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RESUMEN DE LA TEORÍA DEL TEMA DE DERIVADAS 
Def: Tasa de variación media de f(x) en [a,b] es  
x
y
ab
afbf
baTVMf






)()(
, y coincide con la pendiente 
"m" de la recta que pasa por los puntos ))(,( afaP y ))(,( bfbQ . 
Si y=f(x) es el espacio recorrido "y" al transcurrir un tiempo "x", entonces  
x
y
ab
afbf
baTVMf






)()(
, es la 
velocidad media en ese intervalo de tiempo [a,b]. 
 
Def: La recta tangente a la curva )(xfy  en ax  es la recta límite del conjunto de las rectas secantes que 
pasan por ))(,( afaA y ))(,( hafhaB  cuando 0h . 
 
Def: Tasa de variación instantánea de f(x) en x=a o derivada de f(x) en x=a es el límite, si existe: 
 
x
y
h
afhaf
haafTVMaTVIfaf
xhh 




 000
lim
)()(
lim,lim)()(' 
y coincide con pendiente "m" de la recta tangente a la curva 
)(xfy  en el punto ))(,( afaP . 
La recta tangente a la curva )(xfy  en el punto ))(,( afaP es: 
 axafafy  )(')( ya que la pendiente de la recta tangente 
en ax  es )(' af . 
 
Prop: Si y=f(x) es el espacio recorrido "y" al transcurrir un tiempo "x", entonces: )(' af es la velocidad 
instantánea en x=a. 
Prop: Si f(x) es derivable en ax  , entonces es continua en ax  y, por tanto, si )(xf no es continua en 
ax  , entonces no es derivable en ax  . 
Prop: Ver tabla de derivadas inmediatas y tabla de las propiedades de las funciones derivables en hoja aparte. 
Prop: Si 0)(' 0 xf , entonces )(xf es creciente en 0x . 
Prop: Si 0)(' 0 xf , entonces )(xf es decreciente en 0x . 
Prop: Si 0)(' 0 xf , entonces se dice que en 0x hay un punto crítico (punto de tangente horizontal) y para 
saber si crece, decrece, es máximo o mínimo relativo, estudiamos la monotonía en un entorno de 0x . 
Prop: Si 





0)(''
0)('
0
0
xf
xf
máximo relativo en 0x . 
Prop: Si 





0)(''
0)('
0
0
xf
xf
mínimo relativo en 0x . 
Prop: Si f tiene un extremo relativo en 0x y existe 0'( )f x , entonces 0)(' 0 xf . 
Prop: Si f es continua en  ,a b el tª de Weierstrass nos asegura que existe máximo y mínimo en  ,a b y se 
encuentran en x a , en x b , donde 0)(' 0 xf o donde no es derivable. 
Prop: Si 0)('' 0 xf , entonces )(xf es cóncava hacia arriba (  ) en 0x . 
Prop: Si 0)('' 0 xf , entonces )(xf es cóncava hacia abajo (  ) en 0x . 
Prop: Si 0)('' 0 xf , entonces para saber si es cóncava hacia arriba, hacia abajo o punto de inflexión, 
estudiamos la curvatura en un entorno de 0x . 
Prop: Si 





0)('''
0)(''
0
0
xf
xf
punto de inflexión en 0x . 
 
–2– 
 
DERIVADAS DE FUNCIONES 
ELEMENTALES 
DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES 
COMPUESTAS 
 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES 
DERIVABLES 
 
 kky ( ℝ )  0'y 
xy   1'y 
 nxy n ( ℝ )  1'  nnxy 
xy   
x
y
2
1
' 
 
 
 
 
   nxfy n ()( ℝ )    )(')(' 1 xfxfny n   
)(xfy   
)(2
)('
'
xf
xf
y  
 
 
)(xfky   )('' xfky  
 
)()( xgxfy   )(')('' xgxfy  
 
)()( xgxfy   )(')()()('' xgxfxgxfy  
 
)(
)(
xg
xf
y   
 2)(
)(')()()('
'
xg
xgxfxgxf
y

 
 
)(
1
xg
y   
 2)(
)('
'
xg
xg
y

 
 
Regla de la cadena: 
))(( xgfy   )('))(('' xgxgfy  
 
 
 
xey   xey ' 
xay  )1,0(  aa  aay x ln'  
 
 
)(xfey   )('' )( xfey xf  
)(xfay  )1,0(  aa  )('ln' )( xfaay xf  
 
 
 
xy ln  
x
y
1
' 
xy alog )1,0(  aa  ax
y
ln
11
'  
 
 
 )(ln xfy   
)(
)('
'
xf
xf
y  
 )(log xfy a )1,0(  aa  axf
xf
y
ln
1
)(
)('
'  
 
 
 
Derivada de funciones potenciales-
exponenciales: 
   )()( xgxfy 
    )(ln)(')()(')()(' )(1)( xfxgxfxfxfxgy xgxg   
También se puede derivar tomando logaritmos 
en los dos miembros y derivando después. 
 
 
xseny   xy cos' 
xy cos  xseny ' 
xtgy   xtg
x
y 2
2
1
cos
1
'  
 
 
 )(xfseny     )(')(cos' xfxfy  
 )(cos xfy     )(')(' xfxfseny  
 )(xftgy        )(')(1)(cos
)('
' 2
2
xfxftg
xf
xf
y  
 
 
 
xarcseny   
21
1
'
x
y

 
xy arccos  
21
1
'
x
y


 
xarctgy   
21
1
'
x
y

 
 
 
 )(xfarcseny   
 2)(1
)('
'
xf
xf
y

 
 )(arccos xfy   
 2)(1
)('
'
xf
xf
y


 
 )(xfarctgy   
 2)(1
)('
'
xf
xf
y

