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� 1� � � � � UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA�UNAD� � � � � � � ���������� �� �� ����� � ����� ���� � � � � � � �� �� ���� � ���� ���� � � � � � � ARTURO�ROSERO�GÓMEZ� � � � BOGOTA�–�COLOMBIA� 2005� � � 2� ��������� ������ � � �� � �� ���� �� � � � �� � ������� � ��� � ����� �� ��� �� � ���������� ��� � ��� � �� ���� � � � ���� � ���������������� �������� �� ������������ ���� � � �� ���� ��� ��� �� �������� ���������� � � �� ���� ��� � ����������������� ��� � �� ������ ��� �� ��� ����� ������������ ��� ��� �� � ����� ���������� ����������� ��������� !���� ��� � � � ��������� ��� � ������� � � � ����� �� � ��� ��� �� � � "�� �� � ��� ��� ����� ������� ������� �� ������ ��� ��� �������� ��� � ��� ��� �� � ����� ����� ����� ����� ������ ���� �� ��� !���� ��� ��� ��� #� ���� ���� !�� ���� � ���������� ����� �$��� ��!�%�#! �$� � � �����&�������������'� � ()**+��#� ���� ����!�� ���� � ���������� ����� ��%�#! �� � ���������,�������� �������� �� ������������ �����-����.��$�$� /���01234%566%52**� � ����� � � � � � � � 3� CONTENIDO� � � � Pág.� Presentación� 6� Introducción� 8� UNIDAD�DIDACTICA�UNO� COSTO�DEL�DINERO�EN�EL�TIEMPO� � 10� Explorando�conocimientos�previos� 11� Capítulo�Uno.�Interés� 12� 1.� Interés� 13� 1.1� Conceptos� 13� 1.1.1�Concepto�de�interés� 13� 1.1.2�Concepto�de�interés�simple� 14� 1.1.3�Concepto�de�interés�compuesto� 25� 1.2� � Tasas�de�interés� 34� 1.2.1Tasa�de�interés�nominal� 34� 1.2.2�Tasa�de�interés�efectiva� 35� 1.2.3�Conversión�de�tasas� 42� Ejercicios�para�profundización�de�las�temáticas� 55� Capitulo�Dos.�Equivalencias�con�cuotas�fijas� � 58� 2.� � � Equivalencias�con�cuotas�fijas� 59� 2.1� � Cuotas�fijas�vencidas� 59� 2.1.1�Equivalencias�entre�un�valor�futuro�y�una�serie�de�cuotas�fijas� vencidas� 59� 2.1.2�Equivalencias�entre�un�valor�presente�y�una�serie�de�cuotas� fijas�vencidas� 60� 2.2� Cuotas�fijas�anticipadas� 61� 2.2.1�Equivalencia�entre�un�valor�futuro�y�una�serie�de�cuotas�fijas� anticipadas� 61� 2.2.2�Equivalencia�entre�un�valor�presente�y�una�serie�de�cuotas�fijas� anticipadas� � 61� � 4� 2.2.3�Equivalencia�entre�un�valor� futuro� y�una�serie�de�cuotas� fijas� vencidas�con�interés�anticipado� 62� Capitulo�Tres.�Equivalencias�con�cuotas�variables� 64� 3.� � � � Equivalencias�con�cuotas�variables� 65� 3.1.� � Gradientes� 65� 3.1.1�Gradiente�Aritmético� 65� 3.1.2�Gradiente�Geométrico� 69� 3.2.� � Equivalencia�entre�un�valor�presente�y�un�Gradiente� 70� 3.2.1�Equivalencias�entre�un�valor�presente�y�un�Gradiente� Aritmético� � 70� 3.2.2�Gradiente�Aritmético�Creciente� 72� 3.2.3�Gradiente�Aritmético�Decreciente� 74� 3.2.4�Equivalencia�entre�un�valor�presente�y�un�Gradiente� Geométrico� 76� 3.3� � Amortizaciones� 78� 3.3.1Tablas�de�amortización� 78� 3.3.2�Perpetuidades� 90� Ejercicios�para� � profundización�de�las�temáticas� 92� UNIDAD�DIDACTICA�DOS� EVALUACION�DE�ALTERNATIVAS�DE�INVERSION� 94� Actividades�de�exploración�de�conocimientos�previos� 95� � Capitulo�Uno.�Clases�de�evaluaciones�y�criterios�de�decisión� � 96� 1.� �Clases�o�tipos�de�evaluaciones� 97� 1.1� � Evaluación�de�proyectos�sociales� 97� 1.1.1�Características� 97� 1.1.2�Relación�Beneficio/Costo� 98� 1.1.3�Costo�Capitalizado� 98� 1.2� � Criterios�para�evaluar�proyectos�de�inversión� 103� 1.2.1Tasa�de�descuento� 103� 1.2.2�Costo�promedio�Ponderado�de�Capital3WACC� 104� 1.2.3�Valor�Presente�Neto�–VPN� 105� 1.2.4�Relación�Valor�Presente�de�los�de�los�ingresos/�egresos� 106� 1.2.5�Tasa�interna�de�Retorno�–TIR� 106� 1.2.6�Costo�Anual�Uniforme�Equivalente�3CAUE� 109� � 5� 2.� � � � Análisis�de�Riesgos�en�los�proyectos�de�inversión� 112� 2.1� � Sistemas�de�Análisis� 113� 2.1.1�Distribución�Beta�2� 13� 2.1.2�Distribución�Beta� 120� Capítulo�Tres.�Alternativas�Mutuamente�Excluyentes�y�no� Excluyentes� 126� 3.1� � Alternativas�Mutuamente�Excluyentes� 127� 3.1.1�Comparación�de�alternativas� 127� 3.1.2�Tasa�Verdadera� 129� 3.1.3�Tasa�Ponderada� 133� 3.1.4�Sensibilidad�de�los�proyectos�a�diferentes�tasas�de�descuento� 136� 3.1.5�Proyectos�con�vidas�diferentes� 139� Ejercicios�para�profundización�de�las�temáticas� 141� 3.2.� � Racionamiento�de�Capital� 146� 3.2.1�Modelo�de�Optimización� 146� 3.2.2�Planteamiento�del�Modelo� 146� Ejercicios�para�la�profundización�de�las�temáticas� 154� Apéndice.�Sistema�de�financiación�con�UVR� 155� Bibliografía�y�Cibergrafìa� 165� � � � � � � � � � � � � � � � � � � 6� � � � PRESENTACION� � La�nueva� � Universidad�Nacional�Abierta�y�a�Distancia3�UNAD,�recorrió� � presurosa� toda�su�historia;� inició�un� � proceso�de� reflexión�que�por�principio�se�convirtió�en� permanente� y� con� base� en� las� realidades� detectadas� mediante� el� proceso� de� “planificación� estratégica,� prospectiva� y� situacional”,� estructuró� un� conjunto� de� transformaciones� � que� la�asoman�al�siglo�XXI� � como� la� fuente�dinamizadora�del� desarrollo�del�país�y�de�la�región.�Por�eso�y�por�sus�innovaciones�organizacionales� la�UNAD�de�hoy�es�una�organización� inteligente,�es�decir,�una�organización�que� aprende.� � Desde�esta�perspectiva,� la�nueva�UNAD� redefinió� su�misión� y� su�accionar� cada� vez�es�más�coherente�con�ella�y�mediante�su�pedagogía�propia�de�la�metodología� de� la� educación� abierta� y� a� distancia� ofrecerá� oportunidades� tangibles� a� los� colombianos� mas� vulnerables,� para� ingresar� a� la� educación� superior� contribuyendo�efectivamente�a�la�educación�para�todos.� � � La� implementación� de� las� tecnologías� de� la� información� y� de� la� comunicación,� TIC’s,�la�ponen�más�cerca�del�nuevo�paradigma�educativo�mundial,�de�conformar� redes� interactivas� con� todas� las� comunidades� y� organizaciones� nacionales� e� internacionales� interesadas� en� gestar� procesos� de� crecimiento� individual� y� colectivo.� Y� los� cambios� e� innovaciones� que� viene� adelantando� la� pondrán� a� la� vanguardia,�en�el�siglo�XXI,�de�la�Educación�Abierta�y�a�Distancia.� � La�producción�de�material�didáctico�hace�parte�de� los�cambios�estructurales�que� se�vienen�dando;�es�una�de� las�actividades�docentes;�aquí�es�donde�se� tiene� la� gran� oportunidad� de� actualizar� y� contextualizar� las� temáticas� de� los� cursos� académicos;� planear,� diseñar� y� actualizar� los� currículos� y� operacionalizar� el� modelo�planteado�desde�el�Proyecto�Académico�Pedagógico3PAP3�por�el�cual�se� orienta� la� institución.� En� consecuencia� 3como� lo� expone� el� PAP3� el� material� didáctico� tiene� como� fin� apoyar� el� trabajo� académico� del� aprendiente,�mediante� � la� planificación� de� los� procesos� de� aprendizaje,� acorde� con� las� competencias� e� intencionalidades�formativas�propuestas�en�los�cursos�académicos�que�componen� los�campos�de�formación�de�un�programa.� � � El�módulo� que� se� presenta� hace� parte� del�material� didáctico� correspondiente� al� Curso� Académico� de� Matemáticas� Financieras� en� el� Ciclo� Tecnológico� del� Programa�de�Administración�de�Empresas.�Es�un�rediseño�al� texto�escrito�por�el� Doctor�Jorge�S.�Rosillo�C.�y�editado�por�la�UNAD�en�2002.�Se�tomó�esta�decisión� con� base� en� el� levantamiento� del� estado� del� arte� del� material� que� se� venia� trabajando�hasta�enero�de�2005,�en�consecuencia�se�determinó�que�el� texto�del� Doctor�Rosillo�además�de�presentar�las�temáticas�correlacionadas�con�el�currículo� � 7� del�programa�académico,�está�planteado�desde�lo�básico�hasta�lo�más�complejo,� elemento�esencial�en�el�diseño�de�material�didáctico.� � El� producto� resultante� de� esta� mediación,� tiene� en� cuenta� los� elementos� estructurales�del�material�didáctico;�por�tanto�está�organizado�de�tal�manera�que,� conjuntamente�con�la�Guía�Didáctica,�sirva�como�soporte�pedagógico�al�curso�de� Matemáticas� Financieras,� el� cual� esta� estructurado� por� el� sistema� de� créditos� académicos.� Como�material� didáctico,� � � su� intencionalidad� es� apoyar� el� trabajo� académico�de�los�aprendientes�y�el�trabajo�tutorial�� en�función�del�aprendizaje�y�el� desarrollo� cognitivo� y�metacognitivo� de� los� aprendientes,� en� correlación� con� las� intencionalidades�formativas�del�curso.� � En� atención� a� que� el� nuevo� ordenamiento� mundial� � está� provocando� nuevas� dinámicas�en�la�economía;�que�la�cultura,�la�comunicación�y�el�mercado�están�en� un� proceso� de� globalización� acelerado� y� que� las� matemáticas� financieras� evolucionan�constantemente�en� la�medida�en�que�cambian� los�escenarios�sobre� los� cuales� actúan,� serán� bien� venidas� las� sugerencias� y� los� aportes� de� estudiantes,� tutores� y� cualesquiera� personas� que� quieran� contribuir� para� el� mejoramiento� de� este� material,� tanto� en� lo� temático� � como� en� lo� pedagógico,� didáctico�y�metodológico.� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 8� INTRODUCCIÓN� � El� administrador� de� empresa� puede� desenvolverse� profesionalmente� en� el� nivel� operativo� de� la� organización� aplicando� las� cuatro� funciones� principales� de� la� administración:� planeación,� organización,� dirección� y� control;� en� el� nivel� medio� como�jefe�de�departamento�o�en�la�toma�de�decisiones�a�nivel�institucional.�En�los� tres� niveles� se� encarga� � de� que� los� recursos� sean� productivos� y� contribuyan� al� logro�de�las�metas�corporativas.� � La� comprensión,� interpretación� y� aplicación� de� los� conceptos� propios� de� las� matemáticas� financieras� le�permiten�al� aprendiente� � el� desarrollo�de�habilidades� en� el� � manejo� de� las� herramientas� financieras� que� le� permitirán� en� el� ejercicio� profesional� proponer� con� argumentos� sólidos� alternativas� de� solución� a� las� problemáticas�se�presenten�y�que�tengan�que�ver�con�la�toma�de�decisiones�sobre� evaluación� de� alternativas� de� inversión� � o� de� uso� y� aplicación� de� recursos� financieros.� � Entre� las� posibilidades� inmediatas� de� aplicación� de� las� diferentes� herramientas� financieras� apropiadas� mediante� el� estudio� juicioso� de� las� temáticas� que� conforman� el� presente� módulo,� se� encuentran:� el� Proyecto� de� Desarrollo� Empresarial� � (PDE)�objeto�del� trabajo�de�grado�y�en� la� resolución�de�problemas� prácticos� que� se� identifiquen� en� las� actividades� de� proyección� � y� apoyo� a� la� comunidad�en�que�se�desenvuelven� los�aprendientes.�Este�es� la�mayor�atractivo� del�estudio�de�esta�rama�del�las�matemáticas�aplicadas.� � Además�de�las�competencias�básicas,�se�pretenden�desarrollar�otras�complejas�y� transversales� que� permitan� al� estudiante,� identificar,� apropiar� y� transferir� los� conceptos�y�las�herramientas�financieras�aplicables�en�el�análisis�y� � evaluación�de� proyectos� de� inversión� y� aplicar� ese� conocimiento� en� situaciones� de� toma� de� decisiones�en�su�gestión�como�empresario,�como�responsable�del�área�financiera� de�una�organización�o�como�miembro�activo�de�su�comunidad.� � El�presente�módulo� conjuntamente� con� la�guía�didáctica� (protocolo�académico�y� guía� de� actividades),� conforman� el� material� didáctico� que� apoyará� el� trabajo� académico�del�aprendiente�en�el�estudio�del�curso�y�con�el�propósito�particular�de� presentar� la� información�en� forma� inteligible,� está�escrito�en�un� lenguaje� simple,� sin�apartarse�del�léxico�técnico�pertinente�a�las�cuestiones�financieras.� � � En�atención�a�que�el�curso,�curricularmente�responde�a�dos�crédito�académicos,� coherentemente�el�módulo�se�compone�de�dos�unidades�didácticas:�1.�Costo�del� dinero�en�el�tiempo;�2.�Evaluación�de�alternativas�de�inversión.� � La�primera�unidad� la�constituyen�tres�capítulos,�los�cuales�contienen�las�temáticas�relacionadas�con� el� manejo� del� dinero,� tratado� como� mercancía� y� de� lo� cual� se� encargan� sustancialmente�las�matemáticas�financieras;�la�segunda�unidad�integra�otros�tres� capítulos� que� tratan� los� temas� que� permiten� la� toma� de� decisiones� sobre� la� � 9� viabilidad�o�no�de�un�proyecto� y� la�elección�de� la� alternativa�más�conveniente� y� rentable�para�el�uso�de�los�fondos�de�las�organizaciones.� � � La� metodología� propuesta� para� lograr� los� objetivos� esperados� se� orienta� al� autoaprendizaje,�a�través�de�la�lectura�con�propósito�de�las�temáticas,�para�lo�cual� se� recomienda�desarrollar� la� estrategia�SQA�dispuesta� al� inicio� de� cada�unidad;� resolver� los� ejercicios� propuestos� para� la� profundización� de� las� temáticas� y� la� aplicación� inmediata� en� el� PDE� o� en� casos� prácticos� para� la� solución� de� problemas�en�la�comunidad.� � � Como� se� anotó� anteriormente,� este� material� viene� acompañado� de� la� guía� didáctica,� la� cual� además� de� la� información� sobre� las� características� del� curso� académico�contiene�la�guía�de�actividades�con� � los�elementos�metodológicos�de� evaluación�y�seguimiento�del�proceso�de�aprendizaje�del�curso.� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 10� UNIDAD�UNO� � � � � � � � COSTO�DEL�DINERO�EN�EL�TIEMPO� � � Justificación� � � Con�el�estudio�de�esta�unidad�el�aprendiente�apropiará�una�serie�de�conceptos�como:� interés,�interés�simple,�interés�compuesto,�tasas�de�interés;�asimismo�comprenderá�el� principio� de� equivalencia� financiera� y� conocerá� la� manera� de� realizar� todas� las� conversiones�posibles�entre�las�diferentes�tasas�de�interés.� � � Objetivo�General� � A�partir�de�su�reconocimiento�y�aplicación�en�casos�prácticos,�deducir�las�fórmulas� de� interés� simple� e� interés� compuesto� y� establecer� los� parámetros� para� su� aplicación�en�las�cuestiones�financieras.� � � Objetivos�específicos� � �� Deducir�las�fórmulas�de�interés�simple�e�interés�compuesto� �� Encontrar�una�tasa�de�interés�efectiva�equivalente�a�una�tasa�de� Interés�nominal�dada�o�viceversa.� �� Hallar�sumas�futuras�y�presentes�equivalentes�a�una�serie�de�pagos� �� Establecer�los�parámetros�que�permitan�la�liquidación�de�intereses�sobre� saldos�mínimos� �� Encontrar� los� parámetros� que� permitan� calcular� las� sumas� presentes� equivalentes� � a�una�serie�de�cuotas�que�crecen�o�decrecen�en�forma�lineal� �� Determinar� una� expresión� matemática� que� el� cálculo� del� valor� de� la� primera� cuota� para� con� base� en� el� sistema� de� amortización� se� pueda� calcular� las� restantes� �� Elaborar� tablas� y� gráficas� de� amortización� de� amortización� para� sistemas� de� amortización�diferentes� � � 11� � � � � � � � � El� desarrollo� de� esta� actividad� permite� indagar� los� conocimientos� que� se� tiene� sobre�los�contenidos�a�estudiar,�de�tal�forma�que� � facilita�la�recepción�de�la�nueva� información�y�genera�mayor�comprensión�de�las�temáticas.� � Después�de�inspeccionar�ligeramente�la�unidad�y�sin�adelantar�la�lectura�contestar� las�siguientes�preguntas�y�registrarlas�en�la�primera�columna�del�cuadro�1.�“SQA”.� � ¿Qué�SE�acerca�de?� � � ¿Interés;� Interés� simple;� interés� compuesto;� tasas� de� interés;� tasa� de� interés� nominal;� tasa� de� interés� efectiva,� crédito� con� cuotas� fijas;� crédito� con� cuotas� variables;�amortización�de�créditos?� � Una�vez�realizada�la�reflexión�sobre�los�vacíos�encontrados�al�tratar�de�responder� los� interrogantes�anteriores,�consignar�en� la�columna�dos�del�cuadro�1�“SQA”,� lo� que�se�desea�conocer�sobre�los�temas�tratados.�Así�se�resuelve�la�pregunta:� � � ¿Qué�Quiero�Saber?� � � � � Después�de�abordar� la� lectura�de� los�contenidos;� analizar� los�ejemplos;� resolver� las� actividades� de� profundización� y� de� socializar� las� temáticas� con� los� demás� estudiantes� del� curso,� se� debe� completar� el� cuadro� “SQA”� � registrando� en� la� tercera� columna� el� conocimiento� nuevo,� construido� mediante� el� estudio� de� la� unidad.�El�registro�de�los�logros,�responde�la�pregunta:� � � ¿Qué�Aprendí?� � Cuadro�1�“SQA”� � � ¿QUÉ�SÉ� � QUÉ�QUIERO�SABER� � QUÉ�APRENDÍ� � Saberes�previos:� � Meas�de�aprendizaje:� � Logros:�nuevo�conocimiento� ������� ��� �…..?� ACTIVIDAD�DE�EXPLORACIÓN� DE�CONOCIMIENTOS�PREVIOS�� � 12� � CAPITULO�UNO� � � � � � � � � � � � INTERÉS� � � � � Justificación� � � Una�vez�el�aprendiente�haya�terminado�el�estudio�de�este�capítulo�estará�en� capacidad� de� comprender� el� concepto� del� valor� del� dinero� respecto� del� tiempo�y�de�manejar� los�diagramas�de� tiempo�para�analizar� los�problemas� de�índole�financiero�y�realizar�los�cálculos�para�las�operaciones�financieras� � � Objetivo�General� � A�partir�del�reconocimiento�y�profundización�de� las�temáticas�el�estudiante� debe� deducir� las� fórmulas� de� interés� simple� e� interés� compuesto� y� encontrar� una� tasa� de� interés� efectiva� equivalente� a� una� tasa� de� Interés� nominal�dada�o�viceversa.� � � � Objetivos�específicos� � �� Establecer�las�diferencias�precisas�entre�las�diferentes�clases�de�interés� �� Interpretar�los�diagramas�económicos� �� Calcular�operaciones�financieras�con�interés�simple�e�interés�compuesto� �� Definir�e�interpretar�el�concepto�de�tasa�de�interés� �� Calcular�la�tasa�de�interés�efectiva�a�partir�de�la�tasa�nominal�y�viceversa� �� Calcular�el�interés�real�en�el�año� � � 13� � El� concepto� de� acumulación� tuvo� su�origen� en� la� sociedad�artesanal,� la� cual� se� caracterizó� por� la� � división� del� trabajo;� esta� sociedad� estaba� formada� por� carpinteros,�panaderos,�alfareros,�herreros,�albañiles,�ganaderos,�agricultores,�etc.� Quienes� no� solamente� producían� para� su� consumo,� sino� que� generaban� excedentes,� lo�que� les� permitía� intercambiar� otros� productos� para� satisfacer� sus� necesidades� � de�alimentación,�vivienda,�vestuario�y�educación.� � Por� ejemplo,� el� productor� de� papa� sólo� satisfacía� parte� de� su� necesidad� de� alimento� y� � para�que�el� � producto�de�su� trabajo� le� sirviera�como�medio�de�vida,� debía� intercambiar� � sus� excedentes� por� otros� productos,� debía� buscar� otro� individuo� que� estuviera� interesado� en� adquirir� su� � producto.� � Se� requería� la� existencia�de�una�necesidad�recíproca�para�poder�realizar�el� intercambio,�sin�ella� era�imposible�realizar�la�transacción;�una�vez�se�encontraban�los�dos�individuos�se� debía� fijar� cuántas� unidades� del� producto� “A”� serían� necesarias� para� adquirir� el� producto� “B”,� la� relación� entre� la� cantidad� de� un� producto� que� se� entrega� para� obtener�una�unidad�del�otro,�es�el�precio�de�un�bien�expresado�en�unidades�del� otro�bien.� � � 1.1�CONCEPTOS� � 1.1.1� Concepto�de�Interés� � El�concepto�de�interés�tiene�su�origen�en�las�transacciones�que�realizan�dos�o�más� actores�por�el�intercambio�de�bienes�y�servicios.� � La�necesidad�de�intercambiar�de�los�individuos�para�satisfacer�sus�necesidades�y� las�limitantes�del�intercambio�que�generaba�la�“necesidad�recíproca”,�fue�haciendo� germinar� el� establecimiento� de� un� bien� que� fuera� aceptado� por� todos� para� negociar.� � Inicialmente,�este�bien�fue�el�ganado�y�servía� � para�expresar�el�precio� de�cualquier�transacción;�poco�a�poco�fueron�surgiendo�otros�productos,�el�oro�y�la� plata�que�se�usaron�como�dinero�cumpliendo�funciones�de�unidad�de�valor�y�medio� de� cambio� desplazando� a� otros� sistemas� de� cambio� por� su� fácil� manejo� hasta� llegar� a� nuestro� días� con� el� papel� moneda� de� aceptación� universal,� como� instrumento�de�intercambio.� � De� la�misma� forma�que� en� la� sociedad�artesanal� se� producían� excedentes� para� poder� intercambiar,� en� la� sociedad� contemporánea� los� excedentes� de� dinero� de� 1.�INTERÉS� � En� la� sociedad� primitiva� los� seres� humanos� se� autoabastecían:� generalmente�el� hombre� salía�a� cazar� o� pescar� para� conseguir� alimento� o� vestido� � y� la�mujer� se� dedicaba� a� cuidar� el� fuego� y� a� recoger� frutos;� no� se� cazaba�más�de�lo�que�se�consumía.� � 14� los� individuos� que� no� se� consumen� se� llaman� AHORRO,� los� cuales� pueden� invertirse� o� cederse� a� otros� en� el� instante� del� tiempo� que� los� soliciten� para� satisfacer�sus�necesidades.� � El�costo�o�el�rendimiento�de�estas�transacciones�se� llama�INTERÉS.� � Partamos� de� un� ejemplo� para� fundamentar� este� concepto:� supongamos� que� tenemos� dos� personas� que� tienen� el� mismo� dinero� para� invertir� y� ambos� son� comerciante,�el�dinero�disponible�de�cada�uno�de�ellos�es�de�$10�millones,�pero� tienen�diferentes�negocios;� � el�primero�de�ellos�se� llama�Linda�Plata,�es� joyera�e� importa� joyas� de� Panamá� y� el� segundo� es� don� Armando� Rico,� quien� ofrece� al� mercado�perfumes�importados�de�Francia.� � Mensualmente� estos� individuos� adquieren� $10.000,000� en�mercancías,� pero� los� dos� obtienen� resultados� diferentes.� � Doña� � Linda� obtiene� una� ganancia� de� $300.000� en� el� � mes� y� don� Armando� $500,000� en� el� mismo� lapso� de� tiempo.� � Observemos� que� teniendo� la� misma� inversión� reciben� beneficios� diferentes,� podemos� definir� entonces� el� INTERÉS� como� la� utilidad� que� se� tiene� sobre� una� inversión�en�“X”�tiempo,�o�sea:� � � � � � � Siendo�el�interés�del�comerciante�en�joyas� � =�300,000�/�10,000,000� � =�3%� mensual� � y�el�interés�del�comerciante�en�perfumes� � =500,000�/�10,000,000�=�5%�mensual.� � Dado�el�caso�de�que�una� tercera�persona,�por�ejemplo�Justo�Sin�Plata,�necesite� $10,000,000�y�se� los�solicite�a�don�Armando,�éste�se� los�cedería�solamente�si� le� reconoce�una�tasa�de�interés�igual�a�la�que�le�rinden�sus�inversiones,�es�decir,�al� 5%�mensual;�de�aquí�nace�otro�concepto�conocido�con�el�nombre� � de�TASA�DE� INTERÉS�DE�OPORTUNIDAD� que� quiere� decir� que� cualquier� inversionista� está� dispuesto�a�ceder�su�dinero,�si�se�le�reconoce�una�tasa�de�interés�igual�o�superior� a�la�que�rinden�sus�inversiones.� � 1.1.2� Concepto�de�Interés� � Simple� � Siendo�el�interés�la�utilidad�sobre�la�inversión,�se�puede�tomar�el�ejemplo�anterior� en�el�cual�el�comerciante�en�joyas�doña�Linda�Planta�de�Rico,�gana�mensualmente� $300,000�con�$10,000,000�invertidos;�si�continuamos�su�análisis�indefinidamente,� es�decir,�mes�a�mes,�el�resultado�es�el�siguiente:� � � � � Utilidad � � � Interés� � =� � � Inversión� � 15� MES DINERO INVERTIDO GANANCIA DINERO ACUMULADO 1 2 3 . . N $10,000,000� $10,000,000� $10,000,000� � � $10,000,000� � � � � $300,000� � � � � $300,000� � � � � $300,000� � � � � � � $300,000� � � � � � $10,300,000� � � � � � $10,600,000� � � � � � $10,900,000� � � Si:� � � � � Utilidades�=�3%�x�$10.000,000�=�$300,000�en�cada�período,�para�este�caso�cada� mes.� � Lo�anterior�se�puede�presentar�simbólicamente�de�la�siguiente�forma:� � Dinero�invertido�=�P� Tasa�de�Interés�=�i� � � MES DINERO INVERTIDO UTILIDADES 1 2 3 . . n P P P P Pi Pi Pi Pi � Lo� anterior� quiere� decir� que� doña� Linda�Plata� de�Rico� tiene� unas� utilidades� (Pi)� � por� � período�y� � si�quiere�saber�cuántas�utilidades�ha�generado�su�inversión�desde� el� momento� en� que� la� realizó,� simplemente� deberá� multiplicar� las� utilidades� de� cada�período�por�el�número�de�ellos� transcurridos�a� la� fecha,�desde�el�momento� en�que�realizó�la�inversión.� � � Utilidad Interés = Inversión Utilidad� � =�Inversión�x�Tasa�de�interés� Utilidad� � =�Pi� � 16� Generalizando� a� n� los� períodos,� se� tendrían� en� este� punto� unas� utilidades� acumuladas�Pin� y� el� total� de� dinero� acumulado� sería� igual� a� la� inversión� inicial� más� las� utilidades� acumuladas;� a� esta� suma� se� le� conoce� con� el� nombre� de� MONTO� o� VALOR� FUTURO� y� en� términos� simbólicos� se� representa� de� la� siguiente�forma:� � P� � =� �Valor�de�la�inversión�ó�valor�actual� F� � =� �Valor�futuro� N = Número�de�períodos� % i = Tasa�de�interés� � � � � � � � � � � � � � � � � Nótese� que� en� el� ejemplo� doña� Linda� Plata,� no� reinvirtió� las� ganancias� sino� siempre� invirtió� la� misma� cantidad� ($10� millones);� es� decir,� cuando� no� hay� reinversión�de�las�utilidades�se�conoce�con�el�nombre�de�inversiones�a�INTERÉS� SIMPLE.�� � Ejemplo�1� � ¿Cuánto� dinero� acumularía� Juan� Pérez� dentro� de� 5� años,� si� invierte� hoy� $4.000.000�a� � una�tasa�de�interés�simple�del�3%�mensual?� � El� primer�paso� para� resolver� el� problema�planteado�es� elaborar� un�diagrama�de� flujo�de�la�siguiente�manera:� � Considerar� los� ingresos�de�dinero�con�una�flecha�hacia�arriba�y� los�desembolsos� con� una� flecha� hacia� abajo,� en� una� escala� de� tiempo� que� pueden� ser� años,� semestres,�meses,�días.� � La�escala�de�tiempo�debe�estar�expresada�en�el�mismo� período� que� está� expresada� la� tasa� de� interés;� en� el� ejemplo� la� tasa� de� interés� está�expresada�en�meses,�por� lo�tanto� los�5�años�se�deben�convertir�a�meses,�o� sea�60�meses.� � � � � � F = P + Pin F = inversiones + Utilidades Acumuladas � F = p (1 + in) � 17� � � � � � � � � � � � � F�=�P�(1�+�in)� � F=�4,000,000(1�+�0.03�(60))� � F=�11,200,000� � Lo�anterior�quiere�decir�que�don�Juan�Pérez�se�ganó�$7,200,000�en�los�5�años�y� adicionalmente�tiene�el�dinero�que�invirtió�o�sea�$4,000,000.� � � SUPUESTO:�El�inversionista�no�hace�ningún�retiro�de�dinero�en�el�lapso�de�tiempo� considerado.� � Ejemplo�2� � � Armando�Rico�recibió�hoy�$3,450,000�del�Banco�de�Bogotá�por� � una�inversión�que� realizó� hace� tres� semestres;� si� la� tasa� de� interés� es� del� 2%� mensual,� ¿cuánto� dinero�invirtió�don�Armando?� � Como�se�explicó�anteriormente,�el�punto�de� � partida�es� realizar�el�gráfico�o� flujo� de�caja�correspondiente;�el�problema�quedaría�planteado�así:� � � En� razón� a� que� la� tasa� es� mensual� se� deben� expresar� los� tres� semestres� en� meses,�para�que�los�elementos�estén�en�la�misma�base.� � � � � � � � � � � 1�=�3%�mensual� F� 60�meses� P�=�4.000.000� 0� P� 1=2%�mensual� F�=�3.450.000� 18�meses�=�3� Semestres� � 18� � � Reemplazando�en�la�ecuación�que�relaciona�estas�variables�se�tiene:� � � � F�=�P�(1�+�in)� � F�=�$3.450.000� � � porque�en�este�valor�se�consolidan�la�inversión�y�las�utilidades� � I�=�2%�mensual� � N�=�3�semestres�=�18�meses� � Entonces,� � � 3,450,000�=�P�(1�+�2%�(18))� 3,450,000�=�P�(1�+�0.36)� P�=�3,450,000�/�(1.36)� P�=�$2,536,764.71� � � Este�es�el�valor�que�invirtió�don�Armando�hace�18�meses.� � � Ejemplo�3� � Patricia� Fernández� recibió� un� préstamo� de� $3,000,000,� que� debe� paga� en� 18� meses;� si� al� final� del� plazo� debe� cancelar� $3,850,000,� calcular� tasa� de� interés� simple�del�préstamo.� � � � � � � � � � � � � � � � � P�=�3.000.000� 18�meses� F�=�3,850,000�0� � 19� � Nótese�que�se�dibujaron�los�$3,000,000�con�una�flecha�hacia�arriba,�puesto�que�se� está� tomando� como� referente� a� Patricia� Fernández;� al� recibir� el� dinero� del� préstamo�tienen�un�ingreso�y�cuando�cancela�el�crédito�ella�tiene�un�desembolso,� por�lo�cual�se�dibuja�con�una�flecha�hacia�abajo.� � � Si�se�toma�como�referente�el�prestamista,�el�gráfico�sería�el�siguiente:� � � � � � � � � � � � � � � � � � Reemplazando�los�datos�de�la�ecuación�se�tiene:� � � F�=�P�(1�+�in)� � 3,850,000� � =� � 3,000,000�(1�+�i%�(18))� � 3,850,000/3,000,000=�(1�+�i18)� � 1.2833�–�1�=�i18� � i�=�0.2833/18� i�=�0.015740� � � Expresándolo�en�términos�porcentuales�se�tiene,� � � � I�=�1,5740%�mensual�simple.� � � � 0� P�=�3.000.000� F�=�3.850.000� 18�meses� � 20� Ejemplo�4� � � Armando� Mendoza� recibió� un� préstamo� de� $7,000,000� de� Beatriz� Pinzón� Solano,� si� canceló� $10,500,000� y� la� tasa� de� interés� fue� del� 2%� mensual� simple,�calcular,�¿cuál�fue�el�plazo�del�préstamo?� � � Gráfico�para�Armando�Mendoza� � � � � � � � � � � � � � � Gráfico�para�Beatriz�Pinzón�Solano� � � � � � � � � � � � � � � Reemplazando�en�la�ecuación�se�tiene:� � � F�=�P�(1�+�in)� � 10,500,000�=�7,000,000�(1�+(2%)n)� � 10,500,000/7,000,000�=�1�+�2%n;� � � 2%�=�0.02� � 1.5�–�1�=�0.02n� P�=�7.000.000� 1�=�2%�mensual� F� � =�10.500.000� 0� 0� P�=�7,000,000� i�=�2%�mensual� F�=�10.5000.000� � 21� � 0.5� =�0.02n� � 0.5/0.02�=�n� � n�=�25�meses� � Nótese�que�la�tasa�de�interés�se�expresó�en�meses�porque�está�dada�en�meses.� � � Ejemplo�5� � Sofía� Vergara� recibió� un� préstamo� del� Banco� Santander� que� debe� pagar� de� la� siguiente� forma:�$3,000,000�dentro� � de�6�meses,�$4,000,000�dentro�de�un�año�y� $5,000,000�en�año�y�medio.� � Si�la�tasa�de�interés�es�del� � 10%�semestral�simple,�determinar,�¿cuánto�dinero�le� prestó�el�Banco�Santander�a�Sofía?� Recordando�que� los�períodos�del�plazo�deben�estar�en�el�mismo�período�que� la� tasa�de�interés,�se�tiene:� � 6�meses�=�un�semestre� � Un�año�=�dos�semestres� � Año�y�medio�=� � tres�semestres� � Gráfico�para�el�Banco�Santander� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0� P� 3.000.000� 1� 4.000.000� 5.000.000� 3� Semestre2� i�=�10%�semestral� � 22� Gráfico�para�Sofía�Vergara� � � � � � � � � � � � � � � � � Observando�el�gráfico�y�el�planteamiento�del�problema,�se� tiene�una�concepción� diferente� a� la� tratada� en� los� ejemplos� anteriores� en� los� cuales� se� tenía� un� solo� ingreso�y�un�solo�pago�o�viceversa.� � Este�ejemplo�plantea�tres�desembolsos�en�el� futuro�para�el�caso�de�Sofía.� � La�solución�de�este�tipo�de�problema�se�basa�en�el� mismo�concepto,�simplemente�se�analiza�cada�ingreso�o�desembolso�en�el�futuro� de�manera�independiente.� � Cada� pago� se� hace� Sofía,� se� considera� dentro� del� toral� de� la� cuota� una� parte� correspondiente� a� intereses� y� otra� un� abono� al� préstamo.� � Para� el� Banco� Santander,� los� intereses� serían� las� utilidades� y� el� abono� al� préstamo� una� devolución� de� una� parte� de� la� inversión.� � Este� concepto� es� congruente� con� la� definición�de�valor� futuro,�como�el�consolidado�de� la� inversión�más� las�utilidades� explicado�al�principio�de�este�capítulo;�en�este�caso�las�utilidades�y�la�inversión�se� devolverán�al�Banco�en�tres�pagos�y�no�en�uno.� � � F�=�P�(1�+�in)� � P�=�F/(1�+�in)� � � Analizando�cada�pago�independiente�se�tiene:� � � � Pago�1�=�P1�=�3,000,000/(1�+�0.10�(1))�=�$2,727,272.73� � Pago�2�=�P2�=�4,000,000/(1�+�0.10�(2))�=�$3,333,333.33� � Pago�3�=�P3�=�5,000,000/(1�+�0.10�(3))�=�$3,846,153.85� � i�=�10%�semestral� 0� 1� 2� 3� Semestre� P� 3,000,000� 4,000,000� 5,000,000� � 23� Por�lo�tanto�el�valor�del�préstamo�sería:� � � P1�=�P1�+�P2�+�P3� � P2�=�2,727,272.73�+�3,333,333.33�+�3,846,153.85� � P3�=�$9,9060759.91� � Ejemplo�6� � Natalia� París� desea� realizar� un� viaje� por� el� continente� europeo� de� un� año� y� se� propone� el� siguiente� plan� de� ahorros� para� realizar� su� sueño:� hoy,� ahorra� $1,000,000;� dentro� de� tres�meses,� ahorrará� $1,000,000;� dentro� de� un� semestre,� ahorrará�$1,500,000�y�dentro�de�10�meses,�ahorrará�$1,700,000.� � ¿Cuánto�dinero�tendrá�exactamente�dentro�de�un�año,�si�la�tasa�de�interés�que�le� paga�el�Banco�es�del�1%�mensual�simple?� � Gráfico�para�Natalia� � � � � � � � � � � � � � � � � 0� � � � � 1� � � � � 2� � � � � � 3� � � � � � 4� � � � � 5� � � � � � � � 6� � � � � � 7� � � � � � 8� � � � � � 9� � � � 10� � � � � � 11� � � � 12� � � � � � � � � � � i�=�1%�mensual,�1%�=�0.01� � � Se�debe�recordar�que�los�desembolsos�o� ingresos�deben�estar�expresados�en�el� mismo�período�de�tiempo�que�la�tasa�de�interés.� � Retomando� el� ejemplo� anterior,� cada� ahorro� o� inversión� se� trata� de� manera� independiente�por�lo�tanto�se�tiene:� � � Ahorro�o�inversión�#1�=�F1� Ahorro�o�inversión�#2�=�F2� Ahorro�o�inversión�#3�=�F3� meses� 1,700,000� 1,500,000� 1,000,000� 1,000,000� F = ? � 24� Ahorro�o�inversión�#4�=�F4� � La�inversión�o�ahorro�de�$1,000,000�que�hace�en�el�período�#1�dura�exactamente� en�el�banco�12�meses,�por�lo�tanto�n�=�12.� � � F1�=�P1�(1�+�in)� � � F1�=�1,000,000�(1�+�0.01(12))�=�$1,120,000� � � La�inversión�o�ahorro�de�$1,000,000�que�hace�en�el�período�#3�dura�exactamente� en�el�banco�9�meses�(12�meses33meses),�por�tanto�n�=�9.� � � F2�=�P2�(1�+� � in)� � F2�=�1,000,000�(1�+�0.01(9))�=�$1,090,000� � La� inversión� o� ahorro� de� $1,500,000� que� hace� Natalia� en� el� período� #6� dura� exactamente�en�el�banco�6�meses�(12�–�6�meses),�� por�lo�tanto� � n�=�6.� � � F3�=�P3�(1�+�in)� � � F3�=�1,500,000�(1�+�0.01(6)�=�$1,590,000� � � La�inversión�o�ahorro�de�$1,700,000�que�hace�en�el�período�#10�dura�exactamente� en�el�banco�2�meses�(12�meses�–�10�meses),�por�lo�tanto�n�=�2.� F4�=�P4�(1�+�in)� � F4�=�1,700,000�(1�+�0.01(2))�=�$1,734,000� � � Por�lo�tanto,�el�dinero�que�tendría�acumulado�Natalia�París�dentro�de�un�año�será:� � � F�=�F1�+�F2�+�F3�+�F4� � F�=�$5,534,000� � � � � 25� 1.1.3� Concepto�de�Interés�Compuesto� En� el� caso� de� interés� simple� se� consideró� que� las� ganancias� eran� iguales� para� todos� los� períodos,� puesto� que� la� inversión� permanecía� constante.� � Cuando� se� trata�de� interés�compuesto,� las�utilidades�no�son� iguales�para� todos� los�períodos� puesto�que�la�inversión�varía�de�un�período�a�otro,�en�razón�de�que�las�utilidades� obtenidas�en�un�período�se�reinvierten�en�el�siguiente.� � � Tomando� nuevamente� el� ejemplo� con� el� que� se� inicio� el� capítulo,� donde� la� inversionista� Linda� Plata� tenía� $10,000,000� disponibles;� si� doña� Linda� invierte� estos�dineros�a�una�tasa�del�3%�mensual�y�reinvierte�sus�utilidades,�se�tendría�el� siguiente�resultado:� � � MES DINERO INVERTIDO GANANCIA DINERO ACUMULADO � 1� � � 2� � � 3� � � .� � .� � n� � $10,000,000� � � $10,300,000� � � $10,609,000� � 10,000,000�*�0.03�=�300,000� � � 10,300,000�*�0.03�=�309,000� � � 10,609,000�*�0.03�=�318,270� � 10,000,000+300,0 00� =10,300,000� � 10,300,000+309,0 00� =�10,609,000� � 10,609,000+318,2 70� =10,927,270� � Lo�anterior�lo�podemos�generalizar�de�la�siguiente�forma:� � � P�=� � � Inversión� � %�i�=� � Tasa�de�Interés� � Utilidad�=� Inversión�X�i�=�Pi� � F�=�� Valor�futuro� � � 26� � MES� DINERO� INVERTIDO� � GANANCIA� � DINERO�ACUMULADO� � 1� � � � � � � � � � � � � � � P� � P�(i)� � � P�+�Pi�=�P(1�+i)� � 2� � P(1+i)� � � P(1+i)�(i)� � P�(1+i)�+�P(1+i)i�=�P(1+i)(1+i)�=�P(1+i)2� � 3� � � P(1+i)2� � P(1+i)2(i)� P(1+i)2+P(1+i)�=�P(1+i)2(1+i)�=�P(1+i)3� � 4� � � .� � � .� � � .� � .� � .� � .� � .� � .� � .� n� � � � P(1+i)n� � Generalizando,� se� concluye� que� cuando� se� reinvierten� las� utilidades� (interés� compuesto)�el�dinero�acumulado�a�valor�de�futuro�se�puede�definir�como:� � � � � Si�se�aplica� la�anterior�equivalencia�al�caso�de�doña�Linda,�se�puede�plantear�el� siguiente�ejercicio:� Cuánto� dinero� acumulará� (valor� futuro)� doña� Linda� dentro� de� tres�meses� a� una� tasa�de�interés�del�3%�mensual,�si�invierte�$10,000,000�inicialmente:� F�=�P(1+i)n� � F=�$10,000,000�(1+0.03)3� � F�=�$10,927,270� � Valor�que�coincide�con�los�$10,927,270�obtenidos�en�la�primera�tabla.� � En�conclusión,�gran�diferencia�entre�el�interés�compuesto�radica�en�la�reinversión� de�utilidades.� � Si� se� comparan� los�dineros�acumulados�en�el� tercer�mes�para�el� caso�de�doña�Linda�con�una�inversión�de�$10,000,000�al�3%�mensual,�se�obtienen� los�siguientes�resultados:� F = P (1+i)n � 27� Interés�simple:� � � dinero�acumulado�al�tercer�mes�$10,900,000� � Interés�compuesto:� � dinero�acumulado�al�tercer�mes�$10,927,270� � � Ejemplo�1� � ¿Cuánto� dinero� acumularía� Juan� Pérez� dentro� de� 5� años,� si� invierte� hoy� $4.000.000�a�una�tasa�de�interés�compuesto�del�3%�mensual?� � El� primer�paso� para� resolver� el� problema�planteado�es� elaborar� un�diagrama�de� flujo�de�la�siguiente�manera:� � Considerar� los� ingresos�de�dinero�con�una�flecha�hacia�arriba�y� los�desembolsos� con� una� flecha� hacia� abajo� en� una� escala� de� tiempo� que� pueden� ser� años,� semestres,�meses,�días.� � La�escala�de�tiempo�debe�estar�expresada�en�el�mismo� período� que� está� expresada� la� tasa� de� interés;� en� el� ejemplo� la� tasa� de� interés� está�expresada�en�meses,�por� lo�tanto� los�5�años�se�deben�convertir�a�meses,�o� sea�60�meses.� � � � � � � � � � � � F�=�P�(1�+�i�)n� � F�=�4,000,000�(1�+�0.�03)60�=�23,566,412.42� Este� mismo� ejemplo� con� tasa� de� interés� simple,� obtuvo� un� valor� futuro� de� $11,200,000.� � Ejemplo�2� � Armando�Rico�recibió�hoy�$3,�450,000�del�Banco�de�Bogotá�por�una�inversión�que� realizó�hace� tres�semestres:�si� la� tasa�de� interés�es�del�2%�mensual�compuesto,� ¿Cuánto�dinero�invirtió�don�Armando?� � Como�se�explico�anteriormente�el�punto�de�partida� � es�realizar�el�gráfico�o�flujo�de� caja�correspondiente;�el�problema�quedaría�planteado�así:� � � I�=�3%�mensual� F� 60�meses� P�=�4,000,000� � 28� En� razón� d� que� la� tasa� es� mensual,� se� deben� expresar� los� tres� semestres� en� meses,�para�que�los�dos�elementos�estén�la�misma�base:� � � � � � Reemplazando�en�la� � ecuación�que�relaciona�estas�variables�se�tiene:� � F�=� � P ( i �+�i)�n� � F�=�$�3.450,000,�porque�en�este�valor�se�consolidan�la�inversión�y�las�utilidades� i=����mensual� n=�3�semestres�=�18�meses� � Entonces,� � 3,450.000�=�P�(1�+�0.02)�18� � 3,450,000�=�P�(1.42824624758)� � P�=�3.450.000/1.42824624758� � P�=�$2,415,549.84� � Este�es�el�valor�que�invirtió�don�Armando�hace�18�meses.� � Ejemplo�3� � Patricia�Fernández�recibió�un�préstamo�de�$3,000,000,�que�debe�pagar�en�18�meses;� si�al�final�del�plazo�debe�cancelar�$3,850,000,�calcular�la�tasa�de�interés�del�préstamo.� � P�=�3,000.000� � � � � 0� P� I�=�2%�mensual� F�=�3,450,000� 18�meses�=�3�semestres� 0� 18�meses� � 29� Nótese�que�se�dibujaron�los�$3,000,000�con�una�flecha�hacia�arriba,�puesto�que�se� está�tomando�como�referente�a�Patricia�Fernández;�al�recibir�el�dinero�del�préstamo� tiene�un�ingreso�y�cuando�ella�cancela�el�crédito�tiene�un�desembolso,�por�lo�cual�se� dibuja�con�una�flecha�hacia�abajo.� � Si�se�toma�como�referente�al�prestamista�el�gráfico�sería�el�siguiente:� � � � � � � � � � Reemplazando�los�datos�de�la�ecuación�se�tiene� � F�=�P(1�+ i ) n � 3,850,000�=�3,000,000(1�+�i)1� 3,850,000/3,000,000�=�(1�+�i)1� 18 1.283333� � � =� � 18 (1+�i)18� � � � � 1.013955�=�1+l� � 1.01395531�=�i� � 0.013955�=�i� � En�términos�porcentuales,�i�=�1.3955%�mensual� � Ejemplo�4� � Armando�Mendoza�recibió�un�préstamo�de�$7,000,000�de�Beatriz�inzón�Solano,�si� canceló� $10,500,000� y� la� tasa� de� interés� fue� del� 2%� mensual� compuesto,� calcular,�¿cuál�fue�el�plazo�del�préstamo?� � � � � F�=�3,850,000� 18�mesea� P�=�3,000,000� 0� � 30� Gráfico�para�Armando�Mendoza� � � � � � � � � � � � � � Gráfico�para�Beatriz�Pinzón�Solano� � � � � � � � � � � � � Reemplazando�en�la�ecuación�se�tiene:� � F�=�P(1�+ i ) n � 2%�=�0.02� 10,500,000�=�7,000,000�(1�+�0.02)�n� � 10,500,000/7,000,000�=�(1�.02)�n� � 1.5�=1.02�n� � Aplicando�logaritmos�en�base�10�se�tiene:� � log�1.5�=n l og�1.02� � 0.�17609�125�=n�(0.0086001�71�7)� � n�=0.17609125/0.0086001717� � n�=�20.47�meses� P�=�7,000,000� I�=�2%�mensual� F�=�10,500,000� 0 P�=�7,000,000� i�=� � 2�%�mensual� � F�=�10,500,000� 0 � 31� Nótese�que�la� respuesta�se�expresó�en�meses�porque� la�tasa�de� interés�está�dada�en� meses.� � Ejemplo�5� � Sofía�Vergara�recibió�un�préstamo�del�Banco�Santander�que�debe�pagar�de�la�siguiente� forma:�$�3,000,000�dentro�de�6�meses,�$�4,000,000�dentro�de�un�año�y�$�5,000,000�en�año� y�medio.� � Si�la�tasa�de�interés�es�del�10%�semestral�compuesto,�determinar,�¿cuánto�dinero�le� prestó�el�Banco�Santander�a�Sofía?� � � Recordando�que�los�períodos�del�plazo�deben�estar�en�el�mismo�período�que�la�tasa� de�interés,�se�tiene:� � 6�meses�=� � � un�semestre� un�año� � � =� � dos�semestres� :� año�y�medio�=�tres�semestres� � Gráfico�para�el�Banco�Santander� � � � � � Gráfico�para�Sofía�Vergara� � � � � � � � 0� 1� 3�2� P� 3,000,000� 5,000,000� i�=�10%�semestral� semestres� 0� 1� 3�2� 4,000,000�3,000,000� i�=�10%�semestral� semestres� P� 5,000,000� � 32� del�problema,�se�tiene�una�concepción�diferente�a�la�tratada�en�los�ejemplos�anteriores� en� los� cuales� se� tenía� un� solo� ingreso� y� un� solo� pago� o� viceversa.� Este� ejemplo� plantea�tres�desembolsos�en�el�futuro�para�el�caso�de�Sofía.�La�solución�de�este�tipo� de�problema�se�basa�en�el�mismo�concepto,�simplemente�se�analiza�cada�ingreso�o�desembolso�en�el�futuro�de�manera�independiente.� � Cada� pago� que� hace� Sofía� se� considera� dentro� del� total� de� la� cuota� una� parte� correspondiente�a� intereses�y�otra�un�abono�al�préstamo.�Para�el�Banco�Santander,� los�intereses�serían�las�utilidades�y�el�abono�al�préstamo�una�devolución�de�una�parte� de�la�inversión.�Este�concepto�es�congruente�con�la�definición�de�valor�futuro,�como�el� consolidado�de�la�inversión�más�las�utilidades�explicado�al�principio�de�este�capítulo:� en�este�caso�las�utilidades�y�la�inversión�se�devolverán�al�Banco�en�tres�pagos�y�no�en� uno.� F�=�P(1+i)�n� P�=�F�/�(1+i)�n� � � Analizando�cada�pago�independientemente�se�tiene:� � Pago�1�=�P1�=�3,000,0007(1+0.10)1�=�2,727,272.73� � Pago�2�=�P2�=4,000,000/(1+0.10)2�=3,305,785.12� � Pago�3�=�P3�=5,000,0007(1+0.10)3�=3,756,574� � Por�lo�tanto,�el�valor�del�préstamo�sería:� P�=�P1�+P2�+P3� P�=�$9,789,631.86� Ejemplo�6� Natalia�París�desea� realizar�un�viaje�por�el�continente�europeo�dentro�de�un�año�y�se� propone�el� siguiente� plan� de� ahorros� para� realizar� su� sueño:� hoy,� ahorra� $1,000,000;� dentro�de�tres�meses,�ahorrará�$�1,000,000;�dentro�de�un�semestre,�ahorrará�$�1,500,000�y� dentro�de�10�meses,�ahorrará�$�1,700,000.� � 33� ¿Cuánto�dinero�tendrá�exactamente�dentro�de�un�año,�si�la�tasa�de�interés�que�le�paga�el� Banco�es�del�1%�mensual�compuesto?� � � Gráfico�para�Natalia� � � 0� 1� 2� 3� 4� 5� 6� 7� � � �8�� � � � �9� � �10� �11� �12� � � � � � � � � � � Retomando�el�ejemplo�anterior,�cada�ahorro�o�inversión�se�trata�de�manera�independiente,� por�lo�tanto�se�tiene:� � Ahorro�o�inversión�#�1�=�F1� Ahorro�o�inversión�#�2�=�F2� Ahorro�o�inversión�#�3�=�F3� � Ahorro�o�inversión�#�4�=�F4� � La�inversión�o�ahorro�de�$1,000,000�que�se�hace�en�el�período�#�1�dura�exactamente�en�el� banco�12�meses,�por�lo�tanto�n�=�12� F1� � =� � P1�(1+�i)n� F1� �=�1,000,000(1+0.01)� � � �=$1,126,825.03� La�inversión�o�ahorro�de�$1,000,000�que�hace�en�el�período�3�dura�exactamente�en�el� banco�9�meses�(12�meses�3�3�meses)�por�lo�tanto�n�=�9� F2� � =� � P2�(1+�i)n� 1,500,000� 1,000,000� meses� 1,700,000� F =? 1,000,000� � 34� F� � � =�1,000,000(1+0.01�)9�=$1,093,685.27� 2� La�inversión�o�ahorro�de�$�1�,500,000�que�hace�Natalia�en�el�período�6�dura�exactamente�en� el�banco�6�meses�(12�meses�3�6�meses)�por�lo�tanto�n�=�6� F3� � =� � P3�(1+�i)n� F3� � � =�1,500,000(1�+0.01�)6�=$1,592,280.22� � La�inversión�o�ahorro�de�$1,700,000�que�hace�Natalia�en�el�período�10�dura�exactamente� en�el�banco�2�meses�(12�meses�3�10�meses)�por�lo�tanto�n�=�2� F4�=P3�(1+�i) n� F4�=�1,700,000(1�+0.01�) 2�=$1,734,170� � Por�lo�tanto,�el�dinero�que�tendrá�acumulado�Natalia�París�dentro�de�un�año�será:� F�=�F1�+�F2�+�F3� �+�F4� F�=�$5.546,960.53� � 1.2� � TASAS�DE�INTERÉS� � El�concepto�de�tasa�de�interés,�se�aplica�a�la�relación�entre�el�valor�a�pagar�como� interés�y�el�capital�recibido�en�préstamo�por�el�cual�se�debe�pagar�ese�interés�en� un�tiempo�determinado.�Se�expresa�en�términos�de�porcentaje�y�su�nomenclatura� es:�i%.� � � � 1.2.1�Tasa�de�Interés�Nominal� � Es�la�tasa�de�interés�que�generalmente�se�aplica�a�todas�las�operaciones�financieras�y� que�aparece�estipulada�en�los�contratos.�Cuando�opera�este�tipo�de�tasa,�se�entiende� que�las�utilidades�por�intereses�no�se�reinvirtieron�en�el�periodo.� � � � � � � � 35� 1.2.2�Tasa�de�Interés�Efectiva� � Los�usuarios�del�sistema�financiero�se�enfrentan�a�un�problema�en�el�diario�vivir�en�las� transacciones�personales�o�de�empresa,�pues�usualmente�en�todas�las�operaciones�que�se� realizan�se�habla�de�tasa�efectiva�como�referencia�o�criterio�para�tomar�decisiones.� La� mayoría� de� ejecutivos� en� finanzas� o� ejecutivos� comerciales� de� empresas� del� sistema�financiero,�productivo�o�de�servicios�opinan�que�la�tasa�efectiva�es�equivalente� a�la�tasa�real,�es�decir,�según�ellos�el�interés�que�realmente�se�cobra�al�cliente.�¿Será� esto�cierto?� Con�el�ejemplo�siguiente�se�deducirá�el�concepto�de�tasa�de�interés�efectiva;�supóngase;� que�doña�Linda�Plata�de�Rico�tiene�disponibles�$100�millones,�los�cuales�no�necesita�sino� hasta�dentro� de� un� año,� y� desea� invertirlos.�Con�este� objetivo,� se� dirige� al�Banco� de� Bogotá�y�le�plantea�la�situación�al�señor�Armando�Bueno,�gerente�de�la�sucursal�de�Suba� y�antiguo�compañero�de�la�universidad.�El�le�ofrece�que�le�pagará�por�los�$100�millones� una� tasa� del� 40%� anual� y� que� los� intereses� se� liquidarán� trimestre� vencido,� doña� Linda,� administradora� de� empresas� de� gran� prestigio� profesional� en� la� capital� colombiana,�hace�el�siguiente�cálculo:� � � � Plazo:� � Un�año� �Tasa�de�interés:� � 40%�anual� �Liquidación�de�interés:� � Trimestre�vencido� �Inversión:� � $100�millones� �Número�de�liquidaciones�por�año:� � 4� �Tasa�trimestral�o�del�período:� � 40%�/�4�=�10%� �� � � � � � � � � 36� TRIMESTRE� SALDO�INICIAL� INTERESES� � i�=�10%� SALDO�FINAL� 1� 100.00� $10.00� $�110.00� 2� 110� $11.00� $�121.00� 3� 121� $12.10� $�133.10� 4� 133.10� $13.31� $�146.41� TOTAL� � $46.41� � � � La�inversionista�recuerda�que:�tasa�de�interés�se�define�como�utilidad�sobre�la�inversión;�en� este�caso�las�utilidades�serían�la�suma�de�la�columna�interés�que�es�de�46.41�en�el�año,� si� la� inversión� fue� de� $100� millones� quiere� decir� que� se� obtuvo� un� interés� (%)� o� rentabilidad�de�$46.41/100�=�46.41%�en�un�año.� � Si� el� 40%� de� interés� se� hubiera� liquidado� solo� al� final� del� año,� doña� Linda� habría� obtenido�$40�de�intereses,�es�decir,�que�lo�que�establece�la�diferencia�es�el�número�de� liquidaciones� de� intereses� que� hay� en� el� plazo� fijado� (para� este� caso� son� 4� las� liquidaciones�en�el�año).� � � Para�deducir�el�concepto�de�tasa�nominal�y�efectiva�se�toman�varios�casos,�los�cuales�se� derivan�de�considerar�como�punto�de�partida� los�$100�millones�y�el�plazo�de�un�año� pero� con� diferentes� formas� de� liquidar� los� intereses� por� ejemplo,� bimestralmente,� semestralmente,�etc.� � � � � TASA� � � FORMA�DE�LIQUIDACIONES� � 40%� � Semestre�vencido� � 40%� � Trimestre�vencido� � 40%� � Bimestre�vencido� �40%� � Mes�vencido� �40%� � Día�vencido� � � � Para�el�primer�caso�40%�anual�semestre�vencido,�lo�primero�que�se�tiene�que�definir�es�la� tasa�del�período.�En�este�caso�es�semestral,�o�sea�que�la�tasa�periódica�(semestral)�sería� igual�a�0%�dividido�entre�los�dos�semestres�del�año,�lo�que�equivale�a�un�20%�semestral;� si�se�considera�el�plazo�de�un�año�se�puede�hacer�el�cálculo�que�se�realizó�para�el�40%� anual�trimestre�vencido,�es�decir:� � � 37� � Plazo:� � Un�año� �Tasa�de�interés:� � 40%�anual� �Liquidación�de�interés:� � Semestre�vencido� �Inversión:� � $100�millones� �Número�de�liquidaciones�por� año:� 2� �Tasa�trimestral�o�del�período:� � 40%�/�2�=20%� � � � SEMESTRE� � � SALDO�INICIAL� � � INTERESES� � � SALDO�FINAL� � 1� � 100� � 20� � 120� � 2� � 120� � 24� � 144� � Total� � � � 44� � � � � � Intereses�primer�trimestre�=�Saldo�inicial�x�Tasa�de�interés� � Intereses�primer�trimestre�=�$100�x�20%�=�$20� � Saldo�final�primer�trimestre�=�Saldo�inicial�+�Intereses� � Saldo�final�primer�trimestre�=�100�+�20�=�120� ;� � El�saldo�final�del�primer�semestre�pasa�a�ser�el�saldo�inicial�del�segundo�semestre.� � intereses�segundo�semestre�=�120�x�20%�=�$24� saldo�final�del�segundo�semestre�=120+�24�=�$144� � Lo�anterior�quiere�decir�que�los�$�100�millones�invertidos,�por�el�efecto�de�la�reinversión�de� utilidades�generaron�$44�millones�de�intereses,�lo�que�significa�una�rentabilidad�de�ó�sea� $44�millones�de�utilidad�dividido�entre�los�$100�millones�de�inversión.� � En�relación�con�lo�anterior,�se�puede�concluir�que�la�tasa�efectiva�se�obtiene�por�los�efectos� de�la�reinversión�de�las�utilidades�ó�intereses;�cuando�esto�no�se�da�se�obtiene�lo�que�se� llama�tasa�de� interés�nominal.�Se�puede�deducir�que�existe�un�paralelo�entre�el� interés� simple�y�la�tasa�nominal�y�el�interés�compuesto�y�la�tasa�efectiva.�En�las�dos�primeras,�no�se�tiene�en�cuenta�la�reinversión�mientras�que�en�las�dos�últimas�sí.� � � 38� Con�base�en�los�ejemplos�se�obtiene�una�fórmula�para�calcular�la�tasa�efectiva,�la�cual�se� expresa�de�la�siguiente�forma:� � ie�=� Tasa�de�interés�efectiva� ip�=� Tasa�periódica� n�=� Número�de�liquidaciones�de�intereses�en�el�plazo�fijado� � � ie� � =� � (1+�i)n�D1� � Si�se�toman�los�ejemplos�analizados�anteriormente,�se�obtiene�lo�siguiente:� � 1)�Si�se�tiene�una�tasa�del�40%�anual�trimestre�vencido,�¿cuál�es�la�tasa�efectiva�anual?� � Tasa�periódica�=�ip� � � � � � � � � � � ie�=�(1�+�0.1)� � � 3�1�=�0.4641�ó�46.41�%�efectivo�anual� Si�se�considera�el�mismo�ejemplo,�es�decir�40%�anual�trimestre�vencido,�pero�en�lugar� de�calcular�la�tasa�efectiva�anual�se�calcula�la�tasa�efectiva�semestral� � ip�=�0.40�74�=�0.10�ó�10%�semestral� n�=�Número�de�liquidaciones�en�el�período�=�2�en�un�semestre� ie�=�(1�+�0.10)2�3�1�=�0.21�=�21%�efectiva�semestral� 2)�Si�se�tiene�una�tasa�anual�del�40%��semestre�vencido,�calcular�la�tasa�efectiva�anual� ip�=�0.40�/�2�=�0.20�ó�20%�semestral� n�=�número�de�liquidaciones�=�2� ie=�(1�+�0.20)2�31�=�0.44� � ó� � 44%� �efectiva�anual� � � � Tasa�anual� ip�=�———————————————�0.40�/�4�=�0.1�=�10%�trimestral� � #�de�períodos�en�el�año� � � 39� Con�base�en�la�siguiente�información�calcular�la�tasa�efectiva�anual:� TASA�ANUAL� � FORMA�DE�LIQUIDACIÓN� DE�INTERESES� � NÚMERO�DE� LIQUIDACIONES� POR�AÑO� � i� � PERIÓDICA� � 40%� � Semestre�vencido� � 2� � 20%�semestral� � 40%� � Trimestre�vencido� � 4� � 10%�trimestral� � 40%� � Bimestre�vencido� � 6� � 6.67%�bimestral� � 40%� � Mes�vencido� � 12� � 3.33%�mensual� � 40%� � Día�vencido� � 360� � 0.11%�diario� � � Las�dos�primeras�tasas�fueron�calculadas�anteriormente,�a�continuación�se�obtienen�las� restantes:� � 40%�anual�bimestre�vencido� i� �bimestral�=�0.40�/�6�=�6.67%�� Número�de�liquidaciones�en�un�año:�6� � ie�anual�=�(1+0.0667)6�3�1�=�0.4732� � 40%�anual�mes�vencido� i�mensual�=�0.407�12�=�0.0333�=�3.33%� Número�de�liquidaciones�en�un�año:�12� ie�anual�=�(1+0.0333)12�31�=�0.4816� � � 40%�anual�día�vencido� i�diario�=�0.40�/�360�=�0.001111�=�0.11�%� Número�de�liquidaciones�en�un�año:�360� ie�anual�=�(1+0.001111)360� � � 3�1�=�0.4914� � � � � � � � � � � � � 40� De�acuerdo�con�los�cálculos�se�obtuvieron�las�siguientes�cifras:� � � TASA��ANUAL� � FORMA�DE�LIQUIDACIÓN� DE�INTERESES� � NUMERO�DE� LIQUIDACIONES� POR�AÑO� � � TASA�� EFECTIVA� �40%� � Semestre�vencido� � 2� � 44.00%� � 40%� � Trimestre�vencido� � 4� � 46.41%� � 40%� � Bimestre�vencido� � 6� � 47.32%� � 40%� � Mes�vencido� � 12� � 48.16%� � 40%� � Día�vencido� � 360� � 49.14%� � Como� se� observa� en� la� tabla� anterior,� a�medida� que� se� aumenta� el� número� de� liquidaciones�se� incrementa� la� tasa�efectiva�anual;�sin�embargo� tomando�otros�dos� casos,�supóngase�que�el�gerente�señor�Armando�Bueno�le�ofrece�a�doña�Linda�que�le� liquidará�intereses�2�veces�al�día�o�sea�cada�12�horas�o�tres�veces�al�día�o�sea�cada� 8�horas;�veamos�qué�tasa�efectiva�anual�se�obtiene:� 40%�anual�liquidando�intereses�cada�12�horas� � ip�=�0.40�7720�=�0.0005555� n�=�360�x�2�=�720�períodos� ie�anual�=�(1+0.0005555)720� � � � 3�1�=�0.491659� � Ahora�analizando� �el�caso�del�40%�anual�liquidando�intereses�cada�8�horas� ip�=�0.40�/�1080�=�0.00037037� n�=�360�x�3�=�1,080�periodos� le�anual� �=�(1�+0.00037037)1080�3�1�=� �0.491714� Como� se� observa,� a� medida� que� se� aumenta� el� número� de� liquidaciones� se� incrementa� la� tasa�efectiva�anual;� sin�embargo,�este�valor� tiende�a�estabilizarse,� es�decir,�su�comportamiento�es�exponencial�como�se�observa�en�el�gráfico�siguiente.� � � 41� Comportamiento�tasa�efectiva�anual�para�diferentes�capitalizaciones�de�tasas� vencidas� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0� 2� 4� 6� 8� 10� 12� 14� � NUMERO�DE�CAPITALIZACIONES� � Con�lo�anterior�se�explica�lo�que�en�matemáticas�se�conoce�con�el�nombre�de�interés� continuo,�que�se�expresa�así:� � � � � � Que�para�el�caso�del�40%�anual�se�obtiene:� � � � � � � � Cifra�que�coincide�cuando�se� liquidan�720�y�1080�veces�en�el�año.�Si�se�siguen� aumentando�el�número�de�liquidaciones,�no�se�va�a�obtener�una�cifra�mayor.�La�fórmula� anterior�se�conoce�con�el�nombre�de�interés�continuo�ó�capitalización�continua.� � � ie�=�ei�+�1� i e=�e 0.40�D1�=�2.7182810.40�D1� � � i e �=�0.49182� � T� A� S� A� S� � E� F� E� C� T� I� V� A� S� 60.000%� � � 50.000%� � � 40.000%� � � 30.000%� � � 20.000%� � � 10.000%� � � 0.000%� � � 42� Con� base� en� los� cálculos� realizados� anteriormente,� se� concluye� que� la� tasa� de� interés� electiva� está� íntimamente� ligada� con� el� interés� compuesto,� es� decir,� considera�la�reinversión�de�utilidades.� � 1.2.3�Conversión�de�tasas� � El�concepto�de�tasa�efectiva�permite�convertir�las�tasas�de�un�período�a�otro�fácilmente;� este� concepto� es� de� gran� utilidad� en�Matemáticas�Financieras,� por� cuanto� permite� solucionar� situaciones� recurrentes,� donde� los� períodos� de� los� flujos� de� caja� (ingresos�y�desembolsos)�no�coinciden�con�los�períodos�de�las�tasas�de�interés.� � Ejemplo�1� � � Con� una� tasa� del� 40%� anual� trimestre� vencido,� ¿calcular� la� tasa� semestral� equivalente?� � Este�ejercicio�se�puede�resolver�de�varias�formas:� � � Primera�forma� � � i=�40%�anual�trimestre�vencido� � i� �periódica�=�i�anual� � /�#�períodos�en�el�año� � i� �periódica�=�i�trimestral�=0.40�/�4�=0.10� � Con�base�en�la�tasa�periódica�se�puede�calcular�la�tasa�efectiva�anual� � � ie�=�tasa�de�interés�efectiva�anual� � Donde�n�es�el�número�de�liquidaciones�en�el�año.� � La�tasa�de�interés�está�especificada�inicialmente�como�i�=�40%�anual�trimestre�vencido,�lo� � que�quiere�decir�que�los� intereses�se�van�a� liquidar�cada�trimestre,�o�sea�que�al� año�e�liquidan�4�veces,�una�al�final�de�cada�trimestre,�por�lo�tanto:� � � =�(1+0.10)43!�=�0.4641� � Con�base�en�el�anterior� resultado�se�puede�calcular� la� tasa�semestral�partiendo�de� � calcular�la�efectiva�anual.� � � � � iea�=�(1+ip)�n�31� � 0.4641�=� � (1+i�semestral)�2�31� � � 43� n�=�2,� � porque�los�intereses�se�liquidan�2�veces�(1�año�=�2�semestres)� � 1.4641� �=� � (1+i�semestral)�2� � � � � 2 1.4641 � �����=� 2 �(1+i�semestral)�2� � � 1.21�=�1 + i semestral� � 1.21�31 = � i semestral� � 0.21�=�2 1% � � � Segunda�forma� � i�=�40%�anual�trimestre�vencido� i� � periódica� � =�i� � � trimestral� � =0.40/4�=0.10� Obsérvese�que�el�período�toma�como�referencia�el�que�está�estipulado�en�la�liquidación�de� intereses,�para�nuestro�ejemplo�es�trimestre�vencido.�La�forma�de�liquidación�siempre� aparece�adyacente�a�la�tasa�de�interés�anual.� Con�base�en�la�tasa�trimestral�se�puede�calcular�la�trimestral,�utilizando�la�ecuación�de� tasa�efectiva.� � � iea�=�(1+ip)�n�+1� � i�semestral� �=�(1+� � i�trimestral�)�2� � � � 31� � i�semestral� �=(1�+�0.10�)23�1�=�0.21� � � Es�el�mismo�resultado�que�se�obtuvo�en�la�primera�forma.� � � Ejemplo��2� � Con�una�tasa�del�30%�anual�bimestre�vencido,�calcular:� � a.�La�tasa�semestral�equivalente.� � � 44� b.�La�tasa�mensual�equivalente.� � � a.�Tasa�Semestral� � Primera�forma� � i�=�30%�anual�bimestre�vencido� � Bimestre�=�cada�2�meses� � i�periódica�=�i�bimestral� �=�0.30/6�=0.05,�dividido�entre�6�porque�hay�6�bimestres�en�un�año.� � iea�=�(1+�ip)�n�+1� � i�semestral� �=(1�+�0.10�)23�1�=�0.21� � � ia� � � =�(1�+0.05)63!� � =�0.3400� � � Con�base�en�la�tasa�efectiva�anual�se�puede�calcular�la�semestral� � Iea� �=� � (1+�ip)�n�+1� � 0.34�=���( 1+ �i�semestral�)231� 1.34�=� � (1+ �i�semestral)2� � 2 1.34� � =� � 2 � (1+ �i�semestral)2� � 1.157625�=1+ �i�semestral � 45� 1.157625�31�=�i�semestral� � 0.157625�=�i�semestral� � 15.7625%�=�i�semestral� � � � Segunda�forma� � i�=�30%�anual�bimestre�vencido� � Bimestre�=�cada�2�meses� � i�periódica�=�i�bimestral� �=�0.30/6�=0.05� � iea�=�(1+�i�periódico)�n�+1� � i�semestral� �=(1�+�0.05�)33�1�=�0.157625�ó�15.7625%� � n�=�3,�porque�en�un�semestre�hay�3�bimestres.�� � b.�Tasa�mensual� � Primera�forma� � � i�periódica�=�i�bimestral� � =�0.30/6�=0.05� � ia�=�(1+0.05)63!� � =�0.3400� � � Combase�en�la�tasa�efectiva�anual�se�puede�calcular�la�tasa�mensual� � ia�=�0.34� � i����=�( 1+ i periódica)n31� � 0.34�=� � (1�+i�mes�)12����� � 3�1� � n�=�12�meses,�porque�un�año�tiene�12�meses,�y�al�ser�la�tasa�mensual�se�liquidarán�12� veces�en�el�año.� � 1.34�=� � (1�+i�mes�)12� � 12 1.34�=� 12 � (1�+i�mes�)12� � � 46� 1.02469�=�1�+i�mes� � 1.0246931=1�+i�mes� � 0.02469�=�i�mes� � 2.469%� � =�i�mes� � Segunda�forma� � i�=�30%�anual�bimestre�vencido� � i�periódica�=�i�bimestral�0.30�/�6�=0.05� � Utilizando�la�fórmula�de�tasa�efectiva�se�tiene:� � i�ea� �=�(1�+�i�periódica)�n3�1� � 0.05� � � � � � =�(1�+�i�mes) 2�–�1� � 1.05�=�(1+�i�mes) �2� � 12 � I�.05�=� � 12 � (1�+�i�mes) �2� � � 1.02469�=1�+�i�mes� � 0.2469�=�i�mes� � i�mes�=�2.469%� � Obsérvese�que�se�consideró�la�tasa�del�5%�bimestral�como�efectiva;�la�razón�es� muy� sencilla,� los� meses� están� contenidos� dentro� del� bimestre.� Lo� mismo� sucedería� si� se� tuviera� una� tasa� del� 3%� mensual� y� se� preguntara� la� tasa� quincenal;�como� la�quincena�está�contenida�dentro�del�mes,�el�3%�se� tomaría� como�efectiva.� � Ejemplo�3� � � Justo�Pastor�Malo� recibió� un� préstamo�del�Banco�Popular� de�$7,000,000�que� debe� ¡pagar� en�una� sola� cuota� dentro�de� 2�años.�Si� la� tasa�de� interés�es�del� 24%� anual� semestre� vencido,� ¿calcular� el� valor� de� la� cuota� que� debe� pagar� Justo�Pastor�al�Banco�Popular?� � � � � P�=�7,000,000� I�=�24�%�anual�semestre�vencido� 2�años� 0 F�=�?� � Obsérvese�que�la�tasa�está�estipulada�en�diferente�período�que�el�plazo,�la�primera�en� semestres� y� la� segunda� en� años;� por� lo� anterior� se� debe� efectuar� la� conversión:� correspondiente.� � Primera�forma� � Se�debe�hallar� la� tasa�de� interés�efectivo�anual�para�que�coincida�con�el�período�del� plazo�que�está�dado�en�años,�por�lo�tanto:� � iea�=�(1+�i�periódico)�n�+1� � i�periódica�=�i�semestral� �=�0.24�/�2� � =�0.12� � iea�=�(1+0.12)231=0.2544� � F�=P(1+�i�)�n� � F�=�7,000,000�(1+0.2544)2� � F�=�$11,014,635.52� � •�Segunda�forma� � i�=�24%�anual�semestre�vencido� � i�periódica�=�i�semestral� �=�0.24�/�2� � =�0.12� � Plazo�=�2�años�=�4�semestres,�por�lo�tanto�el�gráfico�puede�expresarse�de�la�siguiente� manera:� � � � � � � � � � � � � i�=�12%�semestral� � F�=P(1+�i�)�n� � F�=�7,000,000(1+0.2544)2� � � =�$11,014,635.52� 0 1 2 3 4 P�=�7,000,000� semestres� F = ? � �� Tasas�anticipadas� � Para�analizar�este�concepto�se�considera�el�siguiente�caso�hipotético;�supóngase�que� doña�Linda�Reina� desea� invertir� $100�millones� y� se� dirige� al�Banco�Santander.�Su� gerente,� el� doctor�Pastor�Bueno� le� ofrece� una� tasa� del� 40%�anual� año� anticipado.� Veamos� cómo� sería� el� comportamiento� con� un� gráfico,� doña� Linda� no� necesita� el� dinero�sino�hasta�dentro�de�un�año.� � � � � � � � � � � � En�el�gráfico�puede�observarse�que�el�inversionista�invierte�$100�millones�y�en�el�mismo� momento� recibe� los� intereses� correspondientes� o� sea� $40�millones,� es� decir,� que� solo� invirtió�$60�millones,�lo�cual�puede�resumirse�en�el�siguiente�gráfico:� � � $100�millones� 1�año� � � � � � $60�millones�(Inversión)� � � En�el�gráfico�anterior�se�tiene�un�valor�presente�que�son�los�$60�millones�y�un�valor�futuro� dentro�de�un�año�por�un�valor�de�$100�millones.�Si�se�aplica�la�primera�equivalencia� (ver�capítulo�1)�se�puede�hallar�el�interés:� � � F=�P�(1�+�i)�n� � F�=�$100� P�=�$60� N�=�1�año� � 100=�60(1+i)�1� � 100/60�=�(l+i)� � � $�40�millones�“hoy”� Interés�anticipado� $�100�millones� inversión� $�100�millones�devolución�de� la�inversión�Un�año� � 1.6667�=�1+�i� � i = � 1 .6667�3�1�=�0.6667�=�66.67%�anual� � Lo� anterior� quiere� decir� que� para� doña� Linda� Reina� es� equivalente� el� 40%� anual� año� anticipado�ó�el�66.67%�anual�año�vencido.�Si�se�hace�el�análisis�utilizando�la�definición� dada� en� el� primer� capítulo,� en� el� cual� se� dice� que� interés� es� igual� a� utilidad� sobre� inversión�se�obtiene�lo�siguiente� � i=�Utilidad�/�Inversión�=�407(100340)=�40/60=�0.6667�ó�66.67%�� � Si�se�expresa�en�términos�porcentuales�se�tiene:� � � i=0.40/(l30.40)=0.40/0.60=0.6667�ó�66.67%�anual� � � De�lo�anterior�podemos�generalizar�la�siguiente�fórmula:� � � � � ia� i�vencido�=� � � � � � � DDDDDDDDDDDDDDDDD� � � � � � � (13�ia)� donde:� � iv�=� � � i�vencido� ia�=�interés�anticipado� � i�vencido�=�0.407(130.40)�=�0.40/0.6�=�0.6667�=�66.67%�anual� � Con�base�en�la�conversión�anterior,�se�pueden�calcular�las�tasas�efectivas�cuando�son� anticipadas.� � Consideremos�las�siguientes�posibilidades�como�una�tasa�única�de�40%�anual�pero�con� diferentes�modalidades�de�liquidación�de�intereses�y�calculemos�las�tasas�efectivas�anuales� correspondientes.� � � TASA ANUAL LIQUIDACIÓN DE INTERESES 40%� � Semestre�anticipado� � 40%� � Trimestre�anticipado� � 40%� � Bimestre�anticipado� �40%� � Mes�anticipado� � 40%� � Día�anticipado� �40%� � Cada�12�horas�anticipado� � � (1)� � 40%�anual�semestre�anticipado� � � i�periódica�=�i�semestral�anticipada�=�40%/2�=�20%�semestre�anticipado� i�semestre�vencida�=�0.20�/�(130.20)�=�0.20/0.80�=�0.25� � � i�efectiva�anual�=�(1+0.25)�31�=�0.5625� � (2)� � 40%�anual�trimestre�anticipado� i�periódica�=�i�trimestral�anticipada�=�40%�/�4�=�10%�trimestre�anticipado� � i�trimestre�vencido�=�0.10�/�(1�30.10)�=�0.111111� � � i�efectiva�anual�=�(1+0.1111II)4�31�=0.524157� � (3)�40%�anual�bimestre�anticipado� � i�bimestral�anticipado�=�40%������6.67%� � i�bimestral�vencida�=�0.0667�/(I30.0667)�=�0.07143� � i�efectiva�anual�=�(1+0.07143)6�31�=�0.51282484� � (4)�40%�anual�mes�anticipado� � i�mes�anticipado�=�0.40�/12�=�0.03333� � i�vencida�=�0.033333�/(130.0333)�=�0.03447919� � i�efectiva�anual�=�(1+0.03447919)12�3�1�=�0.50196949� � (5)�40%�anual�día�anticipado� � i�día�anticipado�=�0.40/360�=�0.001111� � i�vencida�=�0.001111�/�(l30.001111)�=�0.00111235� � i�efectivo�anual�=�(1+0.00111235)360�31�=0.4921565� � (6)�40%�anual�cada�12�horas�anticipado� � i�cada�12�horas�anticipado�=�0.40/720�=�0.00055556� � i�vencida�=�0.00055556�/�(130.00055556)�=0.00055586� � i�efectiva�anual�=�(1+0.00055556)720�+1�=�0.49199053 � � Los�cálculos�anteriores�se�pueden�resumir�en�la�siguiente�gráfica:� � � � Con�base�en�los�cálculos�realizados�anteriormente,�sobre�las�tasas�efectivas�considerando� diferentes�sistemas�de�liquidación�de�intereses�y�las�tasas�efectivas�vencidas�y�anticipadas,� se�puede�obtener�el�siguiente�resumen� � � TASAS�VENCIDAS� � � TASAS�ANTICIPADAS� �� Tasa�nominal� � #�de� liquidaciones� por�año� � � T.E.A.� � � Tasa�nominal� � #de� liquidaciones� por�año� � � T.E.A.� � 40%�anual�A.�V.� � 1� � 40.00%� � 40%�anual�A.�A.� � 1� � 66.67%� � 40%�anual�S.V.� � 2� � 44.00%� � 40%�anual�S.A.� � 2� � 56.25%� � 40%�anual�T.V.� � 4� � 46.41%� � 40%�anual�T.A.� � 4� � 52.42%� � 40%�anual�B.V.� � 6� � 47.32%� � 40%�anual�B.A.� � 6� � 51.28%� � 40%�anual�M.V.� � 12� � 48.16%� � 40%�anual�M.A.� � 12� � 50.20%� � 40%�anual�D.V.� � 360� � 49.14%� � 40%�anual�D.A.� � 360� � 49.22%� � � � Con�base�en�la�tabla�anterior�se�puede�concluir� lo�siguiente:�en� las�tasas�vencidas�a� medida� que� aumenta� el� número� de� liquidaciones� aumenta� la� tasa� efectiva� anual� logrando�como�tasa�máxima�la�capitalización�continua�(ie=ei�31).�El�comportamiento�de� las�tasas�anticipadas�es�inverso;�a�medida�que�aumenta�el�número�de�liquidaciones� disminuye�la�tasa�efectiva�anual,�es�decir,�se�logra�la�tasa�efectiva�máxima�en�el�caso� de�las�anticipadas�cuando�es�una�sola�liquidación.� � En�el�gráfico�siguiente�se�ve�el�comportamiento�de�las�dos�modalidades,�vencida�y� anticipada.� � Tasas�efectivas�correspondientes�a�tasas�nominales�vencidas�y�anticipadas� � � � � � �� Tasas�efectivas�con�tasa�de�interés�anticipadas� � Este� tipo�de�conversión�es�similar�al�descrito�en� los� temas�anteriores,�simplemente� incluye�un�paso�adicional�que�consiste�en�convertir�las�tasas�periódicas�anticipadas� en�periódicas�vencidas;�en�otras�palabras,�es�hallar�la�tasa�equivalente�vencida�a�la� anticipada.� � Ejemplo� � Con�una�tasa�del�20%�anual�trimestre�anticipado,�hallar�la�tasa�mensual.� � � Primera�forma� � i�=�20%�anual�trimestre�anticipado� � i� � � � � � � =� i� � � =0.20/4�=0.05� periódica� � � � � � � � trimestral�anticipada� � i�vencido� �=� � � � � � � i�anticipado� � � � /� � (13�i�anticipado)� � � � � � i�trimestre�vencido�=� � I�trimestre�anticipado�/�(13�i�trimestre�anticipado'� � i�trimestre�vencido�=�(0.05�/ ( I 30.05)�=�0.05/0.95� � i�trimestre�vencido�=�0.052631578� � i�ea� �=�(1�+�i�periódica)�n3�1� � i�ea� �=�(1�+�0.052631578)431� � i� � � � � =�0.2277�o�22.77%� � Con�base�en�la�tasa�efectiva�anual�se�calcula�la�tasa�mensual� � i�ea� �=�(1�+�i�periódica)�n3�1� � i�ea� �=�0.2277�=�(�1+�imes) 1231� � 1.2277�=�(l+imes) �12� � � 12 I.2277�=��� � 12 �(l�+�i�mes� �) 12� � � 1.017244=�1+ �imes� � � 1.017244�–�1� = �imes0.017244�=�imes� � imes� � � � =�1.7244%� � � Segunda�forma� � i�=�20%�anual�trimestre�anticipado� � iperiodica� �=�i� � trimestral�anticipada�=�0.20�/�4�=�0.05� � � � � � � � � i�vencido� � =� � � i�anticipado�/�(13i�anticipado)� � i�trimestre�vencido� � =� � � i�trimestre�anticipado�/�(13i�trimestre�anticipado)� � � i�trimestre�vencido� � =� � �0.05�/(I�30.05)�=�0.05/0.95� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � i�trimestre�vencido� � =� � �0.052631578� � Con� base� en� la� tasa� trimestral� vencida� se� puede� calcular� la� tasa�mensual� y� en� razón�a�que�el�mes�está�contenido�dentro�del�trimestre,�la�tasa�trimestral�se�puede� considerar�como�efectiva.� � i�trimestre�vencido� � =� � �0.052631578� � i�ea� �=�(1�+�i�periódica)�n3�1� � 0.052631578�=�(1+imes)�33�1� � 1.052631578=�(1+imes)�3� � 3 1.052631578�=� 3 (1+imes)�3� � 1.017244�=�1+i�mes� � 0.017244�=�i�mes�=�1.7244%� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � EJERCICIOS�PARA�PROFUNDIZACIÓN�DE�LAS�TEMÁTICAS� � 1.�Sandra�Muñoz�canceló�hoy�$7,560,000�al�Banco�de�Bogotá�por�un�préstamo� que�le�fue�otorgado�hace�un�año.�Calcular�el�dinero�prestado�a�Sandra�si:� � � � � � � a.�La�tasa�de�interés�es�del�3%�mensual�simple� b.�La�tasa�de�interés�es�del�3%�mensual�compuesto� c.�La�tasa�de�interés�es�del�4%�mensual�simple� � 2.� Lady� Noriega� recibió� un� préstamo� del� Banco� Santander� de� $10,000,000;� si� canceló�$13,500,000�en�un�solo�pago,�calcular�el�plazo�del�préstamo�si:� � � a.�La�tasa�de�interés�es�del�2%�mensual�simple.� b.�La�tasa�de�interés�es�del�2%�mensual�compuesto� � c.�La�tasa�de�interés�es�del�1.5%�mensual�compuesto.� � 3.�Pastor�Bueno�desea�tener�$20,�000,000�dentro�de�2�años�para�la�cuota�inicial� de�un�vehículo�Audi,�para�lo�cual�se�ha�propuesto�el�siguiente�plan�de�ahorros:� � Hoy,�ahorra�$1,000,000� � Dentro�de�2�bimestres,�3,000,000� � Dentro�de�8�meses,�$5,000,000�;� � Dentro�de�1�año,�$2,000,000� � Dentro�de�año�y�medio,�$7,000,000� � El�Banco�de�Bogotá�le�ha�propuesto�3�planes:� � Plan�A:�i�=�1%�mensual�simple� Plan�B:�i�=�2%�mensual�compuesto� Plan�C:�i�=�2%�bimestral�simple�(Un�bimestre�=�2�meses)� � Nota:� No� olvidar� que� el� plazo� y� la� tasa� de� interés� deben� estar� expresados� en� el� mismo�período� � a.�Determinar�el�dinero�acumulado�dentro�de�2�años�de�cada�uno�de�los�planes.� � b.�¿Cuál�es�el�mejor�plan?� � 4.� En� los� ejemplos� 1� a� 6� de� interés� simple� y� 1� a� 6� de� interés� compuesto� que� se� desarrollaron�anteriormente,�comparar�el�ejemplo�1�de�interés�simple�con�el�ejemplo�1� de� interés� compuesto� y� así� sucesivamente� hasta� el� 6.� Sacar� las� conclusiones� respectivas�para�cada�una�de�las�6�comparaciones�y�presentar�un�informe.� � 5.�Con�base�en�una�tasa�del�30%�anual�mes�vencido�calcular:� � a.�Tasa�trimestral� � b.�Tasa�semestral� c.�Tasa�efectiva�.anual� � 2.�Con�base�en�una�tasa�del�30%�anual�mes�anticipado,�calcular:� � a.�Tasa�trimestral;� � � � b.�Tasa�semestral� c.�Tasa�efectiva�anual;� � � d.�Tasa�trimestral�vencida� � 3.�Calcular�las�tasas�efectivas�anuales�de�las�siguientes�tasas�nominales,�compararlas�y� � sacar�conclusiones:� � a.�25%�anual�semestre�vencido� � � � b.�25%�anual�trimestre�vencido� � � c.�25%�anual�bimestre�vencido� � � d.�25%�anual�mes�vencido� � � e.�25%�anual�día�vencido� � � � � f.�25%�anual�año�anticipado�� � g.�25%)�anual�semestre�anticipado� �� � h.�25%)�anual�trimestre�anticipado� � � i.�25%�anual�bimestre�anticipado� � � � j.�25%�anual�mes�anticipado� � � k.�����anual�día�anticipado� � 4.�Si�se�tiene�una�tasa�del�24%>�anual�trimestre�anticipado,�calcular:� � a.�Tasa�mensual� � � b.�Tasa�semestral� � c.�Tasa�efectiva�anual�d.�Tasa�trimestral� � 5.� Cuánto� dinero� tendrá� acumulado� dentro� de� 5� años� Juan� Pérez� si� invierte� hoy� 5� millones� en� el� Banco� Santander,� que� le� paga� una� tasa� de� interés� del� 20%� anual� semestre�anticipado.� � 6.�Linda�Plata�recibió�un�préstamo�de�su�amigo�Armando�Rico�hace�2�años�y�medio.�Si� Linda�pagó�hoy�a�Armando�$12,133,450�y�la�tasa�pactada�fue�del�28%�anual�mes� vencido,�calcular�el�valor�el�préstamo.� � 7.� � � En�el�problema�anterior�¿Cuál�sería�el�valor�del�préstamo�si� la�tasa�de�interés� fuera�del�32%�anual�bimestre�anticipado?� � 8.� Linda� de�Bonito� planea� adquirir� un� vehículo�CITROEN�dentro� de� 2� años� y� se� ha� propuesto�el�siguiente�plan�de�ahorros�para�este�lapso�de�tiempo:� � Hoy,�ahorra�$1,500,000� � � � Dentro�de�2�bimestres,�$4,000,000� � Dentro�de�2�trimestres,�$6,000,000;�� �Dentro�de�un�año,�$3,000,000� Dentro�de�18�meses,�$5,000,000� � Si� la�cuota� inicial�que�se�requiere�para�adquirir�ese�vehículo�dentro�de�2�años�es�de� $23,500,000�y�la�tasa�de�interés�que�le�pagan�por�su�dinero�ahorrado�es�del�32%�anual� trimestre� vencido,� ¿tendrá� doña� Linda� el� dinero� suficiente� para� la� cuota� inicial� del� vehículo?� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � CAPÍTULO�DOS� � � � � � � EQUIVALENCIAS�CON�CUOTAS�FIJAS� � � � Justificación� � � El� sistema� de� cuotas� constantes� y� periódicas,� conocido� mas� generalmente� como� anualidades,� es� el� más� utilizado� en� el� ámbito� financiero� en� el� tratamiento� de� pago� de� cuotas� o� en� operaciones�de�ahorro�y�su�aplicación�se�da�en�la�necesidad�de� encontrar�el�valor�de�sumas�futuras�o�presentes�equivalentes�a� una�serie�de�cuotas�fijas�iguales�vencidas�o�anticipadas.� � � Objetivo�General� � Hallar�sumas�futuras�y�presentes�equivalentes�a�una�serie�de� pagos�uniformes�ya�sea�en�forma�vencida�o�anticipada.� � � � Objetivos�específicos� � �� Establecer�el�valor�futuro�de�una�serie�de�pagos�uniformes�en� forma�vencida� �� Calcular�el� valor�presente�de�una�serie�de�pagos�uniformes� de�manera�anticipada� �� Encontrar� el� calor� presente� de� una� serie� de� cuotas� fijas� vencidas�liquidadas�con�intereses�anticipados� � � � 2.� � EQUIVALENCIA�CON�CUOTAS�FIJAS� � Una�de�las�formas�más�utilizadas�en�nuestro�sistema�financiero�es�el�pago�de�prés3 tamos�a�través�de�cuotas�fijas,�en�el�lenguaje�de�las�Matemáticas�Financieras�se�les�llama� anualidades� o� rentas.� La� relación� que� existe� entre� las� cuotas� fijas� y� un� valor� presente�o�un�valor�futuro�se�conoce�con�el�nombre�de�equivalencias.� � 2.1.�CUOTAS�FIJAS�VENCIDAS� � 2.1.1�Equivalencias�entre�un�valor�futuro�y�una�serie�de�cuotas�fijas�vencidas� � Cuotas�fijas�=�A� � � Valor�futuro�=�F� � N�=�Número�de�períodos� � i%�=�Tasa�de�interés�por�período� � Para�poder�ver�la�relación�que�existe�entre�una�serie�de�cuotas�fijas�(iguales)�y�un��� futuro� F,� considere� que� el� señor� Armando� Casasbuenas� tiene� excedentes� de� liquidez�cada�período�y�quiere�invertirlos�para�tener�dentro�de�un�lapso�de�tiempo�n�el� suficiente�dinero�para�adquirir�una�finca�en�la�sabana�de�Bogotá.�Estos�ahorros�se� harán� al� final� de� cada� período� a� una� tasa� de� interés� del� i%.� Gráficamente� el� comportamiento�del�problema�sería�el�siguiente:� � � � 0� 1� � 2� � �3� � � � �4� � � � � � � � � � � � �12�� � � � � � �Con�base�en�el�gráfico�anterior,�se�puede�considerar�cada�punto�del�tiempo�en�el� cual�se�hace�el�ahorro�como�un�valor�presente�en� relación�con�el�período�n�en�el� cual�se�retirará�el�dinero�para�comprar�la�finca�que�en�este�caso�sería�el�valor�futuro.� Por�ejemplo,�el�ahorro�que�se�hace�en�el�período�n31�que�tiene�un�valor�de�SA�sí�se� considera�que�estará�invertido�solo�un�período,�su�valor�futuro�correspondiente�será� igual�a�A(1+i)�(ver�fórmulas�del�capítulo�1).� � Si�tomamos�el�ahorro�de�$A�en�el�período�n32�su�valor�futuro�será�A(1+i)2,�para�el� período� n33� se� obtendría� A(1+i)� 3,� para� el� período� n34� se� obtendría�A(1+i)� 4�y� así� sucesivamente� hasta� llegar� al� período� 1;� donde�el� valor� futuro� del� ahorro�A� sería� A(1+i)(n31)�y�el�ahorro�que�se�hace�en�el�período�n,�como�coincide�con�el�retiro�del� F� nD1� n� nD2� � dinero�no�genera�intereses,�por�lo�cual�su�valor�futuro�sería�A(1+i)�0�o�sea�A�porque� toda�cantidad�elevada�a�la�cero�es�igual�a�uno.� � Si�se�suman�todos�los�valores�futuros�de�cada�uno�de�los�ahorros�de�cada�período�se� obtiene:� � F�=�A�+�A(1+i)�+�A(1+i)2�+�A(1+i)3�+�......�+�A(1+i)�(n31)� � � � � � � �Ecuación�#�1� � Si� se� multiplica� esta� ecuación� por� (1+� i)� y� se� le� llama� �Ecuación� 2,� � se� obtiene� lo� siguiente:� � F(1+i)�=�A(1+i)�+�A(1+i)2�+�A(1+i)3�+�A(1+i)4�+.........�+�A(1+i)n� � � Ecuación�#��� � Si�restamos�la�ecuación���de�la�ecuación�1�se�obtiene:� � � F(1+i)3F�=�A(1+�i)�n�3�A�,�despejando�se�tiene� � F�+�Fi3F�=�A(1+�i)�n�3�A� � � F+Fi3F�=�A(1+�i)�n�3�1� � F�=�A[(1+i)n�31]� � F�=�A[((1+i)n�D1)�/�i]� � Fórmula�1� � � La�anterior�ecuación�es�la�equivalencia�entre�un�valor�futuro�y�una�cuota�fija�vencida�o� anualidad.� � � 2.1.2� �Equivalencia�entre�un�valor�presente�y�una�serie�de�cuotas�fijas�vencidas� � La� equivalencia� entre� un� valor� presente� y� una� cuota� fija� se� deduce� de� la� fórmula� número�1� simplemente� reemplazando�F� por�P(1+i)n,� que�es� la� fórmula�base� de� las� Matemáticas�Financieras.� � P(1+i)n�=�A[(1+i)n�31/i]� � P�=�A[{�(1+i)n�D1}�/�{�(1+i)n}]� � Fórmula�2� � De�las�fórmulas�1�y�2�se�puede�calcular�el�valor�de�la�cuota�fija�de�la� �siguiente�forma: � A�=� � F�[{�i}�/{�(1+i)n�31}]� � Fórmula�3� � A�=� � P�[{i�(1+i)n�}�/�{�(1+i)n�31�}]� � � Fórmula�4� � � 2.2� �CUOTAS�FIJAS�ANTICIPADAS� � 2.2.1�Equivalencia�entre�un�valor�futuro�y�una�serie�de�cuotas�fijas�anticipadas� � Utilizando�el�procedimiento�anterior,�se�pueden�calcular�las�equivalencias�entre�cuotas�fijas� anticipadas� y� los� valores� presente� y� futuro;� utilicemos� el� gráfico� que� tomamos� como� referencia�para�calcular�las�equivalencias�anteriores�pero�considerando�que�las�cuotas�se� realizan�anticipadamente�o�sea:� � � � � � � � � � F� � � � 0� 1� 2� 3� 4� � n33� n32� n31� � n� � � � � � El�paso�inicial�es�calcular�el�valor�futuro�de�cada�uno�de�los�ahorros�A;�nótese�que�en�el� período�n�no�hay�ahorro�y�sí�lo�hay�en�el�período�cero.�Esta�es�la�diferencia�que�hay�con� respecto� al� gráfico� de� las� cuotas� vencidas,� pues� las� cuotas� fijas� se� consideran� anticipadamente�o�a�principios�de�cada�período,�por�lo�tanto�el�valor�futuro�obtenido�con� base�en�el�diagrama�anterior�sería:� � F�=� � A(1+i)�+�A(1+i)2�+�A(1+i)3�+�A(1+i)4�+.........�+�A(1+i)n� � Si�a�esta� ecuación� la� llamamos� la�ecuación� número� 1� y� la�multiplicamos�por� (1+i)� obtenemos�la�ecuación�número�2.� � F�(1+i)�=� �A(1+i)2�+�A(1+i)3�+�......�+�A(1+i)�(n+1)� � Si�sacamos�la�diferencia�entre�las�dos�ecuaciones�se�obtiene:� � F�(1+i)3F�=� �A(1+i)�(n+1)�333�A(1+i)� � F�+�Fi3F�=�A[(1+i)�(n+1)�� D�(1+i)]� � F�=�A[{(1+i)(n+l)�3�(1+i)}/�i]� � � Fórmula�5� � � 2.2.2�Eequivalencia�entre�un�valor�presente�y�una�serie�de�cuotas�fijas�anticipadas� � Con�base�en�la�equivalencia�anterior�entre�un�valor�futuro�y�una�cuota�fija�anticipada�se� puede� obtener� la� existente� entre� un� valor� presente� y� una� cuota� fija� anticipada,� simplemente�reemplazando�F�por�P(l+i)�n� P(l+i)�n��=�A[{(1+i)(n+l)�3�(1+i)}/�i]� P�=�A[{�(1+i)(n+l)�3�(1+i)�}�/�{�i(1+i)�n�}]� � Fórmula�6� � � � De�las�fórmulas�5�y�6�podemos�obtener�el�valor�de�la�anualidad�en�función�del�valor� presente�o�del�valor�futuro.� � � A�=�F[{�i�}�/�{(1+i)(n+1)�3�(1+i)�]� � Fórmula�7� � A=�P[{�i�(�1+i)n}�/�{�(1+i)(n+1)3(1+i)}�]� � � � � � � � � � � � � � � Fórmula�8� � Las�anteriores�equivalencias�permiten�pactar�una�serie�de�transacciones�en�el�mundo�real.� � � 2.2.3 Equivalencia�entre�un�valor� futuro�y�una�serie�de�cuotas� fijas�vencidas� con�intereses�anticipados� � Este� � caso�se�presenta�cuando�en�un�crédito�se�pactan�cuotas�uniformes�vencidas� pero� le� cobran� intereses� anticipadamente,� es� decir� en� el� momento� de� recibir� el� préstamo�el�beneficiario�no� recibe� la� totalidad�sino� la�diferencia�entre�el�valor�del� crédito�y�los�intereses�correspondientes�al�primer�período.� � En� este� caso� como� el� usuario� pago� los� intereses� anticipadamente,� en� la� última� cuota�no� se�pagarían� intereses,� sino� la� totalidad�del� valor�pagado�sería�abono�a� capital.� � La� � equivalencia�a�usar�en�este�caso�sería:� � � A�=�P[�i�/�((13(13�i)n))]� � � � � � � � � � �Fórmula�9� � A� continuación� se� tratan� � casos� prácticos� relacionados� con� las� equivalencias� expuestas�anteriormente.� � Ejemplo�1� � Doña�Linda�Reina� recibió�un�préstamo�del�Banco�de�Bogotá�por�$10�millones�para� cancelar�en�12�cuotas�mensuales�iguales�vencidas�con�una�tasa�del�3%�mensual.�Calcular� el�valor�de�las�cuotas.� � � Gráficamente�se�tendría�la�siguiente�interpretación�del�problema:� � � � � 10,000.000� � � � 1 2 3 �4 5 6 7 � 8 � 9� � � � �10� � � � �11� � � � �12� � � � � 0� � � � � Se�debe�utilizar�la�fórmula�4� � A�=�P[{�¡�(�1+¡)�n�/�{(1+i)�n�31}]� � P�=�Valor�presente,�es�en�este�caso,�el�valor� �del�préstamo�o�sea�$�10.000.000� � i�=�3%� � n�=�12�meses� � Tenemos�las�tres�variables,�por�lo�cual�podemos�calcular�la�cuota�fija�A� � A�=�10.000.000�[�{3%(1+3%)12}�/�{�(1+3%)�1231}]� � Alternativamente�se�puede�escribir�de�la�siguiente�forma�reemplazando�el�3%�por�0.03� � A=10.000.000[{0.03(1+0.03)12}/{(1+0.03)1231}]�A=�$1.004.620.85� � � � � � � � � � � � � � � � � � CAPÍTULO�TRES� A=�?� I�=�3%� Meses� � � � � � � EQUIVALENCIAS�CON�CUOTAS�VARIABLES� � � Justificación� � Una� serie� de� pagos� puede� hacerse� � en� forma� uniforme� en� cuanto� al� tiempo,� pero� aumentar� o� disminuir� en� una� cantidad� constante�denominada�gradiente.�Esto� lo�que�se�conoce�como� cuota�variable,�sistema�utilizado�alternativamente�para�el�manejo� de� los� créditos� en� el� sistema� financiero.� Con� el� estudio� del� capítulo,�el�aprendiente�estará�en�condiciones�de�establecer� la� correspondencia�entre�unaa�serie�de�pagos�variables�y�un�valor� presente.� � � Objetivo�General� � Determinar� la� equivalencia� entre� una� cuota� variable� y� un� valor�presente� � Objetivos�específicos� � �� Establecer�el�valor�de�cada�cuota�en�un�sistema�de�cuotas� con�incremento�previamente�pactados� �� En� un� sistema� de� cuotas� crecientes� o� decrecientes� determinar�el�valor�de�la�primera�cuota.� �� Utilizar� la� hoja� electrónica� para� el� cálculo� de� las� cuotas� variables� � � � � � � � � � � 3.� �EQUIVALENCIA�CON�CUOTAS�VARIABLES� � 3.1.�GRADIENTES� � El�sistema�financiero�colombiano�además�de�las�cuotas�fijas,�utiliza�métodos�alternos�para� sus�créditos,�las�cuotas�variables�es�uno�de�ellos,�la�filosofía�de�esta�forma�de�pago� es�realizar�incrementos�periódicos�en�los�pagos�de�los�usuarios.�Desde�este�punto� de� vista� se� generan� dos� formas� de� aplicarlo;� la� primera� de� ellas� es� incrementos� en� cantidades�fijas,�este�sistema�se�conoce�con�el�nombre�de������� ����� �� � ���o� incremento�en�las�cuotas�mediante�un�porcentaje�fijo,�lo�que�se�conoce�con�el�nombre�de� ������ ������� �� � �veamos�con�unos�ejemplos�como�opera�cada�uno�de�ellos.� � 3.1.1.�Gradiente�Aritmético� � Consideremos�el�caso�de�don�Pastor�Bueno,�quién�solicitó�un�crédito�de�$15�millones�al� Banco�Santander;�para�pagar�en�un�plazo�de�3�años�con�pagos�semestrales�e�incrementos�
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