Practica7_Integracion_Numerica

Vista previa del material en texto

PRACTICA 7 Integración Numérica
Fórmulas de tipo interpolatorio 
1) Tomamos n+1 puntos distintos, xi, i = 0, 1, ..., n, del intervalo [a,b] 
2) Calculamos el polinomio de interpolación de la función f en los puntos xi
3) Aproximamos la integral de la función por la integral del polinomio de interpolación
Ÿa
b
f HxL „ x > Ÿa
b
pHxL „ x.
† Veamos cómo se obtienen las fórmulas del Trapecio y de Simpson.
In[1]:= Clear@"Global`∗"D
datos = 88a, f@aD<, 8b, f@bD<<;
In[3]:= poli = InterpolatingPolynomial@datos, xD
Out[3]= f@aD +
H−a + xL H−f@aD + f@bDL
−a + b
In[4]:= ‡
a
b
poli x
Out[4]= −
1
2
Ha − bL Hf@aD + f@bDL
In[5]:= Clear@"Global`∗"D
datos = :8a, f@aD<, :
a + b
2
, fB
a + b
2
F>, 8b, f@bD<>;
In[7]:= poli = InterpolatingPolynomial@datos, xD
Out[7]= f@aD + H−a + xL
−f@aD + fA a+b
2
E
−a + a+b
2
+
I 1
2
H−a − bL + xM
f@bD−fB a+b
2
F
1
2
H−a−bL+b
−
−f@aD+fB a+b
2
F
−a+
a+b
2
−a + b
In[8]:= ‡
a
b
poli x
Out[8]= −
1
6
Ha − bL f@aD + f@bD + 4 fB
a + b
2
F
Fórmulas del Rectángulo, del Trapecio y de Simpson
Fórmula del rectángulo izquierda:
 
Ÿa
b
f HxL „ x > f HaL Hb - aL 
Fórmula del rectángulo derecha:
 
Ÿa
b
f HxL „ x > f HbL Hb - aL 
Fórmula del punto medio:
 
Ÿa
b
f HxL „ x > f J a+b
2
N Hb - aL 
Fórmula del trapecio:
 
Ÿa
b
f HxL „ x > b-a
2
 H f HaL + f HbLL .
Fórmula de Simpson:
 
Ÿa
b
f HxL „ x > b-a
6
B f HaL + 4 f J a+b
2
N + f HbLF 
Ejemplo 1
Calcular un valor aproximado de la integral Ÿ0
1ê2
ex „ x, aplicando la fórmula del punto medio. Comparar con el valor exacto.
In[9]:= Clear@"Global`∗"D
f@x_D := ^x
a = 0;
b = 0.5;
Aplicamos la fórmula del punto medio a la función f en el intervalo [0,1/2]
In[13]:= ValorAproximado = fB
a + b
2
F Hb − aL
Out[13]= 0.642013
2 Practica7_Integracion_Numerica.nb
Comparamos con el valor exacto
In[14]:= ValorExacto = ‡
0
1ê2
x x
N@ValorExactoD
Out[14]= −1 +
Out[15]= 0.648721
In[16]:= Error = Abs@ValorExacto − ValorAproximadoD êê N
Out[16]= 0.00670856
Ejemplo 2
Calcular un valor aproximado de la integral Ÿ0
1
e-x2 „ x, aplicando las fórmulas del trapecio y de Simpson. 
In[17]:= Clear@"Global`∗"D
f@x_D := −x2
a = 0;
b = 1;
Aplicamos la fórmula del trapecio a la función f en el intervalo [0,1]
In[21]:= ValorAproximado1 =
Hb − aL
2
 Hf@aD + f@bDL êê N
Out[21]= 0.68394
Aplicamos la fórmula de Simpson a la función f en el intervalo [0,1]
In[22]:= ValorAproximado2 =
Hb − aL
6
 f@aD + 4 fB
a + b
2
F + f@bD êê N
Out[22]= 0.74718
Fórmulas de integración compuesta
Consiste en dividir el intervalo inicial en subintervalos y aplicar un método de integración numérica simple en cada uno de
ellos. Si llamamos tomamos h = b-an , entonces los puntos xi = a + i h, i = 0, 1, ..., n forman una partición del intervalo [a,
b] y basta aplicar en cada subintervalo [xi, xi+1], i= 0, 1, ..., n-1, el método simple que queramos
Fórmula del rectángulo izquierda compuesta:
 
Ÿa
b
f HxL „ x > h ⁄i=0n-1 fi
Fórmula del rectángulo derecha compuesta:
 
Ÿa
b
f HxL „ x > h ⁄i=0n-1 fi+1
Fórmula del punto medio compuesta:
 
Ÿa
b
f HxL „ x > h ⁄i=0n-1 fi+ 1
2
 
Fórmula del trapecio compuesta:
 
Ÿa
b
f HxL „ x > h
2
 I f0 + 2 ⁄i=1n-1 fi + fnM 
Fórmula de Simpson compuesta:
 
Ÿa
b
f HxL „ x > h
6
 f0 + fn + 2 ⁄i=1n-1 fi + 4 ⁄i=0n-1 fi+ 1
2
 
Ejemplo 3. 
Calcular un valor aproximado de la integral de la función f(x) = (x3 - x + 2M ex en el intervalo [0,2] aplicando fórmulas de integración
del rectángulo derecha, del trapecio y de Simpson compuestas con n=20. 
In[23]:= Clear@"Global`∗"D
f@x_D := Ix3 − x + 2M x
a = 0.;
b = 2.;
n = 20;
h =
b − a
n
;
DoAxi_ := a + i h, 8i, 0, n<E
Valor exacto
In[30]:= ValorExacto = ‡
0
2
f@xD x êê N
Out[30]= 25.1672
4 Practica7_Integracion_Numerica.nb
Fórmula del rectángulo derecha compuesta: Ÿa
bf HxL ‚ x > h ⁄i=0n-1 fi+1
In[31]:= aprox1 = h ‚
i=0
n−1
f@xi+1D
Out[31]= 28.1389
In[32]:= error1 = Abs@ValorExacto − aprox1D
Out[32]= 2.9717
Fórmula del trapecio compuesta Ÿa
bf HxL ‚ x > h2 If0 + 2 ⁄i=1
n-1 fi + fnM
In[33]:= aprox2 =
h
2
f@x0D + 2 ‚
i=1
n−1
f@xiD + f@xnD
Out[33]= 25.2832
In[34]:= error2 = Abs@ValorExacto − aprox2D
Out[34]= 0.116076
† Fórmula de Simpson compuesta‡
a
b
f HxL „ x >
h
6
 f0 + fn + 2 ‚
i=1
n-1
fi + 4 ‚
i=0
n-1
f
i+ 1
2
In[35]:= aprox3 =
h
6
f@x0D + 2 ‚
i=1
n−1
f@xiD + 4 ‚
i=0
n−1
fBxi +
h
2
F + f@xnD
Out[35]= 25.1672
In[36]:= error3 = Abs@ValorExacto − aprox3D
Out[36]= 0.0000211033
Observamos la gran precisión de la fórmula de Simpson, que es una de las más usadas en la práctica.
Ejemplo 4. 
Calcular un valor aproximado de la integral de la función f(x) = ln(x) en el intervalo [1,2] aplicando las fórmulas de integración del
rectángulo izquierda, del trapecio y de Simpson compuestas con n=200.
In[37]:= Clear@"Global`∗"D
f@x_D := Log@xD
a = 1.;
b = 2.;
n = 200;
h =
b − a
n
;
DoAxi_ := a + i h, 8i, 0, n<E
Valor exacto
In[44]:= ValorExacto = ‡
1
2
f@xD x êê N
Out[44]= 0.386294
Fórmula del rectángulo izquierda compuesta: Ÿa
bf HxL ‚ x > h ⁄i=0n-1 fi
In[45]:= aprox1 = h ‚
i=0
n−1
f@xiD
Out[45]= 0.38456
In[46]:= error1 = Abs@ValorExacto − aprox1D
Out[46]= 0.00173391
Fórmula del trapecio compuesta Ÿa
bf HxL ‚ x > h2 If0 + 2 ⁄i=1
n-1 fi + fnM
In[47]:= aprox2 =
h
2
f@x0D + 2 ‚
i=1
n−1
f@xiD + f@xnD
Out[47]= 0.386293
In[48]:= error2 = Abs@ValorExacto − aprox2D
Out[48]= 1.04167× 10−6
6 Practica7_Integracion_Numerica.nb
Fórmula de Simpson compuestaŸa
bf HxL ‚ x > h6 Jf0 + fn + 2 ⁄i=1
n-1 fi + 4 ⁄i=0n-1 fi+ 12 N
In[49]:= aprox3 =
h
6
f@x0D + 2 ‚
i=1
n−1
f@xiD + 4 ‚
i=0
n−1
fBxi +
h
2
F + f@xnD
Out[49]= 0.386294
In[50]:= error3 = Abs@ValorExacto − aprox3D
Out[50]= 3.79752× 10−13
Ejercicios Propuestos
Ejercicio 1. Calcular de forma aproximada la integral 
Ÿ1
3 1
1+x2
 ‚ x utilizando las fórmulas del trapecio y de Simpson. 
Comparar con el valor exacto
Ejercicio 2. Dividir el intervalo [1,2] en 100 partes iguales 
para hallar de forma aproximada el valor de ln(1.5) 
utilizando las fórmulas del trapecio y de Simpson 
compuestas. Comparar con el valor exacto. (Indicación: 
utilizar la integral Ÿ1
2 1
x+1 x).
Ejercicio 3. La longitud de la elipse x
2
c2
+
y2
d2
= 1, c > d > 0, 
viene dada por la integral 4 c Ÿ0
p
2 1 - k2 sen HqL2 ‚ q siendo 
k = c
2-d2
c . Aproximar, usando la regla de Simpson 
compuesta con n=20, la longitud de la elipse 
x2 + 4 y2 - 16 = 0.