Semestral Uni - Trigonometría semana 10

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Circunferencia Trigonométrica II
Trigonometría
𝑋
C. T
π 0
0
𝑌
−1
1
θ
se
n
θ
2π
En la CT tenemos 𝑥2 + 𝑦2 = 1 EN LOS CUADRANTES
3𝜋
2
π
2
IIC
0 < senθ < 1 CreceIC
IIIC
IVC
0 < senθ < 1
−1 < senθ < 0
Decrece
Crece
Decrece
−1 < senθ < 0
𝑋
C. T
𝑌
θ
Sea θ ∈ ℝ, arco dirigido 
(𝑥; 𝑦)
Además 
𝑦2 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 = 1 → 𝑦2 ≤ 1
Como y = sen 𝜃
𝒚 ≤ 𝟏
𝐬𝐞𝐧 𝛉 ≤ 𝟏↔ −𝟏 ≤ 𝐬𝐞𝐧 𝛉 ≤ 𝟏; ∀𝛉 ∈ ℝ
VARIACIÓN DE SENO
OBSERVACIÓN
𝐬𝐞𝐧 𝜽 = 𝟏 𝜽 = 𝟐𝒏𝝅 +
𝝅
𝟐
𝐬𝐞𝐧 𝜽 = 𝟎 𝜽 = 𝐧𝛑
𝐬𝐞𝐧 𝜽 = −𝟏
𝜽 = 𝟐𝐧𝝅 +
𝟑𝝅
𝟐
Para arcos cuadrantales tenemos
Nota
𝟐𝒏𝝅 +
𝝅
𝟐
∪ 𝟐𝒏𝝅 +
𝟑𝝅
𝟐
=
(𝟐𝒏 + 𝟏)𝝅
𝟐
𝟐𝒏𝝅 ∪ (𝟐𝒏 + 𝟏)𝝅 = 𝒏𝝅
VARIACIÓN DEL COSENO
3𝜋
2
0
2𝜋
CT
𝜋
2
𝜋
−1 1cosθ0
EN LOS CUADRANTES
IIC
0 < cosθ < 1 DecreceIC
IIIC
IVC
−1 < cosθ < 0
−1 < cosθ < 0
Decrece
Crece
Crece
0 < cosθ < 1
𝐜𝐨𝐬 𝛉 ≤ 𝟏 ↔ −𝟏 ≤ 𝐜𝐨𝐬 𝛉 ≤ 𝟏; ∀𝛉 ∈ ℝ
OBSERVACIÓN
X
Y
𝛉
C. T
𝛑 − 𝛉
𝛑 + 𝛉 𝟐𝛑 − 𝛉
Arcos simétricos
−cos 𝜃 cos 𝜃
sen𝜃
−sen 𝜃𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟏 𝜽 = 𝟐𝒏𝝅
𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟎
𝜽 =
(𝟐𝒏 + 𝟏)𝝅
𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝜽 = −𝟏 𝜽 = (𝟐𝒏 + 𝟏)𝝅
EJERCICIO 1
RESOLUCIÓN
Para α ∈
2π
3
;
5π
3
, calcule la variación de
M = cos2α − cosα + 2 .
A)
3
4
;
7
4
B)
7
4
; 3
C)
7
4
; 4 D)
9
4
; 4
E)
7
4
;
9
4
𝑋
𝑌2π
3
𝐴
0
5π
3
(UNI 2013-I)
𝑋
𝑌
C. T
θ
VARIACIÓN DE LA TANGENTE
De la definición
θ ∈ ℝ − 2n + 1
𝜋
2
; 𝑛 ∈ ℤ
Entonces
−∞ < tanθ < ∞
EN LOS CUADRANTES
−∞
+∞
IIC
0 < tanθ < +∞ CreceIC
IIIC
IVC Crece
−∞ < tanθ < 0 Crece
0 < tanθ < +∞ Crece
−∞ < tanθ < 0
tanθ ∈ ℝtambién
π
2
3π
2
π
0
2π
−∞
+∞
Nota 𝒕𝒂𝒏 𝜽 = 𝟎 → 𝜽 = 𝒏𝝅
Tener en cuenta que
Para todo 𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 0 →
1
𝑥
∈ ℝ
Variación de la cotangente
−∞ < cotθ < ∞
De la definición cot 𝜃 =
1
tan 𝜃
θ ∈ ℝ − 𝑛𝜋; 𝑛 ∈ ℤ
Entonces
Nota 𝒄𝒐𝒕 𝜽 = 𝟎 → 𝜽 =
(𝟐𝒏 + 𝟏)𝝅
𝟐
IIC
0 < cotθ < +∞ DecreceIC
IIIC
IVC Decrece
−∞ < cotθ < 0 Decrece
0 < cotθ < +∞ Decrece
−∞ < cotθ < 0
EN LOS CUADRANTES
IIC
1 < sec θ < +∞ CreceIC
IIIC
IVC
−∞ < secθ < −1 Crece
−∞ < secθ < −1 Decrece
1 < secθ < +∞
Variación de la secante
De la definición sec 𝜃 =
1
cos 𝜃
θ ∈ ℝ − 2n + 1
𝜋
2
; 𝑛 ∈ ℤ
Entonces
Para θ ∈ ℝ − 2n + 1
𝜋
2
se tiene 
−1 ≤ cos 𝜃 < 0 ∨ 0 < cos 𝜃 ≤ 1
Invertimos
−∞ <
1
cos 𝜃
< −1 ∨ 1 ≤
1
cos 𝜃
< +∞
−∞ < secθ ≤ −1 ∨ 1 ≤ sec 𝜃 < +∞
Decrece
Variación de la cosecante
De la definición csc 𝜃 =
1
sen 𝜃
θ ∈ ℝ − 𝑛𝜋; 𝑛 ∈ ℤ
Entonces
−∞ < cscθ ≤ −1 ∨ 1 ≤ csc 𝜃 < +∞
EN LOS CUADRANTES
IIC
1 < csc θ < +∞ DecreceIC
IIIC
IVC
−∞ < cscθ < −1 Crece
−∞ < cscθ < −1 Crece
1 < cscθ < +∞ Decrece
EX UNI 2015-I
Si x
∈ π;
3π
2
entonces los valores
de y = 4 − 9csc2 x +
2π
3
A) −∞;−12
B) −∞;−11
C) −∞;−10
D) −∞;−9
E) −∞;−8
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe