Logo Studenta

Matematicas_Financieras presentacion

¡Este material tiene más páginas!

Vista previa del material en texto

� 1�
�
�
�
�
UNIVERSIDAD
NACIONAL
ABIERTA
Y
A
DISTANCIA�UNAD�
�
�
�
�
�
�
����������	��
	��
�����
�
�����
����
�
�
�
�
�
�

��	
��
����
�
����
	����
�
�
�
�
�
�
ARTURO�ROSERO�GÓMEZ�
�
�
�
BOGOTA�–�COLOMBIA�
2005�
�
� 2�
���������	
������
�
�
��
�
��
	����

�� � 
�
�
��	�
�������
�
���	�
�����
		
	
��
���
��
�	����������
���
�	���
�
	��
	����
�
�
	�	
����
�	����������������	��������	��	������������	����
�
�
	��
����	���
���
		
	��
��������	����������
�
�
��
	����		
���
�	�����������������	���
�
��
	������
	���	��	���
�����
������������	���	���
��	�	�����	���������� �����������	���������
!����	���
�
�
�
���������	���
�
������� �
�
�
�����
�� � ���
���
	
��
�
�
"�� ��	�	��� ��� ����� ������� ������� �� ������ ��� ��� �������� ��� �	���	���
��	�	����� 	����� ����� ����� ������	���� �� ��� !����	��� ��� ��� #�	����	����
!��	���� �
 	����������	�����	�$���
��!�%�#!
�$� �
�
�����&�������������'� �
()**+��#�	����	����!��	���� �
 	����������	�����	��%�#!
��
�	���������,��������	��������	��	������������	�����-����.��$�$�
/���01234%566%52**�
�
����� � �
�
�
� �
� 3�
CONTENIDO�
�
�
� Pág.�
Presentación� 6�
Introducción� 8�
UNIDAD�DIDACTICA�UNO�
COSTO�DEL�DINERO�EN�EL�TIEMPO�
�
10�
Explorando�conocimientos�previos� 11�
Capítulo�Uno.�Interés� 12�
1.� Interés� 13�
1.1� Conceptos� 13�
1.1.1�Concepto�de�interés� 13�
1.1.2�Concepto�de�interés�simple� 14�
1.1.3�Concepto�de�interés�compuesto� 25�
1.2� � Tasas�de�interés� 34�
1.2.1Tasa�de�interés�nominal� 34�
1.2.2�Tasa�de�interés�efectiva� 35�
1.2.3�Conversión�de�tasas� 42�
Ejercicios�para�profundización�de�las�temáticas� 55�
Capitulo�Dos.�Equivalencias�con�cuotas�fijas� � 58�
2.� � � Equivalencias�con�cuotas�fijas� 59�
2.1� � Cuotas�fijas�vencidas� 59�
2.1.1�Equivalencias�entre�un�valor�futuro�y�una�serie�de�cuotas�fijas�
vencidas�
59�
2.1.2�Equivalencias�entre�un�valor�presente�y�una�serie�de�cuotas�
fijas�vencidas�
60�
2.2� Cuotas�fijas�anticipadas� 61�
2.2.1�Equivalencia�entre�un�valor�futuro�y�una�serie�de�cuotas�fijas�
anticipadas�
61�
2.2.2�Equivalencia�entre�un�valor�presente�y�una�serie�de�cuotas�fijas�
anticipadas� �
61�
� 4�
2.2.3�Equivalencia�entre�un�valor� futuro� y�una�serie�de�cuotas� fijas�
vencidas�con�interés�anticipado�
62�
Capitulo�Tres.�Equivalencias�con�cuotas�variables� 64�
3.� � � � Equivalencias�con�cuotas�variables� 65�
3.1.� � Gradientes� 65�
3.1.1�Gradiente�Aritmético� 65�
3.1.2�Gradiente�Geométrico� 69�
3.2.� � Equivalencia�entre�un�valor�presente�y�un�Gradiente� 70�
3.2.1�Equivalencias�entre�un�valor�presente�y�un�Gradiente�
Aritmético� �
70�
3.2.2�Gradiente�Aritmético�Creciente� 72�
3.2.3�Gradiente�Aritmético�Decreciente� 74�
3.2.4�Equivalencia�entre�un�valor�presente�y�un�Gradiente�
Geométrico�
76�
3.3� � Amortizaciones� 78�
3.3.1Tablas�de�amortización� 78�
3.3.2�Perpetuidades� 90�
Ejercicios�para� � profundización�de�las�temáticas� 92�
UNIDAD�DIDACTICA�DOS�
EVALUACION�DE�ALTERNATIVAS�DE�INVERSION�
94�
Actividades�de�exploración�de�conocimientos�previos� 95�
�
Capitulo�Uno.�Clases�de�evaluaciones�y�criterios�de�decisión�
�
96�
1.� �Clases�o�tipos�de�evaluaciones� 97�
1.1� � Evaluación�de�proyectos�sociales� 97�
1.1.1�Características� 97�
1.1.2�Relación�Beneficio/Costo� 98�
1.1.3�Costo�Capitalizado� 98�
1.2� � Criterios�para�evaluar�proyectos�de�inversión� 103�
1.2.1Tasa�de�descuento� 103�
1.2.2�Costo�promedio�Ponderado�de�Capital3WACC� 104�
1.2.3�Valor�Presente�Neto�–VPN� 105�
1.2.4�Relación�Valor�Presente�de�los�de�los�ingresos/�egresos� 106�
1.2.5�Tasa�interna�de�Retorno�–TIR� 106�
1.2.6�Costo�Anual�Uniforme�Equivalente�3CAUE� 109�
� 5�
2.� � � � Análisis�de�Riesgos�en�los�proyectos�de�inversión� 112�
2.1� � Sistemas�de�Análisis� 113�
2.1.1�Distribución�Beta�2� 13�
2.1.2�Distribución�Beta� 120�
Capítulo�Tres.�Alternativas�Mutuamente�Excluyentes�y�no�
Excluyentes�
126�
3.1� � Alternativas�Mutuamente�Excluyentes� 127�
3.1.1�Comparación�de�alternativas� 127�
3.1.2�Tasa�Verdadera� 129�
3.1.3�Tasa�Ponderada� 133�
3.1.4�Sensibilidad�de�los�proyectos�a�diferentes�tasas�de�descuento� 136�
3.1.5�Proyectos�con�vidas�diferentes� 139�
Ejercicios�para�profundización�de�las�temáticas� 141�
3.2.� � Racionamiento�de�Capital� 146�
3.2.1�Modelo�de�Optimización� 146�
3.2.2�Planteamiento�del�Modelo� 146�
Ejercicios�para�la�profundización�de�las�temáticas� 154�
Apéndice.�Sistema�de�financiación�con�UVR� 155�
Bibliografía�y�Cibergrafìa� 165�
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 6�
�
�
�
PRESENTACION�
�
La�nueva� � Universidad�Nacional�Abierta�y�a�Distancia3�UNAD,�recorrió� � presurosa�
toda�su�historia;� inició�un� � proceso�de� reflexión�que�por�principio�se�convirtió�en�
permanente� y� con� base� en� las� realidades� detectadas� mediante� el� proceso� de�
“planificación� estratégica,� prospectiva� y� situacional”,� estructuró� un� conjunto� de�
transformaciones� � que� la�asoman�al�siglo�XXI� � como� la� fuente�dinamizadora�del�
desarrollo�del�país�y�de�la�región.�Por�eso�y�por�sus�innovaciones�organizacionales�
la�UNAD�de�hoy�es�una�organización� inteligente,�es�decir,�una�organización�que�
aprende.�
�
Desde�esta�perspectiva,� la�nueva�UNAD� redefinió� su�misión� y� su�accionar� cada�
vez�es�más�coherente�con�ella�y�mediante�su�pedagogía�propia�de�la�metodología�
de� la� educación� abierta� y� a� distancia� ofrecerá� oportunidades� tangibles� a� los�
colombianos� mas� vulnerables,� para� ingresar� a� la� educación� superior�
contribuyendo�efectivamente�a�la�educación�para�todos.�
�
� La� implementación� de� las� tecnologías� de� la� información� y� de� la� comunicación,�
TIC’s,�la�ponen�más�cerca�del�nuevo�paradigma�educativo�mundial,�de�conformar�
redes� interactivas� con� todas� las� comunidades� y� organizaciones� nacionales� e�
internacionales� interesadas� en� gestar� procesos� de� crecimiento� individual� y�
colectivo.� Y� los� cambios� e� innovaciones� que� viene� adelantando� la� pondrán� a� la�
vanguardia,�en�el�siglo�XXI,�de�la�Educación�Abierta�y�a�Distancia.�
�
La�producción�de�material�didáctico�hace�parte�de� los�cambios�estructurales�que�
se�vienen�dando;�es�una�de� las�actividades�docentes;�aquí�es�donde�se� tiene� la�
gran� oportunidad� de� actualizar� y� contextualizar� las� temáticas� de� los� cursos�
académicos;� planear,� diseñar� y� actualizar� los� currículos� y� operacionalizar� el�
modelo�planteado�desde�el�Proyecto�Académico�Pedagógico3PAP3�por�el�cual�se�
orienta� la� institución.� En� consecuencia� 3como� lo� expone� el� PAP3� el� material�
didáctico� tiene� como� fin� apoyar� el� trabajo� académico� del� aprendiente,�mediante� �
la� planificación� de� los� procesos� de� aprendizaje,� acorde� con� las� competencias� e�
intencionalidades�formativas�propuestas�en�los�cursos�académicos�que�componen�
los�campos�de�formación�de�un�programa.� �
�
El�módulo� que� se� presenta� hace� parte� del�material� didáctico� correspondiente� al�
Curso� Académico� de� Matemáticas� Financieras� en� el� Ciclo� Tecnológico� del�
Programa�de�Administración�de�Empresas.�Es�un�rediseño�al� texto�escrito�por�el�
Doctor�Jorge�S.�Rosillo�C.�y�editado�por�la�UNAD�en�2002.�Se�tomó�esta�decisión�
con� base� en� el� levantamiento� del� estado� del� arte� del� material� que� se� venia�
trabajando�hasta�enero�de�2005,�en�consecuencia�se�determinó�que�el� texto�del�
Doctor�Rosillo�además�de�presentar�las�temáticas�correlacionadas�con�el�currículo�
� 7�
del�programa�académico,�está�planteado�desde�lo�básico�hasta�lo�más�complejo,�
elemento�esencial�en�el�diseño�de�material�didáctico.�
�
El� producto� resultante� de� esta� mediación,� tiene� en� cuenta� los� elementos�
estructurales�del�material�didáctico;�por�tanto�está�organizado�de�tal�manera�que,�
conjuntamente�con�la�Guía�Didáctica,�sirva�como�soporte�pedagógico�al�curso�de�
Matemáticas� Financieras,� el� cual� esta� estructurado� por� el� sistema� de� créditos�
académicos.� Como�material� didáctico,� � � su� intencionalidad� es� apoyar� el� trabajo�
académico�de�los�aprendientes�y�el�trabajo�tutorial�� en�función�del�aprendizaje�y�el�
desarrollo� cognitivo� y�metacognitivo� de� los� aprendientes,� en� correlación� con� las�
intencionalidades�formativas�del�curso.�
�
En� atención� a� que� el� nuevo� ordenamiento� mundial� � está� provocando� nuevas�
dinámicas�en�la�economía;�que�la�cultura,�la�comunicación�y�el�mercado�están�en�
un� proceso� de� globalización� acelerado� y� que� las� matemáticas� financieras�
evolucionan�constantemente�en� la�medida�en�que�cambian� los�escenarios�sobre�
los� cuales� actúan,� serán� bien� venidas� las� sugerencias� y� los� aportes� de�
estudiantes,� tutores� y� cualesquiera� personas� que� quieran� contribuir� para� el�
mejoramiento� de� este� material,� tanto� en� lo� temático� � como� en� lo� pedagógico,�
didáctico�y�metodológico.� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 8�
INTRODUCCIÓN�
�
El� administrador� de� empresa� puede� desenvolverse� profesionalmente� en� el� nivel�
operativo� de� la� organización� aplicando� las� cuatro� funciones� principales� de� la�
administración:� planeación,� organización,� dirección� y� control;� en� el� nivel� medio�
como�jefe�de�departamento�o�en�la�toma�de�decisiones�a�nivel�institucional.�En�los�
tres� niveles� se� encarga� � de� que� los� recursos� sean� productivos� y� contribuyan� al�
logro�de�las�metas�corporativas.�
�
La� comprensión,� interpretación� y� aplicación� de� los� conceptos� propios� de� las�
matemáticas� financieras� le�permiten�al� aprendiente� � el� desarrollo�de�habilidades�
en� el� � manejo� de� las� herramientas� financieras� que� le� permitirán� en� el� ejercicio�
profesional� proponer� con� argumentos� sólidos� alternativas� de� solución� a� las�
problemáticas�se�presenten�y�que�tengan�que�ver�con�la�toma�de�decisiones�sobre�
evaluación� de� alternativas� de� inversión� � o� de� uso� y� aplicación� de� recursos�
financieros.�
�
Entre� las� posibilidades� inmediatas� de� aplicación� de� las� diferentes� herramientas�
financieras� apropiadas� mediante� el� estudio� juicioso� de� las� temáticas� que�
conforman� el� presente� módulo,� se� encuentran:� el� Proyecto� de� Desarrollo�
Empresarial� � (PDE)�objeto�del� trabajo�de�grado�y�en� la� resolución�de�problemas�
prácticos� que� se� identifiquen� en� las� actividades� de� proyección� � y� apoyo� a� la�
comunidad�en�que�se�desenvuelven� los�aprendientes.�Este�es� la�mayor�atractivo�
del�estudio�de�esta�rama�del�las�matemáticas�aplicadas.�
�
Además�de�las�competencias�básicas,�se�pretenden�desarrollar�otras�complejas�y�
transversales� que� permitan� al� estudiante,� identificar,� apropiar� y� transferir� los�
conceptos�y�las�herramientas�financieras�aplicables�en�el�análisis�y� � evaluación�de�
proyectos� de� inversión� y� aplicar� ese� conocimiento� en� situaciones� de� toma� de�
decisiones�en�su�gestión�como�empresario,�como�responsable�del�área�financiera�
de�una�organización�o�como�miembro�activo�de�su�comunidad.�
�
El�presente�módulo� conjuntamente� con� la�guía�didáctica� (protocolo�académico�y�
guía� de� actividades),� conforman� el� material� didáctico� que� apoyará� el� trabajo�
académico�del�aprendiente�en�el�estudio�del�curso�y�con�el�propósito�particular�de�
presentar� la� información�en� forma� inteligible,� está�escrito�en�un� lenguaje� simple,�
sin�apartarse�del�léxico�técnico�pertinente�a�las�cuestiones�financieras.�
�
�
En�atención�a�que�el�curso,�curricularmente�responde�a�dos�crédito�académicos,�
coherentemente�el�módulo�se�compone�de�dos�unidades�didácticas:�1.�Costo�del�
dinero�en�el�tiempo;�2.�Evaluación�de�alternativas�de�inversión.� � La�primera�unidad�
la�constituyen�tres�capítulos,�los�cuales�contienen�las�temáticas�relacionadas�con�
el� manejo� del� dinero,� tratado� como� mercancía� y� de� lo� cual� se� encargan�
sustancialmente�las�matemáticas�financieras;�la�segunda�unidad�integra�otros�tres�
capítulos� que� tratan� los� temas� que� permiten� la� toma� de� decisiones� sobre� la�
� 9�
viabilidad�o�no�de�un�proyecto� y� la�elección�de� la� alternativa�más�conveniente� y�
rentable�para�el�uso�de�los�fondos�de�las�organizaciones.� �
�
La� metodología� propuesta� para� lograr� los� objetivos� esperados� se� orienta� al�
autoaprendizaje,�a�través�de�la�lectura�con�propósito�de�las�temáticas,�para�lo�cual�
se� recomienda�desarrollar� la� estrategia�SQA�dispuesta� al� inicio� de� cada�unidad;�
resolver� los� ejercicios� propuestos� para� la� profundización� de� las� temáticas� y� la�
aplicación� inmediata� en� el� PDE� o� en� casos� prácticos� para� la� solución� de�
problemas�en�la�comunidad.� �
�
Como� se� anotó� anteriormente,� este� material� viene� acompañado� de� la� guía�
didáctica,� la� cual� además� de� la� información� sobre� las� características� del� curso�
académico�contiene�la�guía�de�actividades�con� � los�elementos�metodológicos�de�
evaluación�y�seguimiento�del�proceso�de�aprendizaje�del�curso.� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 10�
UNIDAD�UNO�
�
�
�
�
�
�
�
COSTO�DEL�DINERO�EN�EL�TIEMPO�
�
�
Justificación�
�
�
Con�el�estudio�de�esta�unidad�el�aprendiente�apropiará�una�serie�de�conceptos�como:�
interés,�interés�simple,�interés�compuesto,�tasas�de�interés;�asimismo�comprenderá�el�
principio� de� equivalencia� financiera� y� conocerá� la� manera� de� realizar� todas� las�
conversiones�posibles�entre�las�diferentes�tasas�de�interés.�
�
�
Objetivo�General�
�
A�partir�de�su�reconocimiento�y�aplicación�en�casos�prácticos,�deducir�las�fórmulas�
de� interés� simple� e� interés� compuesto� y� establecer� los� parámetros� para� su�
aplicación�en�las�cuestiones�financieras.�
�
�
Objetivos�específicos�
�
�� Deducir�las�fórmulas�de�interés�simple�e�interés�compuesto�
�� Encontrar�una�tasa�de�interés�efectiva�equivalente�a�una�tasa�de�
Interés�nominal�dada�o�viceversa.�
�� Hallar�sumas�futuras�y�presentes�equivalentes�a�una�serie�de�pagos�
�� Establecer�los�parámetros�que�permitan�la�liquidación�de�intereses�sobre�
saldos�mínimos�
�� Encontrar� los� parámetros� que� permitan� calcular� las� sumas� presentes�
equivalentes� � a�una�serie�de�cuotas�que�crecen�o�decrecen�en�forma�lineal�
�� Determinar� una� expresión� matemática� que� el� cálculo� del� valor� de� la� primera�
cuota� para� con� base� en� el� sistema� de� amortización� se� pueda� calcular� las�
restantes�
�� Elaborar� tablas� y� gráficas� de� amortización� de� amortización� para� sistemas� de�
amortización�diferentes�
�
� 11�
�
�
�
�
�
�
�
�
El� desarrollo� de� esta� actividad� permite� indagar� los� conocimientos� que� se� tiene�
sobre�los�contenidos�a�estudiar,�de�tal�forma�que� � facilita�la�recepción�de�la�nueva�
información�y�genera�mayor�comprensión�de�las�temáticas.�
�
Después�de�inspeccionar�ligeramente�la�unidad�y�sin�adelantar�la�lectura�contestar�
las�siguientes�preguntas�y�registrarlas�en�la�primera�columna�del�cuadro�1.�“SQA”.�
�
¿Qué�SE�acerca�de?�
�
� ¿Interés;� Interés� simple;� interés� compuesto;� tasas� de� interés;� tasa� de� interés�
nominal;� tasa� de� interés� efectiva,� crédito� con� cuotas� fijas;� crédito� con� cuotas�
variables;�amortización�de�créditos?�
�
Una�vez�realizada�la�reflexión�sobre�los�vacíos�encontrados�al�tratar�de�responder�
los� interrogantes�anteriores,�consignar�en� la�columna�dos�del�cuadro�1�“SQA”,� lo�
que�se�desea�conocer�sobre�los�temas�tratados.�Así�se�resuelve�la�pregunta:� �
�
¿Qué�Quiero�Saber?� � � �
�
Después�de�abordar� la� lectura�de� los�contenidos;� analizar� los�ejemplos;� resolver�
las� actividades� de� profundización� y� de� socializar� las� temáticas� con� los� demás�
estudiantes� del� curso,� se� debe� completar� el� cuadro� “SQA”� � registrando� en� la�
tercera� columna� el� conocimiento� nuevo,� construido� mediante� el� estudio� de� la�
unidad.�El�registro�de�los�logros,�responde�la�pregunta:� �
�
¿Qué�Aprendí?�
�
Cuadro�1�“SQA”�
�
�
¿QUÉ�SÉ�
�
QU�QUIERO�SABER�
�
QU�APREND�
�
Saberes�previos:�
�
Meas�de�aprendizaje:�
�
Logros:�nuevo�conocimiento�
�������
���	�…..?�
ACTIVIDAD�DE�EXPLORACIÓN�
DE�CONOCIMIENTOS�PREVIOS��
� 12�
�
CAPITULO�UNO�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
INTERÉS�
�
�
�
� Justificación�
�
�
Una�vez�el�aprendiente�haya�terminado�el�estudio�de�este�capítulo�estará�en�
capacidad� de� comprender� el� concepto� del� valor� del� dinero� respecto� del�
tiempo�y�de�manejar� los�diagramas�de� tiempo�para�analizar� los�problemas�
de�índole�financiero�y�realizar�los�cálculos�para�las�operaciones�financieras�
�
�
Objetivo�General�
�
A�partir�del�reconocimiento�y�profundización�de� las�temáticas�el�estudiante�
debe� deducir� las� fórmulas� de� interés� simple� e� interés� compuesto� y�
encontrar� una� tasa� de� interés� efectiva� equivalente� a� una� tasa� de� Interés�
nominal�dada�o�viceversa.�
� �
�
Objetivos�específicos�
�
�� Establecer�las�diferencias�precisas�entre�las�diferentes�clases�de�interés�
�� Interpretar�los�diagramas�económicos�
�� Calcular�operaciones�financieras�con�interés�simple�e�interés�compuesto�
�� Definir�e�interpretar�el�concepto�de�tasa�de�interés�
�� Calcular�la�tasa�de�interés�efectiva�a�partir�de�la�tasa�nominal�y�viceversa�
�� Calcular�el�interés�real�en�el�año�
�
� 13�
�
El� concepto� de� acumulación� tuvo� su�origen� en� la� sociedad�artesanal,� la� cual� se�
caracterizó� por� la� � división� del� trabajo;� esta� sociedad� estaba� formada� por�
carpinteros,�panaderos,�alfareros,�herreros,�albañiles,�ganaderos,�agricultores,�etc.�
Quienes� no� solamente� producían� para� su� consumo,� sino� que� generaban�
excedentes,� lo�que� les� permitía� intercambiar� otros� productos� para� satisfacer� sus�
necesidades� � de�alimentación,�vivienda,�vestuario�y�educación.�
�
Por� ejemplo,� el� productor� de� papa� sólo� satisfacía� parte� de� su� necesidad� de�
alimento� y� � para�que�el� � producto�de�su� trabajo� le� sirviera�como�medio�de�vida,�
debía� intercambiar� � sus� excedentes� por� otros� productos,� debía� buscar� otro�
individuo� que� estuviera� interesado� en� adquirir� su� � producto.� � Se� requería� la�
existencia�de�una�necesidad�recíproca�para�poder�realizar�el� intercambio,�sin�ella�
era�imposible�realizar�la�transacción;�una�vez�se�encontraban�los�dos�individuos�se�
debía� fijar� cuántas� unidades� del� producto� “A”� serían� necesarias� para� adquirir� el�
producto� “B”,� la� relación� entre� la� cantidad� de� un� producto� que� se� entrega� para�
obtener�una�unidad�del�otro,�es�el�precio�de�un�bien�expresado�en�unidades�del�
otro�bien.�
�
�
1.1�CONCEPTOS�
�
1.1.1� Concepto�de�Interés�
�
El�concepto�de�interés�tiene�su�origen�en�las�transacciones�que�realizan�dos�o�más�
actores�por�el�intercambio�de�bienes�y�servicios.�
�
La�necesidad�de�intercambiar�de�los�individuos�para�satisfacer�sus�necesidades�y�
las�limitantes�del�intercambio�que�generaba�la�“necesidad�recíproca”,�fue�haciendo�
germinar� el� establecimiento� de� un� bien� que� fuera� aceptado� por� todos� para�
negociar.� � Inicialmente,�este�bien�fue�el�ganado�y�servía� � para�expresar�el�precio�
de�cualquier�transacción;�poco�a�poco�fueron�surgiendo�otros�productos,�el�oro�y�la�
plata�que�se�usaron�como�dinero�cumpliendo�funciones�de�unidad�de�valor�y�medio�
de� cambio� desplazando� a� otros� sistemas� de� cambio� por� su� fácil� manejo� hasta�
llegar� a� nuestro� días� con� el� papel� moneda� de� aceptación� universal,� como�
instrumento�de�intercambio.�
�
De� la�misma� forma�que� en� la� sociedad�artesanal� se� producían� excedentes� para�
poder� intercambiar,� en� la� sociedad� contemporánea� los� excedentes� de� dinero� de�
1.�INTERÉS�
�
En� la� sociedad� primitiva� los� seres� humanos� se�
autoabastecían:� generalmente�el� hombre� salía�a� cazar� o�
pescar� para� conseguir� alimento� o� vestido� � y� la�mujer� se�
dedicaba� a� cuidar� el� fuego� y� a� recoger� frutos;� no� se�
cazaba�más�de�lo�que�se�consumía.�
� 14�
los� individuos� que� no� se� consumen� se� llaman� AHORRO,� los� cuales� pueden�
invertirse� o� cederse� a� otros� en� el� instante� del� tiempo� que� los� soliciten� para�
satisfacer�sus�necesidades.� � El�costo�o�el�rendimiento�de�estas�transacciones�se�
llama�INTERÉS.�
�
Partamos� de� un� ejemplo� para� fundamentar� este� concepto:� supongamos� que�
tenemos� dos� personas� que� tienen� el� mismo� dinero� para� invertir� y� ambos� son�
comerciante,�el�dinero�disponible�de�cada�uno�de�ellos�es�de�$10�millones,�pero�
tienen�diferentes�negocios;� � el�primero�de�ellos�se� llama�Linda�Plata,�es� joyera�e�
importa� joyas� de� Panamá� y� el� segundo� es� don� Armando� Rico,� quien� ofrece� al�
mercado�perfumes�importados�de�Francia.�
�
Mensualmente� estos� individuos� adquieren� $10.000,000� en�mercancías,� pero� los�
dos� obtienen� resultados� diferentes.� � Doña� � Linda� obtiene� una� ganancia� de�
$300.000� en� el� � mes� y� don� Armando� $500,000� en� el� mismo� lapso� de� tiempo.� �
Observemos� que� teniendo� la� misma� inversión� reciben� beneficios� diferentes,�
podemos� definir� entonces� el� INTERÉS� como� la� utilidad� que� se� tiene� sobre� una�
inversión�en�“X”�tiempo,�o�sea:�
�
�
�
�
�
�
Siendo�el�interés�del�comerciante�en�joyas� � =�300,000�/�10,000,000� � =�3%�
mensual�
�
y�el�interés�del�comerciante�en�perfumes� � =500,000�/�10,000,000�=�5%�mensual.�
�
Dado�el�caso�de�que�una� tercera�persona,�por�ejemplo�Justo�Sin�Plata,�necesite�
$10,000,000�y�se� los�solicite�a�don�Armando,�éste�se� los�cedería�solamente�si� le�
reconoce�una�tasa�de�interés�igual�a�la�que�le�rinden�sus�inversiones,�es�decir,�al�
5%�mensual;�de�aquí�nace�otro�concepto�conocido�con�el�nombre� � de�TASA�DE�
INTERÉS�DE�OPORTUNIDAD� que� quiere� decir� que� cualquier� inversionista� está�
dispuesto�a�ceder�su�dinero,�si�se�le�reconoce�una�tasa�de�interés�igual�o�superior�
a�la�que�rinden�sus�inversiones.�
�
1.1.2� Concepto�de�Interés� � Simple�
�
Siendo�el�interés�la�utilidad�sobre�la�inversión,�se�puede�tomar�el�ejemplo�anterior�
en�el�cual�el�comerciante�en�joyas�doña�Linda�Planta�de�Rico,�gana�mensualmente�
$300,000�con�$10,000,000�invertidos;�si�continuamos�su�análisis�indefinidamente,�
es�decir,�mes�a�mes,�el�resultado�es�el�siguiente:�
�
�
� � Utilidad
� � � Interés� � =�
� � Inversión�
� 15�
MES
DINERO
INVERTIDO
GANANCIA
 DINERO
ACUMULADO
1
2
3
.
.
N
$10,000,000�
$10,000,000�
$10,000,000�
�
�
$10,000,000�
� � � � $300,000�
� � � � $300,000�
� � � � $300,000�
�
�
� � � � $300,000�
� � � � � $10,300,000�
� � � � � $10,600,000�
� � � � � $10,900,000�
�
�
Si:�
�
�
�
�
Utilidades�=�3%�x�$10.000,000�=�$300,000�en�cada�período,�para�este�caso�cada�
mes.�
�
Lo�anterior�se�puede�presentar�simbólicamente�de�la�siguiente�forma:�
�
Dinero�invertido�=�P�
Tasa�de�Interés�=�i�
�
�
MES
 
DINERO
INVERTIDO
UTILIDADES
1
2
3
.
.
n
 
P
P
P
P
Pi
Pi
Pi
Pi
�
Lo� anterior� quiere� decir� que� doña� Linda�Plata� de�Rico� tiene� unas� utilidades� (Pi)� �
por� � período�y� � si�quiere�saber�cuántas�utilidades�ha�generado�su�inversión�desde�
el� momento� en� que� la� realizó,� simplemente� deberá� multiplicar� las� utilidades� de�
cada�período�por�el�número�de�ellos� transcurridos�a� la� fecha,�desde�el�momento�
en�que�realizó�la�inversión.�
� � Utilidad
 
 
 Interés
=
 
 
Inversión
Utilidad� � =�Inversión�x�Tasa�de�interés�
Utilidad� � =�Pi�
� 16�
Generalizando� a� n� los� períodos,� se� tendrían� en� este� punto� unas� utilidades�
acumuladas�Pin� y� el� total� de� dinero� acumulado� sería� igual� a� la� inversión� inicial�
más� las� utilidades� acumuladas;� a� esta� suma� se� le� conoce� con� el� nombre� de�
MONTO� o� VALOR� FUTURO� y� en� términos� simbólicos� se� representa� de� la�
siguiente�forma:�
�
P� � =� �Valor�de�la�inversión�ó�valor�actual�
F� � =� �Valor�futuro�
N
=
 
 Número�de�períodos�
%
i
=
 
Tasa�de�interés�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Nótese� que� en� el� ejemplo� doña� Linda� Plata,� no� reinvirtió� las� ganancias� sino�
siempre� invirtió� la� misma� cantidad� ($10� millones);� es� decir,� cuando� no� hay�
reinversión�de�las�utilidades�se�conoce�con�el�nombre�de�inversiones�a�INTERÉS�
SIMPLE.��
�
Ejemplo�1�
�
¿Cuánto� dinero� acumularía� Juan� Pérez� dentro� de� 5� años,� si� invierte� hoy�
$4.000.000�a� � una�tasa�de�interés�simple�del�3%�mensual?�
�
El� primer�paso� para� resolver� el� problema�planteado�es� elaborar� un�diagrama�de�
flujo�de�la�siguiente�manera:� �
Considerar� los� ingresos�de�dinero�con�una�flecha�hacia�arriba�y� los�desembolsos�
con� una� flecha� hacia� abajo,� en� una� escala� de� tiempo� que� pueden� ser� años,�
semestres,�meses,�días.� � La�escala�de�tiempo�debe�estar�expresada�en�el�mismo�
período� que� está� expresada� la� tasa� de� interés;� en� el� ejemplo� la� tasa� de� interés�
está�expresada�en�meses,�por� lo�tanto� los�5�años�se�deben�convertir�a�meses,�o�
sea�60�meses.�
�
�
�
�
�
F
=
P
+
Pin
F
=
inversiones
+
Utilidades
Acumuladas
�
 
 
 F
=
p
(1
+
in)
� 17�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
F�=�P�(1�+�in)�
�
F=�4,000,000(1�+�0.03�(60))�
�
F=�11,200,000�
�
Lo�anterior�quiere�decir�que�don�Juan�Pérez�se�ganó�$7,200,000�en�los�5�años�y�
adicionalmente�tiene�el�dinero�que�invirtió�o�sea�$4,000,000.�
�
�
SUPUESTO:�El�inversionista�no�hace�ningún�retiro�de�dinero�en�el�lapso�de�tiempo�
considerado.�
�
Ejemplo�2�
�
�
Armando�Rico�recibió�hoy�$3,450,000�del�Banco�de�Bogotá�por� � una�inversión�que�
realizó� hace� tres� semestres;� si� la� tasa� de� interés� es� del� 2%� mensual,� ¿cuánto�
dinero�invirtió�don�Armando?�
�
Como�se�explicó�anteriormente,�el�punto�de� � partida�es� realizar�el�gráfico�o� flujo�
de�caja�correspondiente;�el�problema�quedaría�planteado�así:�
�
�
En� razón� a� que� la� tasa� es� mensual� se� deben� expresar� los� tres� semestres� en�
meses,�para�que�los�elementos�estén�en�la�misma�base.�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1�=�3%�mensual�
F�
60�meses�
P�=�4.000.000�
0�
P�
1=2%�mensual� F�=�3.450.000�
18�meses�=�3�
Semestres�
� 18�
�
�
Reemplazando�en�la�ecuación�que�relaciona�estas�variables�se�tiene:�
�
� �
F�=�P�(1�+�in)�
�
F�=�$3.450.000� � � porque�en�este�valor�se�consolidan�la�inversión�y�las�utilidades�
�
I�=�2%�mensual�
�
N�=�3�semestres�=�18�meses�
�
Entonces,�
�
�
3,450,000�=�P�(1�+�2%�(18))�
3,450,000�=�P�(1�+�0.36)�
P�=�3,450,000�/�(1.36)�
P�=�$2,536,764.71�
�
�
Este�es�el�valor�que�invirtió�don�Armando�hace�18�meses.�
�
�
Ejemplo�3�
�
Patricia� Fernández� recibió� un� préstamo� de� $3,000,000,� que� debe� paga� en� 18�
meses;� si� al� final� del� plazo� debe� cancelar� $3,850,000,� calcular� tasa� de� interés�
simple�del�préstamo.�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
P�=�3.000.000�
18�meses�
F�=�3,850,000�0�
� 19�
�
Nótese�que�se�dibujaron�los�$3,000,000�con�una�flecha�hacia�arriba,�puesto�que�se�
está� tomando� como� referente� a� Patricia� Fernández;� al� recibir� el� dinero� del�
préstamo�tienen�un�ingreso�y�cuando�cancela�el�crédito�ella�tiene�un�desembolso,�
por�lo�cual�se�dibuja�con�una�flecha�hacia�abajo.�
�
�
Si�se�toma�como�referente�el�prestamista,�el�gráfico�sería�el�siguiente:�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Reemplazando�los�datos�de�la�ecuación�se�tiene:�
�
�
F�=�P�(1�+�in)�
�
3,850,000� � =� � 3,000,000�(1�+�i%�(18))�
�
3,850,000/3,000,000=�(1�+�i18)�
�
1.2833�–�1�=�i18�
�
i�=�0.2833/18�
i�=�0.015740�
�
�
Expresándolo�en�términos�porcentuales�se�tiene,�
�
� �
I�=�1,5740%�mensual�simple.�
�
�
�
0�
P�=�3.000.000�
F�=�3.850.000�
18�meses�
� 20�
Ejemplo�4�
�
�
Armando� Mendoza� recibió� un� préstamo� de� $7,000,000� de� Beatriz� Pinzón�
Solano,� si� canceló� $10,500,000� y� la� tasa� de� interés� fue� del� 2%� mensual�
simple,�calcular,�¿cuál�fue�el�plazo�del�préstamo?�
�
�
Gráfico�para�Armando�Mendoza�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Gráfico�para�Beatriz�Pinzón�Solano�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Reemplazando�en�la�ecuación�se�tiene:�
�
�
F�=�P�(1�+�in)�
�
10,500,000�=�7,000,000�(1�+(2%)n)�
�
10,500,000/7,000,000�=�1�+�2%n;� � � 2%�=�0.02�
�
1.5�–�1�=�0.02n�
P�=�7.000.000�
1�=�2%�mensual�
F� � =�10.500.000�
0�
0�
P�=�7,000,000�
i�=�2%�mensual�
F�=�10.5000.000�
� 21�
�
0.5� =�0.02n�
�
0.5/0.02�=�n�
�
n�=�25�meses�
�
Nótese�que�la�tasa�de�interés�se�expresó�en�meses�porque�está�dada�en�meses.�
�
�
Ejemplo�5�
�
Sofía� Vergara� recibió� un� préstamo� del� Banco� Santander� que� debe� pagar� de� la�
siguiente� forma:�$3,000,000�dentro� � de�6�meses,�$4,000,000�dentro�de�un�año�y�
$5,000,000�en�año�y�medio.�
�
Si�la�tasa�de�interés�es�del� � 10%�semestral�simple,�determinar,�¿cuánto�dinero�le�
prestó�el�Banco�Santander�a�Sofía?�
Recordando�que� los�períodos�del�plazo�deben�estar�en�el�mismo�período�que� la�
tasa�de�interés,�se�tiene:�
�
6�meses�=�un�semestre�
�
Un�año�=�dos�semestres�
�
Año�y�medio�=� � tres�semestres�
�
Gráfico�para�el�Banco�Santander�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0�
P�
3.000.000�
1�
4.000.000� 5.000.000�
3� Semestre2�
i�=�10%�semestral�
� 22�
Gráfico�para�Sofía�Vergara�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Observando�el�gráfico�y�el�planteamiento�del�problema,�se� tiene�una�concepción�
diferente� a� la� tratada� en� los� ejemplos� anteriores� en� los� cuales� se� tenía� un� solo�
ingreso�y�un�solo�pago�o�viceversa.� � Este�ejemplo�plantea�tres�desembolsos�en�el�
futuro�para�el�caso�de�Sofía.� � La�solución�de�este�tipo�de�problema�se�basa�en�el�
mismo�concepto,�simplemente�se�analiza�cada�ingreso�o�desembolso�en�el�futuro�
de�manera�independiente.�
�
Cada� pago� se� hace� Sofía,� se� considera� dentro� del� toral� de� la� cuota� una� parte�
correspondiente� a� intereses� y� otra� un� abono� al� préstamo.� � Para� el� Banco�
Santander,� los� intereses� serían� las� utilidades� y� el� abono� al� préstamo� una�
devolución� de� una� parte� de� la� inversión.� � Este� concepto� es� congruente� con� la�
definición�de�valor� futuro,�como�el�consolidado�de� la� inversión�más� las�utilidades�
explicado�al�principio�de�este�capítulo;�en�este�caso�las�utilidades�y�la�inversión�se�
devolverán�al�Banco�en�tres�pagos�y�no�en�uno.�
�
�
F�=�P�(1�+�in)�
�
P�=�F/(1�+�in)�
�
�
Analizando�cada�pago�independiente�se�tiene:�
�
�
�
Pago�1�=�P1�=�3,000,000/(1�+�0.10�(1))�=�$2,727,272.73�
�
Pago�2�=�P2�=�4,000,000/(1�+�0.10�(2))�=�$3,333,333.33�
�
Pago�3�=�P3�=�5,000,000/(1�+�0.10�(3))�=�$3,846,153.85�
� i�=�10%�semestral�
0� 1� 2� 3� Semestre�
P�
3,000,000�
4,000,000�
5,000,000�
� 23�
Por�lo�tanto�el�valor�del�préstamo�sería:�
�
�
P1�=�P1�+�P2�+�P3�
�
P2�=�2,727,272.73�+�3,333,333.33�+�3,846,153.85�
�
P3�=�$9,9060759.91�
�
Ejemplo�6�
�
Natalia� París� desea� realizar� un� viaje� por� el� continente� europeo� de� un� año� y� se�
propone� el� siguiente� plan� de� ahorros� para� realizar� su� sueño:� hoy,� ahorra�
$1,000,000;� dentro� de� tres�meses,� ahorrará� $1,000,000;� dentro� de� un� semestre,�
ahorrará�$1,500,000�y�dentro�de�10�meses,�ahorrará�$1,700,000.�
�
¿Cuánto�dinero�tendrá�exactamente�dentro�de�un�año,�si�la�tasa�de�interés�que�le�
paga�el�Banco�es�del�1%�mensual�simple?�
�
Gráfico�para�Natalia�
�
�
� � � � � � � � � � � �
� � 0� � � � � 1� � � � � 2� � � � � � 3� � � � � � 4� � � � � 5� � � � � � � � 6� � � � � � 7� � � � � � 8� � � � � � 9� � � � 10� � � � � � 11� � � � 12� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
i�=�1%�mensual,�1%�=�0.01�
�
�
Se�debe�recordar�que�los�desembolsos�o� ingresos�deben�estar�expresados�en�el�
mismo�período�de�tiempo�que�la�tasa�de�interés.�
�
Retomando� el� ejemplo� anterior,� cada� ahorro� o� inversión� se� trata� de� manera�
independiente�por�lo�tanto�se�tiene:�
�
�
Ahorro�o�inversión�#1�=�F1�
Ahorro�o�inversión�#2�=�F2�
Ahorro�o�inversión�#3�=�F3�
meses�
1,700,000�
1,500,000�
1,000,000�
1,000,000�
F
=
?
� 24�
Ahorro�o�inversión�#4�=�F4�
�
La�inversión�o�ahorro�de�$1,000,000�que�hace�en�el�período�#1�dura�exactamente�
en�el�banco�12�meses,�por�lo�tanto�n�=�12.�
�
�
F1�=�P1�(1�+�in)�
�
�
F1�=�1,000,000�(1�+�0.01(12))�=�$1,120,000�
�
�
La�inversión�o�ahorro�de�$1,000,000�que�hace�en�el�período�#3�dura�exactamente�
en�el�banco�9�meses�(12�meses33meses),�por�tanto�n�=�9.�
�
�
F2�=�P2�(1�+� � in)�
�
F2�=�1,000,000�(1�+�0.01(9))�=�$1,090,000�
�
La� inversión� o� ahorro� de� $1,500,000� que� hace� Natalia� en� el� período� #6� dura�
exactamente�en�el�banco�6�meses�(12�–�6�meses),�� por�lo�tanto� � n�=�6.�
�
�
F3�=�P3�(1�+�in)� �
�
F3�=�1,500,000�(1�+�0.01(6)�=�$1,590,000�
�
�
La�inversión�o�ahorro�de�$1,700,000�que�hace�en�el�período�#10�dura�exactamente�
en�el�banco�2�meses�(12�meses�–�10�meses),�por�lo�tanto�n�=�2.�
F4�=�P4�(1�+�in)�
�
F4�=�1,700,000�(1�+�0.01(2))�=�$1,734,000�
�
�
Por�lo�tanto,�el�dinero�que�tendría�acumulado�Natalia�París�dentro�de�un�año�será:�
�
�
F�=�F1�+�F2�+�F3�+�F4�
�
F�=�$5,534,000�
�
�
�
� 25�
1.1.3� Concepto�de�Interés�Compuesto�
En� el� caso� de� interés� simple� se� consideró� que� las� ganancias� eran� iguales� para�
todos� los� períodos,� puesto� que� la� inversión� permanecía� constante.� � Cuando� se�
trata�de� interés�compuesto,� las�utilidades�no�son� iguales�para� todos� los�períodos�
puesto�que�la�inversión�varía�de�un�período�a�otro,�en�razón�de�que�las�utilidades�
obtenidas�en�un�período�se�reinvierten�en�el�siguiente.�
�
�
Tomando� nuevamente� el� ejemplo� con� el� que� se� inicio� el� capítulo,� donde� la�
inversionista� Linda� Plata� tenía� $10,000,000� disponibles;� si� doña� Linda� invierte�
estos�dineros�a�una�tasa�del�3%�mensual�y�reinvierte�sus�utilidades,�se�tendría�el�
siguiente�resultado:�
�
�
MES
 
DINERO
INVERTIDO
GANANCIA
DINERO
ACUMULADO
�
1�
�
�
2�
�
�
3�
�
�
.�
�
.�
�
n�
�
$10,000,000�
�
�
$10,300,000�
�
�
$10,609,000�
�
10,000,000�*�0.03�=�300,000�
�
�
10,300,000�*�0.03�=�309,000�
�
�
10,609,000�*�0.03�=�318,270�
�
10,000,000+300,0
00�
=10,300,000�
�
10,300,000+309,0
00�
=�10,609,000�
�
10,609,000+318,2
70�
=10,927,270�
�
Lo�anterior�lo�podemos�generalizar�de�la�siguiente�forma:�
�
�
P�=� � � Inversión�
�
%�i�=� � Tasa�de�Interés�
�
Utilidad�=� Inversión�X�i�=�Pi�
�
F�=�� Valor�futuro�
�
� 26�
�
MES�
DINERO�
INVERTIDO�
�
GANANCIA�
�
DINERO�ACUMULADO�
�
1�
�
�
� � � � � � � � � � � � P�
�
P�(i)�
�
�
P�+�Pi�=�P(1�+i)�
�
2�
�
P(1+i)�
�
�
P(1+i)�(i)�
�
P�(1+i)�+�P(1+i)i�=�P(1+i)(1+i)�=�P(1+i)2�
�
3�
�
�
P(1+i)2�
�
P(1+i)2(i)�
P(1+i)2+P(1+i)�=�P(1+i)2(1+i)�=�P(1+i)3�
�
4�
�
�
.�
�
�
.�
�
�
.�
�
.�
�
.�
�
.�
�
.�
�
.�
�
.�
n�
�
� � P(1+i)n�
�
Generalizando,� se� concluye� que� cuando� se� reinvierten� las� utilidades� (interés�
compuesto)�el�dinero�acumulado�a�valor�de�futuro�se�puede�definir�como:�
�
�
�
�
Si�se�aplica� la�anterior�equivalencia�al�caso�de�doña�Linda,�se�puede�plantear�el�
siguiente�ejercicio:�
Cuánto� dinero� acumulará� (valor� futuro)� doña� Linda� dentro� de� tres�meses� a� una�
tasa�de�interés�del�3%�mensual,�si�invierte�$10,000,000�inicialmente:�
F�=�P(1+i)n�
�
F=�$10,000,000�(1+0.03)3�
�
F�=�$10,927,270�
�
Valor�que�coincide�con�los�$10,927,270�obtenidos�en�la�primera�tabla.�
�
En�conclusión,�gran�diferencia�entre�el�interés�compuesto�radica�en�la�reinversión�
de�utilidades.� � Si� se� comparan� los�dineros�acumulados�en�el� tercer�mes�para�el�
caso�de�doña�Linda�con�una�inversión�de�$10,000,000�al�3%�mensual,�se�obtienen�
los�siguientes�resultados:�
F
=
P
(1+i)n
� 27�
Interés�simple:� � � dinero�acumulado�al�tercer�mes�$10,900,000�
�
Interés�compuesto:� � dinero�acumulado�al�tercer�mes�$10,927,270�
�
�
Ejemplo�1�
�
¿Cuánto� dinero� acumularía� Juan� Pérez� dentro� de� 5� años,� si� invierte� hoy�
$4.000.000�a�una�tasa�de�interés�compuesto�del�3%�mensual?�
�
El� primer�paso� para� resolver� el� problema�planteado�es� elaborar� un�diagrama�de�
flujo�de�la�siguiente�manera:�
�
Considerar� los� ingresos�de�dinero�con�una�flecha�hacia�arriba�y� los�desembolsos�
con� una� flecha� hacia� abajo� en� una� escala� de� tiempo� que� pueden� ser� años,�
semestres,�meses,�días.� � La�escala�de�tiempo�debe�estar�expresada�en�el�mismo�
período� que� está� expresada� la� tasa� de� interés;� en� el� ejemplo� la� tasa� de� interés�
está�expresada�en�meses,�por� lo�tanto� los�5�años�se�deben�convertir�a�meses,�o�
sea�60�meses.�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
F�=�P�(1�+�i�)n�
�
F�=�4,000,000�(1�+�0.�03)60�=�23,566,412.42�
Este� mismo� ejemplo� con� tasa� de� interés� simple,� obtuvo� un� valor� futuro� de�
$11,200,000.�
�
Ejemplo�2�
�
Armando�Rico�recibió�hoy�$3,�450,000�del�Banco�de�Bogotá�por�una�inversión�que�
realizó�hace� tres�semestres:�si� la� tasa�de� interés�es�del�2%�mensual�compuesto,�
¿Cuánto�dinero�invirtió�don�Armando?�
�
Como�se�explico�anteriormente�el�punto�de�partida� � es�realizar�el�gráfico�o�flujo�de�
caja�correspondiente;�el�problema�quedaría�planteado�así:�
�
� I�=�3%�mensual�
F�
60�meses�
P�=�4,000,000�
� 28�
En� razón� d� que� la� tasa� es� mensual,� se� deben� expresar� los� tres� semestres� en�
meses,�para�que�los�dos�elementos�estén�la�misma�base:�
�
�
�
�
�
Reemplazando�en�la� � ecuación�que�relaciona�estas�variables�se�tiene:�
�
F�=� � P ( i �+�i)�n�
�
F�=�$�3.450,000,�porque�en�este�valor�se�consolidan�la�inversión�y�las�utilidades�
i=����mensual�
n=�3�semestres�=�18�meses�
�
Entonces,�
�
3,450.000�=�P�(1�+�0.02)�18�
�
3,450,000�=�P�(1.42824624758)�
�
P�=�3.450.000/1.42824624758�
�
P�=�$2,415,549.84�
�
Este�es�el�valor�que�invirtió�don�Armando�hace�18�meses.�
�
Ejemplo�3�
�
Patricia�Fernández�recibió�un�préstamo�de�$3,000,000,�que�debe�pagar�en�18�meses;�
si�al�final�del�plazo�debe�cancelar�$3,850,000,�calcular�la�tasa�de�interés�del�préstamo.�
�
P�=�3,000.000�
�
�
�
�
0�
P�
I�=�2%�mensual�
F�=�3,450,000�
18�meses�=�3�semestres�
0�
18�meses�
� 29�
Nótese�que�se�dibujaron�los�$3,000,000�con�una�flecha�hacia�arriba,�puesto�que�se�
está�tomando�como�referente�a�Patricia�Fernández;�al�recibir�el�dinero�del�préstamo�
tiene�un�ingreso�y�cuando�ella�cancela�el�crédito�tiene�un�desembolso,�por�lo�cual�se�
dibuja�con�una�flecha�hacia�abajo.�
�
Si�se�toma�como�referente�al�prestamista�el�gráfico�sería�el�siguiente:�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Reemplazando�los�datos�de�la�ecuación�se�tiene�
�
F�=�P(1�+ i ) n �
3,850,000�=�3,000,000(1�+�i)1�
3,850,000/3,000,000�=�(1�+�i)1�
18 1.283333� � � =� � 18 (1+�i)18� �
� � �
1.013955�=�1+l�
�
1.01395531�=�i�
�
0.013955�=�i�
�
En�términos�porcentuales,�i�=�1.3955%�mensual�
�
Ejemplo�4�
�
Armando�Mendoza�recibió�un�préstamo�de�$7,000,000�de�Beatriz�inzón�Solano,�si�
canceló� $10,500,000� y� la� tasa� de� interés� fue� del� 2%� mensual� compuesto,�
calcular,�¿cuál�fue�el�plazo�del�préstamo?�
�
�
�
�
F�=�3,850,000�
18�mesea�
P�=�3,000,000�
0�
� 30�
Gráfico�para�Armando�Mendoza�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Gráfico�para�Beatriz�Pinzón�Solano�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Reemplazando�en�la�ecuación�se�tiene:�
�
F�=�P(1�+ i ) n �
2%�=�0.02�
10,500,000�=�7,000,000�(1�+�0.02)�n�
�
10,500,000/7,000,000�=�(1�.02)�n�
�
1.5�=1.02�n�
�
Aplicando�logaritmos�en�base�10�se�tiene:�
�
log�1.5�=n l og�1.02�
�
0.�17609�125�=n�(0.0086001�71�7)�
�
n�=0.17609125/0.0086001717�
�
n�=�20.47�meses�
P�=�7,000,000�
I�=�2%�mensual�
F�=�10,500,000�
0
P�=�7,000,000�
i�=� � 2�%�mensual� �
F�=�10,500,000�
0
� 31�
Nótese�que�la� respuesta�se�expresó�en�meses�porque� la�tasa�de� interés�está�dada�en�
meses.�
�
Ejemplo�5�
�
Sofía�Vergara�recibió�un�préstamo�del�Banco�Santander�que�debe�pagar�de�la�siguiente�
forma:�$�3,000,000�dentro�de�6�meses,�$�4,000,000�dentro�de�un�año�y�$�5,000,000�en�año�
y�medio.�
�
Si�la�tasa�de�interés�es�del�10%�semestral�compuesto,�determinar,�¿cuánto�dinero�le�
prestó�el�Banco�Santander�a�Sofía?�
� �
Recordando�que�los�períodos�del�plazo�deben�estar�en�el�mismo�período�que�la�tasa�
de�interés,�se�tiene:�
�
6�meses�=� � � un�semestre�
un�año� � � =� � dos�semestres� :�
año�y�medio�=�tres�semestres�
�
Gráfico�para�el�Banco�Santander�
�
�
�
�
�
Gráfico�para�Sofía�Vergara�
�
�
�
�
�
�
�
0� 1� 3�2�
P�
3,000,000�
5,000,000�
i�=�10%�semestral�
semestres�
0� 1� 3�2�
4,000,000�3,000,000�
i�=�10%�semestral�
semestres�
P�
5,000,000�
� 32�
del�problema,�se�tiene�una�concepción�diferente�a�la�tratada�en�los�ejemplos�anteriores�
en� los� cuales� se� tenía� un� solo� ingreso� y� un� solo� pago� o� viceversa.� Este� ejemplo�
plantea�tres�desembolsos�en�el�futuro�para�el�caso�de�Sofía.�La�solución�de�este�tipo�
de�problema�se�basa�en�el�mismo�concepto,�simplemente�se�analiza�cada�ingreso�o�desembolso�en�el�futuro�de�manera�independiente.�
�
Cada� pago� que� hace� Sofía� se� considera� dentro� del� total� de� la� cuota� una� parte�
correspondiente�a� intereses�y�otra�un�abono�al�préstamo.�Para�el�Banco�Santander,�
los�intereses�serían�las�utilidades�y�el�abono�al�préstamo�una�devolución�de�una�parte�
de�la�inversión.�Este�concepto�es�congruente�con�la�definición�de�valor�futuro,�como�el�
consolidado�de�la�inversión�más�las�utilidades�explicado�al�principio�de�este�capítulo:�
en�este�caso�las�utilidades�y�la�inversión�se�devolverán�al�Banco�en�tres�pagos�y�no�en�
uno.�
F�=�P(1+i)�n�
P�=�F�/�(1+i)�n�
�
�
Analizando�cada�pago�independientemente�se�tiene:�
�
Pago�1�=�P1�=�3,000,0007(1+0.10)1�=�2,727,272.73�
�
Pago�2�=�P2�=4,000,000/(1+0.10)2�=3,305,785.12�
�
Pago�3�=�P3�=5,000,0007(1+0.10)3�=3,756,574�
�
Por�lo�tanto,�el�valor�del�préstamo�sería:�
P�=�P1�+P2�+P3�
P�=�$9,789,631.86�
Ejemplo�6�
Natalia�París�desea� realizar�un�viaje�por�el�continente�europeo�dentro�de�un�año�y�se�
propone�el� siguiente� plan� de� ahorros� para� realizar� su� sueño:� hoy,� ahorra� $1,000,000;�
dentro�de�tres�meses,�ahorrará�$�1,000,000;�dentro�de�un�semestre,�ahorrará�$�1,500,000�y�
dentro�de�10�meses,�ahorrará�$�1,700,000.�
� 33�
¿Cuánto�dinero�tendrá�exactamente�dentro�de�un�año,�si�la�tasa�de�interés�que�le�paga�el�
Banco�es�del�1%�mensual�compuesto?�
�
�
Gráfico�para�Natalia�
�
�
0� 1� 2� 3� 4� 5� 6� 7� � � �8�� � � � �9� � �10� �11� �12�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Retomando�el�ejemplo�anterior,�cada�ahorro�o�inversión�se�trata�de�manera�independiente,�
por�lo�tanto�se�tiene:�
�
Ahorro�o�inversión�#�1�=�F1�
Ahorro�o�inversión�#�2�=�F2�
Ahorro�o�inversión�#�3�=�F3� �
Ahorro�o�inversión�#�4�=�F4�
�
La�inversión�o�ahorro�de�$1,000,000�que�se�hace�en�el�período�#�1�dura�exactamente�en�el�
banco�12�meses,�por�lo�tanto�n�=�12�
F1� � =� � P1�(1+�i)n�
F1� �=�1,000,000(1+0.01)� � � �=$1,126,825.03�
La�inversión�o�ahorro�de�$1,000,000�que�hace�en�el�período�3�dura�exactamente�en�el�
banco�9�meses�(12�meses�3�3�meses)�por�lo�tanto�n�=�9�
F2� � =� � P2�(1+�i)n�
1,500,000�
1,000,000�
meses�
1,700,000�
F
=?
1,000,000�
� 34�
F� � � =�1,000,000(1+0.01�)9�=$1,093,685.27�
2�
La�inversión�o�ahorro�de�$�1�,500,000�que�hace�Natalia�en�el�período�6�dura�exactamente�en�
el�banco�6�meses�(12�meses�3�6�meses)�por�lo�tanto�n�=�6�
F3� � =� � P3�(1+�i)n�
F3� � � =�1,500,000(1�+0.01�)6�=$1,592,280.22�
�
La�inversión�o�ahorro�de�$1,700,000�que�hace�Natalia�en�el�período�10�dura�exactamente�
en�el�banco�2�meses�(12�meses�3�10�meses)�por�lo�tanto�n�=�2�
F4�=P3�(1+�i)
n�
F4�=�1,700,000(1�+0.01�)
2�=$1,734,170�
�
Por�lo�tanto,�el�dinero�que�tendrá�acumulado�Natalia�París�dentro�de�un�año�será:�
F�=�F1�+�F2�+�F3� �+�F4�
F�=�$5.546,960.53�
�
1.2� � TASAS�DE�INTERÉS�
�
El�concepto�de�tasa�de�interés,�se�aplica�a�la�relación�entre�el�valor�a�pagar�como�
interés�y�el�capital�recibido�en�préstamo�por�el�cual�se�debe�pagar�ese�interés�en�
un�tiempo�determinado.�Se�expresa�en�términos�de�porcentaje�y�su�nomenclatura�
es:�i%.� � �
�
1.2.1�Tasa�de�Interés�Nominal�
�
Es�la�tasa�de�interés�que�generalmente�se�aplica�a�todas�las�operaciones�financieras�y�
que�aparece�estipulada�en�los�contratos.�Cuando�opera�este�tipo�de�tasa,�se�entiende�
que�las�utilidades�por�intereses�no�se�reinvirtieron�en�el�periodo.� � �
�
�
�
�
� 35�
1.2.2�Tasa�de�Interés�Efectiva�
�
Los�usuarios�del�sistema�financiero�se�enfrentan�a�un�problema�en�el�diario�vivir�en�las�
transacciones�personales�o�de�empresa,�pues�usualmente�en�todas�las�operaciones�que�se�
realizan�se�habla�de�tasa�efectiva�como�referencia�o�criterio�para�tomar�decisiones.�
La� mayoría� de� ejecutivos� en� finanzas� o� ejecutivos� comerciales� de� empresas� del�
sistema�financiero,�productivo�o�de�servicios�opinan�que�la�tasa�efectiva�es�equivalente�
a�la�tasa�real,�es�decir,�según�ellos�el�interés�que�realmente�se�cobra�al�cliente.�¿Será�
esto�cierto?�
Con�el�ejemplo�siguiente�se�deducirá�el�concepto�de�tasa�de�interés�efectiva;�supóngase;�
que�doña�Linda�Plata�de�Rico�tiene�disponibles�$100�millones,�los�cuales�no�necesita�sino�
hasta�dentro� de� un� año,� y� desea� invertirlos.�Con�este� objetivo,� se� dirige� al�Banco� de�
Bogotá�y�le�plantea�la�situación�al�señor�Armando�Bueno,�gerente�de�la�sucursal�de�Suba�
y�antiguo�compañero�de�la�universidad.�El�le�ofrece�que�le�pagará�por�los�$100�millones�
una� tasa� del� 40%� anual� y� que� los� intereses� se� liquidarán� trimestre� vencido,� doña�
Linda,� administradora� de� empresas� de� gran� prestigio� profesional� en� la� capital�
colombiana,�hace�el�siguiente�cálculo:�
�
�
�
Plazo:�
�
Un�año�
�Tasa�de�interés:�
�
40%�anual�
�Liquidación�de�interés:�
�
Trimestre�vencido�
�Inversión:�
�
$100�millones�
�Número�de�liquidaciones�por�año:�
�
4�
�Tasa�trimestral�o�del�período:�
�
40%�/�4�=�10%�
�� �
�
�
�
�
�
�
� 36�
TRIMESTRE� SALDO�INICIAL� INTERESES�
� i�=�10%�
SALDO�FINAL�
1� 100.00� $10.00� $�110.00�
2� 110� $11.00� $�121.00�
3� 121� $12.10� $�133.10�
4� 133.10� $13.31� $�146.41�
TOTAL� � $46.41� �
�
�
La�inversionista�recuerda�que:�tasa�de�interés�se�define�como�utilidad�sobre�la�inversión;�en�
este�caso�las�utilidades�serían�la�suma�de�la�columna�interés�que�es�de�46.41�en�el�año,�
si� la� inversión� fue� de� $100� millones� quiere� decir� que� se� obtuvo� un� interés� (%)� o�
rentabilidad�de�$46.41/100�=�46.41%�en�un�año.�
�
Si� el� 40%� de� interés� se� hubiera� liquidado� solo� al� final� del� año,� doña� Linda� habría�
obtenido�$40�de�intereses,�es�decir,�que�lo�que�establece�la�diferencia�es�el�número�de�
liquidaciones� de� intereses� que� hay� en� el� plazo� fijado� (para� este� caso� son� 4� las�
liquidaciones�en�el�año).�
� �
Para�deducir�el�concepto�de�tasa�nominal�y�efectiva�se�toman�varios�casos,�los�cuales�se�
derivan�de�considerar�como�punto�de�partida� los�$100�millones�y�el�plazo�de�un�año�
pero� con� diferentes� formas� de� liquidar� los� intereses� por� ejemplo,� bimestralmente,�
semestralmente,�etc.�
�
�
�
�
TASA�
�
�
FORMA�DE�LIQUIDACIONES�
�
40%�
�
Semestre�vencido�
�
40%�
�
Trimestre�vencido�
�
40%�
�
Bimestre�vencido�
�40%�
�
Mes�vencido�
�40%�
�
Día�vencido�
�
�
�
Para�el�primer�caso�40%�anual�semestre�vencido,�lo�primero�que�se�tiene�que�definir�es�la�
tasa�del�período.�En�este�caso�es�semestral,�o�sea�que�la�tasa�periódica�(semestral)�sería�
igual�a�0%�dividido�entre�los�dos�semestres�del�año,�lo�que�equivale�a�un�20%�semestral;�
si�se�considera�el�plazo�de�un�año�se�puede�hacer�el�cálculo�que�se�realizó�para�el�40%�
anual�trimestre�vencido,�es�decir:�
�
� 37�
�
Plazo:�
�
Un�año�
�Tasa�de�interés:�
�
40%�anual�
�Liquidación�de�interés:�
�
Semestre�vencido�
�Inversión:�
�
$100�millones�
�Número�de�liquidaciones�por�
año:�
2�
�Tasa�trimestral�o�del�período:�
�
40%�/�2�=20%�
�
�
�
SEMESTRE�
�
�
SALDO�INICIAL�
�
�
INTERESES�
�
�
SALDO�FINAL�
�
1�
�
100�
�
20�
�
120�
�
2�
�
120�
�
24�
�
144�
�
Total�
�
�
�
44�
�
�
�
�
�
Intereses�primer�trimestre�=�Saldo�inicial�x�Tasa�de�interés�
�
Intereses�primer�trimestre�=�$100�x�20%�=�$20�
�
Saldo�final�primer�trimestre�=�Saldo�inicial�+�Intereses�
�
Saldo�final�primer�trimestre�=�100�+�20�=�120� ;�
�
El�saldo�final�del�primer�semestre�pasa�a�ser�el�saldo�inicial�del�segundo�semestre.�
�
intereses�segundo�semestre�=�120�x�20%�=�$24�
saldo�final�del�segundo�semestre�=120+�24�=�$144�
�
Lo�anterior�quiere�decir�que�los�$�100�millones�invertidos,�por�el�efecto�de�la�reinversión�de�
utilidades�generaron�$44�millones�de�intereses,�lo�que�significa�una�rentabilidad�de�ó�sea�
$44�millones�de�utilidad�dividido�entre�los�$100�millones�de�inversión.�
�
En�relación�con�lo�anterior,�se�puede�concluir�que�la�tasa�efectiva�se�obtiene�por�los�efectos�
de�la�reinversión�de�las�utilidades�ó�intereses;�cuando�esto�no�se�da�se�obtiene�lo�que�se�
llama�tasa�de� interés�nominal.�Se�puede�deducir�que�existe�un�paralelo�entre�el� interés�
simple�y�la�tasa�nominal�y�el�interés�compuesto�y�la�tasa�efectiva.�En�las�dos�primeras,�no�se�tiene�en�cuenta�la�reinversión�mientras�que�en�las�dos�últimas�sí.�
�
� 38�
Con�base�en�los�ejemplos�se�obtiene�una�fórmula�para�calcular�la�tasa�efectiva,�la�cual�se�
expresa�de�la�siguiente�forma:�
�
ie�=� Tasa�de�interés�efectiva�
ip�=� Tasa�periódica�
n�=� Número�de�liquidaciones�de�intereses�en�el�plazo�fijado�
�
�
ie� � =� � (1+�i)n�D1�
�
Si�se�toman�los�ejemplos�analizados�anteriormente,�se�obtiene�lo�siguiente:�
�
1)�Si�se�tiene�una�tasa�del�40%�anual�trimestre�vencido,�¿cuál�es�la�tasa�efectiva�anual?�
�
Tasa�periódica�=�ip�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ie�=�(1�+�0.1)� � � 3�1�=�0.4641�ó�46.41�%�efectivo�anual�
Si�se�considera�el�mismo�ejemplo,�es�decir�40%�anual�trimestre�vencido,�pero�en�lugar�
de�calcular�la�tasa�efectiva�anual�se�calcula�la�tasa�efectiva�semestral�
�
ip�=�0.40�74�=�0.10�ó�10%�semestral�
n�=�Número�de�liquidaciones�en�el�período�=�2�en�un�semestre�
ie�=�(1�+�0.10)2�3�1�=�0.21�=�21%�efectiva�semestral�
2)�Si�se�tiene�una�tasa�anual�del�40%��semestre�vencido,�calcular�la�tasa�efectiva�anual�
ip�=�0.40�/�2�=�0.20�ó�20%�semestral�
n�=�número�de�liquidaciones�=�2�
ie=�(1�+�0.20)2�31�=�0.44� � ó� � 44%� �efectiva�anual�
�
�
�
Tasa�anual�
ip�=�———————————————�0.40�/�4�=�0.1�=�10%�trimestral�
� #�de�períodos�en�el�año�
�
� 39�
Con�base�en�la�siguiente�información�calcular�la�tasa�efectiva�anual:�
TASA�ANUAL�
�
FORMA�DE�LIQUIDACIÓN�
DE�INTERESES�
�
NÚMERO�DE�
LIQUIDACIONES�
POR�AÑO�
�
i� �
PERIÓDICA�
�
40%�
�
Semestre�vencido�
�
2�
�
20%�semestral�
�
40%�
�
Trimestre�vencido�
�
4�
�
10%�trimestral�
�
40%�
�
Bimestre�vencido�
�
6�
�
6.67%�bimestral�
�
40%�
�
Mes�vencido�
�
12�
�
3.33%�mensual�
�
40%�
�
Día�vencido�
�
360�
�
0.11%�diario�
�
�
Las�dos�primeras�tasas�fueron�calculadas�anteriormente,�a�continuación�se�obtienen�las�
restantes:�
�
40%�anual�bimestre�vencido�
i� �bimestral�=�0.40�/�6�=�6.67%��
Número�de�liquidaciones�en�un�año:�6� �
ie�anual�=�(1+0.0667)6�3�1�=�0.4732�
�
40%�anual�mes�vencido�
i�mensual�=�0.407�12�=�0.0333�=�3.33%�
Número�de�liquidaciones�en�un�año:�12�
ie�anual�=�(1+0.0333)12�31�=�0.4816�
�
�
40%�anual�día�vencido�
i�diario�=�0.40�/�360�=�0.001111�=�0.11�%�
Número�de�liquidaciones�en�un�año:�360�
ie�anual�=�(1+0.001111)360� � � 3�1�=�0.4914�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 40�
De�acuerdo�con�los�cálculos�se�obtuvieron�las�siguientes�cifras:�
�
�
TASA��ANUAL�
�
FORMA�DE�LIQUIDACIÓN�
DE�INTERESES�
�
NUMERO�DE�
LIQUIDACIONES�
POR�AÑO�
�
�
TASA��
EFECTIVA�
�40%�
�
Semestre�vencido�
�
2�
�
44.00%�
�
40%�
�
Trimestre�vencido�
�
4�
�
46.41%�
�
40%�
�
Bimestre�vencido�
�
6�
�
47.32%�
�
40%�
�
Mes�vencido�
�
12�
�
48.16%�
�
40%�
�
Día�vencido�
�
360�
�
49.14%�
�
Como� se� observa� en� la� tabla� anterior,� a�medida� que� se� aumenta� el� número� de�
liquidaciones�se� incrementa� la� tasa�efectiva�anual;�sin�embargo� tomando�otros�dos�
casos,�supóngase�que�el�gerente�señor�Armando�Bueno�le�ofrece�a�doña�Linda�que�le�
liquidará�intereses�2�veces�al�día�o�sea�cada�12�horas�o�tres�veces�al�día�o�sea�cada�
8�horas;�veamos�qué�tasa�efectiva�anual�se�obtiene:�
40%�anual�liquidando�intereses�cada�12�horas�
�
ip�=�0.40�7720�=�0.0005555�
n�=�360�x�2�=�720�períodos�
ie�anual�=�(1+0.0005555)720� � � � 3�1�=�0.491659�
�
Ahora�analizando� �el�caso�del�40%�anual�liquidando�intereses�cada�8�horas�
ip�=�0.40�/�1080�=�0.00037037�
n�=�360�x�3�=�1,080�periodos�
le�anual� �=�(1�+0.00037037)1080�3�1�=� �0.491714�
Como� se� observa,� a� medida� que� se� aumenta� el� número� de� liquidaciones� se�
incrementa� la� tasa�efectiva�anual;� sin�embargo,�este�valor� tiende�a�estabilizarse,�
es�decir,�su�comportamiento�es�exponencial�como�se�observa�en�el�gráfico�siguiente.�
�
� 41�
Comportamiento�tasa�efectiva�anual�para�diferentes�capitalizaciones�de�tasas�
vencidas�
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0� 2� 4� 6� 8� 10� 12� 14� �
NUMERO�DE�CAPITALIZACIONES�
�
Con�lo�anterior�se�explica�lo�que�en�matemáticas�se�conoce�con�el�nombre�de�interés�
continuo,�que�se�expresa�así:�
�
�
�
�
�
Que�para�el�caso�del�40%�anual�se�obtiene:�
�
�
�
�
�
�
�
Cifra�que�coincide�cuando�se� liquidan�720�y�1080�veces�en�el�año.�Si�se�siguen�
aumentando�el�número�de�liquidaciones,�no�se�va�a�obtener�una�cifra�mayor.�La�fórmula�
anterior�se�conoce�con�el�nombre�de�interés�continuo�ó�capitalización�continua.�
�
�
ie�=�ei�+�1�
i e=�e
0.40�D1�=�2.7182810.40�D1� �
�
i e �=�0.49182�
�
T�
A�
S�
A�
S�
�
E�
F�
E�
C�
T�
I�
V�
A�
S�
60.000%�
�
�
50.000%�
�
�
40.000%�
�
�
30.000%�
�
�
20.000%�
�
�
10.000%�
�
�
0.000%�
�
� 42�
Con� base� en� los� cálculos� realizados� anteriormente,� se� concluye� que� la� tasa� de�
interés� electiva� está� íntimamente� ligada� con� el� interés� compuesto,� es� decir,�
considera�la�reinversión�de�utilidades.�
�
1.2.3�Conversión�de�tasas�
�
El�concepto�de�tasa�efectiva�permite�convertir�las�tasas�de�un�período�a�otro�fácilmente;�
este� concepto� es� de� gran� utilidad� en�Matemáticas�Financieras,� por� cuanto� permite�
solucionar� situaciones� recurrentes,� donde� los� períodos� de� los� flujos� de� caja�
(ingresos�y�desembolsos)�no�coinciden�con�los�períodos�de�las�tasas�de�interés.�
�
Ejemplo�1� �
�
Con� una� tasa� del� 40%� anual� trimestre� vencido,� ¿calcular� la� tasa� semestral�
equivalente?�
�
Este�ejercicio�se�puede�resolver�de�varias�formas:� �
�
Primera�forma�
� �
i=�40%�anual�trimestre�vencido�
�
i� �periódica�=�i�anual� � /�#�períodos�en�el�año�
�
i� �periódica�=�i�trimestral�=0.40�/�4�=0.10�
�
Con�base�en�la�tasa�periódica�se�puede�calcular�la�tasa�efectiva�anual� �
�
ie�=�tasa�de�interés�efectiva�anual�
�
Donde�n�es�el�número�de�liquidaciones�en�el�año.�
�
La�tasa�de�interés�está�especificada�inicialmente�como�i�=�40%�anual�trimestre�vencido,�lo� �
que�quiere�decir�que�los� intereses�se�van�a� liquidar�cada�trimestre,�o�sea�que�al�
año�e�liquidan�4�veces,�una�al�final�de�cada�trimestre,�por�lo�tanto:�
�
�
=�(1+0.10)43!�=�0.4641�
�
Con�base�en�el�anterior� resultado�se�puede�calcular� la� tasa�semestral�partiendo�de� �
calcular�la�efectiva�anual.�
�
� � � iea�=�(1+ip)�n�31�
�
0.4641�=� � (1+i�semestral)�2�31�
�
� 43�
n�=�2,� � porque�los�intereses�se�liquidan�2�veces�(1�año�=�2�semestres)�
�
1.4641� �=� � (1+i�semestral)�2�
�
�
�
� 2 1.4641
� �����=� 2 �(1+i�semestral)�2�
�
�
1.21�=�1 + i semestral�
�
1.21�31 = � i semestral�
�
0.21�=�2 1% �
�
�
Segunda�forma�
�
i�=�40%�anual�trimestre�vencido�
i� � periódica� � =�i� � � trimestral� � =0.40/4�=0.10�
Obsérvese�que�el�período�toma�como�referencia�el�que�está�estipulado�en�la�liquidación�de�
intereses,�para�nuestro�ejemplo�es�trimestre�vencido.�La�forma�de�liquidación�siempre�
aparece�adyacente�a�la�tasa�de�interés�anual.�
Con�base�en�la�tasa�trimestral�se�puede�calcular�la�trimestral,�utilizando�la�ecuación�de�
tasa�efectiva.�
� �
iea�=�(1+ip)�n�+1�
�
i�semestral� �=�(1+� � i�trimestral�)�2� � � � 31�
�
i�semestral� �=(1�+�0.10�)23�1�=�0.21� �
�
Es�el�mismo�resultado�que�se�obtuvo�en�la�primera�forma.�
�
�
Ejemplo��2�
�
Con�una�tasa�del�30%�anual�bimestre�vencido,�calcular:�
�
a.�La�tasa�semestral�equivalente.�
�
� 44�
b.�La�tasa�mensual�equivalente.�
�
�
a.�Tasa�Semestral�
�
Primera�forma�
�
i�=�30%�anual�bimestre�vencido�
�
Bimestre�=�cada�2�meses�
�
i�periódica�=�i�bimestral� �=�0.30/6�=0.05,�dividido�entre�6�porque�hay�6�bimestres�en�un�año.�
�
iea�=�(1+�ip)�n�+1�
�
i�semestral� �=(1�+�0.10�)23�1�=�0.21� �
�
ia� � � =�(1�+0.05)63!� � =�0.3400�
�
�
Con�base�en�la�tasa�efectiva�anual�se�puede�calcular�la�semestral�
�
Iea� �=� � (1+�ip)�n�+1�
�
0.34�=���( 1+ �i�semestral�)231�
1.34�=� � (1+ �i�semestral)2�
�
2 1.34� � =� � 2 � (1+ �i�semestral)2�
�
1.157625�=1+ �i�semestral
� 45�
1.157625�31�=�i�semestral�
�
0.157625�=�i�semestral�
�
15.7625%�=�i�semestral�
� �
�
Segunda�forma�
�
i�=�30%�anual�bimestre�vencido�
�
Bimestre�=�cada�2�meses�
�
i�periódica�=�i�bimestral� �=�0.30/6�=0.05�
�
iea�=�(1+�i�periódico)�n�+1�
�
i�semestral� �=(1�+�0.05�)33�1�=�0.157625�ó�15.7625%�
�
n�=�3,�porque�en�un�semestre�hay�3�bimestres.��
�
b.�Tasa�mensual�
�
Primera�forma�
� �
i�periódica�=�i�bimestral� � =�0.30/6�=0.05�
�
ia�=�(1+0.05)63!� � =�0.3400� �
�
Combase�en�la�tasa�efectiva�anual�se�puede�calcular�la�tasa�mensual�
�
ia�=�0.34�
�
i����=�( 1+ i periódica)n31�
�
0.34�=� � (1�+i�mes�)12����� � 3�1�
�
n�=�12�meses,�porque�un�año�tiene�12�meses,�y�al�ser�la�tasa�mensual�se�liquidarán�12�
veces�en�el�año.�
�
1.34�=� � (1�+i�mes�)12�
�
12 1.34�=� 12 � (1�+i�mes�)12�
�
� 46�
1.02469�=�1�+i�mes�
�
1.0246931=1�+i�mes�
�
0.02469�=�i�mes�
�
2.469%� � =�i�mes�
�
Segunda�forma�
�
i�=�30%�anual�bimestre�vencido�
�
i�periódica�=�i�bimestral�0.30�/�6�=0.05�
�
Utilizando�la�fórmula�de�tasa�efectiva�se�tiene:�
�
i�ea� �=�(1�+�i�periódica)�n3�1�
�
0.05� � � � � � =�(1�+�i�mes)
2�–�1�
�
1.05�=�(1+�i�mes)
�2�
�
12 � I�.05�=� � 12 � (1�+�i�mes)
�2�
� �
1.02469�=1�+�i�mes�
�
0.2469�=�i�mes�
�
i�mes�=�2.469%�
�
Obsérvese�que�se�consideró�la�tasa�del�5%�bimestral�como�efectiva;�la�razón�es�
muy� sencilla,� los� meses� están� contenidos� dentro� del� bimestre.� Lo� mismo�
sucedería� si� se� tuviera� una� tasa� del� 3%� mensual� y� se� preguntara� la� tasa�
quincenal;�como� la�quincena�está�contenida�dentro�del�mes,�el�3%�se� tomaría�
como�efectiva.�
�
Ejemplo�3� �
�
Justo�Pastor�Malo� recibió� un� préstamo�del�Banco�Popular� de�$7,000,000�que�
debe� ¡pagar� en�una� sola� cuota� dentro�de� 2�años.�Si� la� tasa�de� interés�es�del�
24%� anual� semestre� vencido,� ¿calcular� el� valor� de� la� cuota� que� debe� pagar�
Justo�Pastor�al�Banco�Popular?�
�
�
�
�
P�=�7,000,000�
I�=�24�%�anual�semestre�vencido�
2�años�
0 F�=�?�
�
Obsérvese�que�la�tasa�está�estipulada�en�diferente�período�que�el�plazo,�la�primera�en�
semestres� y� la� segunda� en� años;� por� lo� anterior� se� debe� efectuar� la� conversión:�
correspondiente.�
�
Primera�forma�
�
Se�debe�hallar� la� tasa�de� interés�efectivo�anual�para�que�coincida�con�el�período�del�
plazo�que�está�dado�en�años,�por�lo�tanto:�
�
iea�=�(1+�i�periódico)�n�+1�
�
i�periódica�=�i�semestral� �=�0.24�/�2� � =�0.12�
�
iea�=�(1+0.12)231=0.2544�
�
F�=P(1+�i�)�n�
�
F�=�7,000,000�(1+0.2544)2�
�
F�=�$11,014,635.52�
�
•�Segunda�forma�
�
i�=�24%�anual�semestre�vencido�
�
i�periódica�=�i�semestral� �=�0.24�/�2� � =�0.12�
�
Plazo�=�2�años�=�4�semestres,�por�lo�tanto�el�gráfico�puede�expresarse�de�la�siguiente�
manera:�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
i�=�12%�semestral�
�
F�=P(1+�i�)�n�
�
F�=�7,000,000(1+0.2544)2� � � =�$11,014,635.52�
0
1 2 3 4
P�=�7,000,000�
semestres�
F
 
 =
?
�
�� Tasas�anticipadas�
�
Para�analizar�este�concepto�se�considera�el�siguiente�caso�hipotético;�supóngase�que�
doña�Linda�Reina� desea� invertir� $100�millones� y� se� dirige� al�Banco�Santander.�Su�
gerente,� el� doctor�Pastor�Bueno� le� ofrece� una� tasa� del� 40%�anual� año� anticipado.�
Veamos� cómo� sería� el� comportamiento� con� un� gráfico,� doña� Linda� no� necesita� el�
dinero�sino�hasta�dentro�de�un�año.� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
En�el�gráfico�puede�observarse�que�el�inversionista�invierte�$100�millones�y�en�el�mismo�
momento� recibe� los� intereses� correspondientes� o� sea� $40�millones,� es� decir,� que� solo�
invirtió�$60�millones,�lo�cual�puede�resumirse�en�el�siguiente�gráfico:�
�
�
$100�millones�
1�año�
�
�
�
�
�
$60�millones�(Inversión)�
�
�
En�el�gráfico�anterior�se�tiene�un�valor�presente�que�son�los�$60�millones�y�un�valor�futuro�
dentro�de�un�año�por�un�valor�de�$100�millones.�Si�se�aplica�la�primera�equivalencia�
(ver�capítulo�1)�se�puede�hallar�el�interés:�
�
�
F=�P�(1�+�i)�n�
�
F�=�$100�
P�=�$60�
N�=�1�año�
�
100=�60(1+i)�1�
�
100/60�=�(l+i)� �
�
$�40�millones�“hoy”�
Interés�anticipado�
$�100�millones�
inversión�
$�100�millones�devolución�de�
la�inversión�Un�año�
�
1.6667�=�1+�i�
�
i = � 1 .6667�3�1�=�0.6667�=�66.67%�anual�
�
Lo� anterior� quiere� decir� que� para� doña� Linda� Reina� es� equivalente� el� 40%� anual� año�
anticipado�ó�el�66.67%�anual�año�vencido.�Si�se�hace�el�análisis�utilizando�la�definición�
dada� en� el� primer� capítulo,� en� el� cual� se� dice� que� interés� es� igual� a� utilidad� sobre�
inversión�se�obtiene�lo�siguiente�
�
i=�Utilidad�/�Inversión�=�407(100340)=�40/60=�0.6667�ó�66.67%��
�
Si�se�expresa�en�términos�porcentuales�se�tiene:�
�
� i=0.40/(l30.40)=0.40/0.60=0.6667�ó�66.67%�anual� �
�
De�lo�anterior�podemos�generalizar�la�siguiente�fórmula:�
�
� � � ia�
i�vencido�=� � � � � � � DDDDDDDDDDDDDDDDD� �
� � � � � (13�ia)�
donde:�
�
iv�=� � � i�vencido�
ia�=�interés�anticipado�
�
i�vencido�=�0.407(130.40)�=�0.40/0.6�=�0.6667�=�66.67%�anual�
�
Con�base�en�la�conversión�anterior,�se�pueden�calcular�las�tasas�efectivas�cuando�son�
anticipadas.�
�
Consideremos�las�siguientes�posibilidades�como�una�tasa�única�de�40%�anual�pero�con�
diferentes�modalidades�de�liquidación�de�intereses�y�calculemos�las�tasas�efectivas�anuales�
correspondientes.�
�
�
TASA
ANUAL
LIQUIDACIÓN
DE
INTERESES
40%�
�
Semestre�anticipado�
�
40%�
�
Trimestre�anticipado�
�
40%�
�
Bimestre�anticipado�
�40%�
�
Mes�anticipado�
�
40%�
�
Día�anticipado�
�40%�
�
Cada�12�horas�anticipado�
�
�
(1)� � 40%�anual�semestre�anticipado� �
�
i�periódica�=�i�semestral�anticipada�=�40%/2�=�20%�semestre�anticipado�
i�semestre�vencida�=�0.20�/�(130.20)�=�0.20/0.80�=�0.25�
�
� i�efectiva�anual�=�(1+0.25)�31�=�0.5625�
�
(2)� � 40%�anual�trimestre�anticipado�
i�periódica�=�i�trimestral�anticipada�=�40%�/�4�=�10%�trimestre�anticipado�
�
i�trimestre�vencido�=�0.10�/�(1�30.10)�=�0.111111�
�
� i�efectiva�anual�=�(1+0.1111II)4�31�=0.524157�
�
(3)�40%�anual�bimestre�anticipado�
�
i�bimestral�anticipado�=�40%������6.67%�
�
i�bimestral�vencida�=�0.0667�/(I30.0667)�=�0.07143�
�
i�efectiva�anual�=�(1+0.07143)6�31�=�0.51282484�
�
(4)�40%�anual�mes�anticipado�
�
i�mes�anticipado�=�0.40�/12�=�0.03333�
�
i�vencida�=�0.033333�/(130.0333)�=�0.03447919�
�
i�efectiva�anual�=�(1+0.03447919)12�3�1�=�0.50196949�
�
(5)�40%�anual�día�anticipado�
�
i�día�anticipado�=�0.40/360�=�0.001111�
�
i�vencida�=�0.001111�/�(l30.001111)�=�0.00111235�
�
i�efectivo�anual�=�(1+0.00111235)360�31�=0.4921565�
�
(6)�40%�anual�cada�12�horas�anticipado�
�
i�cada�12�horas�anticipado�=�0.40/720�=�0.00055556�
�
i�vencida�=�0.00055556�/�(130.00055556)�=0.00055586�
�
i�efectiva�anual�=�(1+0.00055556)720�+1�=�0.49199053
�
�
Los�cálculos�anteriores�se�pueden�resumir�en�la�siguiente�gráfica:�
�
�
�
Con�base�en�los�cálculos�realizados�anteriormente,�sobre�las�tasas�efectivas�considerando�
diferentes�sistemas�de�liquidación�de�intereses�y�las�tasas�efectivas�vencidas�y�anticipadas,�
se�puede�obtener�el�siguiente�resumen�
�
�
TASAS�VENCIDAS�
�
�
TASAS�ANTICIPADAS�
��
Tasa�nominal�
�
#�de�
liquidaciones�
por�año�
�
�
T.E.A.�
�
�
Tasa�nominal�
�
#de�
liquidaciones�
por�año�
�
�
T.E.A.�
�
40%�anual�A.�V.�
�
1�
�
40.00%�
�
40%�anual�A.�A.�
�
1�
�
66.67%�
�
40%�anual�S.V.�
�
2�
�
44.00%�
�
40%�anual�S.A.�
�
2�
�
56.25%�
�
40%�anual�T.V.�
�
4�
�
46.41%�
�
40%�anual�T.A.�
�
4�
�
52.42%�
�
40%�anual�B.V.�
�
6�
�
47.32%�
�
40%�anual�B.A.�
�
6�
�
51.28%�
�
40%�anual�M.V.�
�
12�
�
48.16%�
�
40%�anual�M.A.�
�
12�
�
50.20%�
�
40%�anual�D.V.�
�
360�
�
49.14%�
�
40%�anual�D.A.�
�
360�
�
49.22%�
�
�
�
Con�base�en�la�tabla�anterior�se�puede�concluir� lo�siguiente:�en� las�tasas�vencidas�a�
medida� que� aumenta� el� número� de� liquidaciones� aumenta� la� tasa� efectiva� anual�
logrando�como�tasa�máxima�la�capitalización�continua�(ie=ei�31).�El�comportamiento�de�
las�tasas�anticipadas�es�inverso;�a�medida�que�aumenta�el�número�de�liquidaciones�
disminuye�la�tasa�efectiva�anual,�es�decir,�se�logra�la�tasa�efectiva�máxima�en�el�caso�
de�las�anticipadas�cuando�es�una�sola�liquidación.�
�
En�el�gráfico�siguiente�se�ve�el�comportamiento�de�las�dos�modalidades,�vencida�y�
anticipada.�
�
Tasas�efectivas�correspondientes�a�tasas�nominales�vencidas�y�anticipadas�
�
�
�
�
�
�� Tasas�efectivas�con�tasa�de�interés�anticipadas�
�
Este� tipo�de�conversión�es�similar�al�descrito�en� los� temas�anteriores,�simplemente�
incluye�un�paso�adicional�que�consiste�en�convertir�las�tasas�periódicas�anticipadas�
en�periódicas�vencidas;�en�otras�palabras,�es�hallar�la�tasa�equivalente�vencida�a�la�
anticipada.�
�
Ejemplo�
�
Con�una�tasa�del�20%�anual�trimestre�anticipado,�hallar�la�tasa�mensual.�
�
� Primera�forma�
�
i�=�20%�anual�trimestre�anticipado�
�
i� � � � � � � =� i� � � =0.20/4�=0.05�
periódica� � � � � � � � trimestral�anticipada�
�
i�vencido� �=� � � � � � � i�anticipado� � � � /� � (13�i�anticipado)�
� � � � �
i�trimestre�vencido�=� � I�trimestre�anticipado�/�(13�i�trimestre�anticipado'�
�
i�trimestre�vencido�=�(0.05�/ ( I 30.05)�=�0.05/0.95�
�
i�trimestre�vencido�=�0.052631578�
�
i�ea� �=�(1�+�i�periódica)�n3�1�
�
i�ea� �=�(1�+�0.052631578)431�
�
i� � � � � =�0.2277�o�22.77%�
�
Con�base�en�la�tasa�efectiva�anual�se�calcula�la�tasa�mensual�
�
i�ea� �=�(1�+�i�periódica)�n3�1�
�
i�ea� �=�0.2277�=�(�1+�imes)
1231�
�
1.2277�=�(l+imes)
�12�
�
�
12 I.2277�=��� � 12 �(l�+�i�mes� �)
12�
�
�
1.017244=�1+ �imes� �
�
1.017244�–�1� = �imes0.017244�=�imes�
�
imes� � � � =�1.7244%�
�
�
Segunda�forma�
�
i�=�20%�anual�trimestre�anticipado�
�
iperiodica� �=�i� � trimestral�anticipada�=�0.20�/�4�=�0.05� � � � � � �
�
�
i�vencido� � =� � � i�anticipado�/�(13i�anticipado)�
�
i�trimestre�vencido� � =� � � i�trimestre�anticipado�/�(13i�trimestre�anticipado)�
�
� i�trimestre�vencido� � =� � �0.05�/(I�30.05)�=�0.05/0.95�
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�
i�trimestre�vencido� � =� � �0.052631578�
�
Con� base� en� la� tasa� trimestral� vencida� se� puede� calcular� la� tasa�mensual� y� en�
razón�a�que�el�mes�está�contenido�dentro�del�trimestre,�la�tasa�trimestral�se�puede�
considerar�como�efectiva.�
�
i�trimestre�vencido� � =� � �0.052631578�
�
i�ea� �=�(1�+�i�periódica)�n3�1�
�
0.052631578�=�(1+imes)�33�1�
�
1.052631578=�(1+imes)�3�
�
3 1.052631578�=� 3 (1+imes)�3�
�
1.017244�=�1+i�mes�
�
0.017244�=�i�mes�=�1.7244%�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
EJERCICIOS�PARA�PROFUNDIZACIÓN�DE�LAS�TEMÁTICAS�
�
1.�Sandra�Muñoz�canceló�hoy�$7,560,000�al�Banco�de�Bogotá�por�un�préstamo�
que�le�fue�otorgado�hace�un�año.�Calcular�el�dinero�prestado�a�Sandra�si:�
� � � � � �
a.�La�tasa�de�interés�es�del�3%�mensual�simple�
b.�La�tasa�de�interés�es�del�3%�mensual�compuesto�
c.�La�tasa�de�interés�es�del�4%�mensual�simple�
�
2.� Lady� Noriega� recibió� un� préstamo� del� Banco� Santander� de� $10,000,000;� si�
canceló�$13,500,000�en�un�solo�pago,�calcular�el�plazo�del�préstamo�si:�
� �
a.�La�tasa�de�interés�es�del�2%�mensual�simple.�
b.�La�tasa�de�interés�es�del�2%�mensual�compuesto� �
c.�La�tasa�de�interés�es�del�1.5%�mensual�compuesto.�
�
3.�Pastor�Bueno�desea�tener�$20,�000,000�dentro�de�2�años�para�la�cuota�inicial�
de�un�vehículo�Audi,�para�lo�cual�se�ha�propuesto�el�siguiente�plan�de�ahorros:�
�
Hoy,�ahorra�$1,000,000� �
Dentro�de�2�bimestres,�3,000,000� �
Dentro�de�8�meses,�$5,000,000�;� �
Dentro�de�1�año,�$2,000,000� �
Dentro�de�año�y�medio,�$7,000,000�
�
El�Banco�de�Bogotá�le�ha�propuesto�3�planes:�
�
Plan�A:�i�=�1%�mensual�simple�
Plan�B:�i�=�2%�mensual�compuesto�
Plan�C:�i�=�2%�bimestral�simple�(Un�bimestre�=�2�meses)�
�
Nota:� No� olvidar� que� el� plazo� y� la� tasa� de� interés� deben� estar� expresados� en� el�
mismo�período�
�
a.�Determinar�el�dinero�acumulado�dentro�de�2�años�de�cada�uno�de�los�planes.�
�
b.�¿Cuál�es�el�mejor�plan?�
�
4.� En� los� ejemplos� 1� a� 6� de� interés� simple� y� 1� a� 6� de� interés� compuesto� que� se�
desarrollaron�anteriormente,�comparar�el�ejemplo�1�de�interés�simple�con�el�ejemplo�1�
de� interés� compuesto� y� así� sucesivamente� hasta� el� 6.� Sacar� las� conclusiones�
respectivas�para�cada�una�de�las�6�comparaciones�y�presentar�un�informe.�
�
5.�Con�base�en�una�tasa�del�30%�anual�mes�vencido�calcular:�
�
a.�Tasa�trimestral�
�
b.�Tasa�semestral�
c.�Tasa�efectiva�.anual�
�
2.�Con�base�en�una�tasa�del�30%�anual�mes�anticipado,�calcular:�
�
a.�Tasa�trimestral;� � � � b.�Tasa�semestral�
c.�Tasa�efectiva�anual;� � � d.�Tasa�trimestral�vencida�
�
3.�Calcular�las�tasas�efectivas�anuales�de�las�siguientes�tasas�nominales,�compararlas�y� �
sacar�conclusiones:�
�
a.�25%�anual�semestre�vencido� � � � b.�25%�anual�trimestre�vencido� �
�
c.�25%�anual�bimestre�vencido� � � d.�25%�anual�mes�vencido� �
�
e.�25%�anual�día�vencido� � � � � f.�25%�anual�año�anticipado��
�
g.�25%)�anual�semestre�anticipado� �� � h.�25%)�anual�trimestre�anticipado� �
�
i.�25%�anual�bimestre�anticipado� � � � j.�25%�anual�mes�anticipado� �
�
k.�����anual�día�anticipado�
�
4.�Si�se�tiene�una�tasa�del�24%>�anual�trimestre�anticipado,�calcular:�
�
a.�Tasa�mensual� �
�
b.�Tasa�semestral�
�
c.�Tasa�efectiva�anual�d.�Tasa�trimestral�
�
5.� Cuánto� dinero� tendrá� acumulado� dentro� de� 5� años� Juan� Pérez� si� invierte� hoy� 5�
millones� en� el� Banco� Santander,� que� le� paga� una� tasa� de� interés� del� 20%� anual�
semestre�anticipado.�
�
6.�Linda�Plata�recibió�un�préstamo�de�su�amigo�Armando�Rico�hace�2�años�y�medio.�Si�
Linda�pagó�hoy�a�Armando�$12,133,450�y�la�tasa�pactada�fue�del�28%�anual�mes�
vencido,�calcular�el�valor�el�préstamo.�
�
7.� � � En�el�problema�anterior�¿Cuál�sería�el�valor�del�préstamo�si� la�tasa�de�interés�
fuera�del�32%�anual�bimestre�anticipado?�
�
8.� Linda� de�Bonito� planea� adquirir� un� vehículo�CITROEN�dentro� de� 2� años� y� se� ha�
propuesto�el�siguiente�plan�de�ahorros�para�este�lapso�de�tiempo:�
�
Hoy,�ahorra�$1,500,000� � � � Dentro�de�2�bimestres,�$4,000,000�
�
Dentro�de�2�trimestres,�$6,000,000;�� �Dentro�de�un�año,�$3,000,000�
Dentro�de�18�meses,�$5,000,000�
�
Si� la�cuota� inicial�que�se�requiere�para�adquirir�ese�vehículo�dentro�de�2�años�es�de�
$23,500,000�y�la�tasa�de�interés�que�le�pagan�por�su�dinero�ahorrado�es�del�32%�anual�
trimestre� vencido,� ¿tendrá� doña� Linda� el� dinero� suficiente� para� la� cuota� inicial� del�
vehículo?�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
CAPÍTULO�DOS�
�
�
�
�
�
�
EQUIVALENCIAS�CON�CUOTAS�FIJAS�
�
�
�
Justificación�
�
�
El� sistema� de� cuotas� constantes� y� periódicas,� conocido� mas�
generalmente� como� anualidades,� es� el� más� utilizado� en� el�
ámbito� financiero� en� el� tratamiento� de� pago� de� cuotas� o� en�
operaciones�de�ahorro�y�su�aplicación�se�da�en�la�necesidad�de�
encontrar�el�valor�de�sumas�futuras�o�presentes�equivalentes�a�
una�serie�de�cuotas�fijas�iguales�vencidas�o�anticipadas.�
�
�
Objetivo�General�
�
Hallar�sumas�futuras�y�presentes�equivalentes�a�una�serie�de�
pagos�uniformes�ya�sea�en�forma�vencida�o�anticipada.�
�
�
�
Objetivos�específicos�
�
�� Establecer�el�valor�futuro�de�una�serie�de�pagos�uniformes�en�
forma�vencida�
�� Calcular�el� valor�presente�de�una�serie�de�pagos�uniformes�
de�manera�anticipada�
�� Encontrar� el� calor� presente� de� una� serie� de� cuotas� fijas�
vencidas�liquidadas�con�intereses�anticipados�
�
�
�
2.� � EQUIVALENCIA�CON�CUOTAS�FIJAS�
�
Una�de�las�formas�más�utilizadas�en�nuestro�sistema�financiero�es�el�pago�de�prés3
tamos�a�través�de�cuotas�fijas,�en�el�lenguaje�de�las�Matemáticas�Financieras�se�les�llama�
anualidades� o� rentas.� La� relación� que� existe� entre� las� cuotas� fijas� y� un� valor�
presente�o�un�valor�futuro�se�conoce�con�el�nombre�de�equivalencias.�
�
2.1.�CUOTAS�FIJAS�VENCIDAS�
�
2.1.1�Equivalencias�entre�un�valor�futuro�y�una�serie�de�cuotas�fijas�vencidas�
�
Cuotas�fijas�=�A�
� �
Valor�futuro�=�F�
�
N�=�Número�de�períodos�
�
i%�=�Tasa�de�interés�por�período�
�
Para�poder�ver�la�relación�que�existe�entre�una�serie�de�cuotas�fijas�(iguales)�y�un���
futuro� F,� considere� que� el� señor� Armando� Casasbuenas� tiene� excedentes� de�
liquidez�cada�período�y�quiere�invertirlos�para�tener�dentro�de�un�lapso�de�tiempo�n�el�
suficiente�dinero�para�adquirir�una�finca�en�la�sabana�de�Bogotá.�Estos�ahorros�se�
harán� al� final� de� cada� período� a� una� tasa� de� interés� del� i%.� Gráficamente� el�
comportamiento�del�problema�sería�el�siguiente:�
�
�
�
0� 1� � 2� � �3� � � � �4� � � � � � � � � � � � �12��
�
�
�
�
�
�Con�base�en�el�gráfico�anterior,�se�puede�considerar�cada�punto�del�tiempo�en�el�
cual�se�hace�el�ahorro�como�un�valor�presente�en� relación�con�el�período�n�en�el�
cual�se�retirará�el�dinero�para�comprar�la�finca�que�en�este�caso�sería�el�valor�futuro.�
Por�ejemplo,�el�ahorro�que�se�hace�en�el�período�n31�que�tiene�un�valor�de�SA�sí�se�
considera�que�estará�invertido�solo�un�período,�su�valor�futuro�correspondiente�será�
igual�a�A(1+i)�(ver�fórmulas�del�capítulo�1).�
�
Si�tomamos�el�ahorro�de�$A�en�el�período�n32�su�valor�futuro�será�A(1+i)2,�para�el�
período� n33� se� obtendría� A(1+i)� 3,� para� el� período� n34� se� obtendría�A(1+i)� 4�y� así�
sucesivamente� hasta� llegar� al� período� 1;� donde�el� valor� futuro� del� ahorro�A� sería�
A(1+i)(n31)�y�el�ahorro�que�se�hace�en�el�período�n,�como�coincide�con�el�retiro�del�
F�
nD1�
n�
nD2�
�
dinero�no�genera�intereses,�por�lo�cual�su�valor�futuro�sería�A(1+i)�0�o�sea�A�porque�
toda�cantidad�elevada�a�la�cero�es�igual�a�uno.�
�
Si�se�suman�todos�los�valores�futuros�de�cada�uno�de�los�ahorros�de�cada�período�se�
obtiene:�
�
F�=�A�+�A(1+i)�+�A(1+i)2�+�A(1+i)3�+�......�+�A(1+i)�(n31)� � � � � � � �Ecuación�#�1�
�
Si� se� multiplica� esta� ecuación� por� (1+� i)� y� se� le� llama� �Ecuación� 2,� � se� obtiene� lo�
siguiente:� �
F(1+i)�=�A(1+i)�+�A(1+i)2�+�A(1+i)3�+�A(1+i)4�+.........�+�A(1+i)n� � � Ecuación�#���
�
Si�restamos�la�ecuación���de�la�ecuación�1�se�obtiene:�
�
� F(1+i)3F�=�A(1+�i)�n�3�A�,�despejando�se�tiene�
�
F�+�Fi3F�=�A(1+�i)�n�3�A� �
�
F+Fi3F�=�A(1+�i)�n�3�1�
�
F�=�A[(1+i)n�31]�
�
F�=�A[((1+i)n�D1)�/�i]� � Fórmula�1�
�
�
La�anterior�ecuación�es�la�equivalencia�entre�un�valor�futuro�y�una�cuota�fija�vencida�o�
anualidad.�
�
�
2.1.2� �Equivalencia�entre�un�valor�presente�y�una�serie�de�cuotas�fijas�vencidas�
�
La� equivalencia� entre� un� valor� presente� y� una� cuota� fija� se� deduce� de� la� fórmula�
número�1� simplemente� reemplazando�F� por�P(1+i)n,� que�es� la� fórmula�base� de� las�
Matemáticas�Financieras.�
�
P(1+i)n�=�A[(1+i)n�31/i]�
�
P�=�A[{�(1+i)n�D1}�/�{�(1+i)n}]� � Fórmula�2�
�
De�las�fórmulas�1�y�2�se�puede�calcular�el�valor�de�la�cuota�fija�de�la� �siguiente�forma:
�
A�=� � F�[{�i}�/{�(1+i)n�31}]� � Fórmula�3�
�
A�=� � P�[{i�(1+i)n�}�/�{�(1+i)n�31�}]� � � Fórmula�4�
�
�
2.2� �CUOTAS�FIJAS�ANTICIPADAS�
�
2.2.1�Equivalencia�entre�un�valor�futuro�y�una�serie�de�cuotas�fijas�anticipadas�
�
Utilizando�el�procedimiento�anterior,�se�pueden�calcular�las�equivalencias�entre�cuotas�fijas�
anticipadas� y� los� valores� presente� y� futuro;� utilicemos� el� gráfico� que� tomamos� como�
referencia�para�calcular�las�equivalencias�anteriores�pero�considerando�que�las�cuotas�se�
realizan�anticipadamente�o�sea:� � � � �
� � � � � F�
�
�
� 0� 1� 2� 3� 4� � n33� n32� n31� � n�
�
�
�
�
�
El�paso�inicial�es�calcular�el�valor�futuro�de�cada�uno�de�los�ahorros�A;�nótese�que�en�el�
período�n�no�hay�ahorro�y�sí�lo�hay�en�el�período�cero.�Esta�es�la�diferencia�que�hay�con�
respecto� al� gráfico� de� las� cuotas� vencidas,� pues� las� cuotas� fijas� se� consideran�
anticipadamente�o�a�principios�de�cada�período,�por�lo�tanto�el�valor�futuro�obtenido�con�
base�en�el�diagrama�anterior�sería:�
�
F�=� � A(1+i)�+�A(1+i)2�+�A(1+i)3�+�A(1+i)4�+.........�+�A(1+i)n�
�
Si�a�esta� ecuación� la� llamamos� la�ecuación� número� 1� y� la�multiplicamos�por� (1+i)�
obtenemos�la�ecuación�número�2.�
�
F�(1+i)�=� �A(1+i)2�+�A(1+i)3�+�......�+�A(1+i)�(n+1)�
�
Si�sacamos�la�diferencia�entre�las�dos�ecuaciones�se�obtiene:�
�
F�(1+i)3F�=� �A(1+i)�(n+1)�333�A(1+i)�
�
F�+�Fi3F�=�A[(1+i)�(n+1)�� D�(1+i)]�
�
F�=�A[{(1+i)(n+l)�3�(1+i)}/�i]� � � Fórmula�5�
�
�
2.2.2�Eequivalencia�entre�un�valor�presente�y�una�serie�de�cuotas�fijas�anticipadas�
�
Con�base�en�la�equivalencia�anterior�entre�un�valor�futuro�y�una�cuota�fija�anticipada�se�
puede� obtener� la� existente� entre� un� valor� presente� y� una� cuota� fija� anticipada,�
simplemente�reemplazando�F�por�P(l+i)�n�
P(l+i)�n��=�A[{(1+i)(n+l)�3�(1+i)}/�i]�
P�=�A[{�(1+i)(n+l)�3�(1+i)�}�/�{�i(1+i)�n�}]� � Fórmula�6�
�
�
�
De�las�fórmulas�5�y�6�podemos�obtener�el�valor�de�la�anualidad�en�función�del�valor�
presente�o�del�valor�futuro.�
�
�
A�=�F[{�i�}�/�{(1+i)(n+1)�3�(1+i)�]� � Fórmula�7�
�
A=�P[{�i�(�1+i)n}�/�{�(1+i)(n+1)3(1+i)}�]� � � � � � � � � � � � � � � Fórmula�8�
�
Las�anteriores�equivalencias�permiten�pactar�una�serie�de�transacciones�en�el�mundo�real.�
�
�
2.2.3
Equivalencia�entre�un�valor� futuro�y�una�serie�de�cuotas� fijas�vencidas�
con�intereses�anticipados�
�
Este� � caso�se�presenta�cuando�en�un�crédito�se�pactan�cuotas�uniformes�vencidas�
pero� le� cobran� intereses� anticipadamente,� es� decir� en� el� momento� de� recibir� el�
préstamo�el�beneficiario�no� recibe� la� totalidad�sino� la�diferencia�entre�el�valor�del�
crédito�y�los�intereses�correspondientes�al�primer�período.�
�
En� este� caso� como� el� usuario� pago� los� intereses� anticipadamente,� en� la� última�
cuota�no� se�pagarían� intereses,� sino� la� totalidad�del� valor�pagado�sería�abono�a�
capital.�
�
La� � equivalencia�a�usar�en�este�caso�sería:�
� �
A�=�P[�i�/�((13(13�i)n))]� � � � � � � � � � �Fórmula�9�
�
A� continuación� se� tratan� � casos� prácticos� relacionados� con� las� equivalencias�
expuestas�anteriormente.�
�
Ejemplo�1�
�
Doña�Linda�Reina� recibió�un�préstamo�del�Banco�de�Bogotá�por�$10�millones�para�
cancelar�en�12�cuotas�mensuales�iguales�vencidas�con�una�tasa�del�3%�mensual.�Calcular�
el�valor�de�las�cuotas.�
�
�
Gráficamente�se�tendría�la�siguiente�interpretación�del�problema:�
�
�
�
�
10,000.000�
�
�
�
1 2 3 �4 5 6 7 � 8 � 9� � � � �10� � � � �11� � � � �12� �
� � �
0�
�
�
�
�
Se�debe�utilizar�la�fórmula�4�
�
A�=�P[{�¡�(�1+¡)�n�/�{(1+i)�n�31}]�
�
P�=�Valor�presente,�es�en�este�caso,�el�valor� �del�préstamo�o�sea�$�10.000.000�
�
i�=�3%�
�
n�=�12�meses�
�
Tenemos�las�tres�variables,�por�lo�cual�podemos�calcular�la�cuota�fija�A�
�
A�=�10.000.000�[�{3%(1+3%)12}�/�{�(1+3%)�1231}]�
�
Alternativamente�se�puede�escribir�de�la�siguiente�forma�reemplazando�el�3%�por�0.03�
�
A=10.000.000[{0.03(1+0.03)12}/{(1+0.03)1231}]�A=�$1.004.620.85�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
CAPÍTULO�TRES�
A=�?�
I�=�3%�
Meses�
�
�
�
�
�
�
EQUIVALENCIAS�CON�CUOTAS�VARIABLES�
�
�
Justificación�
�
Una� serie� de� pagos� puede� hacerse� � en� forma� uniforme� en�
cuanto� al� tiempo,� pero� aumentar� o� disminuir� en� una� cantidad�
constante�denominada�gradiente.�Esto� lo�que�se�conoce�como�
cuota�variable,�sistema�utilizado�alternativamente�para�el�manejo�
de� los� créditos� en� el� sistema� financiero.� Con� el� estudio� del�
capítulo,�el�aprendiente�estará�en�condiciones�de�establecer� la�
correspondencia�entre�unaa�serie�de�pagos�variables�y�un�valor�
presente.�
�
�
Objetivo�General�
�
Determinar� la� equivalencia� entre� una� cuota� variable� y� un�
valor�presente�
�
Objetivos�específicos�
�
�� Establecer�el�valor�de�cada�cuota�en�un�sistema�de�cuotas�
con�incremento�previamente�pactados�
�� En� un� sistema� de� cuotas� crecientes� o� decrecientes�
determinar�el�valor�de�la�primera�cuota.�
�� Utilizar� la� hoja� electrónica� para� el� cálculo� de� las� cuotas�
variables�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3.� �EQUIVALENCIA�CON�CUOTAS�VARIABLES�
�
3.1.�GRADIENTES�
�
El�sistema�financiero�colombiano�además�de�las�cuotas�fijas,�utiliza�métodos�alternos�para�
sus�créditos,�las�cuotas�variables�es�uno�de�ellos,�la�filosofía�de�esta�forma�de�pago�
es�realizar�incrementos�periódicos�en�los�pagos�de�los�usuarios.�Desde�este�punto�
de� vista� se� generan� dos� formas� de� aplicarlo;� la� primera� de� ellas� es� incrementos� en�
cantidades�fijas,�este�sistema�se�conoce�con�el�nombre�de�������	
�����
��
�
���o�
incremento�en�las�cuotas�mediante�un�porcentaje�fijo,�lo�que�se�conoce�con�el�nombre�de�
������	
�������
��
�	�veamos�con�unos�ejemplos�como�opera�cada�uno�de�ellos.�
�
3.1.1.�Gradiente�Aritmético�
�
Consideremos�el�caso�de�don�Pastor�Bueno,�quién�solicitó�un�crédito�de�$15�millones�al�
Banco�Santander;�para�pagar�en�un�plazo�de�3�años�con�pagos�semestrales�e�incrementos�

Continuar navegando