10
13
11
1514
12
16
34
34
34
34
34
343434
34
34
Cuadrado Mágico de orden 4
Además, para todo cuadrado mágico de orden 4 se cumple que:
16 + 13 + 4 + 1 = 34 = Constante mágica 
11 + 10 + 7 + 6 = 34 = Constante mágica
1
2 3
4
5
67
8
9
10
13
11
1514
12
16
2 + 3 + 14 + 15 = 34 = Constante mágica 
5 + 9 + 8 + 12 = 34 = Constante mágica 
También
Suma constante = 
𝑆𝑈𝑀𝐴 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿
4
Aplicación 05:
Complete el siguiente recuadro con
números enteros distintos, de tal
manera que se obtenga un cuadrado
mágico. Calcule la suma de los números
de una de las diagonales.
A) 32 
B) 34 
C) 36 
D) 38 
E) 40
Resolución
La constante mágica es 38
Piden: La constante mágica
x
6 + 12 + x = 4 + 7 + 16
x = 9
Aplicando la definición de
cuadrado mágico se tiene:
Por propiedad se tiene ahora
9
Constante mágica = 6+10+9+13
Constante mágica = 38
En un cuadrado mágico multiplicativo de orden 3, se cumple las siguientes propiedades:
1
25
2050
10
100
254
1000
1000
1000
1000
1000
100010001000
Propiedad 1
x
P = x3• Constante mágica = 103 = 1000
Propiedad 2
a × b = x2
x ba
• 4 × 25 = 102
Propiedad 3
x
n
m
m × n = x2
• 4 × 1 = 22
Propiedad 4
a
b
c d
a × b = c × d
CASO PARTICULAR: Cuadrado Mágico Multiplicativo de orden 3
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe