05 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior autor Universidad de Sevilla

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Tema 2.- ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE
ORDEN SUPERIOR
Ampliación de Matemáticas.
Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.
Índice General
1 Introducción 1
2 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas 3
3 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes. Obtención
de la solución general 4
4 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. 6
5 Estudio de algunos sistemas físicos que conducen a una ecuación diferencial ordinaria 9
5.1 Muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.1.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.1.2 Muelle sometido a rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.1.3 Muelle sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal . . . . . . . . . . . 11
5.2 Péndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.2 Péndulo sometido a rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2.3 Péndulo sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal . . . . . . . . . . 14
5.3 Circuito eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.3.1 Circuito LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.3.2 Circuito LCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.3.3 Circuito LCR con una fuente de tensión sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.4 Solución de los problemas de valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.4.1 Ecuación x00 + ω2x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.4.2 Ecuación x00 +
1
τ
x0 + ω2x = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.4.3 Ecuación x00 +
1
τ
x0 + ω2x = A0 cosω0t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1 Introducción
A lo largo de este tema expondremos algunas propiedades que poseen las E.D.O. lineales de orden n y
se desarrollarán métodos generales para determinar sus soluciones. Prestaremos especial atención a las
ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.
Llamamos ecuación diferencial lineal de orden n a toda ecuación que se puede expresar en la
forma
yn) + a1(x)y
n−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = f(x) (1)
para la que admitimos que los coeficientes ai(x), i = 1, 2, . . . , n y el segundo miembro f(x) son funciones
definidas en un intervalo I ⊆ R.
La ecuación (1) se dice homogénea o incompleta si f(x) = 0 para todo x ∈ I. En caso contrario,
se dice no homogénea o completa.
1
Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 2
El problema de valor inicial asociado a la ecuación diferencial (1) es⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
yn) + a1(x)y
n−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = f(x)
y(x0) = y0
y0(x0) = y00
...
yn−1)(x0) = y
n−1)
0
(2)
donde x0 ∈ I e y0, y00, . . . , yn−1)0 son constantes arbitrarias.
En el teorema siguiente se muestran condiciones suficientes para la existencia de una única solución
del problema de valor inicial.
Teorema 1.1 (Existencia y unicidad)
Si las funciones a1(x), a2(x), . . . , an(x) y f(x) son continuas en un intervalo abierto I que con-
tiene al punto x0, entonces el problema de valores iniciales (2) posee una única solución, para cada³
y0, y
0
0, . . . , y
n−1)
0
´
∈ Rn, definida en dicho intervalo.
En lo que sigue supondremos que los coeficientes a1(x), a2(x), . . . , an(x) y el segundo miembro f(x)
de la ecuación (1) son funciones continuas en algún intervalo I. De esta forma, tendremos garantizado
que la ecuación (1) tienen infinitas soluciones definidas en el intervalo I.
A continuación introduciremos algunos conceptos que se utilizarán en el estudio de las propiedades
de las E.D.O. lineales.
Definición 1.1 Sean g, g1, g2, . . . , gk funciones reales definidas en el intervalo I.
Se dice que la función g es combinación lineal de las funciones g1, g2, . . . , gk en el intervalo I,
cuando existen k números reales C1, C2, . . . , Ck tales que
g (x) = C1g1 (x) + C2g2 (x) + · · ·+ Ckgk (x) , ∀x ∈ I
Se dice que las funciones g1, g2, . . . , gk son linealmente independientes (l.i.) en el intervalo I cuando
los únicos números reales C1, C2, . . . , Ck para los que se verifica la igualdad
C1g1 (x) + C2g2 (x) + · · ·+ Ckgk (x) = 0, ∀x ∈ I
son C1 = C2 = · · · = Ck = 0. En caso contrario, se dice linealmente dependientes.
Cuando las funciones g1, g2, . . . , gk tienen derivadas sucesivas hasta el orden k−1 en el intervalo I, se
llama wronskiano de las funciones g1, g2, . . . , gk a la función que denotaremos por W (g1, g2, . . . , gk) o
simplemente W , tal que W : I −→ R
W (x) =
¯̄̄̄
¯̄̄̄
¯
g1 (x) g2 (x) · · · gk (x)
g01 (x) g
0
2 (x) · · · g0k (x)
...
...
...
g
k−1)
1 (x) g
k−1)
2 (x) · · · gk−1)k (x)
¯̄̄̄
¯̄̄̄
¯ , ∀x ∈ I,
donde se debe entender que el segundo miembro es el determinante cuyas filas sucesivas están determi-
nadas por las funciones gi, y sus derivadas sucesivas hasta el orden k − 1.
2 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
Teorema 2.1 Si las funciones y1, y2, . . . , yn son n soluciones en el intervalo I de la ecuación lineal
homogénea
yn) + a1(x)y
n−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = 0, (3)
entonces, toda función de la forma C1y1 + C2y2 + · · · + Cnyn, donde C1, C2, . . . , Cn ∈ R, también es
solución de la ecuación.
Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 3
Esto es, toda combinación lineal de soluciones de una ecuación lineal homogénea es también solución
de dicha ecuación.
Lemma 1 Sean y1, y2, . . . , yn n soluciones en el intervalo I de la ecuación
yn) + a1(x)y
n−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = 0,
y sea x0 ∈ I. Entonces:
1. y1, y2, . . . , yn son linealmente dependientes en I si y sólo si su wronskiano en el punto x0 se anula.
2. y1, y2, . . . , yn son linealmente independientes en I si y sólo si su wronskiano en el punto x0 no se
anula.
Teorema 2.2 Si y1, y2, . . . , yn son n soluciones l.i. en el intervalo I de la ecuación
yn) + a1(x)y
n−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = 0,
entonces cada solución de la ecuación (3) puede expresarse en la forma
C1y1 + C2y2 + · · ·+ Cnyn,
para algunas constantes C1, C2, . . . , Cn ∈ R.
De lo anterior se desprende que la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea viene
dada por todas las combinaciones lineales de tantas soluciones l.i. como orden tiene dicha ecuación.
Además en la solución general, están dadas todas las soluciones que tiene dicha ecuación.
Así, el problema de encontrar la solución general de una ecuación lineal homogénea, se reduce al de
encontrar tantas soluciones particulares linealmente independientes de dicha ecuación, como orden tenga
dicha ecuación. Por ello nos surge la siguiente pregunta: ¿Existen n soluciones linealmente independientes
de la ecuación homogénea de orden n? Cuando los coeficientes a1(x), a2(x), . . . , an(x) son funciones
continuas en algún intervalo I, como se ha venido suponiendo, del teorema 1 se puede deducir que la
respuesta es afirmativa. Basta tener en cuenta que dicho teorema asegura que hay n soluciones distintas
para los n problemas de valor inicial correspondientes a la ecuación homogénea en los que
³
y0, y
0
0, . . . , y
n−1)
0
´
sean respectivamente los vectores (1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0) , (0, 0, . . . , 1) .
Además dichas soluciones son linealmente independientes puesto que su wronskiano en el punto x0 es
no nulo.
Veremos un procedimiento para obtener este conjunto de soluciones en el caso de un ecuación dife-
rencial lineal de coeficientes constantes.
3 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes
constantes. Obtención de la solución general
En este apartado consideraremos únicamente ecuaciones lineales homogéneascon coeficientes constantes,
y veremos cómo obtener soluciones linealmente independientes. Expondremos las ideas para ecuaciones
de orden dos.
Partiendo de la ecuación lineal homogénea de orden dos, con coeficientes constantes
y00 + a1y0 + a2y = 0 (4)
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para encontrar soluciones de esta ecuación, ensayaremos soluciones de la forma y = erx.
Así, observamos que
y = erx es solución de (4) ⇐⇒ (erx)00 + a1 (erx)0 + a2 (erx) = 0
⇐⇒ erx ¡r2 + a1r + a2¢ = 0⇐⇒ r2 + a1r + a2 = 0
Por tanto, las soluciones de la ecuación r2 + a1r + a2 = 0, llamada ecuación característica de la
ecuación (4), nos determina los números r para los que y = erx es solución de (4).
Atendiendo pues, a las posibles soluciones de la ecuación característica se pueden presentar tres casos:
Caso 1: La ecuación característica tiene dos raíces reales distintas.
Si r1, r2 son las dos soluciones reales de la ecuación característica, hemos probado que las funciones
er1x, er2x son soluciones de la ecuación homogénea (4) . Como además son linealmente independientes,
ya que su Wronskiano en x = 0 no es nulo, tenemos que la solución general de la ecuación homogénea es
y (x) = C1e
r1x + C2e
r2x
con C1, C2 ∈ R.
Caso 2: La ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas.
Cuando las raíces r1, r2 de la ecuación característica son complejas conjugadas, entonces las funciones
er1x, er2x son al igual que antes soluciones independientes de la ecuación homogénea, pero ahora son
funciones complejas de la variable real x. Sin embargo, veremos que es posible, a partir de ellas, obtener
soluciones reales linealmente independientes.
Suponiendo que r1 = a+ bi, y por tanto r2 = a− bi, se verifica que
1
2
er1x +
1
2
er2x = eax cos bx
1
2i
er1x − 1
2i
er2x = eaxsen bx
Así, las funciones eax cos bx, eaxsen bx son soluciones de la ecuación dada (por ser combinación lineal
de dos soluciones de dicha ecuación) y además son linealmente independientes (ya que su wronskiano en
x = 0 no es nulo).
Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea se puede expresar en la forma:
y (x) = eax (C1 cos bx+ C2senbx)
con C1, C2 ∈ R.
Caso 3: La ecuación característica tiene una raíz real doble.
En este caso, si r es la raíz doble de la ecuación característica, la función erx es una solución de la
ecuación homogénea, y para buscar otra linealmente independiente con ella, podríamos pensar en ensayar
con posibles soluciones de la forma: y(x) = u(x)erx.
Se tiene que
y = u (x) erx es solución de (4) ⇐⇒ (u (x) erx)00 + a1 (u (x) erx)0 + a2 (u (x) erx) = 0⇐⇒
erx
£
u (x)
¡
r2 + a1r + a2
¢
+ u0 (x) (2r + a1) + u00 (x)
¤
= 0 ⇐⇒
r2 + a1r + a2 = 0
2r + a1 = 0
u00 (x) = 0⇐⇒ u (x) = Ax+B.
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Luego en particular (para A = 1, B = 0) la función es solución de la ecuación homogénea (4), y por
ser linealmente independiente con, la solución general de la ecuación homogénea se puede expresar en la
forma:
y (x) = erx (C1 + C2x)
con C1, C2 ∈ R.
Estas ideas desarrolladas para encontrar dos soluciones l.i. de una ecuación lineal homogénea de orden
2 con coeficientes constantes se pueden extrapolar al caso de ecuaciones de mayor orden. La dificultad
obvia que surgirá es la determinación de las raíces de la correspondiente ecuación característica que será
una ecuación polinómica de grado al menos tres.
Todo el desarrollo teórico anterior nos permite dar el siguiente procedimiento para obtener todas las
soluciones de una ecuación lineal homogénea de orden n, con coeficientes constantes.
PROCEDIMIENTO PARA BUSCAR LA SOLUCIÓN GENERAL de una ecuación lineal
homogénea de orden n con coeficientes constantes.
(a) Encontrar las n raíces de la ecuación característica asociada (dicha ecuación es la que resulta de
sustituir en la ecuación diferencial cada derivada yk) por la potencia rk).
(b) Para cada raíz real λ de multiplicidad algebráica 1, una solución de la ecuación ecuación diferencial
homogénea es y = eλx.
(c) Para cada raíz real λ de multiplicidad algebráica m > 1, m soluciones de la ecuación diferencial
homogénea son:
y1 = e
λx, y2 = xe
λx, . . . , ym = x
m−1eλx
(d) Si α+ iβ y α− iβ (con β 6= 0) son raíces de multiplicidad algebráica 1, entonces dos soluciones de
la ecuación diferencial homogénea son:
y1 = e
αx senβx, y2 = e
αx cosβx
(e) Si α+iβ y α− iβ (con β 6= 0) son raíces de multiplicidad algebráica m > 1, entonces 2m soluciones
de la ecuación diferencial homogénea son:
y1 = e
αx cosβx, y2 = xe
αx cosβx, . . . , ym = x
m−1eαx cosβx
ym+1 = e
αx senβx, ym+2 = xe
αx senβx, . . . , y2m = x
m−1eαx senβx
Siguiendo los pasos anteriores, las n soluciones obtenidas y1, y2, . . . , yn son l.i. Por ello, la solución
general de la ecuación diferencial homogénea es
y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + · · ·+ Cnyn(x),
donde C1, C2, . . . , Cn ∈ R.
NOTA: Para las ecuaciones lineales con coeficientes variables, no se cuenta con un método general
para determinar n soluciones linealmente independientes.
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4 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.
Consideramos ahora el problema de encontrar la solución general de una ecuación lineal no homogénea
de orden n
yn) + a1(x)y
n−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = f(x)
y llamaremos ecuación homogénea asociada a la ecuación no homogénea dada la que resulta de
sustituir f(x) por cero; esto es,
yn) + a1(x)y
n−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = 0.
Se verá que para resolver una ecuación no homogénea se procederá a calcular la solución general de
su ecuación homogénea.
Teorema 4.1 Supongamos que las funciones a1(x), a2(x), . . . , an(x), f(x) son continuas en un intervalo
abierto I. Si zp(x) es una solución particular de la ecuación no homogénea e yg(x) es la solución general
de la ecuación homogénea asociada, entonces todas las soluciones y(x) de la ecuación no homogénea se
pueden expresar en la forma
y(x) = yg(x) + zp(x)
y esta expresión constituye la solución general de la ecuación no homogénea.
MÉTODOS PARA OBTENER UNA SOLUCIÓN PARTICULAR de la ecuación lineal
no homogénea con coeficientes constantes.
Vamos ahora a exponer métodos para obtener una solución particular de la ecuación lineal no ho-
mogénea de orden n con coeficientes constantes, que desarrollaremos en el caso de la ecuación de orden
2:
y00 + a1y0 + a2y = f (x) (5)
• Método de variación de constantes
El método consiste en obtener una solución particular de la ecuación a partir de la solución general
de la ecuación homogénea asociada, dada por
yg (x) = C1y1(x) + C2y2(x)
Para ello las constantes C1, C2 de dicha solución se consideran funciones de x y se trata de determinar
funciones C1 (x) , C2 (x) para las que
zp (x) = C1 (x) y1(x) + C2 (x) y2(x) (6)
sea solución de la ecuación completa dada.
La única condición que en definitiva deben cumplir las funciones C1 (x) y C2 (x) es que la función
dada en (6) y sus derivadas cumplan la ecuación diferencial (5).
En efecto, de (6) se tiene que
z0p (x) = C
0
1 (x) y1(x) + C1 (x) y
0
1(x) + C
0
2 (x) y2(x) + C2 (x) y
0
2(x)
y para simplificar los cálculos y evitar derivadas de segundo orden de las funciones incógnitas C1 (x) y
C2 (x), supondremos que
C 01 (x) y1(x) + C
0
2 (x) y2(x) = 0 (7)
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con lo que z0p (x) = C1 (x) y01(x) + C2 (x) y02(x) y la derivada segunda es
z00p (x) = C
0
1 (x) y
0
1(x) + C1 (x) y
00
1 (x) + C
0
2 (x) y
0
2(x) + C2 (x) y
00
2 (x)
por lo que zp (x) es solución de la ecuación diferencial no homogénea cuando
C 01 (x) y
0
1(x) + C1 (x) y
00
1 (x) + C
0
2 (x) y
0
2(x) + C2 (x) y
00
2 (x) +
+a1 [C1 (x) y
0
1(x) + C2 (x) y
0
2(x)] + a2 [C1 (x) y1(x) + C2 (x) y2(x)] = f (x)
que podemos escribir, reordenando términos, en la forma
C1 (x) [y
00
1 (x) + a1y
01(x) + a2y1(x)] + C2 (x) [y
00
2 (x) + a1y
0
2(x) + a2y2(x)] +
+C 01 (x) y
0
1(x) + C
0
2 (x) y
0
2(x) = f (x)
Ahora, puesto que los corchetes de la expresión anterior son nulos (ya que y1, y2 son soluciones de la
ecuación homogénea), llegamos que bajo la hipótesis (7), zp (x) es solución particular de la ecuación
cuando se verifique que
C01 (x) y
0
1(x) + C
0
2 (x) y
0
2(x) = f (x) (8)
En definitiva, la función zp (x) es solución de la ecuación cuando existan funciones C1 (x) y C2 (x) que
verifiquen las condiciones (7), (8); esto es,
C 01 (x) y1(x) + C02 (x) y2(x) = 0
C 01 (x) y
0
1(x) + C
0
2 (x) y
0
2(x) = f (x)
Ahora bien, el sistema de ecuaciones anterior posee solución única pues el determinante de la matriz
de coeficientes es el wronskiano de las soluciones l.i. y1, y2.
Resolviendo este sistema, obtendremos C01 (x) y C02 (x). Después por integración se obtendrán C1 (x)
y C2 (x) , y así se obtendrá la expresión de una solución particular de la ecuación
zp (x) = −y1(x)
Z
f (x) y2(x)
W (x)
dx+ y2(x)
Z
f (x) y2(x)
W (x)
dx
NOTA: El razonamiento seguido en el método de variación de constantes se puede emplear para
obtener una solución particular de cualquier ecuación lineal completa de orden n, conocida la solución
general de la ecuación homogénea asociada. La dificultad obvia es que se necesita conocer la solución
general de la ecuación homogénea asociada, para poder aplicar este método.
• Método de los coeficientes indeterminados
Este método nos facilita el cálculo de la solución particular cuando la función f(x) es exponencial,
polinómica, seno, coseno o sumas y productos de éstas.
Seguidamente ilustramos la idea subyacente en el método con algunos casos particulares.
Consideremos la ecuación lineal no homogénea de orden 2
y00 + a1y0 + a2y = f(x) (9)
Caso f(x) = ebx
Puesto que la derivación de la función f reproduce dicha función con un posible cambio en el coeficiente
numérico, es natural presuponer que la ecuación (9) posee como solución alguna del tipo y(x) = Bebx,
para algún valor del coeficiente B.
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Como resulta que
y(x) = Bebxes solución de (9) ⇐⇒ B ¡b2 + a1b+ a2¢ ebx = ebx
⇐⇒ B = 1
b2 + a1b+ a2
cuando el denominador no se anula.
Por tanto, cuando b no sea raíz de la ecuación característica (es decir, el denominador anterior es no
nulo) tendremos una solución particular de la ecuación (9).
Por otra parte, si b es raíz de la ecuación característica, ensayando y(x) = Bxebxcomo posible solución
de la ecuación, tenemos
y(x) = Bxebxes solución de (9) ⇐⇒ B ¡b2 + a1b+ a2¢xebx +B(2b+ a1)ebx = ebx
⇐⇒ B(2b+ a1) = 1
ya que el primer paréntesis se anula, al ser b raíz de la ecuación característica.
Por consiguiente, obtenemos una solución particular de (9) si 2b+ a1 no se anula. Esto es, si b no es
raíz doble de la ecuación característica.
Finalmente, cuando b es raíz doble de la ecuación característica, se puede comprobar que la función
y(x) = x2ebx/2 es una solución particular de la ecuación diferencial (9).
En definitiva, si f(x) = ebx, la ecuación (9) tiene una solución particular de alguna de las tres formas
siguientes: Bebx, Bxebx, Bx2ebx, donde el coeficiente indeterminado B se obtendrá de imponer que sea
solución particular. Obsérvese que se descartan la primera o las dos primeras posibilidades cuando la
ecuación homogénea asociada posee ese tipo de soluciones.
Caso f(x) = sen bx, f(x) = cos bx o cualquier combinación lineal de ellas
Las derivadas sucesivas de este tipo de funciones nos hacen pensar que la ecuación (9) puede admitir
una solución particular de la forma
y(x) = α sen bx+ β cos bx
Se puede comprobar que esto es así, siempre que la ecuación homogénea asociada no posea soluciones
del tipo propuesto. En dicho caso, se ensayará con una solución particular del tipo
y(x) = x(α sen bx+ β cos bx)
Caso f(x) función polinómica de grado m en x
En este caso es lógico pensar que (9) admita como solución particular un polinomio de grado menor
o igual que m
y(x) = α0 + α1x+ · · ·+ αmxm
Los casos reseñados anteriormente se pueden generalizar a ecuaciones diferenciales de orden n. El
siguiente cuadro muestra el tipo de solución particular zp(x) a ensayar cuando f(x) es de los tipos
anteriormente citados o su forma es aún más general.
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f(x) zp(x)
Pm(x) P
∗
m(x)
Pm(x)e
bx P ∗m(x)ebx
Pm(x)e
bx sen(cx) +Qm(x)e
bx cos(cx) P ∗m(x)e
bx sen(cx) +Q∗m(x)e
bx cos(cx)
Aquí, Pm, P ∗m, Qm y Q∗m son polinomios de grado m.
Siempre se deberá tener presente que si cualquiera de los sumandos de la solución propuesta zp(x)
es solución de la ecuación homogénea, entonces se deberá ensayar como solución particular una del tipo
xkzp(x), donde k será el menor número natural tal que ningún sumando de xkzp(x) sea solución de la
ecuación homogénea.
Obsérvese que la idea básica de este método no se puede extrapolar a ecuaciones con coeficientes no
constantes.
5 Estudio de algunos sistemas físicos que conducen a una ecua-
ción diferencial ordinaria
En esta sección vamos a estudiar algunos sistemas físicos que pueden describirse mediante ecuaciones
diferenciales lineales, centrando nuestra atención en distintos movimientos que se realizan en torno a
una posición llamada de equilibrio. La permanencia del móvil en una región limitada del espacio, se
debe a la existencia de una fuerza recuperadora que produce en el móvil una aceleración que tiende a
frenarlo cuando se aleja de la posición de equilibrio. De la acción de esta fuerza, a la que pueden sumarse
otras, como el rozamiento, o fuerzas externas de diversa índole, resulta que el móvil se precipite hacia la
posición de equilibrio, donde finalmente se detiene, o bien evolucione hasta permanecer oscilando entre
dos posiciones extremas, o bien oscile pero con amplitud cada vez mayor, llegando por último a escapar
y dejar de ser un movimiento limitado (aunque antes de que ocurra eso, probablemente el sistema físico
se destruirá).
De entre estos sistemas físicos, vamos a interesarnos en unos particularmente importantes que reciben
el nombre genérico de osciladores, y de ellos vamos a estudiar tres: un muelle, un péndulo y un circuito
eléctrico sencillo, no tanto por su importancia técnica, que sin duda la tienen, pero que cae fuera del
alcance de esta asignatura, sino porque constituyen sistemas conocidos, los conceptos físicos involucrados
son sencillos, y es muy fácil pasar rápidamente de ellos a las ecuaciones diferenciales que constituyen sus
modelos matemáticos. Comprobaremos un hecho crucial: los tres, independientemente de su estructura
física, se dejan describir por el mismo modelo matemático, las ecuaciones diferenciales lineales. Por
ello, algunas veces se les llama osciladores lineales y con más frecuencia osciladores armónicos,
empleando para ello un término musical debido a que el tipo de oscilaciones que producen es el mismo
que el que forma parte de las ondas sonoras.
5.1 Muelle
Un dispositivo elástico, como un muelle o una tira de goma, tienen la particularidad, debido al material
de que están construidos, y a la forma (en el caso del muelle), de recuperar la longitud inicial después
Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 10
de ser estirados. Este comportamiento elástico es debido a la existencia de una fuerza recuperadora
que se opone al estiramiento y que de acuerdo con la ley experimental de Hooke, es proporcional (para
estiramientos pequeños) a la longitud estirada. Estudiaremos este primer sistema mecánico en los tres
casos siguientes.
1. Ausencia de rozamiento y de fuerza externa
2. Sometido a rozamiento pero no a fuerzas externas
3. Sometido a rozamiento y a una fuerza externa
5.1.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa
Supongamos que disponemos de un muelle de masa despreciable que se encuentra suspendido de un
extremo,y cuya longitud es l0. Al colgar del otro extremo un cuerpo de masa m, el muelle se estira hasta
alcanzar la longitud l1, quedando entonces inmóvil. En ese momento, el sistema está equilibrado, y la
posición del cuerpo se toma como origen. Cualquier desplazamiento posterior se considerará positivo si
es hacia abajo de esta posición de equilibrio, y negativo si es hacia arriba. Asimismo, las fuerzas que
actúen hacia abajo se tomarán positivas y las que actúen hacia arriba, negativas. Dado que el problema
es unidimensional, no será necesario el empleo de vectores.
En la posición de equilibrio hay dos fuerzas actuando, el peso P hacia abajo, y la fuerza recuperadora
del muelle hacia arriba y que de acuerdo con la ley de Hooke, es proporcional a la longitud estirada, es
decir −k(l1 − l0) donde k > 0 se llama constante elástica del muelle. Pero dado que el sistema está
equilibrado, la suma F de todas las fuerzas es cero
F = P − k(l1 − l0) = 0
l
0
l
1
x
Si ahora desplazamos el cuerpo hacia abajo una distancia x > 0, el estiramiento del muelle hará actuar
de nuevo la fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento −kx de modo que la suma F de todas
las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es ahora
F = P − k(l1 − l0)− kx = −kx
Llamando a a la aceleración del cuerpo, la segunda ley de Newton permite escribir
ma = −kx
Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 11
o bien, teniendo en cuenta que a = x00
mx00 + kx = 0
y si llamamos ω2 =
k
m
, la ecuación diferencial queda así
x00 + ω2x = 0.
5.1.2 Muelle sometido a rozamiento
La situación descrita en el caso anterior no es realista. Un muelle que se mueve en el aire, está sometido
a fricciones que se traducen en la aparición de una fuerza que tiende a frenarlo. Además, en ciertas
aplicaciones industriales, los muelles se diseñan de modo que el efecto de fricción sea importante, como
ocurre con los amortiguadores que se emplean en determinados mecanismos.
Admitamos que el rozamiento del aire influye sobre el movimiento del móvil sujeto al muelle, oponiendo
una fuerza proporcional y de sentido contrario a la velocidad, es decir
Fr = −bv b > 0
de modo que al añadir esta nueva fuerza, la segunda ley de Newton queda así
ma = −bv − kx
o bien
x00 +
b
m
x0 +
k
m
x = 0
donde hemos dividido por m y sustituido a por x00 y v por x0. Por último, llamando
1
τ
=
b
m
y ω2 =
k
m
,
resulta
x00 +
1
τ
x0 + ω2x = 0.
5.1.3 Muelle sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal
Una vez analizada la influencia del rozamiento vamos a estudiar el efecto que produce la aplicación de
una fuerza externa. Nos limitaremos, ya que es el caso más interesante, a fuerza externas sinusoidales.
Imaginemos que ahora el punto S del que está colgado, experimenta un movimiento oscilatorio arriba
y abajo dado por
p(t) = δ cosω0t δ > 0
p(t)
Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 12
Si nos situamos en el punto S, es decir, nos colocamos en un sistema de referencia no inercial, y, puesto
que
suma de fuerzas activas = −kx− bv
fuerza de inercia = mδω20 cosω0t
la segunda ley de Newton, se escribirá así
−kx− bv +mδω20 cosω0t = ma
Recordando que x00 = a y que x0 = v, y reordenando los términos, podemos escribir la ecuación diferencial
de esta forma
mx00 + bx0 + kx = mδω20 cosω0t
al dividir por m, queda
x00 +
1
τ
x0 + ω2x = A0 cosω0t
donde, como ya es habitual, hemos llamado
1
τ
=
b
m
y ω2 =
k
m
, además de A0 = δω20.
5.2 Péndulo
Al igual que para el muelle, analizaremos el movimiento del péndulo en los tres casos anteriores.
5.2.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa
Consideremos un péndulo constituido por un hilo de longitud l inextensible y de masa despreciable del
que cuelga un cuerpo de masa m. Las fuerzas que actúan son el peso P = mg y la tensión T del hilo.
Tomaremos como positivo el sentido hacia abajo en la dirección vertical, y como origen de ángulos la
recta vertical OS. Al desplazarse el péndulo hacia la derecha, el ángulo descrito θ se tomará positivo, así
como el arco de circunferencia que describe el cuerpo de masa m. Llamaremos s al desplazamiento a lo
largo de este arco.
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
S
O
+-
T
θ
P
P
t P
n
θ
s
Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 13
El peso P puede descomponerse en una componente tangencial Pt a la trayectoria y en otra normal
Pn. La diferencia entre esta última y la tensión del hilo produce una aceleración normal en el móvil
responsable de los cambios de dirección de la velocidad en los distintos puntos de la trayectoria. La
componente tangencial es la que provoca cambios en el módulo de la velocidad.
Para los vectores tangenciales seguiremos adoptando el mismo convenio: un vector tangencial en un
punto Q de la trayectoria tiene sentido positivo, si su proyección sobre la recta horizontal que pasa por
Q, está situada a la derecha de Q, y negativo si está a la izquierda. Aplicando este convenio a Pt, vemos
que tiene sentido negativo si θ > 0, y positivo si θ < 0.
Dado que no hay movimiento en la dirección normal (aunque sí hay aceleración), sólo nos interesare-
mos, a efectos de desplazamientos, en la dirección tangencial. De acuerdo con todo esto, la segunda ley
de Newton aplicada al péndulo sería
mat = Pt
Si llamamos t al vector unitario de sentido positivo tangente a la trayectoria, podremos escribir
Pt = −mg sen θt
y por lo tanto
at = −g sen θ
Pero la trayectoria es un arco de circunferencia de radio l, con lo cual s = θ l. Además at =
dv
dt
=
d2s
dt2
= s00, así que
θ00l = −g sen θ
Esta ecuación diferencial no es lineal. En su resolución intervienen ciertos tipos de integrales llamadas
integrales elípticas, pero ello cae fuera del alcance de esta lección. En lugar de eso vamos a hacer la
suposición de que las oscilaciones del péndulo son de pequeña amplitud, es decir, vamos a suponer que el
movimiento se realiza con valores pequeños de θ. En tal caso, del desarrollo en serie de la función seno,
sen θ = θ − θ
3
3!
+
θ5
5!
− · · ·
tomamos una aproximación de primer orden
sen θ ' θ para valores pequeños de |θ|
con lo que la ecuación diferencial ahora es lineal
θ00l + gθ = 0
y si llamamos ω2 =
g
l
y también θ = x, queda así
x00 + ω2x = 0.
5.2.2 Péndulo sometido a rozamiento
Admitamos que el rozamiento que el aire opone al movimiento del péndulo produce efecto sólo sobre el
módulo de la velocidad, pero no sobre su dirección y sentido. Es decir, que el rozamiento no afecta a la
forma de la trayectoria, lo cual es una hipótesis bastante plausible. Admitamos además que el rozamiento
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es una fuerza proporcional al módulo de la velocidad, y puesto que sólo afecta a ese módulo, su dirección
es tangencial y su sentido el opuesto a v. Es decir
Fr = −bvt b > 0
donde t es un vector unitario tangente y de sentido positivo, de acuerdo con el criterio expuesto en la
sección 2.1. A este respecto, es conveniente resaltar el hecho de que v es la componente tangencial de v,
no su módulo, por lo que puede ser positiva o negativa.
Recordando además, que estamos en la hipótesis de ángulos pequeños, podemos escribir la segunda
ley de Newton aplicada al péndulo en estas nuevas condiciones
ma = −mgθ − bv
Puesto que la trayectoria es circular, tenemos que s = θl, de donde resultan s0 = θ0l y s00 = θ00l. Si
ahora reordenamos los términos y dividimos por ml, queda
θ00 +
b
m
θ0 +
g
l
θ = 0
Por último, llamando x = θ,
1
τ
=
b
m
y ω2 =
g
l
, la ecuación diferencial queda así
x00 +
1
τ
x0 + ω2x = 0.
5.2.3 Péndulo sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal
Supongamos que el punto S del que está suspendido el péndulo, experimenta un desplazamiento horizontal
p que en función del tiempo es
p(t) = δ cosω0tδ > 0
����
O
+-
θ
S
p(t)
Para estudiar el movimiento vamos a situarnos sobre ese punto, con lo cual estamos en un sistema de
referencia no inercial. La segunda ley de Newton en un sistema de tal tipo queda así
suma de todas las fuerzas activas + fuerza de inercia = ma
Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 15
donde las fuerzas activas son el peso, la tensión del hilo y el rozamiento (si lo hay), mientras que la fuerza
de inercia Fi es
Fi = −mani
donde ani es la aceleración del sistema no inercial, que de acuerdo con la figura, tiene (y por tanto,
también Fi) dirección horizontal.
�
�
�
�
O
+-
θ
S
p(t)
F
in
F
it
F
i
De las dos componentes, tangencial y normal (a la trayectoria) de la fuerza de inercia, sólo conside-
raremos la tangencial, ya que es la única que contribuye al movimiento y esta componente tangencial
es
Fit = Fi cos θ ' Fi
ya que en la hipótesis de ángulos pequeños, cos θ ' 1.
Tomando pues sólo las componentes tangenciales de las fuerzas, ya que son las únicas que contribuyen
al movimiento, podemos escribir la segunda ley de Newton (en la aproximación de ángulos pequeños) así
−mgθ − bv +mδω20 cosω0t = ma
pero como v = s0 = θ0l y a = s00 = θ00l, resulta
−mgθ − bθ0l +mδω20 cosω0t = mθ00l
si ahora reordenamos los términos y dividimos por m y l
θ00 +
b
m
θ0 +
g
l
θ =
δ
l
ω20 cosω0t
Por último, llamando x = θ,
1
τ
=
b
m
, ω2 =
g
l
y A0 =
δ
l
ω20, queda
x00 +
1
τ
x0 + ω2x = A0 cosω0t.
5.3 Circuito eléctrico
En el caso del circuito eléctrico, y al no ser éste un sistema mecánico, términos como fuerza, velocidad
o desplazamiento carecen de sentido. No obstante las similitudes en el comportamiento de este sistema
eléctrico con los anteriores sistemas mecánicos es tan grande, como quedará de manifiesto al establecer la
ecuación diferencial que lo rige, que el estudio de los tres sistemas merece ser abordado conjuntamente.
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5.3.1 Circuito LC
Un condensador es un componente eléctrico capaz de almacenar carga estableciéndose como consecuencia
de ello una diferencia de potencial entre sus extremos. Una autoinducción es otro componente que
reacciona a las variaciones de la corriente eléctrica que la recorre, creando asimismo una diferencia de
potencial entre sus extremos. Para el condensador, la relación entre la diferencia de potencial vC y la
carga q viene dada por
vC =
q
C
donde C es una constante positiva característica de cada condensador llamada capacidad.
Para la autoinducción, la relación entre la diferencia de potencial vL y la variación de la corriente
viene dada por la Ley de Faraday
vL = L
di
dt
donde i es la intensidad de la corriente y L una constante positiva característica de cada autoinducción,
llamada inductancia.
Supongamos que cargamos un condensador con una carga q, y a continuación lo conectamos con una
autoinducción.
C
L
V
L
V
C
i
El condensador comenzará a descargarse, estableciéndose un transporte de carga, es decir una corriente
eléctrica variable con el tiempo a través de la autoinducción. Como inicialmente la corriente era cero y
ahora no lo es, la autoinducción reaccionará oponiendo una diferencia de potencial entre sus extremos.
De acuerdo con la ley de Kirchhoff de las tensiones
vC + vL = 0
o lo que es lo mismo
q
C
+ L
di
dt
= 0
pero recordando que q0 = i, podemos escribir
Li00 +
1
C
i = 0
que es una ecuación diferencial lineal. Si llamamos ω2 =
1
LC
y también x = i, queda
x00 + ω2x = 0.
Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 17
5.3.2 Circuito LCR
Una resistencia es un dispositivo eléctrico que reacciona al paso de la corriente con una caída de potencial
entre sus extremos proporcional a la intensidad de la corriente que la recorre. Si llamamos vR a esta
caída de potencial, la Ley de Ohm establece que
vR = iR
donde R es una constante de proporcionalidad llamada también resistencia.
C
L
V
L
V
C
i
R
R
V
Si al circuito LC que teníamos, le añadimos una resistencia en serie, la ley de Kirchhoff de las tensiones
quedará ahora así
vC + vR + vL = 0
o bien
q
C
+ iR+ L
di
dt
= 0
Ahora derivamos esta igualdad, recordando que
dq
dt
= i, reordenamos los términos y dividimos por L
i00 +
R
L
i0 +
1
LC
i = 0
Por último, llamamos x = i,
1
τ
=
R
L
, ω2 =
1
LC
, y la ecuación diferencial queda definitivamente
así
x00 +
1
τ
x0 + ω2x = 0.
5.3.3 Circuito LCR con una fuente de tensión sinusoidal
Una fuente de tensión es un dispositivo eléctrico que a diferencia de otros, como por ejemplo las resis-
tencias, mantiene entre sus extremos una diferencia de potencial determinada con independencia de la
intensidad de la corriente que la atraviese.
Vamos a incorporar al circuito LCR, una fuente de tensión que mantiene entre sus extremos una
diferencia de potencial que depende del tiempo de esta forma:
v(t) = v0 sen ω0t
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C
L
V
L
V
C
R
i
V
R
V(t)
+
Al emplear la ley de Kirchhoff de las tensiones queda
vC + vR + vL = v0 sen ω0t
pero recordando que
vC =
q
C
vR = iR vL = L
di
dt
podemos escribir
q
C
+ iR+ L
di
dt
= v0 sen ω0t
Si ahora derivamos y tenemos en cuenta que
dq
dt
= i
1
C
i+ i0R+ Li00 = v0ω0 cosω0t
reordenando los términos y dividiendo por L queda
i00 +
R
L
i0 +
1
LC
i =
v0
L
ω0 cosω0t
Por último, llamando x = i,
1
τ
=
R
L
, ω2 =
1
LC
y A0 =
v0
L
ω0, tenemos
x00 +
1
τ
x0 + ω2x = A0 cosω0t.
5.4 Solución de los problemas de valores iniciales
En lo que sigue, resolveremos las diferentes ecuaciones diferenciales obtenidas aplicando las técnicas
estudiadas anteriormente y a la vista de las soluciones interpretaremos el movimiento.
5.4.1 Ecuación x00 + ω2x = 0
Las soluciones de la ecuación característica r2 +ω2 = 0 son r = ±ωi, por lo que la solución general de la
ecuación diferencial es
x(t) = C1 cosωt+ C2 sen ωt
Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 19
Es costumbre escribir esta expresión de otra forma, para lo que introducimos las constantes A y φ de
modo que
C1 = A cosφ C2 = −A sen φ
siendo A > 0 y 0 ≤ φ < 2π. De este modo resulta
x(t) = A cos(ωt+ φ)
que, como puede comprobarse, es una función periódica de período T =
2π
ω
, independientemente de los
valores de A y φ. A la expresión ωt + φ se le llama fase instantánea o simplemente fase, al número
A, amplitud. ω es la pulsación, también llamada frecuencia angular, y a φ se llama constante de
fase, fase inicial o ángulo de fase.
Vamos ahora a dar condiciones iniciales que permitan calcular la amplitud y la constante de fase.
Sean
x(0) = x0 x
0(0) = x00
entonces, al sustituir en x y en x0 queda x0 = A cosφ, x00 = −Aω sen φ y de aquí podemos obtener A
y φ para estas condiciones iniciales.
En el siguiente cuadro, se resumen algunas de las situaciones que pueden presentarse de acuerdo con
los valores de x0 y x00
Cond. iniciales Solución Gráfica Ang. de fase
x0 > 0 x
0
0 = 0
x0 < 0 x
0
0 = 0
x (t) = x0 cosωt
A
B
φ = 0
φ = π
x0 = 0 x
0
0 > 0
x0 = 0 x
0
0 < 0
x (t) =
x00
ω
senωt
C
D
φ = 3π/2
φ = π/2
 t
 x(t)
 x
0
Gráfica A
 t
 x(t)
 x
0
Gráfica B
Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 20
 t
 x(t)
Gráfica C
 t
 x(t)
Gráfica D
5.4.2 Ecuación x00 +
1
τ
x0 + ω2x = 0.
La correspondiente ecuación característica r2 +
1
τ
r + ω2 = 0 tiene dos raíces que pueden ser reales
(distintas o iguales) o complejas, según como sea el signo del discriminante
1
τ2
− 4ω2.
1
τ2
− 4ω2 > 0 raíces reales distintas
1
τ2
− 4ω2 = 0 raíces reales iguales
1
τ2
− 4ω2 < 0 raíces complejas conjugadas
Raíces reales distintas. Sobreamortiguamiento
Cuando el discriminante es positivo, las dos raíces reales resultan ser, como es fácil comprobar,nega-
tivas
r1 =
−1
2τ
+
r
1
4τ2
− ω2 < 0 r2 = −1
2τ
−
r
1
4τ2
− ω2 < 0
y la solución general de la ecuación diferencial es
x(t) = C1e
r1t + C2e
r2t
Las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00 permiten calcular las constantes C1 y C2
C1 =
x00 − r2x0
r1 − r2 C2 = −
x00 − r1x0
r1 − r2
así que la solución del problema de valores iniciales es
x(t) =
∙
1
r1 − r2 (x
0
0 − r2x0)er1t − (x00 − r1x0)er2t
¸
Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 21
De la observación de esta solución se desprende que el oscilador pasa por la posición de equilibrio
cuando
(x00 − r2x0)er1t − (x00 − r1x0)er2t = 0
y ello sólo ocurre cuando x00−r2x0 y x00−r1x0 tienen el mismo signo. El paso por la posición de equilibrio
se da una sola vez en el instante
t0 =
1
r1 − r2 ln
x00 − r1x0
x00 − r2x0
Así pues, o bien el oscilador no pasa nunca por la posición de equilibrio, o lo hace una sola vez, o
siempre permanece en ella en el caso trivial de que x00 = x0 = 0. En cualquier caso, decimos que el sistema
está sobreamortiguado. El amortiguamiento debido al término de fricción es tan grande que el sistema
no llega a experimentar oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio.
A continuación se muestran algunas de las situaciones que pueden presentarse de acuerdo con los
valores de x0 y x00.
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
Raíces reales iguales. Amortiguamiento crítico
Cuando el discriminante es cero, sólo hay una raíz real (distinta) que resulta ser negativa
r =
−1
2τ
< 0
La solución general de la ecuación diferencial es ahora
x(t) = ert(C1 + C2t)
Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 22
Con las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00 podemos calcular C1 y C2
C1 = x0 C2 = x
0
0 − rx0
así que la solución del problema de valores iniciales es
x(t) = ert[x0 + (x
0
0 − rx0)t]
Si (x00 − rx0)t = 0, el oscilador no pasa nunca por la posición de equilibrio a no ser que x0 = x00 = 0 en
cuyo caso no saldría de ella. Si x0 = 0 pero x00 6= 0, el oscilador parte de la posición de equilibrio a la
que no regresa jamás. Cuando x0 y x00 − rx0 tienen signos distintos, el oscilador pasa por la posición de
equilibrio en el instante
t0 = − x0
x00 − rx0
después de haberse iniciado el movimiento, pero si tienen el mismo signo, no pasa nunca por esa posición.
Así pues, ya que excluido el caso trivial de que x0 = x00 = 0, el oscilador solo pasa como máximo
una vez (pudiera no pasar ninguna) por la posición de equilibrio, el movimiento no es oscilatorio. Como
antes, el amortiguamiento es tan grande que impide las oscilaciones. En este caso decimos que el sistema
está críticamente amortiguado, ya que una pequeña variación en la fuerza de fricción o en la fuerza
recuperadora hará que el discriminante pase a ser positivo o negativo, es decir, el sistema seguirá sin
oscilar o comenzará a hacerlo.
En la realidad, el amortiguamiento crítico es extremadamente difícil de conseguir, ya que cualquier
variación en las condiciones ambientales (por ejemplo, un pequeño cambio en la temperatura) puede
influir sobre los valores de la constante elástica del muelle, o sobre el valor de la resistencia eléctrica, o
quizá sobre la longitud del hilo del péndulo.
Raíces complejas conjugadas. Subamortiguamiento
Al ser negativo el discriminante, las raíces de la ecuación característica son complejas conjugadas
r1 = α+ iβ r2α− iβ
donde
α =
−1
2τ
< 0 β =
r
ω2 − 1
4τ2
> 0
y la solución general de la ecuación diferencial es
x(t) = eαt(C1 cosβt+ C2 sen βt)
Ahora introducimos, como hicimos antes, las constantes A y φ de modo que
C1 = A cosφ C2 = −A sen φ
con lo que la solución general queda así
x(t) = Aeαt cos(βt+ φ)
Al sustituir las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00 en x(t) y en x
0(t), resulta
x0 = A cosφ
x00 = αA cosφ− βA sen φ
Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 23
de donde podemos obtener los valores de A y de φ para diferentes condiciones iniciales. A continuación
se muestran algunas de las situaciones que pueden presentarse de acuerdo con los valores de x0 y x00.
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
Como se puede observar en las gráficas, x(t) no es una función periódica, no obstante el tiempo que
tarda en efectuarse un ciclo es siempre el mismo y puede calcularse, resultando T = 2π/β.
5.4.3 Ecuación x00 +
1
τ
x0 + ω2x = A0 cosω0t.
La ecuación diferencial que debemos resolver ahora, es de nuevo lineal, pero ahora tiene segundo miembro.
Como ya sabemos, la solución general viene dada por la suma de la solución general de la correspondiente
ecuación homogénea que ya ha sido obtenida en el segundo caso y de una solución particular de la ecuación
completa. Dado que el segundo miembro de la ecuación diferencial es una función coseno, para obtener
esta solución particular, emplearemos el método de coeficientes indeterminados.
Vamos pues a ensayar como solución una función de la forma
z(t) = A sen ω0t+B cosω0t
donde A y B son coeficientes a determinar con la condición de que z sea solución de la ecuación diferencial.
Si derivamos z dos veces, sustituimos z, z0 y z00 en la ecuación diferencial, igualamos coeficientes y
resolvemos el sistema que se obtiene, encontramos que los valores de los coeficientes son
A =
A0
τ
ω0
(ω2 − ω20)2 +
ω20
τ2
B =
A0(ω
2 − ω20)
(ω2 − ω20)2 +
ω20
τ2
Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 24
Es conveniente expresar z(t) de otra manera. Para ello, introducimos los coeficientes
E > 0 0 ≤ φ0 < 2π
de acuerdo con las igualdades
A = −E sen φ0 B = E cosφ0
con lo cual resulta que
z(t) = A senω0t+B cosω0t
= −E sen φ0 sen ω0t+E cosφ0 cosω0t
= E cos(ω0t+ φ0)
donde
E =
A0∙
(ω2 − ω20)2 +
ω20
τ2
¸1/2
Resulta pues que la solución general de la ecuación diferencial completa es
x(t) = g(t, C1, C2) +E cos(ω0t+ φ0)
en la que g(t, C1, C2) es la solución general de la correspondiente ecuación homogénea. Ahora bien, la
forma de la función g depende, como hemos visto en la sección 5.4.2, del signo del discriminante de la
ecuación característica. Recordemos que puede tomar una de estas tres formas
g(t, C1, C2) = C1e
r1t + C2e
r2t
g(t, C1, C2) = e
rt(C1 + C2t)
g(t, C1, C2) = e
αt(C1 cosβt+ C2 sen βt)
que tienen en común, como es fácil comprobar, el que
lim
t→∞ g(t, C1, C2) = 0
independientemente de los valores de C1 y C2, o lo que es lo mismo, de las condiciones iniciales. Así pues,
el movimiento comienza como la superposición (es decir, la suma) de un movimiento amortiguado dado
por g(t, C1, C2), y un movimiento oscilatorio no amortiguado E cos(ω0t+ φ0). En esta situación, se dice
que el sistema se encuentra en estado transitorio. Pero conforme pasa el tiempo, el primero de ellos va
decayendo, por lo que su contribución al movimiento va siendo cada vez menor, mientras que el segundo
permanece. Al cabo de mucho tiempo, sólo este último se mantiene, y entonces se dice que el sistema ha
alcanzado el estado estacionario, en el que permanece indefinidamente.
El estado transitorio es pasajero como indica su nombre, y ello es así por el efecto del amortiguamiento.
En cambio, el estado estacionario permanece mantenido por la acción de la fuerza externa.
Vamos a centrar nuestra atención en el estado estacionario del sistema
z(t) =
A0∙
(ω2 − ω20)2 +
ω20
τ2
¸1/2 cos(ω0t+ φ0)
Observemos que el movimiento es oscilatorio con una frecuencia angular ω0 que coincide con la de la fuerza
externa. El amortiguamiento que tendería a frenar el oscilador es compensado por la acción impulsora
de la fuerza externa de tal modo, que el movimiento se lleva a cabo con una amplitud constante como
si el amortiguamiento no existiera. Pero sí existe. Una simple inspección de la expresión que da la
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amplitud de la oscilación, permite descubrir queun aumento en el factor 1/τ disminuye la amplitud.
También podemos observar que una disminución en la diferencia entre la frecuencia angular propia ω del
oscilador y la de la fuerza externa ω0, la aumenta. Estudiemos con más detalle estos fenómenos para lo
que escribimos la amplitud de esta manera
E =
A0∙
(ω2 − ω20)2 +
ω20
τ2
¸1/2
e introducimos la la función
M(ω0) =
1∙
(ω2 − ω20)2 +
ω20
τ2
¸1/2
Esta función presenta un máximo para aquel valor de ω0 en el que el denominador alcanza el mínimo, y
ello ocurre cuando
ω0 =
r
ω2 − 1
2τ2
si ω2 − 1
2τ2
> 0 o cuando ω0 = 0 si ω2 − 1
2τ2
< 0.
Veamos los dos casos:
— Si ω2 − 1
2τ2
< 0, esto es b2 > 2mk, la función M(ω0) es decreciente y el máximo se alcanza con
ω0 = 0.
— Si ω2 − 1
2τ2
> 0, esto es b2 < 2mk, el máximo se alcanza cuando ω0 =
q
ω2 − 12τ2 . A este valor se
le llama frecuencia de resonancia del sistema.
Observese que como se debe tener b2 < 2mk, para que haya resonancia, un sistema no puede estar
en resonancia a menos que sea subamortiguado.
0( )M ω
0ω
b=1/4
b=1/2
b=3/2
b=2
b=1
ω
0( )M ω
0ω
b=1/4
b=1/2
b=3/2
b=2
b=1
ω
En la figura se muestran diversas gráficas de la función M(ω0) para distintos valores del factor b.
De la observación de la misma se deduce que la amplitud del estado estacionario alcanza valores
grandes cuando ω ' ω0.
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Este aumento en el tamaño de la amplitud (tanto mayor mientras más pequeño sea el factor b) recibe
el nombre de resonancia, y por ello, las curvas de la figura reciben el nombre de curvas de resonancia.
El hecho de que la resonancia aumente al disminuir el valor de b es debido a que al oponer el oscilador
un amortiguamiento débil, la fuerza impulsora externa encuentra pocas dificultades para excitarlo.
Veamos qué ocurre en el caso extremo (que naturalmente no se da en la práctica) de que el amorti-
guamiento fuera nulo. La ecuación diferencial adoptaría entonces la forma
x00 + ω2x = A0 cosω0t
que vamos a resolver. La solución general de la correspondiente ecuación homogénea es
C1 cosωt+ C2 sen ωt
y una solución particular de la ecuación completa puede obtenerse por el método de los coeficientes
indeterminados, ensayando una del tipo
z(t) = A sen ω0t+B cosω0t
Al derivar dos veces y sustituir z y z00 en la ecuación diferencial resulta, tras reducir términos semejantes
A(ω2 − ω20) sen ω0t+B(ω2 − ω20) cosω0t = A0 cosω0t
y por lo tanto
A = 0 B =
A0
ω2 − ω20
de modo que la solución general de la ecuación diferencial es
C1 cosωt+ C2 sen ωt+
A0
ω2 − ω20
cosω0t
Al determinar el valor de las constantes C1 y C2 mediante las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00
resulta
C1 = x0 − A0
ω2 − ω20
C2 =
x00
ω
de modo que el movimiento del oscilador queda descrito mediante
x (t) = x0 cosωt+
x00
ω
sen ωt+
A0
ω2 − ω20
(cosω0t− cosωt)
que puede escribirse, empleando la expresión trigonométrica de la diferencia de cosenos, de esta forma
x (t) = x0 cosωt+
x00
ω
sen ωt+
2A0
ω2 − ω20
sen
µ
ω − ω0
2
t
¶
sen
µ
ω + ω0
2
t
¶
De la observación de esta última expresión se deduce que el movimiento del oscilador es la superposi-
ción de un movimiento vibratorio armónico de amplitud constante
p
x20 + x
02
0 y de frecuencia angular ω
representado por los dos primeros términos, y de un movimiento oscilatorio de amplitud
2A0
ω2 − ω20
sen
µ
ω − ω0
2
t
¶
y de frecuencia angular
ω + ω0
2
. Esta amplitud, como puede verse, no es constante, sino que varía
sinusoidalmente con el tiempo a una frecuencia angular
ω − ω0
2
.
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t
x(t)
Supongamos por último, que además de ser nulo el amortiguamiento, ocurriera además ω = ω0. La
ecuación diferencial adoptaría la forma
x00 + ω20x = A0 cosω0t
y entonces la función
z(t) = A sen ω0t+B cosω0t
sería solución de la ecuación homogénea. Vamos por lo tanto a ensayar esta otra posible solución
z(t) = t(A sen ω0t+B cosω0t)
Si derivamos dos veces
z0(t) = (−Bω0t+A) sen ω0t+ (Aω0t+B) cosω0t
z00(t) = (−Aω20t− 2Bω0) sen ω0t+ (−Bω20t+ 2Aω0) cosω0t
y sustituimos z y z00 en la ecuación diferencial, resulta al agrupar términos semejantes
−2Bω0 sen ω0t+ 2Aω0 cosω0t = A0 cosω0t
igualando coeficientes, obtenemos
A =
A0
2ω0
B = 0
Resulta pues que la solución general de la ecuación diferencial es
x(t) = C1 cosω0t+ C2 sen ω0t+
A0
2ω0
t sen ω0t
Si introducimos las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00, podemos calcular los valores de las
constantes C1 y C2, que son
C1 = x0 C2 =
x00
ω0
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de modo que el comportamiento del oscilador queda descrito por
x(t) = x0 cosω0t+
x00
ω0
sen ω0t+
A0
2ω0
t sen ω0t
que consiste en la superposición de un movimiento vibratorio armónico representado por los dos primeros
términos y de una oscilación cuya amplitud
A0
2ω0
t es creciente con el tiempo y cuya frecuencia angular
es ω0. El movimiento resultante es oscilatorio pero con una amplitud cada vez más grande, lo que trae
como consecuencia, desde el punto de vista matemático que la validez de las suposiciones de linealidad
hechas hasta ahora en base a considerar pequeñas oscilaciones, dejaría de tener lugar, y desde el punto
de vista físico, la destrucción del sistema.
t
x(t)