Semestral Uni - RM semana 11

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PLANTEO DE ECUACIONES III
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Introducción
• John Venn​ (Drypool, 4 de agosto de 1834 - Cambridge, 4 de abril de
1923), fue un matemático y lógico británico miembro de la Real
Sociedad de Londres. Es especialmente conocido por su método de
representación gráfica de proposiciones (según su cualidad y
cantidad) y silogismos conocido como los diagramas de Venn. Estos
permiten una comprobación de la validez o invalidez de un
silogismo. Posteriormente fueron utilizados para mostrar
visualmente las operaciones más elementales de la teoría de
conjuntos.
• Leonhard Paul Euler (Basilea, Suiza; 15 de abril de 1707-San
Petersburgo, Imperio ruso; 18 de septiembre de 1783), conocido
como Leonhard Euler y también llamado Leonardo Euler en
español, fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal
matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de
todos los tiempos, muy conocido por el número de Euler (e),
número que aparece en muchas fórmulas de cálculo y física.
Diagrama de Venn 
Forma general 
entre conjuntos.
Diagrama de Euler 
Se basa en relaciones 
de inclusión o exclusión.
Diagrama de Carroll 
Formas rectangulares 
para conjuntos disjuntos
OBJETIVOS
Desarrollar la capacidad para representar situaciones
de la vida cotidiana utilizando las nociones de
conjuntos.
Reforzar la capacidad de interpretación y
simbolización para resolver problemas sobre edades.
PROBLEMAS DE EDADES
PLANTEO DE
ECUACIONES III
PROBLEMAS DE CONJUNTOS
INDUCTIVO NUMÉRICO
PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS 
Noción de conjunto
Se entiende por conjunto a toda agrupación o
colección de elementos con una característica en
común.
Diagramas de Venn - Euler
Se representa por una figura geométrica cerrada
(generalmente un círculo) que nos permitirá
agrupar todos los elementos de un conjunto.
Cuando tenemos problemas en la que los
elementos agrupados en conjuntos podrían tener
elementos comunes (conjuntos no disjuntos) se
sugiere utilizar los diagramas de Venn – Euler.
Ejemplo:
Observación:
• Personas que le gustan lenguaje: Región 1, 4, 5 y 6
• Personas que le gustan lenguaje y matemática: Región 4 y 6
• Personas que le gustan sólo historia: Región 3
• Personas que le gustan sólo historia y lenguaje:Región 5
• Personas que le gustan sólo un curso: Región 1, 2 y 3
• Personas que le gustan al menos 2 cursos: Región 4, 5, 6 y 7
• Personas que no le gustan ninguno de los cursos:Región 8
Veamos lo siguiente: A cada región simple le asignamos un número que lo identifica
• Personas que le gustan lenguaje o matemática:Región 1,2,4,5,6,7
• Personas que le gustan 2 cursos: Región 4, 5 y 7
• Personas que le gustan 3 cursos: Región 6
Aplicación 01: Resolución:
Los que prefieren dos deportes son 30
En una encuesta a 65 personas
sobre sus preferencias en fútbol,
vóley y básquet, se sabe que 42
practican fútbol; 36, vóley; 20,
básquet; 24, vóley y fútbol, 5 no
practican ninguno de los deportes
mencionados y 4 practican los 3
deportes. ¿Cuántos de los
encuestados practican dos de los
tres deportes mencionados?
A)29
B)30
C)31
D)32
E)33
Nos piden: La cantidad de personas que practican dos deportes
Del enunciado:
FÚTBOL VÓLEY
BÁSQUET
TOTAL: 65
42 36
20
5
4
20
𝒂 𝒃
𝟏𝟖 − 𝒂 𝟏𝟐 − 𝒃
20
10 = 𝑎 + 𝑏
Luego:
50 − 𝑎 – 𝑏 = 40
Observación:
Podemos usar la siguiente ley de conjuntos:
𝐴 ∩ 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 ∪ 𝐵𝐶
Ejemplo:
A 50 personas se les realiza una encuesta para saber
cuantos saben Alemán o Búlgaro (también pueden saber
ambos idiomas). Si en la encuesta resultó que hay
38 personas que no saben al menos uno de esos
idiomas, ¿cuántos saben ambos idiomas a la vez?
Resolución:
A: los que saben Alemán
B: los que saben Búlgaro
𝐴 ∩ 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 ∪ 𝐵𝐶
Propiedad:
Total − (saben ambos) =
50 − X = 38
(no saben al
menos uno)
X = 12
También:
Y se cumplen para cualquier cantidad de conjuntos.
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴𝐶 ∪ 𝐵𝐶 𝐶
Ejemplo:
En una reunión de 50 personas: a 40 les gusta atletismo; a
30, Básquet; a 35, Ciclismo. ¿A cuántas personas como
mínimo les gusta los 3 deportes a la vez?
Resolución:
De la propiedad: 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴𝐶 ∪ 𝐵𝐶 ∪ 𝐶𝐶 𝐶
Piden mínimo Al total le quitamos lo 
máximo de los que no gustan
Del total 50 personas
GUSTAN NO GUSTAN
A: 40
B: 30
C: 35
50 − 40 = 10
50 − 30 = 20
50 − 35 = 15
Total
50 −
No gustan
45
45
Gustan los deportes
mencionados a la vez = 5
Cuando tenemos problemas en la que los
elementos agrupados en conjuntos no tienen
elementos comunes (conjuntos disjuntos) se
sugiere utilizar los diagramas de Lewis - Carrol.
Diagramas de Lewis - Carroll
Veamos lo siguiente:
VARONES MUJERES
BAILAN A B
NO BAILAN C D 
A: Varones que bailan
B: Mujeres que bailan
C: Varones que no bailan
D: Mujeres que no bailan
NOTA:
La cantidad de varones que bailan y la cantidad de mujeres
que bailan son iguales (A = B)
En problemas de reuniones 
En problemas de reuniones se considera :
Ejemplo:
Observación:
En una reunión se observa que por
cada 3 mujeres peruanas hay un
varón extranjero, y la relación entre
peruanos y extranjeros es de 3 a 2. Si
el total de asistentes es 300
personas, ¿Cuántas mujeres
extranjeras asistieron sabiendo que
los varones peruanos son la mitad del
total de extranjeros?
A) 40 B) 50 C)35
D) 60 E) 80
Aplicación 02: Resolución:
Asistieron 80 mujeres extranjeras
VARONES MUJERES
PERUANOS
EXTRANJEROS
Nos piden: ¿cuántas mujeres extranjeras asistieron? 
Del enunciado:
300
60 + 3𝑥 = 180
: 3
: 2
TOTAL
+
3𝑥
𝑥
60
60
= 5 60
60
Luego:
𝑥 = 40
= 𝟒𝟎 𝟖𝟎
PROBLEMAS SOBRE EDADES 
En diversos problemas de edades se sugiere ubicar los datos en una tabla, como la que se muestra a
continuación:
PASADO PRESENTE FUTURO
Luisa 18
Marcos 16
Hace 4 años
14
12
Dentro de 6 años
24
22
Se cumple:
_
2 años
_
2 años
_
2 años
1. La diferencia de edades entre 2 personas
en un mismo año se mantiene constante.
14 – 12 = 18 – 16 = 24 - 22
2. La suma en aspa de valores ubicados
simétricamente da un mismo resultado.
14 + 16 = 12 + 18
18 + 22 = 16 + 24
14 + 22 = 12 + 24
Aplicación 03: Resolución:
Nancy le dice a su hermana mayor
Bertha: Hace 2 años, la relación de
nuestras edades fue de 5 a 7 y
dentro de 3 años, la relación de
nuestras edades será de 3 a 4.
¿Cuál es la edad actual de Bertha?
A) 38
B) 37
C) 30
D) 35
E) 32
La edad de Bertha es 37 años
Nos piden: la edad actual de Bertha
PRESENTE
Nancy
Bertha
Dentro de 
3 años
Hace 2 
años
2 3
2𝑥𝑥
7
5 3
4
Diferencia = 2 Diferencia = 1
𝑥
𝑥 2𝑥
2𝑥= 𝟑𝟓 𝟑𝟕
Del enunciado: 
IGUALES
= 5𝑥 𝑎ñ𝑜𝑠
Observación:
Tener en cuenta la siguiente relación:
Año de nacimiento + Edad actual = Año Actual
En algunos problemas nos mencionan la fecha de
cumpleaños, en estos casos se puede indicar que:
• Si una persona ya cumplió años
Año de nacimiento + Edad actual = Año Actual
• Si una persona aún no cumple años
Año de nacimiento + Edad actual = Año Actual – 1
X años
Hubiera 
nacido antes
Hubiera nacido 
después
Año de 
Nacimiento
Año actual
Entonces:
Edad
𝒂 años 𝒃 años
Tendría X + 𝒂 , si hubiera nacido “𝒂” años antes 
Tendría X – 𝒃, si hubiera nacido “𝒃” años después
Edad = Año Actual – Año de nacimiento
Aplicación 04: Resolución:
¿Cuántos años cumplió Silvia en el
año 2000 si su edad, en ese
entonces, era igual a la suma de
cifras de su año de nacimiento?.
A) 14
B) 18
C) 12
D) 19
E) 16
La edad de Silvia es 19 años
Nos piden: La edad de Silvia en el año 2000
Año
Edad
1 + 9 + 𝑎 + 𝑏 = 2000 − 19𝑎𝑏
1 + 9 + 𝑎 + 𝑏 = 2000 − (1900 + 10𝑎 + 𝑏)
11𝑎 + 2𝑏 = 90
𝟏𝟗𝒂𝒃
0
8 1
1 + 9 + 𝑎 + 𝑏
Del enunciado: 
𝟐𝟎𝟎𝟎
Edad de Silvia: 1 + 9 + 𝑎 + 𝑏 = 1 + 9 + 𝟖 + 𝟏 = 19
Aplicación 05: Resolución:
Jorge le dice a Luís: La suma de
nuestras edades es 46 años y
tú edad es el triple de la edad que
tenías cuando yo tenía el triple de
la edad que tuviste cuando
yo nací. ¿Cuántos años tendría Luís
si hubiera nacido 7 años antes?
A) 33 años.
B) 34 años.
C) 35 años.
D) 31años.
E) 37 años.
Luis tendría 31 años
Nos piden: ¿Cuántos años tendría Luís si hubiera nacido 7 años antes?
pasado presente
Jorge (yo)
Luís (tú)
11𝑥 + 12𝑥 = 46
𝑥 = 2
23𝑥 = 46
Del enunciado: 
SUMAN: 46
31𝟏
30
𝑥
𝑥
4𝑥 4𝑥
8𝑥 𝑎ñ𝑜𝑠
11𝑥
Edad de Luis = 12 2 = 24
Luego:
Si hubiera nacido 7 años antes = 24 + 7 = 31
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