S05 s1 Ecuaciones lineales de orden superior homogeneas

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ECUACIONES 
DIFERENCIALES DE 
ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS 
CON COEFICIENTES CONSTANTES
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión el estudiante identifica y resuelve ecuaciones 
diferenciales lineales homogéneas de orden superior”
ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIONES
¿Cuál es su utilidad?
Las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior se utilizan para modelar varios fenómenos 
físicos como:
✓ Sistemas masa- resorte.
✓ Circuitos eléctricos.
Entre otros.
ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIONES
DEFINICIÓN
Ecuaciones 
homogéneas
¿Qué es una ecuación diferencial lineal de orden 
superior?
Una ecuación diferencial lineal de orden n es una
ecuación de la forma.
𝒂𝒏 𝒙 𝒚
(𝒏) + 𝒂𝒏−𝟏 𝒙 𝒚
(𝒏−𝟏) +⋯+ 𝒂𝟏 𝒙 𝒚
′ + 𝒂𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒈(𝒙)
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
1Dependencia e independencia lineal
Decimos que las funciones 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛 (𝑥) son
linealmente independientes (LI) si
𝑐1𝑓1 𝑥 ,+𝑐2𝑓2 𝑥 ,+⋯𝑐𝑛𝑓𝑛 𝑥 = 0 implica 𝑐1 = 𝑐2 = ⋯ = 𝑐𝑛 = 0.
Si existen 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 no todos nulos de modo que
𝑐1𝑓1 𝑥 ,+𝑐2𝑓2 𝑥 ,+⋯𝑐𝑛𝑓𝑛 𝑥 = 0 decimos que las funciones con
linealmente dependientes (LD)
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Wronskiano
Si las funciones 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 ,… , 𝑓𝑛(𝑥) poseen al menos 𝑛 − 1 derivadas. El 
determinante
𝑊 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 ,… , 𝑓𝑛 𝑥 =
𝑓1 𝑓2 …
𝑓1
′ 𝑓′2 …
⋮
𝑓1
(𝑛−1)
⋮
𝑓2
(𝑛−1)
⋱
…
𝑓𝑛
𝑓𝑛
′
⋮
𝑓𝑛
(𝑛−1)
Se llama Wronskiano de las funciones 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 ,… , 𝑓𝑛 𝑥
Si 𝑊 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 ,… , 𝑓𝑛 𝑥 ≠ 0 las funciones son LI.
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Ejemplo 1. Verificar si las funciones 𝑓1 𝑥 = cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 
𝑓2 𝑥 = −2 cos 𝑥 , 𝑓3 = 𝑒
𝑥 son linealmente independientes
Solución. :
Calculemos el Wronskiano
𝑊 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 =
cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 −2 cos 𝑥 𝑒𝑥
−𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑒𝑥
−cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 cos(𝑥) 𝑒𝑥
𝑊 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 = (cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 )
2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑒𝑥
2 cos 𝑥 𝑒𝑥
− −𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥
−2 cos 𝑥 𝑒𝑥
2 cos 𝑥 𝑒𝑥
+ −cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
−2cos 𝑥 𝑒𝑥
2𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒𝑥
𝑊(𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 ) = (cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 )𝑒
𝑥(2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 2cos(𝑥)) − −𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 𝑒𝑥 (−4cos(𝑥))
+ −cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒𝑥 −2cos 𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑊(𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 ) = 4𝑒
𝑥 ≠ 0
Las funciones son LI
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
2 Reducción de orden
Consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden 
𝑎2(𝑥)𝑦′′ + 𝑎1(𝑥)𝑦′ + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0 podemos escribirla de la forma 
𝑦′′ + 𝑃(𝑥)𝑦′ + 𝑄(𝑥)𝑦 = 0. 
Supongamos que 𝑦1(𝑥) es una solución de la ecuación diferencial, 
podemos encontrar otra solución de la ecuación diferencial suponiendo que 
es de la forma 𝑦2 𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑦1(𝑥). Donde 
𝑢 𝑥 = න
𝑒 −∫ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑦1
2 𝑑𝑥
Entoces la segunda solución será:
𝑦2(𝑥) = 𝑦1 𝑥 න
𝑒 −∫ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑦1
2 𝑑𝑥
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Ejemplo 2. Hallar otra solución de la ecuación diferencial 
𝑥2𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0 si una solución es 𝑦1 = cos(ln(𝑥))
Solución. :
La ecuación diferencial en su forma estándar es: 
𝑦′′ +
1
𝑥
𝑦′ +
1
𝑥2
𝑦 = 0
Donde 𝑃 𝑥 =
1
𝑥
; 𝑄 𝑥 =
1
𝑥2
, entonces 
𝑢 𝑥 = න
𝑒 −∫ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑦1
2 𝑑𝑥 = න
𝑒 − ∫
1
𝑥 𝑑𝑥
cos2(ln(𝑥))
𝑑𝑥 = න
𝑒 − ln(𝑥)
cos2(ln(𝑥))
𝑑𝑥 = න𝑥−1. se𝑐2(ln(𝑥)) 𝑑𝑥
𝑡 = ln(𝑥) → 𝑑𝑡 = 𝑥−1𝑑𝑥 → ∫ sec2 𝑡 𝑑𝑡 = tan(𝑡)
𝑢 𝑥 = tan(ln(𝑥))
Entonces y2 𝑥 = tan(ln(𝑥)) . 𝑐𝑜𝑠 ln 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥)). Así:
𝑦 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥)) + 𝑐2cos(ln(𝑥))
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
3Ecuaciones diferenciales lineales 
homogéneas de orden n con coeficientes constantes
Para resolver la ecuación diferencial lineal homogénea:
𝑎𝑛𝑦
(𝑛) + 𝑎𝑛−1𝑦
(𝑛−1) +⋯+ 𝑎1𝑦
′ + 𝑎0𝑦 = 0
con 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎1, 𝑎0 constantes encontramos la ecuación 
auxiliar o ecuación característica
𝑎𝑛𝑚
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑚
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑚 + 𝑎0 = 0
La ecuación auxiliar tiene n raíces, la solución de la ecuación 
diferencial es una combinación de n términos de acuerdo a la 
naturaleza de las raíces:
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Solución de ecuaciones diferenciales lineales 
homogéneas de orden n con coeficientes constantes
1. Si la ecuación auxiliar tiene 𝑛 raíces 𝑚𝑖 reales distintas, la solución general de 
la ecuación es 𝑦 = 𝑐1 𝑒
𝑚1𝑥 + 𝑐2𝑒
𝑚2𝑥 + … + 𝑐𝑛𝑒
𝑚𝑛𝑥
2. Si la ecuación tiene 𝑘 raíces reales iguales a 𝑚 (raíz de multiplicidad 𝑘 ), 
entonces la solución general de la ecuación diferencial debe contener la 
combinación 𝑦 = 𝑐1 𝑒
𝑚𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒
𝑚𝑥 + … + 𝑐𝑘𝑥
𝑘−1𝑒𝑚𝑥
3. Si la ecuación auxiliar tiene raíces complejas conjugadas 𝑚 = 𝛼 ± 𝛽𝑖 , 
entonces la solución general de la ecuación diferencial debe contener un 
término 𝑒𝛼𝑥 𝑐1. cos 𝛽𝑥 + 𝑐2. 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 . 
4. Si un factor se puede llevar a la forma 𝑚 − 𝛼 2 + 𝛽2
𝑘
, es decir, la ecuación 
auxiliar tiene k pares de raíces complejas conjugadas iguales a 𝑚 = 𝛼 ± 𝛽𝑖
(multiplicidad k ) entonces la solución general de la ecuación diferencial debe 
contener la combinación
𝑒𝛼𝑥 (𝑐1+𝑐2𝑥 +⋯+ 𝑐𝑘𝑥
𝑘−1) cos 𝛽𝑥 + (𝑑1+𝑑2𝑥 +⋯+ 𝑑𝑘𝑥
𝑘−1)𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Ejemplo 3. Resolver 𝑦(6) − 𝑦 5 − 12𝑦 4 = 0
Solución. :
La ecuación auxiliar es : 
𝑚6 −𝑚5 − 12𝑚4 = 𝑚4 𝑚2 −𝑚 − 12 = 𝑚4 𝑚− 4 𝑚 + 3 = 0
Las raíces de la ecuación son: 𝑚1 = 4; 𝑚2 = −3 𝑦 𝑚3 = 0(con multiplicidad 4)
Entonces, la solución general de la ecuación diferencial es:
𝑦 = 𝑐1𝑒
4𝑥 + 𝑐2𝑒
−3𝑥 + 𝑐3𝑒
0𝑥 + 𝑐4𝑥𝑒
0𝑥 + 𝑐5𝑥
2𝑒0𝑥 + 𝑐6𝑥
3𝑒0𝑥
𝑦 = 𝑐1𝑒
4𝑥 + 𝑐2𝑒
−3𝑥 + 𝑐3 + 𝑐4𝑥 + 𝑐5𝑥
2 + 𝑐6𝑥
3
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Ejemplo 4. Resolver la ecuación 𝑦′′′ − 2𝑦′′ − 𝑦′ + 2𝑦 = 0
sujeta a las condiciones iniciales
𝑦 0 = 2; 𝑦′ 0 = −7; 𝑦′′(0) = −4
Solución. :
La ecuación auxiliar es : 𝒎𝟑 − 𝟐𝒎𝟐 −𝒎+ 𝟐 = 𝒎− 𝟏 (𝒎+ 𝟏) 𝒎− 𝟐 = 𝟎
Las raíces de la ecuación son: 𝑚1 = 1; 𝑚2 = −1 𝑦 𝑚3 = 2
Entonces, la solución general de la ecuación diferencial es: 𝑦 = 𝑐1𝑒
𝑥 + 𝑐2𝑒
−𝑥 + 𝑐3𝑒
2𝑥
Para hallar la solución particular debemos reemplazar las condiciones iniciales
𝑦 = 𝑐1𝑒
𝑥 + 𝑐2𝑒
−𝑥 + 𝑐3𝑒
2𝑥 𝑦 0 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3 = 2
𝑦′ = 𝑐1𝑒
𝑥 − 𝑐2𝑒
−𝑥 + 2𝑐3𝑒
2𝑥 𝑦′(0) = 𝑐1 − 𝑐2 + 2𝑐3 = −7
𝑦′′ = 𝑐1𝑒
𝑥 + 𝑐2𝑒
−𝑥 + 4𝑐3𝑒
2𝑥 𝑦′′(0) = 𝑐1 + 𝑐2 + 4𝑐3 = −4
Resolviendo el sistema de ecuaciones 𝑐1 =
1
2
; 𝑐2 =
7
2
; 𝑐3 = −2
La solución particular de la ecuación diferencial es : 
𝑦 =
1
2
𝑒𝑥 +
7
2
𝑒−𝑥 − 2𝑒2𝑥
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Ejemplo 5. Resolver 𝑦(4) − 𝑦 3 + 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0
Solución. :
La ecuación auxiliar es : 
𝒎𝟒 −𝒎𝟑 +𝒎𝟐 − 𝟑𝒎+ 𝟐 = 𝒎− 𝟏 𝟐(𝒎𝟐 +𝒎+ 𝟐) = 𝟎
Las raíces de la ecuación son: 𝑚 = 1(con multiplicidad 2); 𝑚 =
−1
2
±
7
2
𝑖
Entonces, la solución general de la ecuación diferencial es:
𝑦 = 𝑐1𝑒
𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒
𝑥 + 𝑒−
𝑥
2 𝑐3 𝑐𝑜𝑠
7
2
𝑥 + 𝑐4 𝑠𝑒𝑛
7
2
𝑥
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
Determine la solución de la ecuación y′′′ + 𝑦′′ + 2𝑦 = 0 sujeta a 
las condiciones iniciales 𝑦 0 = −1; 𝑦′ 0 = 0; 𝑦′′ 0 = 1
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Saber identificar la 
forma de la solución de 
la ecuación diferencial 
de acuerdo a las raíces 
de la ecuación auxiliar.
2.Recordar la solución de 
ecuaciones 
algebraicas.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la forma 
de solución de 
ecuaciones 
diferenciales lineales 
de orden superior 
homogéneas con 
coeficientes 
constantes
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
Datos/Observaciones