ResumUD_4_02_limites_continuidad_mo

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Funciones: Límites y continuidad 
Acceso. Matemáticas Básicas. UD 4. Funciones: Límites y continuidad. Uned de Bergara. Página 1 
 
4. Funciones: Límites y continuidad .......................................................... 2 
4.1. Límites ................................................................................................................................................. 2 
4.1.1. Límites elementales .......................................................................................................................2 
4.1.2. Algebra de límites ..........................................................................................................................2 
4.2. Funciones continuas.......................................................................................................................... 4 
4.3. Ejercicios ............................................................................................................................................. 5 
 
Funciones: Límites y continuidad 
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4. Funciones: Límites y continuidad 
4.1. Límites 
La función 𝒇𝒇 , definida en el intervalo 𝑰𝑰, tiene límite 𝒍𝒍 cuando 𝒙𝒙 tiende 𝒙𝒙𝟎𝟎 ∈
𝑰𝑰, si al tomar 𝒙𝒙 suficientemente próximo a 𝒙𝒙𝟎𝟎 , aunque diferente de 
𝒙𝒙𝟎𝟎 , puede hacerse el valor de 𝒇𝒇(𝒙𝒙) tan próximo a 𝒍𝒍 como se desee. 
 
Cuando ello es posible se indica lim
𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙 
 
 
Una función 𝒇𝒇 carece de límite, al 
tender 𝒙𝒙 a 𝒙𝒙𝟎𝟎 , si 𝒇𝒇(𝒙𝒙)se aproxima simultáneamente a varios valores al 
acercarse 𝒙𝒙 a 𝒙𝒙𝟎𝟎 . El caso más simple para que así ocurra es el que 
muestra la figura, en la que se han señalado rectángulos, centrados en 
(𝒙𝒙𝟎𝟎 , 𝒍𝒍𝟏𝟏) y en (𝒙𝒙𝟎𝟎 , 𝒍𝒍𝟐𝟐), que la función no atraviesa por mucho que se 
estreche su base. En esta situación todavía se dice que hay, en el punto 
𝒙𝒙𝟎𝟎 , límites laterales, por la izquierda y por la derecha, con valores 
respectivos 𝒍𝒍𝟏𝟏 y 𝒍𝒍𝟐𝟐. 
 
 
 
 
4.1.1. Límites elementales 
 
4.1.2. Algebra de límites 
 
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Ejemplos: 
 
• lim
𝑥𝑥→−1
𝑥𝑥5 − 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 = (−1)5 − 3(−1)2 + 2(−1) = −1 − 3 − 2 = −6 
 
• 
 
 
 
 
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Ejercicios 
 
Resolver los ejercicios indicados y comprobar la solución con 
GeoGebra 
 
 
 
 
4.2. Funciones continuas 
Una función 𝑓𝑓 es continua en el punto 𝑥𝑥0 si se verifica 
 
lim
𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) 
 
Tanto si el límite no existe, como si no coincide con 𝑓𝑓(𝑥𝑥0), la función f es discontinua o tiene una discontinuidad 
en 𝑥𝑥0. 
 
Ejercicio 
Escribe en GeoGebra la función indicada y el 
límite mostrado. 
 
Comprueba que en el punto 𝑥𝑥0 no hay límite, 
por lo tanto la función es discontinua en ese 
punto. 
 
 
 
 
 
 
 
Son funciones continuas, en el punto 𝑥𝑥0, la 
suma, el producto y el cociente de funciones 
continuas en el punto 𝑥𝑥0; salvo quizás en el 
caso del cociente, si el denominador se anula en 𝑥𝑥0 . 
 
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4.3. Ejercicios 
Junio 2017 A 
 
Junio 2017 A 
 
Junio 2017 C 
 
Junio 2017 C 
 
Septiembre 2017 B 
 
Septiembre 2017 A 
 
 
Septiembre 2017 A 
 
 
 
Nicolás Morillo
Rectángulo
	4. Funciones: Límites y continuidad
	3.
	4.
	4.1. Límites
	4.1.1. Límites elementales
	4.1.2. Algebra de límites
	4.2. Funciones continuas
	4.3. Ejercicios